Đề thi, đề kiểm tra Toán Lớp 11 Kết nối tri thức

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[Đề thi, đề kiểm tra Toán Lớp 11 Kết nối tri thức] Đề thi giữa kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức - Đề số 8

Hướng dẫn học bài: Đề thi giữa kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức - Đề số 8 - Môn Toán học Lớp 11 Lớp 11. Đây là sách giáo khoa nằm trong bộ sách 'Đề thi, đề kiểm tra Toán Lớp 11 Kết nối tri thức Lớp 11' được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết các bé sẽ nắm bài học tốt hơn.

Đề bài

Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 :

Với $a \neq 0$ , $b \neq 0$ và m, n là các số nguyên thì

A.

$a^{m} . a^{n} = a^{m - n}$
B.

$a^{m} . a^{n} = a^{m . n}$
C.

$a^{m} . a^{n} = a^{m + n}$
D.

$a^{m} . a^{n} = a^{\frac{m}{n}}$

Câu 2 :

Cho số thực a $(0 a \neq 1)$ và M, N là các số thực dương. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A.

$\log_{a} (M N) = \log_{a} M - \log_{a} N$
B.

$\log_{a} (M N) = \log_{a} M . \log_{a} N$
C.

$\log_{a} (M N) = \log_{a} M - \log_{a} N$
D.

$\log_{a} (M N) = \log_{a} M + \log_{a} N$

Câu 3 :

Trong các hàm số sau, hàm số nào sau đây là hàm số mũ?

A.

$y = x^{2}$
B.

$y = 2^{x}$
C.

$y = x^{π}$
D.

$y = \sqrt{x}$

Câu 4 :

Bất phương trình $\log_{0, 3} (x - 1) \leq \log_{0, 3} (2 x + 1)$ có tập xác định là

A.

$D = [1; + \infty)$
B.

$D = (- \frac{1}{2}; + \infty)$
C.

$D = (1; + \infty)$
D.

$D = [- \frac{1}{2}; + \infty)$

Câu 5 :

Cho hàm số $y = \log_{2} x$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

Hàm số đồng biến trên $(0; + \infty)$
B.

Hàm số nghịch biến trên $(- \infty; 0)$
C.

Hàm số đồng biến trên $R$
D.

Hàm số nghịch biến trên $R$

Câu 6 :

Tìm dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ của biểu thức $\sqrt[3]{a^{5} \sqrt[4]{a}}$ với a > 0.

A.

$a^{\frac{7}{4}}$
B.

$a^{\frac{1}{4}}$
C.

$a^{\frac{4}{7}}$
D.

$a^{\frac{1}{7}}$

Câu 7 :

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ như hình vẽ bên. Cặp cạnh nào sau đây vuông góc với nhau nhưng không đồng phẳng?

A.

$A B ⊥ A A^{'}$
B.

$A B ⊥ B B^{'}$
C.

$A B ⊥ C C^{'}$
D.

$A B ⊥ A D$

Câu 8 :

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A và $S A ⊥ (A B C)$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

$A B ⊥ (S A C)$
B.

$A B ⊥ (S A C)$
C.

$B C ⊥ (S A B)$
D.

$B C ⊥ (S A C)$

Câu 9 :

Nếu một khối chóp có diện tích đáy là S và có chiều cao là h thì thể tích V của nó được tính theo công thức nào sau đây?

A.

$V = S h$
B.

$V = \frac{1}{3} S h$
C.

$V = \frac{1}{6} S h$
D.

$V = \frac{2}{3} S h$

Câu 10 :

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

$(S A C) ⊥ (S B D)$
B.

$(S A C) ⊥ (S C D)$
C.

$(S A C) ⊥ (S A D)$
D.

$(S A C) ⊥ (S A B)$

Câu 11 :

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a. SA = 2a vuông góc với mặt đáy (ABCD). Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAD) là

A.

$a$
B.

$2 a$
C.

$a \sqrt{3}$
D.

$\frac{a}{3}$

Câu 12 :

Cho hình chóp S.ABCD như hình bên. Có đáy ABCD là hình chữ nhật. SA = SC và SB = SD. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

$S O ⊥ (S A B)$
B.

$O C ⊥ (S B D)$
C.

$S O ⊥ (A B C D)$
D.

$A B ⊥ (S A B)$

Phần II: Câu trắc nghiệm đúng sai.

