Đề thi, đề kiểm tra Toán Lớp 12 Kết nối tri thức

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[Đề thi, đề kiểm tra Toán Lớp 12 Kết nối tri thức] Đề thi giữa kì 1 Toán 12 - Đề số 5

Bài giới thiệu chi tiết về Đề thi giữa kì 1 Toán 12 - Đề số 5 1. Tổng quan về bài học

Bài học này tập trung vào việc cung cấp một đề thi giữa kì 1 Toán 12 - Đề số 5, giúp học sinh ôn tập và đánh giá kiến thức đã học trong học kì 1. Mục tiêu chính là giúp học sinh:
Nắm vững các kiến thức trọng tâm của chương trình Toán 12 học kì 1.
Áp dụng các kiến thức đó vào giải quyết các bài toán.
Thử thách khả năng tư duy logic và giải quyết vấn đề.
Tự đánh giá năng lực học tập của mình.

2. Kiến thức và kỹ năng

Bài học bao gồm các dạng bài tập về:

Giải tích: Hàm số, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân, ứng dụng của đạo hàm và tích phân. Hình học: Phương trình đường thẳng, mặt phẳng, đường tròn, mặt cầu, phương pháp tọa độ trong không gian. Số phức: Các phép toán trên số phức, phương trình bậc hai với hệ số thực.

Qua việc giải các bài tập trong đề thi, học sinh sẽ được củng cố và nâng cao các kỹ năng sau:
Kỹ năng đọc hiểu đề bài và phân tích bài toán.
Kỹ năng vận dụng các kiến thức đã học vào giải bài tập.
Kỹ năng trình bày lời giải một cách khoa học và chính xác.
Kỹ năng kiểm tra lại kết quả.

3. Phương pháp tiếp cận
Bài học được thiết kế dưới dạng đề thi, gồm các câu hỏi trắc nghiệm và tự luận. Học sinh cần làm bài thi và đối chiếu đáp án để tự đánh giá kết quả.

Cách thức làm bài: Học sinh nên dành thời gian làm bài thi một cách cẩn thận, tập trung và khoa học. Đọc kỹ đề bài, phân tích bài toán và suy nghĩ kỹ trước khi làm.
Kiểm tra: Sau khi hoàn thành bài thi, học sinh nên đối chiếu đáp án để xem xét kết quả của mình. Nếu có sai sót, cần tìm hiểu nguyên nhân và cách khắc phục.

4. Ứng dụng thực tế
Kiến thức và kỹ năng trong đề thi Toán 12 này có nhiều ứng dụng trong thực tế:

Kỹ thuật: Đạo hàm và tích phân được sử dụng để mô hình hóa và giải quyết các bài toán trong kỹ thuật, vật lý.
Kinh tế: Các phương pháp tính toán trong giải tích được ứng dụng để phân tích các hiện tượng kinh tế.
Khoa học: Các kiến thức hình học không gian được áp dụng để mô hình hóa các đối tượng trong không gian thực.

5. Kết nối với chương trình học

Đề thi này bao trùm các nội dung trọng tâm của chương trình Toán 12 học kỳ 1. Các chủ đề được lựa chọn nhằm đánh giá sự hiểu biết tổng quát về kiến thức đã được học, bao gồm:

Các dạng toán về hàm số. Các dạng toán về đạo hàm. Các dạng toán về nguyên hàm và tích phân. Các dạng toán về hình học không gian. 6. Hướng dẫn học tập

Để học tốt với đề thi này, học sinh nên:

Ôn tập lại lý thuyết: Tái xem lại các kiến thức đã học trong chương trình học kì 1. Làm nhiều bài tập: Thực hành giải quyết các dạng bài tập khác nhau. Đọc kĩ đề bài: Tập trung vào việc hiểu rõ yêu cầu của bài toán. Luyện kỹ năng: Rèn luyện kỹ năng tư duy logic và giải quyết vấn đề. * Chia sẻ khó khăn: Hỏi thầy cô giáo hoặc bạn bè khi gặp khó khăn. Tiêu đề Meta (tối đa 60 ký tự):

Đề thi Toán 12 HK1 - Đề số 5

Mô tả Meta (khoảng 150-160 ký tự):

Đề thi Toán 12 học kì 1 - Đề số 5 bao gồm các dạng bài tập trắc nghiệm và tự luận, giúp học sinh ôn tập và đánh giá kiến thức về Giải tích và Hình học không gian. Đề thi bao trùm các chủ đề trọng tâm của chương trình học kì 1. Tải đề và đáp án ngay!

