[Đề thi, đề kiểm tra Toán Lớp 12 Kết nối tri thức] Đề thi giữa kì 1 Toán 12 - Đề số 1
Bài học này tập trung vào đề thi giữa kỳ 1 môn Toán lớp 12, đề số 1. Mục tiêu chính là cung cấp một bộ câu hỏi và bài tập đại diện cho nội dung kiến thức trọng tâm của chương trình Toán 12 học kỳ 1. Qua đó, học sinh có thể tự đánh giá năng lực, chuẩn bị tốt cho kỳ thi giữa kỳ và nắm chắc kiến thức đã học.
2. Kiến thức và kỹ năngBài học sẽ bao quát các nội dung trọng tâm của chương trình Toán 12 học kỳ 1, bao gồm:
Giải tích: Hàm số lượng giác, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân, ứng dụng của đạo hàm và tích phân. Hình học: Phương trình đường thẳng, mặt phẳng, đường tròn, mặt cầu, phương pháp tọa độ trong không gian. Số phức: Các phép toán trên số phức, phương trình bậc hai với hệ số thực.Qua bài học, học sinh sẽ được củng cố và rèn luyện các kỹ năng:
Vận dụng kiến thức:
Áp dụng lý thuyết vào giải quyết các bài toán cụ thể.
Phân tích bài toán:
Phân tích đề bài, xác định yêu cầu và lựa chọn phương pháp giải phù hợp.
Giải quyết vấn đề:
Ứng dụng kiến thức và kỹ năng để giải quyết các bài tập khó.
Trình bày lời giải:
Trình bày lời giải một cách logic, rõ ràng và chính xác.
Bài học sử dụng phương pháp dựa trên câu hỏi và bài tập. Đề thi được chia thành các phần tương ứng với các nội dung kiến thức đã học, từ dễ đến khó. Học sinh sẽ được hướng dẫn cách tiếp cận và giải quyết từng câu hỏi.
4. Ứng dụng thực tếKiến thức trong đề thi này có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:
Đạo hàm:
Ứng dụng trong tính toán tốc độ, gia tốc trong vật lý.
Tích phân:
Ứng dụng trong tính toán diện tích, thể tích trong hình học.
Phương trình đường thẳng, mặt phẳng:
Ứng dụng trong hình học không gian, thiết kế kiến trúc.
Đề thi này là một bài tập tổng hợp kiến thức từ các bài học trước trong chương trình Toán 12 học kỳ 1. Mỗi câu hỏi đều liên kết với các khái niệm, định lý và công thức đã học.
6. Hướng dẫn học tậpĐể học tập hiệu quả, học sinh nên:
Đọc kỹ đề bài: Hiểu rõ yêu cầu của từng câu hỏi. Phân tích bài toán: Phân tích các yếu tố quan trọng của bài toán. Lựa chọn phương pháp giải phù hợp: Chọn phương pháp giải phù hợp với từng loại bài toán. Kiểm tra lại lời giải: Kiểm tra lại kết quả và quá trình giải quyết bài toán. * Làm thêm các bài tập tương tự: Củng cố kiến thức và kỹ năng. Tiêu đề Meta: Đề Thi Giữa Kỳ 1 Toán 12 - Số 1 Mô tả Meta: Đề thi giữa kỳ 1 môn Toán lớp 12 - Đề số 1 bao gồm các câu hỏi trọng tâm về Giải tích, Hình học và Số phức. Đề giúp học sinh tự đánh giá kiến thức và chuẩn bị tốt cho kỳ thi. Keywords:1. Đề thi giữa kỳ 1 Toán 12
2. Đề thi Toán 12
3. Toán 12
4. Giải tích 12
5. Hình học 12
6. Số phức 12
7. Đạo hàm
8. Nguyên hàm
9. Tích phân
10. Phương trình đường thẳng
11. Phương trình mặt phẳng
12. Đường tròn
13. Mặt cầu
14. Hệ tọa độ không gian
15. Phương trình bậc hai
16. Hàm số lượng giác
17. Ứng dụng đạo hàm
18. Ứng dụng tích phân
19. Kiểm tra giữa kỳ
20. Ôn tập Toán 12
21. Học Toán 12
22. Bài tập Toán 12
23. Đề thi mẫu
24. Đáp án đề thi
25. hướng dẫn giải
26. đề số 1
27. học kỳ 1
28. chương trình toán 12
29. bài tập trắc nghiệm
30. bài tập tự luận
31. đề thi chuẩn
32. đề thi minh họa
33. đề thi thử
34. ôn thi
35. ôn tập
36. bài tập ôn tập
37. điểm tin
38. tài liệu học tập
39. học sinh lớp 12
40. giáo trình toán 12
Đề bài
Cho hàm số f(x) liên tục trên R có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
-
A.
