[Đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán] Đề khảo sát chất lượng Toán 12 lần 1 năm 2024 - 2025 trường THPT Triệu Sơn 3 - Thanh Hóa

Trung bình thời gian chơi thể thao trong một ngày của một học sinh là:

\(\overline x  = \frac{{10.5 + 30.9 + 50.12 + 70.10 + 90.6}}{{42}} = \frac{{360}}{7}\).

Phương sai của mẫu số liệu là:

\({S^2} = \frac{{{{10}^2}.5 + {{30}^2}.9 + {{50}^2}.12 + {{70}^2}.10 + {{90}^2}.6}}{{42}} - {\left( {\frac{{360}}{7}} \right)^2} = \frac{{29300}}{{49}} \approx 598\).

\(\int {\left( {\sin x + 4{x^3}} \right)dx}  =  - \cos x + {x^4} + C\).

a) Sai. \(\overrightarrow {AB}  = (2 - 1; - 4 + 3;5 - 3) = (1; - 1;2)\).

b) Đúng. \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{1 + 2 + 3}}{3} = 2\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{ - 3 - 4 - 2}}{3} =  - 3\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \frac{{3 + 5 + 1}}{3} = 3\end{array} \right. \Rightarrow G(2; - 3;3) \Rightarrow a + b + c = 2 - 3 + 3 = 2\).

c) Đúng. Ta có:

\(\overrightarrow {IA}  = (1 - x;3 - y;3 - z)\), \(\overrightarrow {IB}  = (2 - x; - 4 - y;5 - z)\), \(\overrightarrow {IC}  = (3 - x; - 2 - y;1 - z)\).

\(2\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}13 - 6x = 0\\ - 16 - 6y = 0\\14 - 6z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{13}}{6}\\y = \frac{{ - 8}}{3}\\z = \frac{7}{3}\end{array} \right. \Rightarrow 2x + y + z = 4\).

d) Sai. Gọi điểm I thỏa mãn \(2\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \), theo câu c) ta có \(I\left( {\frac{{13}}{6};\frac{{ - 8}}{3};\frac{7}{3}} \right)\).

Ta có: \( - P = 2M{A^2} + M{B^2} + 3M{C^2} = 2{\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + 3{\overrightarrow {MC} ^2}\)

\( = 2{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + 3{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\)

\( = 2\left( {{{\overrightarrow {MI} }^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA}  + {{\overrightarrow {IA} }^2}} \right) + \left( {{{\overrightarrow {MI} }^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB}  + {{\overrightarrow {IB} }^2}} \right) + 3\left( {{{\overrightarrow {MI} }^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IC}  + {{\overrightarrow {IC} }^2}} \right)\)

\( = 2{\overrightarrow {MI} ^2} + 4\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA}  + 2{\overrightarrow {IA} ^2} + {\overrightarrow {MI} ^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB}  + {\overrightarrow {IB} ^2} + 3{\overrightarrow {MI} ^2} + 6\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IC}  + 3{\overrightarrow {IC} ^2}\)

\( = 6{\overrightarrow {MI} ^2} + 2{\overrightarrow {IA} ^2} + {\overrightarrow {IB} ^2} + 3{\overrightarrow {IC} ^2} + 4\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB}  + 6\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IC} \)

\( = 6M{I^2} + 2I{A^2} + I{B^2} + 3I{C^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {2\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC} } \right)\)

\( = 6M{I^2} + 2I{A^2} + I{B^2} + 3I{C^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow 0 \)

\( = 6M{I^2} + 2I{A^2} + I{B^2} + 3I{C^2}\).

Suy ra \(P =  - 6M{I^2} - 2I{A^2} - I{B^2} - 3I{C^2}\).

Do giá trị của \( - 2I{A^2} - I{B^2} - 3I{C^2}\) không đổi nên P đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(M{I^2}\) nhỏ nhất, hay MI nhỏ nhất.

Vì M nằm trên mặt phẳng (Oyz) nên IM nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (Oyz).

Khi đó, \(M\left( {0;\frac{{ - 8}}{3};\frac{7}{3}} \right) \Rightarrow x + y - z =  - 5\).

a) Sai. Hàm số đồng biến trên khoảng (1;2) và nghịch biến trên khoảng (2;5).

b) Đúng. Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 2.

c) Sai. Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) =  - \infty \) nên hệ số a < 0.

d) Đúng. \(2f(x) - e = 0 \Leftrightarrow f(x) = \frac{e}{2}\).

Phương trình 2f(x) – e = 0 luôn có một nghiệm âm khi đồ thị hàm số y = f(x) cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{e}{2}\) tại một điểm có hoành độ âm.

Đồ thị hàm số \(y = \frac{e}{2}\) là đường thẳng song song với trục hoành, được minh họa trên bảng biến thiên như sau:

Ta thấy đường thẳng \(y = \frac{e}{2}\) cắt đồ thị y = f(x) tại một điểm có hoành độ âm nên phương trình 2f(x) – e = 0 có một nghiệm âm.