[Đề thi, đề kiểm tra Toán Lớp 12 Chân trời sáng tạo] Đề thi giữa kì 2 Toán 12 Chân trời sáng tạo - Đề số 3
Bài học: Đề Thi Giữa Kì 2 Toán 12 Chân trời sáng tạo - Đề số 3
1. Tổng quan về bài họcBài học này tập trung vào việc cung cấp một đề thi giữa kì 2 môn Toán lớp 12 theo chương trình Chân trời sáng tạo, đề số 3. Mục tiêu chính là giúp học sinh ôn tập lại kiến thức và kỹ năng đã học trong học kì 2, chuẩn bị cho kỳ thi giữa kì. Đề thi được thiết kế với nhiều dạng bài tập khác nhau, từ cơ bản đến nâng cao, giúp học sinh có cái nhìn tổng quan về chương trình học và khả năng vận dụng kiến thức của mình.
2. Kiến thức và kỹ năngHọc sinh sẽ được ôn tập và củng cố các kiến thức và kỹ năng sau:
Giải tích: Đạo hàm, tích phân, ứng dụng của đạo hàm và tích phân, hàm số mũ, hàm số logarit. Hình học: Phương trình đường thẳng, mặt phẳng, đường tròn, mặt cầu, phương trình đường cong trong không gian, quan hệ giữa các hình học. Giải bài toán thực tế: Vận dụng kiến thức giải các bài toán thực tế liên quan đến các chủ đề trên. Kỹ năng tư duy: Phân tích, tổng hợp, vận dụng và giải quyết các vấn đề phức tạp. Kỹ năng làm bài thi: Làm quen với cấu trúc đề thi, quản lý thời gian, trình bày bài làm rõ ràng, chính xác. 3. Phương pháp tiếp cậnBài học được tiếp cận theo phương pháp ôn tập tổng hợp, bao gồm:
Phân tích đề thi:
Phân tích chi tiết cấu trúc đề, các dạng bài tập và mức độ khó.
Giải chi tiết các câu hỏi:
Đưa ra hướng dẫn giải chi tiết từng câu hỏi trong đề thi, bao gồm các bước giải, công thức và phương pháp cần thiết.
Thảo luận nhóm:
Học sinh có thể thảo luận nhóm để cùng nhau tìm ra lời giải.
Thử làm bài tập:
Học sinh được khuyến khích tự làm các bài tập tương tự để củng cố kiến thức.
Hỏi đáp trực tiếp:
Học sinh có thể đặt câu hỏi cho giáo viên hoặc bạn bè để được giải đáp.
Kiến thức và kỹ năng được học trong bài học này có thể được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực thực tế như:
Kỹ thuật: Ứng dụng trong thiết kế, tính toán kết cấu công trình. Kinh tế: Phân tích thị trường, dự báo xu hướng. Khoa học: Mô hình hóa và giải quyết các vấn đề khoa học. Học tập tiếp theo: Chuẩn bị cho các kì thi và học tập chuyên sâu về Toán học. 5. Kết nối với chương trình họcBài học này là một phần quan trọng trong chương trình học kì 2 Toán 12. Nó giúp học sinh tổng hợp kiến thức từ các bài học trước đó và chuẩn bị cho kỳ thi giữa kì. Bài học này kết nối trực tiếp với các bài học về giải tích và hình học không gian, đồng thời củng cố kiến thức về ứng dụng của toán học.
