[Đề thi, đề kiểm tra Toán Lớp 12 Chân trời sáng tạo] Đề thi giữa kì 2 Toán 12 Chân trời sáng tạo - Đề số 4
Bài học này tập trung vào đề thi giữa kỳ 2 môn Toán 12, sách Chân trời sáng tạo, đề số 4. Mục tiêu chính là cung cấp cho học sinh một bài tập tổng hợp kiến thức toàn bộ chương trình giữa kỳ 2, giúp học sinh ôn tập, làm quen với cấu trúc đề thi và rèn luyện kỹ năng giải quyết các bài toán.
2. Kiến thức và kỹ năngBài học này bao trùm các nội dung sau:
Giải tích: Hàm số, đạo hàm, ứng dụng đạo hàm (tìm cực trị, vẽ đồ thị, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất), nguyên hàm, tích phân. Hình học: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, phương trình mặt phẳng, đường thẳng trong không gian, quan hệ song song, vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Số phức: Các phép toán với số phức, hình học của số phức. Xác suất thống kê: (nếu có trong đề) Các kiến thức về xác suất, thống kê.Qua bài học này, học sinh sẽ:
Nắm vững kiến thức trọng tâm của chương trình giữa kỳ 2. Rèn luyện kỹ năng giải các dạng bài tập khác nhau. Làm quen với cấu trúc đề thi. Tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán khó. 3. Phương pháp tiếp cậnBài học được xây dựng theo cấu trúc:
Phân tích đề: Phân tích kĩ các câu hỏi trong đề, xác định dạng bài tập, kiến thức liên quan. Giải chi tiết từng câu: Giải từng câu hỏi một cách chi tiết, kèm theo lời giải thích rõ ràng, minh họa bằng hình vẽ (nếu cần). Luyện tập: Bài học bao gồm các câu hỏi tương tự để học sinh tự luyện tập, củng cố kiến thức. Tổng hợp kiến thức: Tóm tắt lại các kiến thức trọng tâm đã được học trong đề thi. 4. Ứng dụng thực tếKiến thức trong đề thi giữa kỳ 2 Toán 12 có nhiều ứng dụng trong thực tiễn, ví dụ như:
Mô hình hóa các bài toán thực tế: Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị tối ưu trong kinh tế, vật lý. Giải quyết các vấn đề về hình học: Ứng dụng trong thiết kế, xây dựng. Phân tích dữ liệu thống kê: Ứng dụng trong nghiên cứu khoa học, kinh doanh. 5. Kết nối với chương trình họcĐề thi giữa kỳ 2 Toán 12 này kết nối với các bài học trước trong chương trình học, bao gồm các chủ đề:
Các dạng toán về hàm số, đạo hàm.
Các dạng toán về hình học không gian.
Các dạng toán về số phức.
Các dạng toán về xác suất thống kê (nếu có).
Bài học này giúp học sinh hệ thống lại kiến thức đã học và chuẩn bị cho các bài học tiếp theo.
6. Hướng dẫn học tập Đọc kỹ đề bài:
Hiểu rõ yêu cầu của từng câu hỏi.
Phân tích bài toán:
Xác định kiến thức cần sử dụng.
Vẽ hình (nếu có):
Giúp hình dung rõ ràng bài toán.
Lập luận chặt chẽ:
Giải thích rõ ràng từng bước giải.
Kiểm tra lại kết quả:
Đảm bảo kết quả chính xác.
Tự học:
Đọc lại lý thuyết, làm thêm các bài tập tương tự.
Hỏi đáp:
Hỏi giáo viên hoặc bạn bè nếu gặp khó khăn.
(Danh sách này được sắp xếp theo chủ đề để dễ tìm kiếm)
Giải tích: đạo hàm, nguyên hàm, tích phân, hàm số, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, đồ thị hàm số, ứng dụng đạo hàm. Hình học: mặt phẳng, đường thẳng, không gian, phương trình mặt phẳng, đường thẳng trong không gian, quan hệ song song, vuông góc, hình học không gian. Số phức: số phức, phép toán, hình học số phức. Xác suất thống kê: (nếu có) xác suất, thống kê, phân phối xác suất. Toán học lớp 12: đề thi, đề kiểm tra, giữa kỳ 2, ôn tập, bài tập, sách Chân trời sáng tạo, hướng dẫn giải, lời giải chi tiết, đáp án, tài liệu tham khảo. Phương pháp học tập: học hiệu quả, ôn tập, làm bài tập, làm đề, kỹ năng giải toán, chuẩn bị thi. Lưu ý: Danh sách từ khóa này có thể thay đổi tùy thuộc vào nội dung cụ thể của đề thi.Đề bài
Tìm nguyên hàm \(F = \int {{\pi ^2}dx} \).