\(( - \infty ;0)\)
-
B.
\((0;2)\)
-
C.
\((2; + \infty )\)
-
D.
\(\mathbb{R}\)
-
A.
\(y = {x^3} - 3x + 2\)
-
B.
\(y = - {x^3} - {x^2} + 1\)
-
C.
\(y = {x^2} + x + 1\)
-
D.
\(y = - {x^3} - 3x + 2\)
Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình dưới đây:
Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên [-1;1] là:
-
A.
y = 2
-
B.
y = 1
-
C.
x = 2
-
D.
y = 0
-
A.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = -1, tiệm cận ngang y = 1
-
B.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận ngang y = -1
-
C.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận ngang y = 1
-
D.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = -1, tiệm cận ngang y = -1
Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình dưới đây:
Đường tiệm cận xiên của đồ thị đã cho là đường thẳng:
-
A.
y = x - 4
-
B.
y = x + 4
-
C.
y = 4x
-
D.
y = 4
-
A.
(1;0)
-
B.
(0;-1)
-
C.
(1;1)
-
D.
(-1;1)
Phát biểu nào sau đây là đúng?
-
A.
Với hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) bất kì và số thực \(k\), ta có \(k(\overrightarrow a - \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a - \overrightarrow b \)
-
B.
Với hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) bất kì và số thực \(k\), ta có \(k(\overrightarrow a + \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a - k\overrightarrow b \)
-
C.
Với hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) bất kì và số thực \(k\), ta có \(k(\overrightarrow a - \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a \overrightarrow b \)
-
D.
Với hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) bất kì và số thực \(k\), ta có \(k(\overrightarrow a + \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a + k\overrightarrow b \)
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên R?
-
A.
\(y = \frac{{x - 3}}{{x + 2}}\)
-
B.
\(y = {x^3} - 3x - 5\)
-
C.
\(y = - {x^3} - 2x - 5\)
-
D.
\(y = {x^2} + 4\)
Giá trị lớn nhất của hàm số \({(x - 2)^2}.{e^x}\) trên đoạn \([0;3]\) bằng:
-
A.
0
-
B.
4
-
C.
\(e\)
-
D.
\({e^3}\)
-
A.
\(y = \frac{{x - 2}}{{x - 3}}\)
-
B.
\(y = \frac{{x - 3}}{{x - 2}}\)
-
C.
\(y = \frac{{x - 2}}{{x + 3}}\)
-
D.
\(y = \frac{{3x - 2}}{{x - 1}}\)
-
A.
\(y = - \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + 1\)
-
B.
\(y = - {x^3} - 3{x^2} + 1\)
-
C.
\(y = 2{x^3} - 6{x^2} + 1\)
-
D.
\(y = {x^3} - 3{x^2} + 1\)
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2a. Tích vô hướng \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \) bằng:
-
A.
\({a^2}\)
-
B.
\(2{a^2}\)
-
C.
\(4{a^2}\)
-
D.
\(8{a^2}\)
a) Hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng (0;2) và (2;3)
b) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 5
c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất bằng 3
d) Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận
Cho hàm số \({e^x} - 2x + 3\).
a) Hàm số đã cho nghịch biến trên R
b) Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = ln2
c) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tọa độ (0;4)
d) Đồ thị hàm số đã cho không đi qua gốc tọa độ
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.
a) Các vecto bằng với vecto \(\overrightarrow {AB} \) là \(\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {D'C'} ,\overrightarrow {A'B'} \)
b) Vecto đối của vecto \(\overrightarrow {A'A} \) là \(\overrightarrow {B'B} \)
c) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {A'B'} \)
d) \(\overrightarrow {BB'} - \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {C'A} \)
Cho tứ diện ABCD có BA, BC, BD đôi một vuông góc và BA = BC = BD = 1. Gọi I là trung điểm của AC.
a) \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CA} \)
b) \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BA} = - 1\)
c) \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {CD} = - \frac{1}{2}\)
d) \(\left( {\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {CD} } \right) = {120^o}\)
Giả sử hàm số \({x^3} - 3{x^2} + 4\) đạt cực đại tại x = a và đạt cực tiểu tại x = b. Giá trị của biểu thức a – 2b bằng bao nhiêu?