Từ khóa:

1. Đề thi Toán 12
2. Đề thi giữa kì 1 Toán 12
3. Đề số 5
4. Toán 12 học kì 1
5. Giải tích 12
6. Hình học không gian 12
7. Hàm số
8. Đạo hàm
9. Nguyên hàm
10. Tích phân
11. Phương trình đường thẳng
12. Phương trình mặt phẳng
13. Phương trình đường tròn
14. Phương trình mặt cầu
15. Số phức
16. Toán học lớp 12
17. Ôn tập Toán 12
18. Kiểm tra Toán 12
19. Đáp án đề thi
20. Tải đề thi
21. ôn tập học kì 1
22. đề thi thử
23. bài tập trắc nghiệm
24. bài tập tự luận
25. hướng dẫn giải
26. ôn thi
27. học tốt
28. nâng cao
29. chương trình học
30. kiến thức trọng tâm
31. kỹ năng giải toán
32. ứng dụng thực tế
33. phương pháp học tập
34. tài liệu học tập
35. ôn tập cuối kì
36. đề thi mẫu
37. tài liệu tham khảo
38. đáp án chi tiết
39. hướng dẫn giải chi tiết
40. đề thi giữa kỳ

Đề bài

Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 :

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau:

Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề sai?

i) Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞;-5) và (-3;-2).

ii) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞;5).

iii) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-2;+∞).

iv) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞;-2).

A.

1
B.

2
C.

3
D.

4

Câu 2 :

Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số nào sau đây?

A.

\(y = \frac{{2 - 2x}}{{x + 1}}\)
B.

\(y = 2{x^3} - x + 1\)
C.

\(y = \frac{{ - 2x + 1}}{{x + 2}}\)
D.

\(y = {x^4} + 2{x^2} + 2\)

Câu 3 :

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên.

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số g(x) = 2f(x) – 1trên đoạn [–1;2].

A.

3
B.

4
C.

5
D.

6

Câu 4 :

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

A.

1
B.

3
C.

2
D.

4

Câu 5 :

Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{x^2} - 9x + 3}}{{x + 2}}\) là:

A.

y = 2x + 13
B.

y = -2x + 13
C.

y = 2x - 13
D.

y = -2x - 13

Câu 6 :

Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 3}}{{x - 1}}\) là:

A.

(2;1)
B.

(-1;3)
C.

(3;2)
D.

(2;3)

Câu 7 :

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \)
B.

\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \)
C.

\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BD} \)
D.

\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {A'C} \)

Câu 8 :

Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây?

A.

\(y = - {x^3} + 3{x^2} + 1\)
B.

\(y = - {x^3} + 3x + 1\)
C.

\(y = {x^3} - 3x + 1\)
D.

\(y = - {x^3} - 3x + 1\)

Câu 9 :

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2\sin x + \sin 2x\) trên đoạn \(\left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) là:

A.

-2
B.

2
C.

0
D.

\(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\)

Câu 10 :

Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

A.

\(y = {x^3} + 3{x^2} - 4\)
B.

\(y = - {x^3} + 3{x^2} + 4\)
C.

\(y = {x^3} + 3{x^2} + 4\)
D.

\(y = - {x^3} + 3{x^2} - 4\)

Câu 11 :

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(2;3;1), N(3;1;5). Tọa độ của vecto \(\overrightarrow {MN} \) là

A.

(-5;-4;-6)
B.

(5;4;6)
C.

(-1;2;-4)
D.

(1;-2;4)

Câu 12 :

Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz, cho hai vecto \(\overrightarrow u = \overrightarrow i + 3\overrightarrow j + 2\overrightarrow k \), \(\overrightarrow v = 2\overrightarrow i + \overrightarrow j + 5\overrightarrow k \). Tích \(\overrightarrow u .\overrightarrow v \) bằng:

A.