-
A.
\(F(x) = {\pi ^2}x + C\)
-
B.
\(F(x) = 2\pi x + C\)
-
C.
\(F(x) = \frac{{{\pi ^3}}}{3} + C\)
-
D.
\(F(x) = \frac{{{\pi ^2}{x^2}}}{2} + C\)
Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^{2024}}\), \(x \in \mathbb{R}\) là hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
-
A.
\(F(x) = 2023{x^{2024}} + C\), \(C \in \mathbb{R}\)
-
B.
\(F(x) = \frac{{{x^{2025}}}}{{2025}} + C\), \(C \in \mathbb{R}\)
-
C.
\(F(x) = {x^{2025}} + C\), \(C \in \mathbb{R}\)
-
D.
\(F(x) = 2024{x^{2023}} + C\), \(C \in \mathbb{R}\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{1 - {{\sin }^3}x}}{{{{\sin }^2}x}}\).
-
A.
\(\int {f(x)dx} = - \cot x + \cos x + C\)
-
B.
\(\int {f(x)dx} = - \tan x + \cos x + C\)
-
C.
\(\int {f(x)dx} = - \cot x - \cos x + C\)
-
D.
\(\int {f(x)dx} = - \tan x - \cos x + C\)
Biết \(\int\limits_1^3 {f(x)dx} = 3\). Giá trị của \(\int\limits_1^3 {2f(x)dx} \) bằng
-
A.
5
-
B.
9
-
C.
6
-
D.
\(\frac{{15}}{4}\)
Biết \(F(x) = {x^3}\) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên \(\mathbb{R}\). Giá trị của \(\int\limits_1^2 {\left( {2 + f(x)} \right)dx} \) bằng
-
A.
\(\frac{{23}}{4}\)
-
B.
7
-
C.
9
-
D.
\(\frac{{15}}{4}\)
Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và thỏa mãn \(\int\limits_a^0 {f(x)dx} = m\), \(\int\limits_0^b {f(x)dx} = n\). Diện tích hình phẳng trong hình vẽ bên bằng
-
A.
m.n
-
B.
m – n
-
C.
m + n
-
D.
n – m
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – z + 3 = 0. Vecto nào sau đây là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P)?
-
A.
\(\overrightarrow {{n_1}} = (1; - 1;3)\)
-
B.
\(\overrightarrow {{n_2}} = (2; - 1;3)\)
-
C.
\(\overrightarrow {{n_3}} = (2;1; - 1)\)
-
D.
\(\overrightarrow {{n_4}} = (2;1;3)\)
Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;0;−1) và song song với mặt phẳng x − y + z + 2 = 0 là
-
A.
\(x - y + z + 1 = 0\)
-
B.
\(x - y + z + 2 = 0\)
-
C.
\(x - y + z - 1 = 0\)
-
D.
\(x - y + z = 0\)
Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng (P): x – 2y + 3z – 2 = 0?
-
A.
P(1;-2;1)
-
B.
M(1;-2;3)
-
C.
Q(-1;2;1)
-
D.
N(1;2;-1)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M(0;-1;14) và nhận vecto \(\overrightarrow u = (3; - 1;5)\) làm vecto chỉ phương. Phương trình tham số của d là
-
A.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = 1 - t\\z = 4 + 5t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\)
-
B.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 1 - t\\z = 5 + 4t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\)
-
C.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = - 1 - t\\z = 4 + 5t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\)
-
D.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = - 1 - t\\z = - 4 + 5t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\)
Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm A(4;1;5) đến (P): 5x – 10y + 10z – 5 = 0 bằng
-
A.
10
-
B.
\(\frac{{29}}{{100}}\)
-
C.
\(\frac{{11}}{3}\)
-
D.