Đáp án:
Một máy bay đang cất cánh từ phi trường. Với hệ tọa độ Oxyz được thiết lập như hình bên dưới, cho biết M là vị trí của máy bay, OM = 14, \(\widehat {NOB} = {32^o}\), \(\widehat {MOC} = {65^o}\). Khi đó, tọa độ điểm M có dạng (a;b;c), tính a + b + c (làm tròn đến hàng phần chục).
Đáp án:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BB’. Cos của góc hợp bởi MN và AC’ bằng \(\frac{{\sqrt a }}{b}\) với \(a,b \in \mathbb{N}\). Tính \(a + b\).
Đáp án:
Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?
Đáp án:
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) \((a,b,c,d \in \mathbb{R})\) có đồ thị là đường cong như hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các số \(a,b,c,d\)?
Đáp án:
Tìm hai số có hiệu là 13 sao cho tích của chúng bé nhất. Tổng hai số đó bằng bao nhiêu?
Đáp án:
Lời giải và đáp án
Cho hàm số f(x) liên tục trên R có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
-
A.
\(( - \infty ;0)\)
-
B.
\((0;2)\)
-
C.
\((2; + \infty )\)
-
D.
\(\mathbb{R}\)
Đáp án : B
Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.
Quan sát bảng biến thiên thấy y’ < 0 trên khoảng (0;2) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2).
-
A.
\(y = {x^3} - 3x + 2\)
-
B.
\(y = - {x^3} - {x^2} + 1\)
-
C.
\(y = {x^2} + x + 1\)
-
D.
\(y = - {x^3} - 3x + 2\)
Đáp án : A
Quan sát đồ thị và nhận xét.
Đồ thị có hai cực trị nên là hàm số bậc ba. Nhánh cuối của đồ thị đi lên nên a > 0.
Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình dưới đây:
Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên [-1;1] là:
-
A.
y = 2
-
B.
y = 1
-
C.
x = 2
-
D.
y = 0
Đáp án : A
Quan sát đồ thị và nhận xét.
Hàm số đạt giá trị lớn nhất y = 2.
-
A.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = -1, tiệm cận ngang y = 1
-
B.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận ngang y = -1
-
C.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận ngang y = 1
-
D.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = -1, tiệm cận ngang y = -1
Đáp án : C
Quan sát đồ thị và nhận xét.
Quan sát bảng biến thiên thấy đường tiệm cận đứng có hoành độ bằng 1, đường tiệm cận ngang có tung độ bằng 1 nên tiệm cận đứng là x = 1, tiệm cận ngang là y = 1.
Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình dưới đây:
Đường tiệm cận xiên của đồ thị đã cho là đường thẳng:
-
A.
y = x - 4
-
B.
y = x + 4
-
C.
y = 4x
-
D.
y = 4
Đáp án : A
Tìm 2 điểm mà tiệm cận xiên đi qua, từ đó tìm ra phương trình đường tiệm cận xiên.
Quan sát đồ thị thấy điểm A(4;0) và điểm B(0;-4) thuộc đường tiệm cận xiên, suy ra phương trình đường tiệm cận xiên là y = x – 4.
-
A.
(1;0)
-
B.
(0;-1)
-
C.
(1;1)
-
D.
(-1;1)
Đáp án : D
Tìm giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
Quan sát đồ thị thấy giao điểm của hai đường tiệm cận có tọa độ (-1;1) suy ra tâm đối xứng của đồ thị hàm số có tọa độ là (-1;1).
Phát biểu nào sau đây là đúng?
-
A.
Với hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) bất kì và số thực \(k\), ta có \(k(\overrightarrow a - \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a - \overrightarrow b \)
-
B.
Với hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) bất kì và số thực \(k\), ta có \(k(\overrightarrow a + \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a - k\overrightarrow b \)
-
C.
Với hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) bất kì và số thực \(k\), ta có \(k(\overrightarrow a - \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a \overrightarrow b \)
-
D.
Với hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) bất kì và số thực \(k\), ta có \(k(\overrightarrow a + \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a + k\overrightarrow b \)
Đáp án : D
Dựa vào lí thuyết phép cộng (trừ) và phép nhân vecto với một số.
Theo lý thuyết, ta chọn D.
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên R?
-
A.
\(y = \frac{{x - 3}}{{x + 2}}\)
-
B.
\(y = {x^3} - 3x - 5\)
-
C.
