[SBT Toán Lớp 11 Cánh diều] Giải bài 18 trang 15 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Hướng dẫn học bài: Giải bài 18 trang 15 sách bài tập toán 11 - Cánh diều - Môn Toán học Lớp 11 Lớp 11. Đây là sách giáo khoa nằm trong bộ sách 'SBT Toán Lớp 11 Cánh diều Lớp 11' được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết các bé sẽ nắm bài học tốt hơn.
Đề bài
Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau:
A. \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{{3 - \cos 4x}}{4}\)
B. \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{{3 + \cos 4x}}{4}\)
C. \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{{3 + \cos 4x}}{2}\)
D. \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{{3 - \cos 4x}}{2}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) với \(A = {\sin ^2}x\), \(B = {\cos ^2}x\).
Sử dụng công thức \(\sin 2x = 2\sin x.\cos x\), \(\cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x\)
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\begin{array}{l}{\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^2} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^2} + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\ \Rightarrow 1 = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x + \frac{1}{2}{\left( {2\sin x.\cos x} \right)^2}\\ \Rightarrow 1 = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x + \frac{1}{2}{\sin ^2}2x\\ \Rightarrow {\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x\end{array}\)
Mặt khác, ta có \(\cos 4x = 1 - 2{\sin ^2}2x \Rightarrow {\sin ^2}2x = \frac{{1 - \cos 4x}}{2}\)
Suy ra \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 - \frac{1}{2}.\frac{{1 - \cos 4x}}{2} = \frac{{3 + \cos 4x}}{4}\)
Đáp án đúng là B.