\(\frac{{29\sqrt {10} }}{{10}}\)
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4\). Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu đó.
-
A.
I(-1;2;-3); R = 2
-
B.
I(-1;2;-3); R = 4
-
C.
I(1;-2;3); R = 2
-
D.
I(1;-2;3); R = 4
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x) = \frac{{x + 1}}{x}\), trục hoành và hai đường thẳng x = 2, x = 6.
a) Diện tích hình phẳng (H) là S = 4 + ln3.
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) – 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 2, x = 6 là S = 2ln3.
c) Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox là \(V = \frac{{\left( {13 + 6\ln 3} \right)\pi }}{3}\).
d) Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và các đường thẳng y = 1, x = 2, x = 6 quanh trục Ox là \(V = \frac{{1 + 6\ln 3}}{3}\).
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\): x + 2y + 2z – 3 = 0.
a) Phương trình \(\left( \beta \right)\) đi qua M(2;-3;1) và song song với \(\left( \alpha \right)\) là x + 2y + 2z + 2 = 0.
b) Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm A(1;-2;3) và vuông góc với \(\left( \alpha \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 2t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).
c) Phương trình mặt cầu tâm I(1;1;-3) và tiếp xúc với \(\left( \alpha \right)\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 2\).
d) Phương trình mặt cầu (S): \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 25\) cắt \(\left( \alpha \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 4.
Bạn Huyền chạy thể dục buổi sáng với \(a(t) = - \frac{1}{{24}}{t^3} + \frac{5}{{16}}{t^2}\) m/s, trong đó t giây là khoảng thời gian tính từ lúc xuất phát. Vào thời điểm t = 5 (s) sau khi xuất phát thì vận tốc của bạn Huyền đạt được bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Đáp án:
Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y = f′(x) là đường cong trong hình dưới. Biết rằng diện tích của các phần hình phẳng A và B lần lượt là SA = 4 và SB = 10. Tính giá trị của f(3), biết giá trị của f(0) = 2.
Đáp án:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;m). Để mặt phẳng (ABC) hợp với mặt phẳng (Oxy) một góc \({60^o}\) thì tổng các giá trị của m là bao nhiêu?
Đáp án:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;1;7), B(5;5;1) và mặt phẳng (P): 2x − y − z + 4 = 0. Điểm M thuộc (P ) sao cho MA = MB = \(\sqrt {35} \). Biết M có hoành độ nguyên, tính OM (làm tròn đến chữ số hàng phần trăm)?
Đáp án:
Lời giải và đáp án
Tìm nguyên hàm \(F = \int {{\pi ^2}dx} \).
-
A.
\(F(x) = {\pi ^2}x + C\)
-
B.
\(F(x) = 2\pi x + C\)
-
C.
\(F(x) = \frac{{{\pi ^3}}}{3} + C\)
-
D.
\(F(x) = \frac{{{\pi ^2}{x^2}}}{2} + C\)
Đáp án : A
Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm hằng: \(\int {cdx} = cx + C\).
\(F = \int {{\pi ^2}dx} = {\pi ^2}x + C\).
Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {x^{2024}}\), \(x \in \mathbb{R}\) là hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
-
A.
\(F(x) = 2023{x^{2024}} + C\), \(C \in \mathbb{R}\)
-
B.
\(F(x) = \frac{{{x^{2025}}}}{{2025}} + C\), \(C \in \mathbb{R}\)
-
C.
\(F(x) = {x^{2025}} + C\), \(C \in \mathbb{R}\)
-
D.
\(F(x) = 2024{x^{2023}} + C\), \(C \in \mathbb{R}\)
Đáp án : B
Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa: \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).
\(\int {f(x)dx} = \int {{x^{2024}}dx} = \frac{{{x^{2025}}}}{{2025}} + C\).
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{1 - {{\sin }^3}x}}{{{{\sin }^2}x}}\).
-
A.
\(\int {f(x)dx} = - \cot x + \cos x + C\)
-
B.
\(\int {f(x)dx} = - \tan x + \cos x + C\)
-
C.
\(\int {f(x)dx} = - \cot x - \cos x + C\)
-
D.
\(\int {f(x)dx} = - \tan x - \cos x + C\)
Đáp án : A
Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác:
\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} = - \cot x + C\); \(\int {\sin xdx} = - \cos x + C\).