Thí sinh trả lời từ câu 1, câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 :

Cho bất phương trình $\log_{0, 5} (2 x + 1) \leq \log_{0, 5} (3 x)$ (1).

a) Tập xác định $D = (- \frac{1}{2}; + \infty)$ .

Đúng

Sai

b) Bất phương trình $(1) \Leftrightarrow 2 x + 1 \geq 3 x$ .

Đúng

Sai

c) Tập nghiệm của bất phương trình (1) là S = (0;1].

Đúng

Sai

d) Số $x = \frac{1}{2}$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Đúng

Sai

Câu 2 :

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến $Δ$ như hình vẽ. Lấy một điểm O bất kì thuộc đường thẳng $Δ$ . Gọi m, n là các đường thẳng đi qua O, tương ứng thuôc (P), (Q) và vuông góc với $Δ$ .

a) Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng $Δ$ và m.

Đúng

Sai

b) Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc $\hat{A O B}$ (nếu $\hat{A O B} < 90^{o}$ ) hoặc $180^{o} - \hat{A O B}$ (nếu $90^{o} < \hat{A O B} < 180^{o}$ ).

Đúng

Sai

c) Nếu $\hat{A O B} = 90^{o}$ thì ta nói $(P) ⊥ (Q)$ .

Đúng

Sai

d) Giả sử góc

$\hat{A O B} = 120^{o}$ thì ta nói góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là $120^{o}$ .

Đúng

Sai

Phần III: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.

Câu 1 :

Trong một nghiên cứu, một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các loài động vật và được kiểm tra lại xem họ còn nhớ bao nhiêu phần trăm danh sách đó sau mỗi tháng. Giả sử sau t tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó được tính theo công thức $M (t) = 75 - 20 \ln (t + 1)$ , $0 \leq t \leq 12$ (đơn vị: %). Hãy tính khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó sau 8 tháng (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Đáp án:

Câu 2 :

Cho tam giác MNP vuông tại N và một điểm A nằm ngoài mặt phẳng (MNP)). Lần lượt lấy các điểm B, C, D sao cho M, N, P tương ứng là trung điểm của AB, AC, CD (hình vẽ). Tính góc giữa hai đường thẳng AD và BC.

Đáp án:

Câu 3 :

Trong nông nghiệp bèo hoa dâu được dùng làm phân bón, nó rất tốt cho cây trồng. Mới đây, các nhà khoa học Việt Nam đã phát hiện ra bèo hoa dâu có thể dùng để chiết xuất ra chất có tác dụng kích thích hệ miễn dịch và hỗ trợ điều trị bệnh ung thư. Bèo hoa dâu được thả nuôi trên mặt nước. Một người đã thả một lượng bèo hoa dâu chiếm 4% diện tích mặt hồ. Biết rằng cứ sau đúng một tuần bèo phát triển thành 3 lần số lượng đã có và giả sử tốc độ phát triển của bèo ở mọi thời điểm như nhau. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày bèo sẽ vừa phủ kín mặt hồ?

Đáp án:

Câu 4 :

Một tripod (giá đỡ điện thoại, máy ảnh) được thiết kế và đặt như hình vẽ. Chiều cao của tripod là bao nhiêu?

Đáp án:

Phần IV: Tự luận.

Thí sinh trình bày lời giải từ câu 1 đến câu 3.

Câu 1 :

Khối lượng vi khuẩn của một mẻ nuôi cấy sau t giờ kể từ thời điểm ban đầu được cho bởi công thức $M (t) = 50.1, 06^{t}$ (g). Khối lượng vi khuẩn sau 24 giờ gấp bao nhiêu lần khối lượng vi khuẩn ban đầu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Câu 2 :

Độ pH của một dung dịch được tính theo công thức pH = -logx, trong đó x là nồng độ ion $H^{+}$ của dung dịch đó tính bằng mol/L. Biết rằng độ pH của dung dịch A lớn hơn độ pH của dung dịch B là 0,6. Dung dịch B có nồng độ ion $H^{+}$ gấp bao nhiêu lần nồng độ ion $H^{+}$ của dung dịch A (làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị)?

Câu 3 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 1, AD = $\sqrt{3}$ , tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, khoảng cách giữa AB và SC bằng $\frac{3}{2}$ . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Lời giải và đáp án

Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 :

Với $a \neq 0$ , $b \neq 0$ và m, n là các số nguyên thì

A.