0
B.

6
C.

15
D.

3

Phần II: Câu trắc nghiệm đúng sai.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 :

Cho hàm số f(x) xác định trên R\{3} có bảng biến thiên như sau:

a) Hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng xác định

Đúng

Sai

b) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 1

Đúng

Sai

c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất bằng 1

Đúng

Sai

d) Đồ thị hàm số f(x) có hai đường tiệm cận

Đúng

Sai

Câu 2 :

Cho hàm số \(f(x) = {x^4} - 10{x^2} - 4\).

a) Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng

Đúng

Sai

b) Hàm số có 3 điểm cực trị

Đúng

Sai

c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất trên đoạn [0;9] bằng -4

Đúng

Sai

d) Hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [2;19] bằng -29

Đúng

Sai

Câu 3 :

Trong không gian Oxyz, cho vecto \(\overrightarrow a = (2;1; - 2)\), \(\overrightarrow b = (0; - 1;1)\).

a) \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 3\)

Đúng

Sai

b) \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = (2;0; - 1)\)

Đúng

Sai

c) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 1\)

Đúng

Sai

d) Góc giữa hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) bằng \({60^o}\)

Đúng

Sai

Phần III: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1 :

Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \sqrt {3 - 2x - {x^2}} \) bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Câu 2 :

Biết rằng đồ thị hàm số \(y = \frac{{(n - 3)x + n - 2017}}{{x + m + 3}}\) nhận trục hoành làm tiệm cận ngang và trục tung làm tiệm cận đứng. Khi đó, giá trị của m + n bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Câu 3 :

Một em nhỏ cân nặng m = 25 kg trượt trên cầu trượt dài 3,5 m. Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là \({30^o}\). Độ lớn của trọng lực \(\overrightarrow P = m\overrightarrow g \) tác dụng lên em nhỏ, cho biết vecto gia tốc rơi tự do \(\overrightarrow g \) có độ lớn là 9,8 \(m/{s^2}\). Công A (J) sinh bởi một lực \(\overrightarrow F \) có độ dịch chuyển \(\overrightarrow d \) được tính bởi công thức \(A = \overrightarrow F .\overrightarrow d \). Hãy tính công sinh bởi trong lực \(\overrightarrow P \) khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt (làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án:

Câu 4 :

Một tấm kẽm hình vuông ABCD có cạnh bằng 30 cm. Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh EF và GH cho đến khi AD và BC trùng nhau (như hình) để được một lăng trụ khuyết hai đáy.

Tìm giá trị của x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất.

Đáp án:

Câu 5 :

Giả sử không gian ngoài vũ trụ được xét theo hệ tọa độ Oxyz, một phi thuyền ở ngoài không gian đang ở vị trí gốc tọa độ. Có 3 vệ tinh nhân tạo lần lượt ở 3 vị trí A(2500; 4700; -3600), B(3700; 1100; 2900), C(-5000; -4000; -7100), phi thuyền cần đến vị trí trọng tâm của 3 vệ tinh A, B, C để nhận và truyền tín hiệu đến các vệ tinh. Quãng đường mà phi thuyền cần di chuyển để đến được trọng tâm của 3 vệ tinh là bao nhiêu (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Đáp án:

Câu 6 :

Dân số của một quốc gia sau t năm kể từ năm 2023 được ước tính bởi công thức \(N(t) = 100{e^{0,012t}}\) (N(t) được tính bằng triệu người), \(0 \le t \le 50\)). Đạo hàm của hàm số N(t) biểu thị tốc độ tăng trưởng dân số của quốc gia đó (tính bằng triệu người/năm). Vào năm nào tốc độ tăng trưởng dân số của quốc gia đó là 1,5 triệu người/năm?

Đáp án:

Lời giải và đáp án

Phần I: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 :

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau:

Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề sai?

i) Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞;-5) và (-3;-2).

ii) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞;5).

iii) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-2;+∞).

iv) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞;-2).

A.

1
B.

2
C.

3
D.

4

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞;-2); nghịch biến trên khoảng (-2;+∞).

Suy ra ii) Sai; iii) Đúng; iv) Đúng.

Ta thấy khoảng (-∞;-3) chứa khoảng (-∞;-5) nên i) Đúng.

Vậy chỉ có ii) sai.