\(y = - {x^3} - 2x - 5\)
-
D.
\(y = {x^2} + 4\)
Đáp án : C
Xét tập xác định và y’ của từng hàm số.
Hàm số phải có \(y' < 0\) \(\forall x \in \mathbb{R}\). Chỉ có đáp án C thỏa mãn vì \(y' = - 3{x^2} - 2 < 0\) \(\forall x \in \mathbb{R}\).
Giá trị lớn nhất của hàm số \({(x - 2)^2}.{e^x}\) trên đoạn \([0;3]\) bằng:
-
A.
0
-
B.
4
-
C.
\(e\)
-
D.
\({e^3}\)
Đáp án : D
Lập bảng biến thiên và tìm GTLN.
\(y = {(x - 2)^2}.{e^x}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
\(y' = 2(x - 2).{e^x} + {(x - 2)^2}.{e^x} = (x - 2).{e^x}.[2 + (x - 2)] = x.(x - 2).{e^x}\)
\(y' = 0\) suy ra x = 0 hoặc x = 2.
Ta có bảng biến thiên:
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \({(x - 2)^2}.{e^x}\) trên đoạn \([0;3]\) bằng \({e^3}\).
-
A.
\(y = \frac{{x - 2}}{{x - 3}}\)
-
B.
\(y = \frac{{x - 3}}{{x - 2}}\)
-
C.
\(y = \frac{{x - 2}}{{x + 3}}\)
-
D.
\(y = \frac{{3x - 2}}{{x - 1}}\)
Đáp án : A
Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.
Quan sát bảng biến thiên thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 1\) nên tiệm cận ngang của đồ thị là y = 1, ta loại đáp án D.
Quan sát bảng biến thiên thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} y = - \infty \) nên tiệm cận đứng của đồ thị là x = 3, ta loại đáp án B và C.
-
A.
\(y = - \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + 1\)
-
B.
\(y = - {x^3} - 3{x^2} + 1\)
-
C.
\(y = 2{x^3} - 6{x^2} + 1\)
-
D.
\(y = {x^3} - 3{x^2} + 1\)
Đáp án : D
Ta sử dụng cách xác định đồ thị hàm số bậc ba.
Từ hình vẽ tìm một số điểm thuộc đồ thuh hàm số rồi thay tọa độ vào từng đáp án để loại trừ.
Từ hình vẽ ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = - \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty \) nên loại A, B.
Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (2;-3) nên thay x = 2; y = -3 vào hai hàm số C, D chỉ thấy hàm số D thỏa mãn.
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2a. Tích vô hướng \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \) bằng:
-
A.
\({a^2}\)
-
B.
\(2{a^2}\)
-
C.
\(4{a^2}\)
-
D.
\(8{a^2}\)
Đáp án : B
Áp dụng công thức tính tích vô hướng của hai vecto trong không gian.
\(\cos \left( {\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} \Leftrightarrow \cos {60^o} = \frac{{\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} }}{{2a.2a}} \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = 4{a^2}.\cos {60^o} = 2{a^2}.\)
a) Hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng (0;2) và (2;3)
b) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 5
c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất bằng 3
d) Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận
a) Hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng (0;2) và (2;3)
b) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 5
c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất bằng 3
d) Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận
Quan sát đồ bảng biến thiên và nhận xét.
a) Sai. Hàm số f(x) nghịch biên trên (0;2) và đồng biến (2;3).
b) Sai. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 3 (x = 0, x = 2, x = 3).
c) Đúng. Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất bằng 3.
d) Đúng. Đồ thị hàm số liên tục trên và không có tiệm cận.
Cho hàm số \({e^x} - 2x + 3\).
a) Hàm số đã cho nghịch biến trên R
b) Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = ln2
c) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tọa độ (0;4)
d) Đồ thị hàm số đã cho không đi qua gốc tọa độ
a) Hàm số đã cho nghịch biến trên R
b) Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = ln2
c) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tọa độ (0;4)
d) Đồ thị hàm số đã cho không đi qua gốc tọa độ
Lập bảng biến thiên và nhận xét.
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
\(y' = {e^x} - 2\).
Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow {e^x} - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \ln 2\).
Ta có bảng biến thiên:
a) Sai. Hàm số f(x) nghịch biên trên \(( - \infty ;\ln 2)\) và đồng biến trên \((\ln 2; + \infty )\).
b) Đúng. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = ln2.
c) Đúng. Vì khi x = 0 thì y = 4, đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0;4).
d) Đúng. Vì gốc tọa độ O(0;0) thay vào hàm số thấy không thỏa mãn.
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.
a) Các vecto bằng với vecto \(\overrightarrow {AB} \) là \(\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {D'C'} ,\overrightarrow {A'B'} \)
b) Vecto đối của vecto \(\overrightarrow {A'A} \) là \(\overrightarrow {B'B} \)
c) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {A'B'} \)
d) \(\overrightarrow {BB'} - \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {C'A} \)
a) Các vecto bằng với vecto \(\overrightarrow {AB} \) là \(\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {D'C'} ,\overrightarrow {A'B'} \)
b) Vecto đối của vecto \(\overrightarrow {A'A} \) là \(\overrightarrow {B'B} \)
c) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {A'B'} \)
d) \(\overrightarrow {BB'} - \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {C'A} \)
Sử dụng các quy tắc cộng, trừ vecto và lý thuyết các vecto bằng nhau, các vecto đối nhau.
a) Đúng. Các vecto bằng với vecto \(\overrightarrow {AB} \) là \(\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {D'C'} ,\overrightarrow {A'B'} \) vì chúng cùng phương, cùng chiều và cùng độ dài.
b) Sai. Hai vecto \(\overrightarrow {A'A} \),\(\overrightarrow {B'B} \) cùng chiều nên không phải vecto đối nhau.
c) Đúng. Vì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {A'B'} \).
d) Sai. Vì \(\overrightarrow {BB'} - \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {CC'} - \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AC'} \).
Cho tứ diện ABCD có BA, BC, BD đôi một vuông góc và BA = BC = BD = 1. Gọi I là trung điểm của AC.
a) \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CA} \)
b) \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BA} = - 1\)
c) \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {CD} = - \frac{1}{2}\)
d) \(\left( {\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {CD} } \right) = {120^o}\)
a) \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CA} \)
b) \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BA} = - 1\)
c) \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {CD} = - \frac{1}{2}\)
d) \(\left( {\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {CD} } \right) = {120^o}\)
Sử dụng các quy tắc cộng, trừ vecto và lý thuyết các vecto bằng nhau, các vecto đối nhau, góc giữa hai vecto.
a) Đúng. Vì \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CA} \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BC} \) (luôn đúng)
b) Sai. Vì các vecto \(\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} \) đôi một vuông góc với nhau nên tích vô hướng của chúng bằng 1.
c) Đúng. Gọi M là trung điểm của AD, ta có \(IM = BM = BI = \frac{{DC}}{2}\) nên tam giác BMI đều.
Suy ra \(\widehat {MIB} = {60^o} = \left( {\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow {IB} } \right) = \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {IB} } \right) \Rightarrow \cos {60^o} = \cos \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {IB} } \right)\)
\( \Rightarrow - \cos {60^o} = \cos \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {BI} } \right) \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {BI} } \right) = \frac{{ - 1}}{2}\).\(\)
d) Đúng. Vì \(\cos \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {BI} } \right) = \frac{{ - 1}}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {CD} .\overrightarrow {BI} } \right) = {120^o}\).
Giả sử hàm số \({x^3} - 3{x^2} + 4\) đạt cực đại tại x = a và đạt cực tiểu tại x = b. Giá trị của biểu thức a – 2b bằng bao nhiêu?
Đáp án:
Đáp án:
- Tính y’, tìm các nghiệm của y’ = 0
- Lập bảng biến thiên, tìm điểm cực đại, cực tiểu của hàm số
\(y' = 3{x^2} - 6x\).
\(y' = 0\) khi x = 0 hoặc x = 2.
Ta có bảng biến thiên:
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0, đạt cực tiểu tại x = 2.
\( \Rightarrow a = 0,b = 2 \Rightarrow a - 2b = 0 - 2.2 = - 4\).
Một máy bay đang cất cánh từ phi trường. Với hệ tọa độ Oxyz được thiết lập như hình bên dưới, cho biết M là vị trí của máy bay, OM = 14, \(\widehat {NOB} = {32^o}\), \(\widehat {MOC} = {65^o}\). Khi đó, tọa độ điểm M có dạng (a;b;c), tính a + b + c (làm tròn đến hàng phần chục).
Đáp án:
Đáp án:
Điểm M có hoành độ bằng OA, tung độ bằng OB và cao độ bằng OC.
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để tính OA, OB, OC.
Ta có:
\(c = OC = OM.\cos {65^o} = 14.\cos {65^o}\).
\(b = OB = ON.\cos {32^o} = OM.\sin {65^o}.\cos {32^o} = 14.\sin {65^o}.\cos {32^o}\).
\(a = OA = ON.\cos ({90^o} - {32^o}) = OM\sin {65^o}.\cos {58^o} = 14.\sin {65^o}.\cos {58^o}\).
Vậy \(a + b + c \approx 23,4\).
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BB’. Cos của góc hợp bởi MN và AC’ bằng \(\frac{{\sqrt a }}{b}\) với \(a,b \in \mathbb{N}\). Tính \(a + b\).
Đáp án:
Đáp án:
Sử dụng phương pháp tọa độ hóa.
Gọi độ dài cạnh hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ là x.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho \(O \equiv A,B \in Ox,D \in Oy,A' \in Oz\).
Khi đó, tọa độ các đỉnh là: \(A(0;0;0),B(a;0;0),D(0;x;0),A'(0;0;x),B'(x;0;x),C(x,x,x)\).
M là trung điểm của AD suy ra \(M\left( {0;\frac{x}{2};0} \right)\).
N là trung điểm của BB’ suy ra \(N\left( {x;0;\frac{x}{2}} \right)\).
Do đó, \(\overrightarrow {MN} = \left( {x; - \frac{x}{2};\frac{x}{2}} \right)\) và \(\overrightarrow {AC'} = \left( {x;x;x} \right)\).
Ta có: \(\cos \left( {MN,AC'} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {AC'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {AC'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC'} } \right|}} = \frac{{{x^2}}}{{x\sqrt 3 .x.\frac{{\sqrt 6 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\).
\( \Rightarrow a = 2,b = 3 \Rightarrow a + b = 2 + 3 = 5\).
Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?
Đáp án:
Đáp án:
Tìm sản lượng thu hoạch theo số cá trên một đơn vị diện tích, lập bảng biến thiên cho hàm số đó rồi tìm giá trị lớn nhất.
Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì sau một vụ, số cá trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ trung bình nặng \(f(n) = nP(n) = 480n - 20{n^2}\) (gam).
Xét hàm số \(f(x) = 480x - 20{x^2};x \in (0; + \infty )\).
Ta có: \(f'(x) = 480 - 40x = 0 \Leftrightarrow x = 12.\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, hàm f đạt giá trị lớn nhất tại x = 12. Từ đó, f(n) đạt giá trị lớn nhất tại n = 12.
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) \((a,b,c,d \in \mathbb{R})\) có đồ thị là đường cong như hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các số \(a,b,c,d\)?
Đáp án:
Đáp án:
Quan sát đồ thị và nhận xét.
Quan sát đồ thị, thấy: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \) suy ra \(a < 0\).
Gọi \({x_1},{x_2}\) lần lượt là hai điểm cực trị của hàm số đã cho \(({x_1} < {x_2})\).
Quan sát đồ thị, thấy \({x_1} + {x_2} > 0\) nên \(ab < 0\). Mà a < 0 suy ra b > 0.
Quan sát đồ thị, thấy \({x_1}.{x_2} > 0\) nên \(ac > 0\). Mà a < 0 suy ra c < 0.
Đồ thị hàm số giao trục tung tại điểm có tung độ \(d\) nằm phía trên trục hoành suy ra \(d > 0\).
Vậy, trong các số \(a,b,c,d\) có hai số \(b,d\) dương.
Tìm hai số có hiệu là 13 sao cho tích của chúng bé nhất. Tổng hai số đó bằng bao nhiêu?
Đáp án:
Đáp án:
Ứng dụng đạo hàm và sử dụng bảng biến thiên.
Gọi một trong hai số phải tim là x, số kia là x + 13.
Xét tích \(P(x) = x(13 + x)\).
Ta có \(P'(x) = 2x + 13 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 13}}{2}\).
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta có \(\min P(x) = P\left( {\frac{{ - 13}}{2}} \right) = \frac{{ - 169}}{4}\). Vậy tích hai số bé nhất khi một số là \(\frac{{ - 13}}{2}\) và số kia là \(\frac{{13}}{2}\). Tổng của chúng bằng 0.
Giải bài tập những môn khác
Môn Ngữ văn Lớp 12
Môn Toán học Lớp 12
Môn Vật lí Lớp 12
Môn Sinh học Lớp 12
Môn Hóa học Lớp 12
Môn Lịch sử Lớp 12
Môn Tiếng Anh Lớp 12
Lời giải và bài tập Lớp 12 đang được quan tâm