$a^{m} . a^{n} = a^{m - n}$
B.

$a^{m} . a^{n} = a^{m . n}$
C.

$a^{m} . a^{n} = a^{m + n}$
D.

$a^{m} . a^{n} = a^{\frac{m}{n}}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng tính chất lũy thừa.

Lời giải chi tiết :

$a^{m} . a^{n} = a^{m + n}$ .

Câu 2 :

Cho số thực a $(0 a \neq 1)$ và M, N là các số thực dương. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A.

$\log_{a} (M N) = \log_{a} M - \log_{a} N$
B.

$\log_{a} (M N) = \log_{a} M . \log_{a} N$
C.

$\log_{a} (M N) = \log_{a} M - \log_{a} N$
D.

$\log_{a} (M N) = \log_{a} M + \log_{a} N$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng tính chất logarit.

Lời giải chi tiết :

$\log_{a} (M N) = \log_{a} M + \log_{a} N$ .

Câu 3 :

Trong các hàm số sau, hàm số nào sau đây là hàm số mũ?

A.

$y = x^{2}$
B.

$y = 2^{x}$
C.

$y = x^{π}$
D.

$y = \sqrt{x}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Hàm số mũ có dạng $y = a^{x}$ .

Lời giải chi tiết :

$y = 2^{x}$ là hàm số mũ.

Câu 4 :

Bất phương trình $\log_{0, 3} (x - 1) \leq \log_{0, 3} (2 x + 1)$ có tập xác định là

A.

$D = [1; + \infty)$
B.

$D = (- \frac{1}{2}; + \infty)$
C.

$D = (1; + \infty)$
D.

$D = [- \frac{1}{2}; + \infty)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

$y = \log_{a} x$ có tập xác định là $D = (0; + \infty)$ .

Lời giải chi tiết :

ĐKXĐ: ${\begin{cases} x - 1 > 0 \\ 2 x + 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x > 1 \\ x > - \frac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow x > 1$ . Vậy $D = (1; + \infty)$ .

Câu 5 :

Cho hàm số $y = \log_{2} x$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

Hàm số đồng biến trên $(0; + \infty)$
B.

Hàm số nghịch biến trên $(- \infty; 0)$
C.

Hàm số đồng biến trên $R$
D.

Hàm số nghịch biến trên $R$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Hàm số $y = \log_{a} x$ đồng biến trên tập xác định nếu a > 0 và nghịch biến trên tập xác định khi 0 < a < 1.

Lời giải chi tiết :

TXĐ: $D = (0; + \infty)$ .

Vì 2 > 1 nên $y = \log_{2} x$ đồng biến trên TXĐ.

Câu 6 :

Tìm dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ của biểu thức $\sqrt[3]{a^{5} \sqrt[4]{a}}$ với a > 0.

A.

$a^{\frac{7}{4}}$
B.

$a^{\frac{1}{4}}$
C.

$a^{\frac{4}{7}}$
D.

$a^{\frac{1}{7}}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng tính chất của lũy thừa $a^{m} . a^{n} = a^{m + n}$ ; ${(a^{m})}^{n} = a^{m . n}$ ; $\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}$ .

Lời giải chi tiết :

$\sqrt[3]{a^{5} \sqrt[4]{a}} = \sqrt[3]{a^{5} a^{\frac{1}{4}}} = \sqrt[3]{a^{5 + \frac{1}{4}}} = \sqrt[3]{a^{5 + \frac{1}{4}}} = \sqrt[3]{a^{\frac{21}{4}}} = {(a^{\frac{21}{4}})}^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{21}{4} . \frac{1}{3}} = a^{\frac{7}{4}}$ .

Câu 7 :

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ như hình vẽ bên. Cặp cạnh nào sau đây vuông góc với nhau nhưng không đồng phẳng?

A.

$A B ⊥ A A^{'}$
B.

$A B ⊥ B B^{'}$
C.

$A B ⊥ C C^{'}$
D.

$A B ⊥ A D$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Xét từng cặp đường thẳng có cùng thuộc một mặt phẳng không.

Lời giải chi tiết :

AB và AA’ có điểm chung là A nên loại đáp án A.

AB và BB’ có điểm chung là B nên loại đáp án B.

AB và AD có điểm chung là A nên loại đáp án D.