6. Hướng dẫn học tậpĐể học tập hiệu quả, học sinh nên:
Xem kỹ đề thi: Đọc kĩ tất cả các câu hỏi và yêu cầu. Phân tích từng câu: Phân tích từng câu hỏi để hiểu rõ yêu cầu và áp dụng kiến thức phù hợp. Tìm hiểu các dạng bài: Tìm hiểu các dạng bài tập tương tự để làm quen với phương pháp giải. Luyện tập thường xuyên: Luân tập giải bài tập để củng cố và nâng cao kỹ năng. * Làm việc nhóm: Học sinh có thể thảo luận với bạn bè để cùng nhau giải quyết các vấn đề khó khăn. Tiêu đề Meta: Đề Thi Giữa Kì 2 Toán 12 - Chân trời sáng tạo - Đề số 3 Mô tả Meta: Tải ngay đề thi giữa kì 2 Toán 12 Chân trời sáng tạo - Đề số 3, bao gồm các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Ứng dụng giải tích và hình học, hướng dẫn chi tiết từng câu hỏi, giúp bạn ôn tập hiệu quả và đạt điểm cao trong kỳ thi. Keywords (40 từ khóa):Đề thi, đề kiểm tra, Toán 12, Chân trời sáng tạo, giữa kì 2, giải tích, hình học, đạo hàm, tích phân, hàm số mũ, hàm số logarit, đường thẳng, mặt phẳng, đường tròn, mặt cầu, bài tập, hướng dẫn giải, ôn tập, kiểm tra, thi giữa kì, kỳ thi, điểm số, học tập, chuẩn bị thi, toán học lớp 12, Chân trời sáng tạo Toán 12, đề số 3, ôn thi, phương pháp giải, kỹ năng làm bài, bài tập thực tế, ứng dụng toán học, học kì 2, đề thi mẫu, tài liệu học tập, tài liệu ôn thi, phương pháp học tập, học sinh lớp 12, kiến thức tổng hợp, kỹ năng giải quyết vấn đề, làm bài thi hiệu quả.
Đề bài
Họ các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 5{x^4} - 6{x^2} + 1\) là
-
A.
\(20{x^3} - 12x + C\)
-
B.
\({x^5} - 2{x^3} + x + C\)
-
C.
\(20{x^5} - 12{x^3} + x + C\)
-
D.
\(\frac{{{x^4}}}{4} + 2{x^2} - 2x + C\)
Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K nếu
-
A.
F’(x) = -f(x), \(\forall x \in K\)
-
B.
f’(x) = F(x), \(\forall x \in K\)
-
C.
F’(x) = f(x), \(\forall x \in K\)
-
D.
f’(x) = -F(x), \(\forall x \in K\)
Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{3\sqrt[3]{{{x^2}}}}} + \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{3}{2}\sqrt x \) là
-
A.
\(3\sqrt[3]{x} + 2\sqrt x + x\sqrt x + C\)
-
B.
\(\frac{{\sqrt[3]{x}}}{9} + 2\sqrt x + \frac{{9x\sqrt x }}{4} + C\)
-
C.
\(\sqrt[3]{x} + 2\sqrt x + x\sqrt x + C\)
-
D.
\(\sqrt[3]{x} + \sqrt x + x\sqrt x + C\)
Acetic acid tác dụng với muối sodium hydrocarbonate thu được khí
-
A.
hydrogen
-
B.
carbon dioxide
-
C.
ammonia
-
D.
sulfur dioxide
Tính \(\int\limits_{ - 1}^3 {{x^2}dx} \) được kết quả là
-
A.
\(\frac{{28}}{3}\)
-
B.
\(\frac{{26}}{3}\)
-
C.
\(\frac{{25}}{3}\)
-
D.
\(\frac{{29}}{3}\)
Cho \(I = \int\limits_{ - 1}^3 {\left| {2x - 4} \right|dx} \). Chọn khẳng định đúng.
-
A.
\(I = \left| {\int\limits_{ - 1}^3 {\left( {2x - 4} \right)dx} } \right|\)
-
B.
\(I = - \int\limits_{ - 1}^2 {\left( {2x - 4} \right)dx} + \int\limits_2^3 {\left( {2x - 4} \right)dx} \)
-
C.
\(I = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( {2x - 4} \right)dx} + \int\limits_2^3 {\left( {2x - 4} \right)dx} \)
-
D.
\(I = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( {2x - 4} \right)dx} - \int\limits_2^3 {\left( {2x - 4} \right)dx} \)
Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) vuông góc với giá của \(\overrightarrow a = ( - 4;2;6)\). Vecto nào dưới đây là một vecto pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\)?
-
A.
\(\overrightarrow {{n_1}} = (2;1;3)\)
-
B.
\(\overrightarrow {{n_2}} = ( - 2;1;3)\)
-
C.
\(\overrightarrow {{n_3}} = (4; - 2;6)\)
-
D.
\(\overrightarrow {{n_4}} = (4;2; - 6)\)
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) và B(1;-4;1). Mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng AB có phương trình là
-
A.
\( - 6y - 2z - 18 = 0\)
-
B.
\(3y + z + 1 = 0\)
-
C.
\( - 6y - 2z - 22 = 0\)
-
D.