\(\int {\frac{{1 - {{\sin }^3}x}}{{{{\sin }^2}x}}dx} = \int {\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \sin x} \right)dx} = - \cot x + \cos x + C\).
Biết \(\int\limits_1^3 {f(x)dx} = 3\). Giá trị của \(\int\limits_1^3 {2f(x)dx} \) bằng
-
A.
5
-
B.
9
-
C.
6
-
D.
\(\frac{{15}}{4}\)
Đáp án : C
Áp dụng tính chất tích phân \(\int\limits_a^b {kf(x)dx} = k\int\limits_a^b {f(x)dx} \).
\(\int\limits_1^3 {2f(x)dx} = 2\int\limits_1^3 {f(x)dx} = 2.3 = 6\).
Biết \(F(x) = {x^3}\) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên \(\mathbb{R}\). Giá trị của \(\int\limits_1^2 {\left( {2 + f(x)} \right)dx} \) bằng
-
A.
\(\frac{{23}}{4}\)
-
B.
7
-
C.
9
-
D.
\(\frac{{15}}{4}\)
Đáp án : C
Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).
Áp dụng tính chất tích phân \(\int\limits_a^b {kf(x)dx} = k\int\limits_a^b {f(x)dx} \); \(\int\limits_a^b {\left[ {f(x) + g(x)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f(x)dx} + \int\limits_a^b {g(x)dx} \).
\(F(x) = {x^3}\) là một nguyên hàm của hàm số f(x) nên \(\int\limits_1^2 {f(x)dx} = {x^3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^2}\\{_1}\end{array}} \right. = 7\).
\(\int\limits_1^2 {\left( {2 + f(x)} \right)dx} = \int\limits_1^2 {2dx} + \int\limits_1^2 {f(x)dx} = 2x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^2}\\{_1}\end{array}} \right. + {x^3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^2}\\{_1}\end{array}} \right. = 9\).
Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và thỏa mãn \(\int\limits_a^0 {f(x)dx} = m\), \(\int\limits_0^b {f(x)dx} = n\). Diện tích hình phẳng trong hình vẽ bên bằng
-
A.
m.n
-
B.
m – n
-
C.
m + n
-
D.
n – m
Đáp án : B
Áp dụng công thức tính diện tích diện tích hình phẳng \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \). Dựa vào đồ thị, xét dấu của f(x), từ đó phá dấu trị tuyệt đối.
Quan sát đồ thị, trên khoảng (a;0) thấy đồ thị f(x) nằm phía trên trục hoành nên f(x) > 0, hay |f(x)| = f(x). Mặt khác, trên khoảng (0;b) thấy đồ thị f(x) nằm phía dưới trục hoành nên f(x) < 0, hay |f(x)| = -f(x).
Diện tích hình phẳng là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} = \int\limits_a^0 {\left| {f(x)} \right|dx} + \int\limits_0^b {\left| {f(x)} \right|dx} = \int\limits_a^0 {f(x)dx} + \int\limits_0^b { - f(x)dx} = m - n\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – z + 3 = 0. Vecto nào sau đây là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P)?
-
A.
\(\overrightarrow {{n_1}} = (1; - 1;3)\)
-
B.
\(\overrightarrow {{n_2}} = (2; - 1;3)\)
-
C.
\(\overrightarrow {{n_3}} = (2;1; - 1)\)
-
D.
\(\overrightarrow {{n_4}} = (2;1;3)\)
Đáp án : C
Mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n = (A;B;C)\).
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow {{n_3}} = (2;1; - 1)\).
Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;0;−1) và song song với mặt phẳng x − y + z + 2 = 0 là
-
A.
\(x - y + z + 1 = 0\)
-
B.
\(x - y + z + 2 = 0\)
-
C.
\(x - y + z - 1 = 0\)
-
D.
\(x - y + z = 0\)
Đáp án : D
Hai mặt phẳng song song có cùng vecto pháp tuyến.
Mặt phẳng qua A(1;0;-1) và vuông góc với đường thẳng AB nhận \(\overrightarrow n = (2;1; - 1)\) làm vecto pháp tuyến có phương trình là:
\(1(x - 1) - 1(y - 0) + 1(z + 1) = 0 \Leftrightarrow x - y + z = 0\).
Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc mặt phẳng (P): x – 2y + 3z – 2 = 0?
-
A.
P(1;-2;1)
-
B.
M(1;-2;3)
-
C.
Q(-1;2;1)
-
D.
N(1;2;-1)
Đáp án : D
Thay tọa độ các điểm vào phương trình, nếu thỏa mãn thì điểm đó thuộc mặt phẳng.
Thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng, thấy chỉ có tọa độ điểm N(1;-2;-1) thỏa mãn phương trình mặt phẳng, do: 1 – 2.(-2) + 3.(-1) – 2 = 0.
Vậy N(1;-2;-1) thuộc (P).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M(0;-1;14) và nhận vecto \(\overrightarrow u = (3; - 1;5)\) làm vecto chỉ phương. Phương trình tham số của d là
-
A.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = 1 - t\\z = 4 + 5t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\)
-
B.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 1 - t\\z = 5 + 4t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\)
-
C.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = - 1 - t\\z = 4 + 5t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\)
-
D.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = - 1 - t\\z = - 4 + 5t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\)
Đáp án : C
Đường thẳng đi qua điểm \(M({x_0};{y_0};{z_0})\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = (a;b;c)\) có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).
d đi qua điểm M(0;-1;4) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = (3; - 1;5)\) có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = - 1 - t\\z = 4 + 5t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).
Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm A(4;1;5) đến (P): 5x – 10y + 10z – 5 = 0 bằng
-
A.
10
-
B.
\(\frac{{29}}{{100}}\)
-
C.
\(\frac{{11}}{3}\)
-
D.
\(\frac{{29\sqrt {10} }}{{10}}\)
Đáp án : C
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
\(d\left( {A,(P)} \right) = \frac{{\left| {5.4 - 10.1 + 10.5 - 5} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{( - 10)}^2} + {{10}^2}} }} = \frac{{11}}{3}\).
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4\). Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu đó.
-
A.
I(-1;2;-3); R = 2
-
B.
I(-1;2;-3); R = 4
-
C.
I(1;-2;3); R = 2
-
D.
I(1;-2;3); R = 4
Đáp án : C
Mặt cầu phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) có tâm I(a;b;c), bán kính R.
Mặt cầu phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4\) có tâm I(1;-2;3), bán kính R = 2.
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x) = \frac{{x + 1}}{x}\), trục hoành và hai đường thẳng x = 2, x = 6.
a) Diện tích hình phẳng (H) là S = 4 + ln3.
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) – 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 2, x = 6 là S = 2ln3.
c) Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox là \(V = \frac{{\left( {13 + 6\ln 3} \right)\pi }}{3}\).
d) Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và các đường thẳng y = 1, x = 2, x = 6 quanh trục Ox là \(V = \frac{{1 + 6\ln 3}}{3}\).
a) Diện tích hình phẳng (H) là S = 4 + ln3.
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) – 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 2, x = 6 là S = 2ln3.
c) Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox là \(V = \frac{{\left( {13 + 6\ln 3} \right)\pi }}{3}\).
d) Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và các đường thẳng y = 1, x = 2, x = 6 quanh trục Ox là \(V = \frac{{1 + 6\ln 3}}{3}\).
a, b) Áp dụng công thức tính diện tích của hình phẳng \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \).
c) Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} \).
d) Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}(x) - {g^2}(x)} \right|dx} \).
a) Đúng. Trên đoạn [1;6], \(f(x) = \frac{{x + 1}}{x} > 0\), khi đó \(\left| {f(x)} \right| = \left| {\frac{{x + 1}}{x}} \right| = \frac{{x + 1}}{x}\).