AB và CC’ không có điểm chung và chúng vuông góc với nhau.

Câu 8 :

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A và $S A ⊥ (A B C)$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

$A B ⊥ (S A C)$
B.

$A B ⊥ (S A C)$
C.

$B C ⊥ (S A B)$
D.

$B C ⊥ (S A C)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

Ta có ${\begin{cases} S A ⊥ (A B C) \Rightarrow S A ⊥ A B \\ A C ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow A B ⊥ (S A C)$ .

Câu 9 :

Nếu một khối chóp có diện tích đáy là S và có chiều cao là h thì thể tích V của nó được tính theo công thức nào sau đây?

A.

$V = S h$
B.

$V = \frac{1}{3} S h$
C.

$V = \frac{1}{6} S h$
D.

$V = \frac{2}{3} S h$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính thể tích của khối chóp.

Lời giải chi tiết :

Thể tích khối chóp có diện tích đáy là S và có chiều cao là h là $V = \frac{1}{3} S h$ .

Câu 10 :

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

$(S A C) ⊥ (S B D)$
B.

$(S A C) ⊥ (S C D)$
C.

$(S A C) ⊥ (S A D)$
D.

$(S A C) ⊥ (S A B)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.

Lời giải chi tiết :

S.ABCD là chóp tứ giác đều nên ABCD là hình vuông. Do đó $A C ⊥ B D$ .

Mặt khác, $S O ⊥ A C$ . Ta có ${\begin{cases} S O ⊥ A C \\ B D ⊥ A C \end{cases} \Rightarrow A C ⊥ (S B D) \Rightarrow (S A C) ⊥ (S B D)$ .

Câu 11 :

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a. SA = 2a vuông góc với mặt đáy (ABCD). Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAD) là

A.

$a$
B.

$2 a$
C.

$a \sqrt{3}$
D.

$\frac{a}{3}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tìm hình chiếu vuông góc của B lên (SAD) rồi tính khoảng cách từ B đến hình chiếu đó.

Lời giải chi tiết :

Ta có ${\begin{cases} S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ A B \\ A D ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow A B ⊥ (S A D)$ .

Do đó, A là hình chiếu vuông góc của B lên (SAD).

Khoảng cách từ B đến (SAD) là AB = a.

Câu 12 :

Cho hình chóp S.ABCD như hình bên. Có đáy ABCD là hình chữ nhật. SA = SC và SB = SD. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

$S O ⊥ (S A B)$
B.

$O C ⊥ (S B D)$
C.

$S O ⊥ (A B C D)$
D.

$A B ⊥ (S A B)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

O là tâm hình chữ nhật ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.

Theo giả thiết, các tam giác SAC và SBD cân tại S nên SO vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao của hai tam giác.

Suy ra ${\begin{cases} S O ⊥ A C \\ S O ⊥ B D \end{cases} \Rightarrow S O ⊥ (A B C D)$ .

Phần II: Câu trắc nghiệm đúng sai.

Thí sinh trả lời từ câu 1, câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 :

Cho bất phương trình $\log_{0, 5} (2 x + 1) \leq \log_{0, 5} (3 x)$ (1).

a) Tập xác định $D = (- \frac{1}{2}; + \infty)$ .

Đúng

Sai

b) Bất phương trình $(1) \Leftrightarrow 2 x + 1 \geq 3 x$ .

Đúng

Sai

c) Tập nghiệm của bất phương trình (1) là S = (0;1].

Đúng

Sai

d) Số $x = \frac{1}{2}$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Tập xác định $D = (- \frac{1}{2}; + \infty)$ .

Đúng

Sai

b) Bất phương trình $(1) \Leftrightarrow 2 x + 1 \geq 3 x$ .

Đúng

Sai

c) Tập nghiệm của bất phương trình (1) là S = (0;1].

Đúng

Sai

d) Số $x = \frac{1}{2}$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Với 0 < a < 1, ta có: $\log_{a} x \leq \log_{a} y \Leftrightarrow {\begin{cases} x > 0 \\ y > 0 \\ x \geq y \end{cases}$ .