Câu 2 :

Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số nào sau đây?

A.

\(y = \frac{{2 - 2x}}{{x + 1}}\)
B.

\(y = 2{x^3} - x + 1\)
C.

\(y = \frac{{ - 2x + 1}}{{x + 2}}\)
D.

\(y = {x^4} + 2{x^2} + 2\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

Ta có đây là đồ thị hàm số dạng \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\).

Mặt khác, đồ thị có tiệm cận đứng x = -1.

Câu 3 :

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên.

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số g(x) = 2f(x) – 1trên đoạn [–1;2].

A.

3
B.

4
C.

5
D.

6

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

Dựa vào đồ thị ta thấy:

\(\mathop {\max }\limits_{[ - 1;2]} f(x) = 3\).

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{[ - 1;2]} g(x) = 2\mathop {\max }\limits_{[ - 1;2]} f(x) - 1 = 2.3 - 1 = 5\).

Câu 4 :

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

A.

1
B.

3
C.

2
D.

4

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

Dựa vào bảng biến thiên ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ + }} f(x) = - \infty \) nên x = 0, x = -2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Mặt khác: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 0\) nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị có ba tiệm cận.

Câu 5 :

Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2{x^2} - 9x + 3}}{{x + 2}}\) là:

A.

y = 2x + 13
B.

y = -2x + 13
C.

y = 2x - 13
D.

y = -2x - 13

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Thực hiện phép chia đa thức (ở tử) cho đa thức (ở mẫu) ta được \(y = ax + b + \frac{M}{{cx + d}}\)(a≠0) với M là hằng số.

Đường thẳng y = ax + b (a≠0) gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0\).

Kết luận đường thẳng y = ax +b là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(y = \frac{{2{x^2} - 9x + 3}}{{x + 2}} = 2x - 13 + \frac{{29}}{{x + 2}} = f(x)\).

Từ đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - (2x - 13)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{29}}{{x + 2}} = 0\).

Vậy đường thẳng y = 2x - 13 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Câu 6 :

Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 3}}{{x - 1}}\) là:

A.

(2;1)
B.

(-1;3)
C.

(3;2)
D.

(2;3)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị và tìm giao điểm của chúng.

Lời giải chi tiết :

Tiệm cận ngang của đồ thị là y = 3, tiệm cận đứng của đồ thị là x = 2 nên tâm đối xứng có tọa độ (2;3).

Câu 7 :

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \)
B.

\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \)
C.

\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BD} \)
D.

\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {A'C} \)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào quy tắc ba điểm, khái niệm hai vecto bằng nhau và quy tắc hình hộp.

Lời giải chi tiết :

A sai vì \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) ngược hướng.

B đúng (theo quy tắc hình hộp).

C sai (theo quy tắc ba điểm).

D sai (theo quy tắc hình hộp).

Câu 8 :

Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây?

A.

\(y = - {x^3} + 3{x^2} + 1\)
B.

\(y = - {x^3} + 3x + 1\)
C.

\(y = {x^3} - 3x + 1\)
D.

\(y = - {x^3} - 3x + 1\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

Dựa vào đồ thị ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \) nên hệ số a < 0. Loại đáp án C.

Hàm số có hai điểm cực trị \({x_1} < 0 < {x_2}\) nên y’ = 0 có hai nghiệm trái dấu.

Xét đáp án A, có \(y' = - 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \) x = 0 hoặc x = 2 (loại).

Xét đáp án D, có \(y' = - 3{x^2} - 3x < 0\) \((\forall x \in \mathbb{R})\) (loại).

Câu 9 :

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2\sin x + \sin 2x\) trên đoạn \(\left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) là:

A.

-2
B.

2
C.

0
D.

\(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Tìm đạo hàm của hàm số sau đó tính các giá trị f(x).

Lời giải chi tiết :

\(f'(x) = 2\cos x + 2\cos 2x = 4\cos \frac{x}{2}\cos \frac{{3x}}{2}\).

Vì \(x \in \left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) nên \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0,x = \frac{\pi }{3}\).

Ta có: \(f\left( 0 \right) = 0\); \(f\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\); \(f\left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) = \frac{{2 - \sqrt 3 }}{2}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2\sin x + \sin 2x\) trên đoạn \(\left[ {\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right]\) bằng 0.