Diện tích hình phẳng (H) là \(S = \int\limits_2^6 {\left| {f(x)} \right|dx} = \int\limits_2^6 {\left| {\frac{{x + 1}}{x}} \right|dx} = \int\limits_2^6 {\frac{{x + 1}}{x}dx} = \int\limits_2^6 {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)dx} = x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^6}\\{_2}\end{array}} \right. + \ln \left| x \right|\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^6}\\{_2}\end{array}} \right.\)
\( = 6 - 2 + \ln 6 - \ln 2 = 4 + \ln \frac{6}{2} = 4 + \ln 3\).
b) Sai. Diện tích hình phẳng đó là:
\(S = \int\limits_2^6 {\left| {f(x) - 1} \right|dx} = \int\limits_2^6 {\left| {\frac{{x + 1}}{x} - 1} \right|dx} = \int\limits_2^6 {\frac{{x + 1}}{x}dx} = \int\limits_2^6 {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right|\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^6}\\{_2}\end{array}} \right. = \ln 6 - \ln 2 = \ln \frac{6}{2} = \ln 3\).
c) Đúng. \({V_1} = \pi \int\limits_2^6 {{{\left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_2^6 {{{\left( {1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}^2}dx} = \pi \left( {x + 2\ln x - \frac{1}{x}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^6}\\{_2}\end{array}} \right.\)
\( = \pi \left( {6 + 2\ln 6 - \frac{1}{6} - 2 - 2\ln 2 + \frac{1}{2}} \right) = \pi \left( {4 + 2\ln 3 + \frac{1}{3}} \right) = \frac{{\left( {13 + 6\ln 3} \right)\pi }}{3}\).
d) Sai. \({V_2} = \pi \int\limits_2^6 {\left[ {{f^2}(x) - {1^2}} \right]dx} = \pi \int\limits_2^6 {\left[ {{{\left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right)}^2} - 1} \right]dx} = \pi \int\limits_2^6 {{{\left( {\frac{{x + 1}}{x}} \right)}^2}dx} - \pi \int\limits_2^6 {1dx} \)
\( = \frac{{\left( {13 + 6\ln 3} \right)\pi }}{3} - \pi x\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^6}\\{_2}\end{array} = } \right.\frac{{\left( {13 + 6\ln 3} \right)\pi }}{3} - 4\pi = \frac{{\left( {1 + 6\ln 3} \right)\pi }}{3}\).
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\): x + 2y + 2z – 3 = 0.
a) Phương trình \(\left( \beta \right)\) đi qua M(2;-3;1) và song song với \(\left( \alpha \right)\) là x + 2y + 2z + 2 = 0.
b) Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm A(1;-2;3) và vuông góc với \(\left( \alpha \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 2t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).
c) Phương trình mặt cầu tâm I(1;1;-3) và tiếp xúc với \(\left( \alpha \right)\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 2\).
d) Phương trình mặt cầu (S): \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 25\) cắt \(\left( \alpha \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 4.
a) Phương trình \(\left( \beta \right)\) đi qua M(2;-3;1) và song song với \(\left( \alpha \right)\) là x + 2y + 2z + 2 = 0.
b) Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm A(1;-2;3) và vuông góc với \(\left( \alpha \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 2t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).
c) Phương trình mặt cầu tâm I(1;1;-3) và tiếp xúc với \(\left( \alpha \right)\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 2\).
d) Phương trình mặt cầu (S): \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 25\) cắt \(\left( \alpha \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 4.
a) \(\left( \beta \right)\) song song với \(\left( \alpha \right)\) nên có cùng VTPT .
b) \(\Delta \) có VTCP là VTPT của \(\left( \alpha \right)\).
c) Bán kính mặt cầu là khoảng cách từ I đến \(\left( \alpha \right)\).
d) Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến \(\left( \alpha \right)\), sau đó áp dụng định lý Pythagore để tìm bán kính đường tròn giao tuyến.
a) Đúng. \(\left( \beta \right)\) song song với \(\left( \alpha \right)\) nên có cùng VTPT là \(\overrightarrow n = (1;2;2)\).
\(\left( \beta \right)\): \(1(x - 2) + 2(y + 3) + 2(z - 1) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 2z + 2 = 0\).
b) Sai. Đường thẳng \(\Delta \) có VTCP là VTPT của \(\left( \alpha \right)\).
\(\Delta \): \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 2 + 2t\\x = 3 + 2t\end{array} \right.\), \(t \in \mathbb{R}\).
c) Sai. Bán kính mặt cầu là khoảng cách từ I đến \(\left( \alpha \right)\).
\(d\left( {I,(\alpha )} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 2.1 + 2.( - 3) - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 2\).