Lời giải chi tiết :

a) Sai. ĐKXĐ: ${\begin{cases} 2 x + 1 > 0 \\ 3 x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x > - \frac{1}{2} \\ x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow x > 0$ . Vậy tập xác định là $D = (0; + \infty)$ .

b) Sai. $\log_{0, 5} (2 x + 1) \leq \log_{0, 5} (3 x) \Leftrightarrow 2 x + 1 \geq 3 x$ (vì 0 < 0,5 < 1).

c) Đúng. $\log_{0, 5} (2 x + 1) \leq \log_{0, 5} (3 x) \Leftrightarrow 2 x + 1 \geq 3 x \Leftrightarrow x \leq 1$ .

Kết hợp với ĐKXĐ, ta được tập nghiệm là S = (0;1].

d) Đúng. Số $x = \frac{1}{2}$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Câu 2 :

a) Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng $Δ$ và m.

Đúng

Sai

b) Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc $\hat{A O B}$ (nếu $\hat{A O B} < 90^{o}$ ) hoặc $180^{o} - \hat{A O B}$ (nếu $90^{o} < \hat{A O B} < 180^{o}$ ).

Đúng

Sai

c) Nếu $\hat{A O B} = 90^{o}$ thì ta nói $(P) ⊥ (Q)$ .

Đúng

Sai

d) Giả sử góc

$\hat{A O B} = 120^{o}$ thì ta nói góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là $120^{o}$ .

Đúng

Sai

Đáp án

a) Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng $Δ$ và m.

Đúng

Sai

b) Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc $\hat{A O B}$ (nếu $\hat{A O B} < 90^{o}$ ) hoặc $180^{o} - \hat{A O B}$ (nếu $90^{o} < \hat{A O B} < 180^{o}$ ).

Đúng

Sai

c) Nếu $\hat{A O B} = 90^{o}$ thì ta nói $(P) ⊥ (Q)$ .

Đúng

Sai

d) Giả sử góc

$\hat{A O B} = 120^{o}$ thì ta nói góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là $120^{o}$ .

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Áp dụng quy tắc xác định góc giữa hai mặt phẳng. Quy ước góc giữa hai mặt phẳng có số đo từ 0 đến 90 độ.

Lời giải chi tiết :

a) Sai. Ta có ${\begin{cases} (P) \cap (Q) = Δ \\ m ⊥ Δ, m \subset (P) \\ n ⊥ Δ, n \subset (Q) \end{cases} \Rightarrow ((P), (Q)) = (m, n)$ .

b) Đúng. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng m và n, hay góc $\hat{A O B}$ (nếu $\hat{A O B} < 90^{o}$ ) hoặc $180^{o} - \hat{A O B}$ (nếu $90^{o} < \hat{A O B} < 180^{o}$ ).

c) Đúng. Nếu $\hat{A O B} = 90^{o}$ thì ta nói $(P) ⊥ (Q)$ .

d) Sai. Giả sử góc $\hat{A O B} = 120^{o}$ thì ta nói góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là $180^{o} - 120^{o} = 60^{o}$ .

Phần III: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.

Câu 1 :

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Tính M(8) (thay t = 8 vào công thức đề bài cho và tính giá trị).

Lời giải chi tiết :

Khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó sau 8 tháng là $M (8) = 75 - 20 \ln (8 + 1) \approx 31, 1$ %.

Câu 2 :

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Nếu a // c, b // d thì (a,b) = (c,d).

Lời giải chi tiết :

Áp dụng tính chất của đường trung bình trong tam giác, ta có NP // AD, MN // BC.

Vậy $(A D, B C) = (N P, M N) = \hat{M N P} = 90^{o}$ .

Câu 3 :

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Lập công thức tính diện tích bèo theo thời gian, áp dụng kiến thức về hàm số mũ.

Lời giải chi tiết :

Giả sử mặt hồ có diện tích là S. Diện tích bèo hoa dâu thả ban đầu là $4 % . S$

Sau 1 tuần, diện tích bèo hoa dâu là $4 % . S .3$ .

Sau n tuần, diện tích bèo hoa dâu là $4 % . S {.3}^{n}$ .

Để bèo hoa dâu phủ kín mặt hồ, ta có phương trình:

$4 % . A {.3}^{n} = A \Leftrightarrow 3^{n} = 25 \Leftrightarrow n = \log_{3} 25$ (tuần).

Vậy sau ít nhất $7. \log_{3} 25 \approx 21$ ngày, bèo sẽ vừa phủ kín mặt hồ.

