Lớp 11

Cùng chuyên mục

Môn Toán học Lớp 11

Dưới đây là **tóm tắt chi tiết môn Toán học lớp 11** theo chương trình giáo dục Việt Nam (dựa trên các bộ sách phổ biến như Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo, Cánh diều), bao gồm đề cương học kỳ, chuyên đề, bài tập giải chi tiết, đề thi mẫu đầy đủ các phần (Đại số - Hình học) có đáp án và lời giải.

---

## **1. Tổng quan môn Toán lớp 11**
Môn Toán lớp 11 là bước chuyển tiếp quan trọng giữa lớp 10 và 12, tập trung vào hai phần chính: **Đại số và Giải tích** (hàm số lượng giác, dãy số, giới hạn, đạo hàm) và **Hình học** (phép biến hình, quan hệ trong không gian). Đây là nền tảng cần thiết cho kỳ thi THPT Quốc gia, đòi hỏi học sinh nắm vững lý thuyết và kỹ năng giải bài tập từ cơ bản đến nâng cao.

---

## **2. Đề cương học kỳ môn Toán lớp 11**
### **Phần Đại số và Giải tích**
#### **Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác**
- **Lý thuyết**:
- Hàm số \( y = \sin x, y = \cos x, y = \tan x, y = \cot x \): chu kỳ, tập xác định, tập giá trị.
- Công thức cơ bản: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), \( 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} \).
- Công thức cộng: \( \sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b \).
- Phương trình lượng giác cơ bản: \( \sin x = a, \cos x = a, \tan x = a \).
- **Dạng bài tập**: Giải phương trình lượng giác, tìm nghiệm trong khoảng xác định.

#### **Chương 2: Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân**
- **Lý thuyết**:
- Dãy số: \( u_1, u_2, ..., u_n \).
- Cấp số cộng: \( u_n = u_1 + (n-1)d \), tổng \( S_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n) \).
- Cấp số nhân: \( u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \), tổng \( S_n = u_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} \) (\( q \neq 1 \)).
- **Dạng bài tập**: Tìm công sai, công bội, số hạng, tổng dãy.

#### **Chương 3: Giới hạn**
- **Lý thuyết**:
- Giới hạn dãy số: \( \lim_{n \to \infty} u_n \).
- Giới hạn hàm số: \( \lim_{x \to a} f(x) \), dạng vô định \( \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty} \).
- Quy tắc: \( \lim (f(x) \pm g(x)) = \lim f(x) \pm \lim g(x) \).
- **Dạng bài tập**: Tính giới hạn, xử lý dạng vô định.

#### **Chương 4: Đạo hàm**
- **Lý thuyết**:
- Định nghĩa: \( f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \).
- Quy tắc: \( (x^n)' = nx^{n-1} \), \( (u \cdot v)' = u'v + uv' \), \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).
- Ứng dụng: Tìm tiếp tuyến, cực trị.
- **Dạng bài tập**: Tính đạo hàm, viết phương trình tiếp tuyến.

### **Phần Hình học**
#### **Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng**
- **Lý thuyết**:
- Phép tịnh tiến: \( M(x, y) \to M'(x + a, y + b) \) theo \( \vec{v} = (a, b) \).
- Phép quay: Xoay quanh tâm \( O \) góc \( \alpha \).
- Phép đồng dạng: Tỷ số \( k \), giữ hình dạng, thay đổi kích thước.
- **Dạng bài tập**: Tìm ảnh điểm, chứng minh đồng dạng.

#### **Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian**
- **Lý thuyết**:
- Phương trình đường thẳng: \( \frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c} \) (vectơ chỉ phương \( \vec{u} = (a, b, c) \)).
- Phương trình mặt phẳng: \( ax + by + cz + d = 0 \) (vectơ pháp tuyến \( \vec{n} = (a, b, c) \)).
- Quan hệ song song: \( \vec{u} \cdot \vec{n} = 0 \).
- **Dạng bài tập**: Viết phương trình, kiểm tra quan hệ song song/vuông góc.

#### **Chương 3: Vectơ trong không gian**
- **Lý thuyết**:
- Tích vô hướng: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta \).
- Điều kiện: \( \vec{a} \perp \vec{b} \) nếu \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \).
- **Dạng bài tập**: Tính góc, chứng minh vuông góc.

---

## **3. Chuyên đề chính**
### **Cơ bản**
- **Phương trình lượng giác**: Giải \( \sin x = a \), \( \cos x = a \).
- **Cấp số cộng**: Tìm \( u_n, S_n \).
- **Đường thẳng trong không gian**: Viết phương trình.