Phương trình mặt cầu tâm I(1;1;-3) và tiếp xúc với \(\left( \alpha \right)\) là \[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 4\].
d) Đúng. Mặt cầu (S) có tâm J(-2;1;-3), bán kính R = 5.
Khoảng cách từ tâm J đến \(\left( \alpha \right)\) là \(d\left( {J,(\alpha )} \right) = \frac{{\left| {1.( - 2) + 2.1 + 2.( - 3) - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 3\).
Giao tuyến của (S) và \(\left( \alpha \right)\) là đường tròn có bán kính \(\sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\).
Bạn Huyền chạy thể dục buổi sáng với \(a(t) = - \frac{1}{{24}}{t^3} + \frac{5}{{16}}{t^2}\) m/s, trong đó t giây là khoảng thời gian tính từ lúc xuất phát. Vào thời điểm t = 5 (s) sau khi xuất phát thì vận tốc của bạn Huyền đạt được bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Đáp án:
Đáp án:
Tính \(\int\limits_0^5 {a(t)dt} \).
\(v(5) = \int\limits_0^5 {a(t)dt} = \int\limits_0^5 {\left( { - \frac{1}{{24}}{t^3} + \frac{5}{{16}}{t^2}} \right)dt} = \left( { - \frac{1}{{24}}.\frac{{{t^4}}}{4} + \frac{5}{{16}}.\frac{{{t^3}}}{3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^5}\\{_0}\end{array}} \right. = \left( { - \frac{{{t^4}}}{{96}} + \frac{{5{t^3}}}{{48}}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^5}\\{_0}\end{array}} \right. = - \frac{{{5^4}}}{{96}} + \frac{{{{5.5}^3}}}{{48}} \approx 6,51\) (m/s).
Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y = f′(x) là đường cong trong hình dưới. Biết rằng diện tích của các phần hình phẳng A và B lần lượt là SA = 4 và SB = 10. Tính giá trị của f(3), biết giá trị của f(0) = 2.
Đáp án:
Đáp án:
Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \).
Quan sát đồ thị, trên đoạn [0;1] thấy f’(x) > 0, trên đoạn [1;3] thấy f’(x) < 0.
\({S_A} = \int_0^1 {\left| {f'(x)} \right|dx} = \int_0^1 {f'(x)dx} = f(x)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^1}\\{_0}\end{array}} \right. = f(1) - f(0) = f(1) - 2 = 4 \Rightarrow f(1) = 6\).
\({S_B} = \int_1^3 {\left| {f'(x)} \right|dx} = - \int_1^3 {f'(x)dx} = f(x)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^1}\\{_3}\end{array}} \right. = f(1) - f(3) = 6 - f(3) = 10 \Rightarrow f(3) = - 4\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;m). Để mặt phẳng (ABC) hợp với mặt phẳng (Oxy) một góc \({60^o}\) thì tổng các giá trị của m là bao nhiêu?
Đáp án:
Đáp án:
Lập phương trình mặt phẳng (Oxy) và (ABC) theo m. Áp dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng để tìm m.
Mặt phẳng (Oxy) có phương trình là z = 0.
Mặt phẳng (ABC) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A(1;0;0), B(0;2;0) và C(0;0;m).
Ta có \(\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{m} = 1 \Leftrightarrow 2mx + my + 2z - 2m = 0\).
\(\cos {60^o} = \frac{{\left| {2m.0 + m.0 + 2.1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {2m} \right)}^2} + {m^2} + {2^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{2}{{\sqrt {5{m^2} + 4} }} \Leftrightarrow \sqrt {5{m^2} + 4} = 4\)
\(5{m^2} + 4 = 16 \Leftrightarrow {m^2} = \frac{{12}}{5} \Leftrightarrow m = \pm \frac{{2\sqrt {15} }}{5}\).
Vậy tổng các giá trị m thỏa mãn là \(\frac{{2\sqrt {15} }}{5} + \left( { - \frac{{2\sqrt {15} }}{5}} \right) = 0\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;1;7), B(5;5;1) và mặt phẳng (P): 2x − y − z + 4 = 0. Điểm M thuộc (P ) sao cho MA = MB = \(\sqrt {35} \). Biết M có hoành độ nguyên, tính OM (làm tròn đến chữ số hàng phần trăm)?
