Chuyên đề học tập Toán Lớp 10 Chân trời sáng tạo

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[Chuyên đề học tập Toán Lớp 10 Chân trời sáng tạo] Giải mục 4 trang 54, 55, 56 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Hướng dẫn học bài: Giải mục 4 trang 54, 55, 56 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo - Môn Toán học Lớp 10 Lớp 10. Đây là sách giáo khoa nằm trong bộ sách 'Chuyên đề học tập Toán Lớp 10 Chân trời sáng tạo Lớp 10' được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết các bé sẽ nắm bài học tốt hơn.

HĐ4

Cho điểm M (x; y) trên hypebol (H) \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), và hai đường thẳng \({\Delta _1}:x + \frac{a}{e} = 0\) và \({\Delta _2}:x - \frac{a}{e} = 0\) (Hình 7). Gọi \(d(M,{\Delta _1}),d(M,{\Delta _2})\) lần lượt là khoảng cách từ M đến các đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}.\)

Ta có \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{\left| {a + ex} \right|}}{{\left| {x + \frac{a}{e}} \right|}} = \frac{{\left| {a + ex} \right|}}{{\frac{{\left| {a + ex} \right|}}{e}}} = e\)

Dựa theo cách tính trên, tính \(\frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(M{F_2} = \left| {a - ex} \right|\); \(d(M,{\Delta _2}) = \left| {x - \frac{a}{e}} \right|\)

\( \Rightarrow \frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{\left| {a - ex} \right|}}{{\left| {x - \frac{a}{e}} \right|}} = \frac{{\left| {a - ex} \right|}}{{\frac{{\left| {a - ex} \right|}}{e}}} = e\) ;

Vậy \(\frac{{M{F_1}}}{{d(M,{\Delta _1})}} = \frac{{M{F_2}}}{{d(M,{\Delta _2})}} = e.\)

Thực hành 4

Tìm tọa độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng của các hypebol sau:

a) \(({H_1}):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)

b) \(({H_2}):\frac{{{x^2}}}{{36}} - \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\)

c) \(({H_3}):\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\)

Phương pháp giải:

Cho hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( - c;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{a}{e} = 0\)

+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}(c;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x - \frac{a}{e} = 0\)

Lời giải chi tiết:

a) Hypebol \(({H_1})\) có \(a = 2,b = 1\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt 5 ,e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 5 }}{2};\frac{a}{e} = \frac{{4\sqrt 5 }}{5}\)

+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( - \sqrt 5 ;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{{4\sqrt 5 }}{5} = 0\)

+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}\left( {\sqrt 5 ;0} \right)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x - \frac{{4\sqrt 5 }}{5} = 0\)

b) Hypebol \(({H_2})\) có \(a = 6,b = 8\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 10,e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3};\frac{a}{e} = \frac{{18}}{5}\)

+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( - 10;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{{18}}{5} = 0\)

+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}\left( {10;0} \right)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x - \frac{{18}}{5} = 0\)

c) Hypebol \(({H_3})\) có \(a = b = 3\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 3\sqrt 2 ,e = \frac{c}{a} = \sqrt 2 ;\frac{a}{e} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)

+ Ứng với tiêu điểm \({F_1}( - 3\sqrt 2 ;0)\), có đường chuẩn \({\Delta _1}:x + \frac{{3\sqrt 2 }}{2} = 0\)

+ Ứng với tiêu điểm \({F_2}\left( {3\sqrt 2 ;0} \right)\), có đường chuẩn \({\Delta _2}:x - \frac{{3\sqrt 2 }}{2} = 0\)

Vận dụng 5

Lập phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 26 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là \(\frac{{288}}{{13}}\).

Phương pháp giải:

Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

+ Tiêu cự: \(2c = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

+ Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là: \(\frac{{2a}}{e}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi hypebol (H) cần tìm là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). \((0 < b < a)\)

+ Tiêu cự: \(2c = 26 \Leftrightarrow c = 13\)

+ Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là: \(\frac{{2a}}{e} = 2.\frac{{{a^2}}}{c} = \frac{{288}}{{13}} \Rightarrow a = 12\)