Câu 10 :

Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

A.

\(y = {x^3} + 3{x^2} - 4\)
B.

\(y = - {x^3} + 3{x^2} + 4\)
C.

\(y = {x^3} + 3{x^2} + 4\)
D.

\(y = - {x^3} + 3{x^2} - 4\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào sự biến thiên, cực trị và các điểm hàm số đi qua để lập hệ phương trình tìm hệ số.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(f'(x) = 3a{x^2} + 2bx + c\).

Đồ thị hàm số đạt cực trị tại điểm (0;-4) và (2;0) nên ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f'(0) = 0}\\{f(0) = - 4}\\{f'(2) = 0}\\{f(2) = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = 0}\\{d = - 4}\\{12a + 4b + c = 0}\\{8a + 4b + 2c + d = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3a + b = 0}\\{2a + b = 1}\\{c = 0}\\{d = - 4}\end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 1}\\{b = 3}\\{c = 0}\\{d = - 4}\end{array}} \right.\)

Vậy hàm số cần tìm là \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 4\).

Câu 11 :

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(2;3;1), N(3;1;5). Tọa độ của vecto \(\overrightarrow {MN} \) là

A.

(-5;-4;-6)
B.

(5;4;6)
C.

(-1;2;-4)
D.

(1;-2;4)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

\(\overrightarrow {MN} = ({x_N} - {x_M};{y_N} - {y_M};{z_N} - {z_M})\).

Lời giải chi tiết :

\(\overrightarrow {MN} = ({x_N} - {x_M};{y_N} - {y_M};{z_N} - {z_M}) = (3 - 2;1 - 3;5 - 1) = (1; - 2;4)\).

Câu 12 :

A.

0
B.

6
C.

15
D.

3

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính tọa độ tích vô hướng của hai vecto.

Lời giải chi tiết :

Theo giả thiết, ta có: \(\overrightarrow u = (1;3;2)\), \(\overrightarrow v = (2;1;5)\).

Khi đó: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = 1.2 + 3.1 + 2.5 = 15\).

Phần II: Câu trắc nghiệm đúng sai.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 :

Cho hàm số f(x) xác định trên R\{3} có bảng biến thiên như sau:

a) Hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng xác định

Đúng

Sai

b) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 1

Đúng

Sai

c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất bằng 1

Đúng

Sai

d) Đồ thị hàm số f(x) có hai đường tiệm cận

Đúng

Sai

Đáp án

a) Hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng xác định

Đúng

Sai

b) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 1

Đúng

Sai

c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất bằng 1

Đúng

Sai

d) Đồ thị hàm số f(x) có hai đường tiệm cận

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

a) Sai. Hàm số f(x) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.

b) Sai. Hàm số không có điểm cực trị.

c) Sai. Hàm số f(x) không có giá trị lớn nhất.

d) Đúng. Đồ thị hàm số f(x) có hai đường tiệm cận là x = 3, y = 1.

Câu 2 :

Cho hàm số \(f(x) = {x^4} - 10{x^2} - 4\).

a) Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng

Đúng

Sai

b) Hàm số có 3 điểm cực trị

Đúng

Sai

c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất trên đoạn [0;9] bằng -4

Đúng

Sai

d) Hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [2;19] bằng -29

Đúng

Sai

Đáp án

a) Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng

Đúng

Sai

b) Hàm số có 3 điểm cực trị

Đúng

Sai

c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất trên đoạn [0;9] bằng -4

Đúng

Sai

d) Hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [2;19] bằng -29

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Lập bảng biến thiên và nhận xét.

Lời giải chi tiết :

\(f'(x) = 4{x^3} - 20x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = \sqrt 5 }\\{x = - \sqrt 5 \notin [0;9]}\end{array}} \right.\)

Ta có: f(0) = -4; \(f(\sqrt 5 ) = - 29\); f(9) = 5747.

a) Sai. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng \((0;\sqrt 5 )\) và đồng biến trên khoảng \((\sqrt 5 ; + \infty )\).

b) Đúng. Hàm số có 3 điểm cực trị (\(x = - \sqrt 5 \), x = 0, \(x = \sqrt 5 \)).

c) Sai. Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất trên đoạn [0;9] bằng 5747.

d) Đúng. Hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [2;19] bằng -29.