Đáp án:
Đáp án:
Chọn hệ trục tọa độ phù hợp. Lập phương trình mặt phẳng (ABCD) và (MNP) rồi áp dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng.
Giả sử M(a;b;c).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}M \in (P)\\MA = MB\\MA = \sqrt {35} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - b - c + 4 = 0\\{(a - 3)^2} + {(b - 5)^2} + {(c - 7)^2} = {(a - 5)^2} + {(b - 5)^2} + {(c - 1)^2}\\{(a - 3)^2} + {(b - 5)^2} + {(c - 7)^2} = 35\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = c\\c = a + 2\\{(a - 3)^2} + {(b - 1)^2} + {(c - 7)^2} = 35\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = a + 2\\c = a + 2\\3{a^2} - 14 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 2\\c = 2\end{array} \right.\) (do \(a \in \mathbb{Z}\)).
Suy ra M(2;2;0). \(OM = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {0^2}} = 2\sqrt 2 \approx 2,83\).
Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa: \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).
\(I = \int\limits_0^1 {\left( {4x - 2{m^2}} \right)dx} = \left( {2{x^2} - 2{m^2}x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^1}\\{_0}\end{array}} \right. = {2.1^2} - 2{m^2}.1 = 2 - 2{m^2}\).
\(I + 6 > 0 \Leftrightarrow 2 - 2{m^2} + 6 > 0 \Leftrightarrow - 2{m^2} > - 8 \Leftrightarrow {m^2} < 4 \Leftrightarrow - 2 < m < 2\).
Mà m là số nguyên nên có 3 giá trị thỏa mãn là m = -1; m = 0; m = 1.
Áp dụng công thức tính thể tích vật thể \(V = \int\limits_a^b {S(x)dx} \).
Diện tích mặt cắt là \(S(x) = {\left( {\sqrt {9 - {x^2}} } \right)^2} = 9 - {x^2}\).
Thể tích vật thể là \(V = \int\limits_0^3 {S(x)dx} = \int\limits_0^3 {\left( {9 - {x^2}} \right)dx} = \left( {9x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^3}\\{_0}\end{array}} \right. = 9.3 - \frac{{{3^3}}}{3} = 18\).
Lập phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).
H là giao điểm của d và (P).
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Giả sử parabol có bề lõm hướng xuống dưới có phương trình \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) (a < 0).
Parabol đó đi qua các điểm có tọa độ (20;0), (-20;0) và (0;20) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}0 = a{.20^2} + b.20 + c\\0 = a.{( - 20)^2} + b.( - 20) + c\\20 = a{.0^2} + b.0 + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}400a + 20b = - 20\\400a - 20b = - 20\\c = 20\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{{20}}\\b = 0\end{array} \right.\).
Suy ra \(f(x) = - \frac{1}{{20}}{x^2} + 20\).
Giả sử đường chéo hướng xuống dưới từ trái sang của viên gạch có phương trình y = mx + n, đi qua các điểm có tọa độ (-20;40) và (20;0) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}40 = m.( - 20) + n\\0 = m.20 + n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 1\\n = 20\end{array} \right. \Rightarrow y = - x + 20\).
Đồ thị của parabol vừa tìm cắt đường chéo tại hai điểm có hoành độ x = 0 và x = 20. Trên đoạn [0;20], ta thấy parabol nằm phía trên đường thẳng nên f(x) > -x + 20.
Diện tích một nửa cánh hoa là \(I = \int\limits_0^{20} {\left| { - \frac{1}{{20}}{x^2} + 20 + x - 20} \right|dx} = I = \int\limits_0^{20} {\left( { - \frac{1}{{20}}{x^2} + 20 + x - 20} \right)dx} = \frac{{200}}{3}\).
Diện tích một cánh hoa là \(S = 2I = 2.\frac{{200}}{3} = \frac{{400}}{3} \approx 133\) \(\left( {c{m^2}} \right)\).
Giải bài tập những môn khác
Môn Ngữ văn Lớp 12
Môn Toán học Lớp 12
Môn Vật lí Lớp 12
Môn Sinh học Lớp 12
Môn Hóa học Lớp 12
Môn Lịch sử Lớp 12
Môn Tiếng Anh Lớp 12
Lời giải và bài tập Lớp 12 đang được quan tâm