### **Nâng cao**
- **Giới hạn dạng vô định**: \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 1}{x - 3} \).
- **Đạo hàm ứng dụng**: Tìm cực trị hàm số.
- **Hình học không gian**: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

---

## **4. Bài tập giải chi tiết**
1. **Phương trình lượng giác**: Giải \( 2\sin x - \sqrt{3} = 0 \) trên \( [0, 2\pi] \).
**Lời giải**:
- \( 2\sin x = \sqrt{3} \)
- \( \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
- Trong \( [0, 2\pi] \), \( \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \) tại \( x = \frac{\pi}{3} \) (góc \( 60^\circ \)) và \( x = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \) (góc \( 120^\circ \)).
- **Đáp án**: \( x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} \).

2. **Cấp số cộng**: Dãy \( 3, 7, 11, ... \). Tìm \( u_{10} \) và \( S_{10} \).
**Lời giải**:
- Công sai \( d = 7 - 3 = 4 \).
- \( u_n = u_1 + (n-1)d = 3 + (n-1) \cdot 4 \).
- \( u_{10} = 3 + (10-1) \cdot 4 = 3 + 36 = 39 \).
- \( S_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n) \), \( S_{10} = \frac{10}{2}(3 + 39) = 5 \cdot 42 = 210 \).
- **Đáp án**: \( u_{10} = 39, S_{10} = 210 \).

3. **Đạo hàm**: Tìm \( f'(x) \) của \( f(x) = x^4 - 3x^2 + 2 \).
**Lời giải**:
- \( f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4) - \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(2) \)
- \( = 4x^3 - 6x + 0 = 4x^3 - 6x \).
- **Đáp án**: \( 4x^3 - 6x \).

4. **Hình học**: Viết phương trình mặt phẳng qua \( A(1, 2, 0) \) và vuông góc \( \vec{n} = (2, -1, 3) \).
**Lời giải**:
- Phương trình mặt phẳng: \( a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 \).
- Với \( \vec{n} = (2, -1, 3) \) và \( A(1, 2, 0) \):
\( 2(x - 1) + (-1)(y - 2) + 3(z - 0) = 0 \)
- \( 2x - 2 - y + 2 + 3z = 0 \)
- \( 2x - y + 3z = 0 \).
- **Đáp án**: \( 2x - y + 3z = 0 \).

---

## **5. Đề thi mẫu học kỳ 1 môn Toán lớp 11**
### **Phần I: Trắc nghiệm (6 điểm - 12 câu, mỗi câu 0.5 điểm)**
1. Giá trị \( \tan 45^\circ \) là:
A. \( 0 \)
B. \( 1 \)
C. \( \sqrt{2} \)
D. \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
**Lời giải**: \( \tan 45^\circ = 1 \) (theo bảng giá trị).
**Đáp án**: B.

2. Giới hạn \( \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} \) là:
A. \( 3 \)
B. \( 6 \)
C. \( 9 \)
D. Không tồn tại
**Lời giải**:
- \( \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x + 3 \) (với \( x \neq 3 \)).
- \( \lim_{x \to 3} (x + 3) = 3 + 3 = 6 \).
- **Đáp án**: B.

### **Phần II: Tự luận (4 điểm)**
1. **Câu 1 (2 điểm)**: Giải \( \cos 2x = -\frac{1}{2} \) trên \( [0, \pi] \).
**Lời giải**:
- \( \cos 2x = -\frac{1}{2} \).
- Nghiệm chung: \( 2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \).
- Trong \( [0, \pi] \) cho \( 2x \), tức \( 2x \in [0, 2\pi] \):
- \( 2x = \frac{2\pi}{3} \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} \)
- \( 2x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3} \Rightarrow x = \frac{2\pi}{3} \).
- **Đáp án**: \( x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} \).

2. **Câu 2 (2 điểm)**: Cho đường thẳng \( d: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z}{-1} \) và mặt phẳng \( (P): x + 2y - z + 1 = 0 \). Kiểm tra \( d \parallel (P) \).
**Lời giải**:
- Vectơ chỉ phương \( \vec{u} = (2, 1, -1) \).
- Vectơ pháp tuyến \( \vec{n} = (1, 2, -1) \).
- \( \vec{u} \cdot \vec{n} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + (-1) \cdot (-1) = 2 + 2 + 1 = 5 \neq 0 \).
- Kết luận: \( d \) không song song \( (P) \).
- **Đáp án**: Không.

---

## **6. Lưu ý ôn tập**
- **Cơ bản**: Công thức lượng giác, đạo hàm, vectơ cơ bản.
- **Nâng cao**: Ứng dụng giới hạn, đạo hàm (cực trị), hình học không gian (góc, khoảng cách).
- **Đề thi**: Phân bổ thời gian hợp lý giữa trắc nghiệm và tự luận.

Hy vọng bản tóm tắt này đủ chi tiết và hữu ích!