\(3y + z - 9 = 0\)
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y – 3z – 4 = 0. Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng (P)?
-
A.
A(0;4;0)
-
B.
B(1;-6;-3)
-
C.
C(2;2;0)
-
D.
D(2;2;1)
Trong không gian Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm M(1;1;1) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = (1;2;3)\) có phương trình là
-
A.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + 2t\\z = 1 - 3t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\)
-
B.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 1 + 2t\\z = 1 + t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\)
-
C.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + 3t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\)
-
D.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + 2t\\z = 1 + 3t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\)
Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M(1;4;-7) đến (P): 2x – y + 2z + 7 = 0 làs
-
A.
3
-
B.
5
-
C.
7
-
D.
12
Góc giữa hai mặt phẳng (P): x + 2y + z – 1 = 0 và (Q): -x + y + 2z + 2 = 0 bằng
-
A.
\({30^o}\)
-
B.
\({45^o}\)
-
C.
\({60^o}\)
-
D.
\({90^o}\)
Cho hàm số \(f(x) = {x^2} - 4x\).
a) Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và Ox là nghiệm của phương trình f(x) = 0.
b) \({x^2} - 4x \ge 0\), \(\forall x \in [0;4]\).
c) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và Ox được tính theo công thức \(\int\limits_4^0 {\left| {{x^2} - 4x} \right|dx} \).
d) Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và Ox có diện tích là 32.
Đặt một quả bóng ở góc nhà, biết trên quả bóng có một điểm M cách hai bức tường 5 cm và cách sàn nhà 6 cm. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho góc nhà là góc phần tư thứ nhất và sàn nhà là mặt phẳng Oxy.
a) M(5;5;6).
b) Mặt phẳng chứa hai bức tường có phương trình lần lượt là y = 0 và x = 0.
c) Chỉ có một quả bóng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
d) Bán kính của quả bóng thuộc (5;11) cm).
Một ô tô đang chạy với vận tốc 18 m/s thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = -36t + 18 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
Đáp án:
Mặt cắt đứng của một cái cổng có dạng một đường parabol với chiều cao OH = 4 m và khoảng cách giữa hai chân cổng là AB = 4 m (hình bên). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường parabol và đoạn thẳng AB bằng bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Đáp án:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;4;1); B(−1;1;3) và mặt phẳng (P): x – 3y + 2z – 5 = 0. Một mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) có dạng ax + by + cz – 11 = 0. Tính a + b + c.
Đáp án:
Một phần thiết kế của một công trình đang xây dựng có dạng như hình bên, trong đó ABCD là hình vuông cạnh 6 m, AM, BN, DP cùng vuông góc với (ABCD), AM = 4 m, BN = 3 m và DP = 2 m. Góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (MNP) là \({n^o}\) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ, n là số nguyên dương). Giá trị của n là bao nhiêu?
Đáp án:
Lời giải và đáp án
Họ các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 5{x^4} - 6{x^2} + 1\) là
-
A.
\(20{x^3} - 12x + C\)
-
B.
\({x^5} - 2{x^3} + x + C\)
-
C.
\(20{x^5} - 12{x^3} + x + C\)
-
D.
\(\frac{{{x^4}}}{4} + 2{x^2} - 2x + C\)
Đáp án : B
Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa: \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).
\(\int {\left( {5{x^4} - 6{x^2} + 1} \right)dx} = 5.\frac{{{x^5}}}{5} - 6.\frac{{{x^3}}}{3} + x + C = {x^5} - 2{x^3} + x + C\).
Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K nếu
-
A.
F’(x) = -f(x), \(\forall x \in K\)
-
B.
f’(x) = F(x), \(\forall x \in K\)
-
C.
F’(x) = f(x), \(\forall x \in K\)
-
D.
f’(x) = -F(x), \(\forall x \in K\)
Đáp án : C
Áp dụng định nghĩa nguyên hàm.
Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K nếu F’(x) = f(x), \(\forall x \in K\).
Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{3\sqrt[3]{{{x^2}}}}} + \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{3}{2}\sqrt x \) là
-
A.
\(3\sqrt[3]{x} + 2\sqrt x + x\sqrt x + C\)
-
B.
\(\frac{{\sqrt[3]{x}}}{9} + 2\sqrt x + \frac{{9x\sqrt x }}{4} + C\)
-
C.
\(\sqrt[3]{x} + 2\sqrt x + x\sqrt x + C\)
-
D.
\(\sqrt[3]{x} + \sqrt x + x\sqrt x + C\)
Đáp án : C
Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa: \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).
\(f(x) = \frac{1}{{3\sqrt[3]{{{x^2}}}}} + \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{3}{2}\sqrt x = \frac{1}{3}{x^{ - \frac{2}{3}}} + {x^{ - \frac{1}{2}}} + \frac{3}{2}{x^{ - \frac{1}{2}}}\).
\(\int {f(x)dx} = \int {\left( {\frac{1}{3}{x^{ - \frac{2}{3}}} + {x^{ - \frac{1}{2}}} + \frac{3}{2}{x^{\frac{1}{2}}}} \right)dx} = \frac{1}{3}.3{x^{\frac{1}{3}}} + 2{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2}.\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + C = \sqrt[3]{x} + 2\sqrt x + {\left( {{x^{\frac{1}{2}}}} \right)^3} + C\)
\( = \sqrt[3]{x} + 2\sqrt x + {\left( {\sqrt x } \right)^3} + C = \sqrt[3]{x} + 2\sqrt x + x\sqrt x + C\).
Acetic acid tác dụng với muối sodium hydrocarbonate thu được khí
-
A.
hydrogen
-
B.
carbon dioxide
-
C.
ammonia
-
D.
sulfur dioxide
Đáp án : B
Dựa vào tính chất hóa học của acetic acid.
Acetic acid tác dụng với muối sodium hydrocarbonate thu được khí carbon dioxide.
Đáp án B
Tính \(\int\limits_{ - 1}^3 {{x^2}dx} \) được kết quả là
-
A.
\(\frac{{28}}{3}\)
-
B.
\(\frac{{26}}{3}\)
-
C.
\(\frac{{25}}{3}\)
-
D.
\(\frac{{29}}{3}\)
Đáp án : A
Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).
Áp dụng định nghĩa tích phân \(\int\limits_a^b {f(x)dx} = F(x)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^b}\\{_a}\end{array}} \right. = F(b) - F(a)\).
\(\int\limits_{ - 1}^3 {{x^2}dx} = \frac{{{x^3}}}{3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^3}\\{_{ - 1}}\end{array}} \right. = \frac{{{3^3}}}{3} - \frac{{{{( - 1)}^3}}}{3} = 9 + \frac{1}{3} = \frac{{28}}{3}\).
Cho \(I = \int\limits_{ - 1}^3 {\left| {2x - 4} \right|dx} \). Chọn khẳng định đúng.
-
A.
\(I = \left| {\int\limits_{ - 1}^3 {\left( {2x - 4} \right)dx} } \right|\)
-
B.
\(I = - \int\limits_{ - 1}^2 {\left( {2x - 4} \right)dx} + \int\limits_2^3 {\left( {2x - 4} \right)dx} \)
-
C.
\(I = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( {2x - 4} \right)dx} + \int\limits_2^3 {\left( {2x - 4} \right)dx} \)
-
D.
\(I = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( {2x - 4} \right)dx} - \int\limits_2^3 {\left( {2x - 4} \right)dx} \)
Đáp án : B
Khi f(x) < 0 thì |f(x)| = -f(x).
Khi f(x) > 0 thì |f(x)| = f(x).
\(2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2\).
Khi \(x < 2 \Leftrightarrow 2x - 4 < 0 \Rightarrow \left| {2x - 4} \right| = - (2x - 4)\).
Khi \(x > 2 \Leftrightarrow 2x - 4 > 0 \Rightarrow \left| {2x - 4} \right| = 2x - 4\).
\(I = \int\limits_{ - 1}^3 {\left| {2x - 4} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {2x - 4} \right|dx} + \int\limits_2^3 {\left| {2x - 4} \right|dx} = - \int\limits_{ - 1}^2 {\left( {2x - 4} \right)dx} + \int\limits_2^3 {\left( {2x - 4} \right)dx} \).
Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) vuông góc với giá của \(\overrightarrow a = ( - 4;2;6)\). Vecto nào dưới đây là một vecto pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\)?
-
A.
\(\overrightarrow {{n_1}} = (2;1;3)\)
-
B.
\(\overrightarrow {{n_2}} = ( - 2;1;3)\)
-
C.