Câu 4 :

Một tripod (giá đỡ điện thoại, máy ảnh) được thiết kế và đặt như hình vẽ. Chiều cao của tripod là bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Áp dụng tính chất trọng tâm, định lý Pythagore.

Lời giải chi tiết :

Tripod có dạng khối chóp tam giác đều S.ABC. Khi đó, chiều cao tripod là SG, với G là trọng tâm tam giác ABC.

Đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác đều ABC cạnh 111 cm có độ dài là $111. \frac{\sqrt{3}}{2}$ (cm) nên $A G = \frac{2}{3} .111 . \frac{\sqrt{3}}{2} = 37 \sqrt{3}$ (cm).

Xét tam giác SAG vuông tại G có: $S G = \sqrt{S A^{2} - A G^{2}} = \sqrt{74^{2} - {(37 \sqrt{3})}^{2}} = 37$ (cm).

Phần IV: Tự luận.

Thí sinh trình bày lời giải từ câu 1 đến câu 3.

Câu 1 :

Phương pháp giải :

Tính $\frac{M (24)}{M (0)}$ .

Lời giải chi tiết :

Khối lượng vi khuẩn ở thời điểm ban đầu là $M (0) = 50.1, 06^{0} = 50$ (g).

Khối lượng vi khuẩn sau 24 giờ là $M (24) = 50.1, 06^{24}$ (g).

Khối lượng vi khuẩn sau 24 giờ gấp $\frac{50.1, 06^{24}}{50} \approx 4$ lần khối lượng vi khuẩn ban đầu.

Câu 2 :

Phương pháp giải :

Áp dụng các công thức biến đổi logarit: $\log_{a} b = x \Leftrightarrow b = a^{x}$ ; $\log_{a} \frac{x}{y} = \log_{a} x - \log_{a} y$ .

Lời giải chi tiết :

Gọi độ pH của dung dịch A là $p H_{A}$ , độ pH của dung dịch B là $p H_{B}$ ; nồng độ ion $H^{+}$ của dung dịch A là $x_{A}$ , nồng độ ion $H^{+}$ của dung dịch B là $x_{B}$ .

Theo giả thiết:

$p H_{A} - p H_{B} = 0, 6 \Leftrightarrow - (\log x_{A} - \log x_{B}) = 0, 6 \Leftrightarrow \log x_{B} - \log x_{A} = 0, 6$

$\Leftrightarrow \log \frac{x_{B}}{x_{A}} = 0, 6 \Leftrightarrow \frac{x_{B}}{x_{A}} = 10^{0, 6} \approx 4$ .

Câu 3 :

Phương pháp giải :

Xác định đoạn thẳng thể hiện khoảng cách giữa AB và SC. Từ đó, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tìm chiều cao khối chóp và tính thể tích.

Lời giải chi tiết :

Gọi H, I lần lượt là trung điểm của AB, CD. Kẻ $H K ⊥ S I$ .

SH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến của tam giác cân SAB, suy ra $S H ⊥ A B$ .

Mà $(S A B) ⊥ (A B C D)$ , $(S A B) \cap (A B C D) = A B$ nên $S H ⊥ (A B C D) \Rightarrow S H ⊥ C D$ .

Ta có ${\begin{cases} S H ⊥ C D \\ H I ⊥ C D \end{cases} \Rightarrow C D ⊥ (S H I) \Rightarrow C D ⊥ H K$ .

Mặt khác ${\begin{cases} H K ⊥ S I \\ H K ⊥ C D \end{cases} \Rightarrow H K ⊥ (S C D)$ .

Vì CD // AB nên $d (A B, D C) = d (A B, (S C D)) = d (H, (S C D)) = H K$ .

Ta có $H K = \frac{3}{2}$ , $H I = A D = \sqrt{3}$ .

Xét tam giác vuông SHI vuông tại H có đường cao HK:

$\frac{1}{H K^{2}} = \frac{1}{H S^{2}} + \frac{1}{H I^{2}} \Leftrightarrow \frac{1}{H S^{2}} = \frac{1}{H K^{2}} - \frac{1}{H I^{2}} = \frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2}} - \frac{1}{{(\sqrt{3})}^{2}} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow H S = 3$ .

Thể tích khối chóp là $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S H . S_{A C B D} = \frac{1}{3} . S H . A B . A D = \frac{1}{3} .3 .1 . \sqrt{3} = \sqrt{3} \approx 1, 73$ .