Câu 3 :

Trong không gian Oxyz, cho vecto \(\overrightarrow a = (2;1; - 2)\), \(\overrightarrow b = (0; - 1;1)\).

a) \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 3\)

Đúng

Sai

b) \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = (2;0; - 1)\)

Đúng

Sai

c) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 1\)

Đúng

Sai

d) Góc giữa hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) bằng \({60^o}\)

Đúng

Sai

Đáp án

a) \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 3\)

Đúng

Sai

b) \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = (2;0; - 1)\)

Đúng

Sai

c) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 1\)

Đúng

Sai

d) Góc giữa hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) bằng \({60^o}\)

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Sử dụng các quy tắc cộng vecto, công thức tính tích vô hướng của hai vecto, độ dài vecto, góc giữa hai vecto.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng. Vì \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} = 3\).

b) Đúng. Vì \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = (2 + 0;1 - 1; - 2 + 1) = (2;0; - 1)\).

c) Sai. Vì \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 2.0 + 1.( - 1) - 2.1 = - 3\).

d) Sai. Vì \[\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 3}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {{( - 1)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}\] nên góc giữa hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) bằng \({135^o}\).

Phần III: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1 :

Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \sqrt {3 - 2x - {x^2}} \) bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

- Tính y’, tìm các nghiệm của y’ = 0

- Tìm giá trị y tại các điểm cực trị của hàm số và hai đầu mút của đoạn.

Lời giải chi tiết :

Tập xác định: [-3;1].

Ta có: \(f'(x) = \frac{{ - 2 - 2x}}{{2\sqrt {3 - 2x - {x^2}} }} = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {3 - 2x - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow x = - 1\).

f(-3) = 0; f(-1) = 2; f(1) = 0.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2.

Câu 2 :

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc tìm đường tiệm cận của hàm phân thức.

Lời giải chi tiết :

Đồ thị nhận trục hoành làm tiệm cận ngang, tức \(n - 3 = 0 \Leftrightarrow n = 3\).

Đồ thị nhận trục tung làm tiệm cận đứng, tức \( - m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 3\).

Vậy m + n = -3 + 3 = 0.

Câu 3 :

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính tích vô hướng của hai vecto trong không gian.

Lời giải chi tiết :

Độ lớn trọng lực tác dụng lên em nhỏ là: P = m.g = 25.9,8 = 245 (N).

Góc giữa hai vecto \(\overrightarrow P \) và \(\overrightarrow d \) là: \(\widehat {CAB} = {90^o} - \widehat {ABC} = {90^o} - {30^o} = {60^o}\).

Ta có: \(A = \overrightarrow F .\overrightarrow d = \overrightarrow P .\overrightarrow d = Pd\cos \left( {\overrightarrow P ,\overrightarrow d } \right) = 245.3,5.\cos {60^o} = 428,75 \approx 429\) (J).

Câu 4 :

Tìm giá trị của x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất.

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Thiết lập hàm số biểu diễn thể tích lăng trụ theo x. Lập bảng biến thiên và tìm giá trị lớn nhất của hàm số đó.

Lời giải chi tiết :

Ta có: DF = CH = x, FH = 30 – 2x. Suy ra chu vi tam giác DHF là p = 15.

Thể tích khối lăng trụ là: \(V = {S_{DHF}}.EF = 30\sqrt {15(15 - x)(15 - x)(15 - 30 + 2x)} \)

\( = 30\sqrt {15{{(15 - x)}^2}(2x - 15)} \), \(x \in \left( {\frac{{15}}{2};15} \right)\).

Xét hàm số \(f(x) = {(15 - x)^2}(2x - 15)\).

\(f'(x) = - 2(15 - x)(2x - 15) + 2{(15 - x)^2} = - 2(15 - x)(3x - 30)\)

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 10}\\{x = 15}\end{array}} \right.\)

Dựa vào bảng biến thiên, thể tích lăng trụ lớn nhất khi x = 10 (cm).

Câu 5 :

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Gọi điểm G là trọng tâm của tam giác ABC. