Chuyên đề học tập Toán Lớp 10 Chân trời sáng tạo

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[Chuyên đề học tập Toán Lớp 10 Chân trời sáng tạo] Giải mục 2 trang 8, 9, 10, 11 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Hướng dẫn học bài: Giải mục 2 trang 8, 9, 10, 11 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo - Môn Toán học Lớp 10 Lớp 10. Đây là sách giáo khoa nằm trong bộ sách 'Chuyên đề học tập Toán Lớp 10 Chân trời sáng tạo Lớp 10' được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết các bé sẽ nắm bài học tốt hơn.

HĐ Khám phá 2

Cho các hệ phương trình

(1) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y + z = 1\\\;\,\quad 3y - z = 2\\\quad \,\quad \;\;\,2z = 3\end{array} \right.\)

(2) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y + z = 1\\\;\,\;\;\;\;2y + z = - 1\\\;\;\;\;\;\,2y - z = - 4\end{array} \right.\)

a) Hệ phương trình (1) có gì đặc biệt? Giải hệ phương trình này.

b) Biến đổi hệ phương trình (2) về dạng như hệ phương trình (1). Giải hệ phương trình (2).

Lời giải chi tiết:

a) Phương trình thứ hai chỉ có 2 ẩn y, z còn phương trình ba chỉ có 1 ẩn z.

Giải hệ phuơng trình:

Từ phương trình thứ ba suy ra \(z = \frac{3}{2}\).

Thay vào phương trình thứ hai ta được: \(3y - \frac{3}{2} = 2 \Leftrightarrow y = \frac{7}{6}\)

Thay vào phương trình thứ nhất ta được: \(2x - \frac{7}{6} + \frac{3}{2} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \((x;y;z) = \left( {\frac{1}{3};\frac{7}{6};\frac{3}{2}} \right)\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y + z = 1\quad (1)\\\;\,\;\;\;2y + z = - 1\;\;(2)\\\;\;\;\;\,2y - z = - 4\;\;(3)\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình (3) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) và (2) ta được hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y + z = 1\quad (1)\\\;\,\;\;\;2y + z = - 1\;\;(2)\\\;\;\;\;\,\quad \;\,2z = 3\;\;(3.1)\end{array} \right.\)

Từ phương trình (3.1) ta có \(z = \frac{3}{2}\).

Thay \(z = \frac{3}{2}\) vào phương trình (2) ta được: \(2y + \frac{3}{2} = - 1 \Leftrightarrow y = \frac{{ - 5}}{4}\)

Thay \(z = \frac{3}{2}\) và \(y = \frac{{ - 5}}{4}\) vào phương trình (1) ta được: \(2x - \frac{{ - 5}}{4} + \frac{3}{2} = 1 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 7}}{8}\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(\left( {\frac{{ - 7}}{8};\frac{{ - 5}}{4};\frac{3}{2}} \right)\)

Thực hành 2

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss

a) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 1\\x + 2y - z = - 2\\x - 3y + z = 3\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y + 2z = 2\\x + 2y - z = 1\\2x - 3y + 3z = 2\end{array} \right.\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + z = 0\\x - 4y + 2z = - 1\\4x - y + 3z = 1\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 1\quad \quad \quad (1)\\x + 2y - z = - 2\quad (2)\\x - 3y + z = 3\quad \;\;\,(3)\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình (3) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (1), giữ nguyên phương trình (1) và (2) ta được hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 1\quad \quad \quad (1)\\x + 2y - z = - 2\quad (2)\\\quad y - z = - 2\quad \;\;\,(3.1)\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình (1) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) và (3.1) ta được hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 1\quad \quad \quad (1)\\\quad \;4y - z = - 3\quad (2.1)\\\quad y - z = - 2\quad \;\;\,(3.1)\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình (3) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) và (2.1) ta được hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 1\quad \quad \quad (1)\\\quad \;4y - z = - 3\quad (2.1)\\\quad \;3y = - 1\quad \quad \,(3.2)\end{array} \right.\)

Từ phương trình (3.2) ta có \(y = \frac{{ - 1}}{3}\)

Thay \(y = \frac{{ - 1}}{3}\) vào phương trình (2.1) ta được \(z = \frac{5}{3}\)

Thay \(y = \frac{{ - 1}}{3}\) và \(z = \frac{5}{3}\) vào phương trình (1) ta được \(x = \frac{1}{3}\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(\left( {\frac{1}{3};\frac{{ - 1}}{3};\frac{5}{3}} \right)\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y + 2z = 2\quad \quad (1)\\x + 2y - z = 1\quad \;\;\quad (2)\\2x - 3y + 3z = 2\quad \;\;\,(3)\end{array} \right.\)

Cộng vế với vế của phương trình (2) với phương trình (3), giữ nguyên phương trình (1) và (3) ta được hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}3x - y + 2z = 2\quad \quad (1)\\3x - y + 2z = 3\quad \quad (2.1)\\2x - 3y + 3z = 2\quad \;\;\,(3)\end{array} \right.\)

Từ phương trình (1) và (2.1) suy ra 2 = 3 (Vô lí)

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c) \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + z = 0\quad \quad (1)\\x - 4y + 2z = - 1\;(2)\\4x - y + 3z = 1\quad (3)\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình (2) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (1), giữ nguyên phương trình (1) và (3) ta được hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - y + z = 0\quad \quad (1)\\\quad 3y - z = 1\quad \;(2.1)\\4x - y + 3z = 1\quad (3)\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình (1) với -4, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (3), giữ nguyên phương trình (1) và (2.1) ta được hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - y + z = 0\quad \quad (1)\\\quad 3y - z = 1\quad \;(2.1)\\\quad 3y - z = 1\quad \;(3.1)\end{array} \right.\)

Hai phương trình (2.1) và (3.1) giống nhau, nên có thể viết hệ phương trình thành:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - y + z = 0\quad \quad (1)\\\quad 3y - z = 1\quad \;(2.1)\end{array} \right.\)

Từ phương trình (2.1), ta có \(z = 3y - 1\), thay vào phương trình (1) ta được \(x = - 2y + 1\)

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm dạng \(( - 2y + 1;y;3y - 1)\) với \(y \in \mathbb{R}\).

Vận dụng 1

Tìm phương trình của parabol \((P):y = a{x^2} + bx + c\;(a \ne 0)\)biết (P) đi qua ba điểm \(A(0; - 1),B(1; - 2),C(2; - 1).\)

Lời giải chi tiết:

Thay tọa độ 3 điểm \(A(0; - 1),B(1; - 2),C(2; - 1)\) vào phương trình của parabol ta được hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}\quad \quad c = - 1\quad \quad (1)\\a + b + c = - 2\quad \;(2)\\4a + 2b + c = - 1\quad (3)\end{array} \right.\)

Thay \(c = - 1\) vào phương trình (2) và (3) ta được hệ PT:

\(\left\{ \begin{array}{l}a + b - 1 = - 2\quad \;(2)\\4a + 2b - 1 = - 1\quad (3)\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}\;a + b = - 1\quad \;(2)\\4a + 2b = 0\quad (3)\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình (1) với -2, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) ta được hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}\;a + b = - 1\quad \;(2)\\\quad 2a = 2\quad (3.1)\end{array} \right.\)

Từ phương trình (3.1) ta có \(a = 1\)

Thay \(a = 1\) vào PT (2) ta được \(b = - 2\)

Vậy phương trình của parabpol (P) là \(y = {x^2} - 2x - 1\)