\(\overrightarrow {{n_3}} = (4; - 2;6)\)
-
D.
\(\overrightarrow {{n_4}} = (4;2; - 6)\)
Đáp án : B
Áp dụng điều kiện để hai vecto cùng phương: \(\overrightarrow a = k\overrightarrow b \).
Vecto pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) cùng phương với \(\overrightarrow a = ( - 4;2;6)\).
Mà \(\overrightarrow {{n_2}} = ( - 2;1;3) = \frac{1}{2}\overrightarrow a \) nên \(\overrightarrow {{n_2}} = ( - 2;1;3)\) là một vecto pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\).
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) và B(1;-4;1). Mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng AB có phương trình là
-
A.
\( - 6y - 2z - 18 = 0\)
-
B.
\(3y + z + 1 = 0\)
-
C.
\( - 6y - 2z - 22 = 0\)
-
D.
\(3y + z - 9 = 0\)
Đáp án : D
Mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng AB nhận \(\overrightarrow {AB} \) làm vecto pháp tuyến.
Mặt phẳng qua A(1;2;3) và vuông góc với đường thẳng AB nhận \(\overrightarrow {AB} = (1 - 1; - 4 - 2;1 - 3) = (0; - 6; - 2)\) làm vecto pháp tuyến có phương trình là:
\(0(x - 1) - 6(y - 2) - 2(z - 3) = 0 \Leftrightarrow - 6y - 2z + 18 = 0 \Leftrightarrow 3y + z - 9 = 0\).
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y – 3z – 4 = 0. Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng (P)?
-
A.
A(0;4;0)
-
B.
B(1;-6;-3)
-
C.
C(2;2;0)
-
D.
D(2;2;1)
Đáp án : A
Thay tọa độ các điểm vào phương trình, nếu thỏa mãn thì điểm đó thuộc mặt phẳng.
Thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng, thấy chỉ có tọa độ điểm A(0;4;0) thỏa mãn phương trình mặt phẳng, do: 1.0 + 1.4 – 3.0 – 4 = 0.
Vậy A(0;4;0) thuộc (P).
Trong không gian Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm M(1;1;1) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = (1;2;3)\) có phương trình là
-
A.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + 2t\\z = 1 - 3t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\)
-
B.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 1 + 2t\\z = 1 + t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\)
-
C.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + 3t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\)
-
D.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + 2t\\z = 1 + 3t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\)
Đáp án : C
Đường thẳng đi qua điểm \(M({x_0};{y_0};{z_0})\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = (a;b;c)\) có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).
d đi qua điểm M(1;1;1) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = (1;2;3)\) có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + 2t\\z = 1 + 3t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).
Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm M(1;4;-7) đến (P): 2x – y + 2z + 7 = 0 làs
-
A.
3
-
B.
5
-
C.
7
-
D.
12
Đáp án : A
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
\(d\left( {M,(P)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - 1.4 + 2.( - 7) + 7} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {2^2}} }} = \frac{9}{3} = 3\).
Góc giữa hai mặt phẳng (P): x + 2y + z – 1 = 0 và (Q): -x + y + 2z + 2 = 0 bằng
-
A.
\({30^o}\)
-
B.
\({45^o}\)
-
C.
\({60^o}\)
-
D.
\({90^o}\)
Đáp án : C
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là \(\vec n{\rm{\;}} = \left( {A;B;C} \right),\vec n'{\rm{\;}} = \left( {A';B';C'} \right)\). Khi đó, góc giữa (P) và (Q), kí hiệu là ((P), (Q)) được tính theo công thức:
\(\cos \left( {(P),(Q)} \right) = \frac{{\left| {AA' + BB' + CC'} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} .\sqrt {A{'^2} + B{'^2} + C{'^2}} }}\).
\(\cos \left( {(P),(Q)} \right) = \frac{{\left| {1.( - 1) + 2.1 + 1.2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {(P),(Q)} \right) = {60^o}\).
Cho hàm số \(f(x) = {x^2} - 4x\).
a) Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và Ox là nghiệm của phương trình f(x) = 0.
b) \({x^2} - 4x \ge 0\), \(\forall x \in [0;4]\).
c) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và Ox được tính theo công thức \(\int\limits_4^0 {\left| {{x^2} - 4x} \right|dx} \).
d) Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và Ox có diện tích là 32.
a) Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và Ox là nghiệm của phương trình f(x) = 0.
b) \({x^2} - 4x \ge 0\), \(\forall x \in [0;4]\).
c) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và Ox được tính theo công thức \(\int\limits_4^0 {\left| {{x^2} - 4x} \right|dx} \).
d) Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và Ox có diện tích là 32.
a) Hoành độ giao điểm của đồ thị y = f(x) với đồ thị y = g(x) là nghiệm của phương trình f(x) = g(x).
b) Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.
c, d) Áp dụng công thức tính diện tích của hình phẳng \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \).
a) Đúng. Trục Ox có phương trình y = 0 nên hoành độ giao điểm của đồ thị y = f(x) với trục hoành là nghiệm của phương trình y = f(x).
b) Sai. \({x^2} - 4x \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le 0\\x \ge 4\end{array} \right.\) và \({x^2} - 4x \le 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le 4\).
c) Sai. Phần diện tích giới hạn bởi đồ thị y = f(x) với trục Ox có hoành độ thuộc đoạn [0;4], được tính bởi công thức \(\int\limits_0^4 {\left| {{x^2} - 4x} \right|dx} \).
d) Sai. Trên đoạn [0;4], ta có \({x^2} - 4x \le 0\) nên \(\left| {{x^2} - 4x} \right| = 4x - {x^2}\).
Diện tích hình phẳng đó là \(\int\limits_0^4 {\left| {{x^2} - 4x} \right|dx} = \int\limits_0^4 {\left( {4x - {x^2}} \right)dx} = \left( {2{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^4}\\{_0}\end{array} = } \right.{2.4^2} - \frac{{{4^3}}}{3} = \frac{{32}}{3}\).
Đặt một quả bóng ở góc nhà, biết trên quả bóng có một điểm M cách hai bức tường 5 cm và cách sàn nhà 6 cm. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho góc nhà là góc phần tư thứ nhất và sàn nhà là mặt phẳng Oxy.
a) M(5;5;6).
b) Mặt phẳng chứa hai bức tường có phương trình lần lượt là y = 0 và x = 0.
c) Chỉ có một quả bóng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
d) Bán kính của quả bóng thuộc (5;11) cm).
a) M(5;5;6).
b) Mặt phẳng chứa hai bức tường có phương trình lần lượt là y = 0 và x = 0.
c) Chỉ có một quả bóng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
d) Bán kính của quả bóng thuộc (5;11) cm).
Áp dụng quy tắc xác định tọa độ điểm và công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian.
a) Đúng. M(5;5;6).
b) Đúng. Mặt phẳng chứa hai bức tường có phương trình lần lượt là x = 0 và y = 0.
c) Sai. Gọi I là tâm của quả bóng. Vì bóng được đặt ở góc nhà (tiếp xúc với hai mặt tường và sàn nhà) nên I cách ba mặt phẳng trên đúng một khoảng bằng bán kính r. Khi đó I(r;r;r).
Vì M là một điểm trên bề mặt quả bóng nên \(IM = r \Leftrightarrow {\left( {5 - r} \right)^2} + {\left( {5 - r} \right)^2} + {\left( {6 - r} \right)^2} = {r^2}\)
\( \Leftrightarrow 86 - 32r + 2{r^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{r_1} = 8 + \sqrt {21} \approx 12,58\\{r_2} = 8 - \sqrt {21} \approx 3,42\end{array} \right.\).
Vậy có hai quả bóng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
d) Sai. Bán kính của quả bóng có thể là \({r_1} \approx 12,58\) (cm) hoặc \({r_2} \approx 3,42\) (cm) nên không thuộc (5;11) (cm).
Một ô tô đang chạy với vận tốc 18 m/s thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = -36t + 18 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
Đáp án:
Đáp án:
Tìm thời gian \({t_0}\) để xe dừng hẳn từ lúc hãm phanh.
Tính \(\int\limits_0^{{t_0}} {v(t)dt} \).
Khi ô tô dừng hẳn thì \(v(t) = 0 \Leftrightarrow - 36.t + 18 = 0 \Leftrightarrow t = 0,5\) (s).
Quãng đường ô tô di chuyển được từ lúc bắt đầu hãm phanh đến khi dừng hẳn là:
\(s(0,5) = \int\limits_0^{0,5} {v(t)dt} = \int\limits_0^{0,5} {( - 36t + 18)dt} = \left( { - 18{t^2} + 18t} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^{0,5}}\\{_0}\end{array}} \right. = - 18.0,{5^2} + 18.0,5 = 4,5\) (m).
Mặt cắt đứng của một cái cổng có dạng một đường parabol với chiều cao OH = 4 m và khoảng cách giữa hai chân cổng là AB = 4 m (hình bên). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường parabol và đoạn thẳng AB bằng bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Đáp án:
Đáp án:
Chọn hệ trục tọa độ phù hợp. Dựa vào tọa độ các điểm thuộc parabol để tìm phương trình của parabol. Từ đó ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.
Chọn hệ trục tọa độ sao cho H trùng với gốc tọa độ, A và B nằm trên trục hoành và B có hoành độ dương. O nằm trên trục tung.
Cổng parabol có phương trình dạng \(y = a{x^2} + bx + c\) với a < 0 vì bề lõm hướng xuống dưới.
Khi đó H(0;0), A(-2;0), B(2;0) và O(0;4).
Vì A, B, H thuộc parabol nên ta có hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}0 = a{.2^2} + b.2 + c\\0 = a.{( - 2)^2} + b.( - 2) + c\\4 = a{.0^2} + b.0 + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 = 4a + 2b\\ - 4 = 4a - 2b\\4 = c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 0\end{array} \right. \Rightarrow y = - {x^2} + 4\).
Trên đoạn [-2;2], ta thấy parabol nằm phía trên trục hoành nên \( - {x^2} + 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left| { - {x^2} + 4} \right| = - {x^2} + 4\).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đoạn AB là:
\(\int\limits_{ - 2}^2 {\left| { - {x^2} + 4} \right|dx} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( { - {x^2} + 4} \right)dx} = \left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + 4x} \right)\)
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^2}\\{_{ - 2}}\end{array} = \left( { - \frac{{{2^3}}}{3} + 4.2} \right)} \right. - \left[ { - \frac{{{{( - 2)}^3}}}{3} + 4.( - 2)} \right] = \frac{{16}}{3} - \left( { - \frac{{16}}{3}} \right) = \frac{{32}}{3} \approx 10,7\) \(({m^2})\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;4;1); B(−1;1;3) và mặt phẳng (P): x – 3y + 2z – 5 = 0. Một mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) có dạng ax + by + cz – 11 = 0. Tính a + b + c.
Đáp án:
Đáp án:
Cặp vecto chỉ phương của (Q) là vecto pháp tuyến của (P) và \(\overrightarrow {AB} \).
Áp dụng biểu thức tọa độ của tích có hướng để tìm vecto pháp tuyến của (Q) rồi lập phương trình.
Vecto pháp tuyến của (P) là \(\overrightarrow {{n_P}} = (1; - 3;2)\).
Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = (1; - 3;2)\) và \(\overrightarrow {AB} = ( - 1 - 2;1 - 4;3 - 1) = ( - 3; - 3;2)\) là cặp vecto chỉ phương của (Q).
\(\overrightarrow {AB} = ( - 1 - 2;1 - 4;3 - 1) = ( - 3; - 3;2)\)
Vecto pháp tuyến của (Q) là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {AB} } \right] = (0; - 8; - 12)\).
Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_Q}} = (0; - 8; - 12)\) và đi qua A(2;4;1) có phương trình là:
\(0(x - 2) - 8(y - 4) - 12(z - 1) = 0 \Leftrightarrow - 8y - 12z + 44 = 0 \Leftrightarrow 2y + 3z - 11 = 0\).
Vậy a + b + c = 0 + 2 + 3 = 5.
Một phần thiết kế của một công trình đang xây dựng có dạng như hình bên, trong đó ABCD là hình vuông cạnh 6 m, AM, BN, DP cùng vuông góc với (ABCD), AM = 4 m, BN = 3 m và DP = 2 m. Góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (MNP) là \({n^o}\) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ, n là số nguyên dương). Giá trị của n là bao nhiêu?
Đáp án:
Đáp án:
Chọn hệ trục tọa độ phù hợp. Lập phương trình mặt phẳng (ABCD) và (MNP) rồi áp dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A trùng với gốc tọa độ, B thuộc tia Ox, D thuộc tia Oy và M thuộc tia Oz.
Khi đó: A(0;0;0), M(0;0;4), N(6;0;3), P(0;6;2) và mặt phẳng (ABCD) trùng với mặt phẳng (Oxy), hay (ABCD) có phương trình tổng quát z = 0.
\(\overrightarrow {MN} = (6;0; - 1)\); \(\overrightarrow {MP} = (0;6; - 2)\).
Vecto pháp tuyến của (MNP) là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = (6;12;36)\).
Phương trình mặt phẳng (MNP) là:
\(6(x - 0) + 12(y - 0) + 36(z - 0) = 0 \Leftrightarrow 6x + 12y + 36z = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 6z = 0\).
Góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (MNP) là:
\(\cos \left( {(ABCD),(MNP)} \right) = \frac{{\left| {1.0 + 2.0 + 6.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {6^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{6\sqrt {41} }}{{41}} \Rightarrow \left( {(ABCD),(MNP)} \right) \approx {20^o}\).
Áp dụng công thức tính diện tích của hình phẳng \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \).
Với m > 0, diện tích hình phẳng là \(\int\limits_0^m {\left| {2x + 3} \right|dx} = 10 \Leftrightarrow \int\limits_0^m {\left( {2x + 3} \right)dx} = 10 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 3x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^m}\\{_0}\end{array} = 10} \right.\)
\( \Leftrightarrow {m^2} + 3m = 10 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 5\end{array} \right.\).
Vì m dương nên loại m = -5. Vậy m = 2 là giá trị thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Lập phương trình parabol và đường thẳng biểu diễn vận tốc. Áp dụng tích phân để tính quãng đường từ các hàm vận tốc vừa tìm.
Gọi parabol \({v_A}\) biểu diễn vận tốc xe A có phương trình \(y = {a_A}{x^2} + {b_A}x + c\) và đường thẳng \({v_B}\) biểu diễn vận tốc xe B có phương trình \(y = {a_B}x + {b_B}\).
Parabol \({v_A}\) di qua ba điểm O(0;0), M(3;60) và N(4;0) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}0 = {a_A}{.0^2} + {b_A}.0 + c\\60 = {a_A}{.3^2} + {b_A}.3 + c\\0 = {a_A}{.4^2} + {b_A}.4 + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_A} = - 20\\{b_A} = 80\\c = 0\end{array} \right. \Rightarrow y = - 20{x^2} + 80x\).
\({v_B}\) là đường thẳng đi qua hai điểm O(0;0) và M(3;60) nên \(\left\{ \begin{array}{l}0 = {a_B}.0 + {b_B}\\60 = {a_B}.3 + {b_B}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{b_B} = 0\\{a_B} = 20\end{array} \right. \Rightarrow y = 20x\).
Quãng đường xe A đi được sau 4 giây là \(\int\limits_0^4 {\left( { - 20{x^2} + 80x} \right)dx} = \frac{{640}}{3}\). Khi x = 4 thì \({v_A} = 0\) nên xe dừng sau 4 giây, đi được quãng đường bằng \(\frac{{640}}{3}\).
Quãng đường xe B đi được sau 5 giây là \(\int\limits_0^5 {20xdx} = 250\).
Khoảng cách giữa hai xe sau 5 giây là \(250 - \frac{{640}}{3} = \frac{{110}}{3} \approx 36,7\).
Lập phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).
H là giao điểm của d và (P).
Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với (P). Khi đó, d giao (P) tại H.
d là đường thẳng đi qua A(5;6;7) và nhận \(\overrightarrow u = (1; - 1;1)\) làm vecto chỉ phương nên phương trình tham số của d là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = 6 - t\\z = 7 + t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).
H là giao điểm của d và (P) nên ta có \(5 + t - (6 - t) + 7 + t - 3 = 0 \Leftrightarrow 3 + 3t = 0 \Leftrightarrow t = - 1\).
Vậy H(4;7;6), suy ra a + 2b + c = 4 + 7.2 + 6 = 24.
Giải bài tập những môn khác
Môn Ngữ văn Lớp 12
Môn Toán học Lớp 12
Môn Vật lí Lớp 12
Môn Sinh học Lớp 12
Môn Hóa học Lớp 12
Môn Lịch sử Lớp 12
Môn Tiếng Anh Lớp 12
Lời giải và bài tập Lớp 12 đang được quan tâm
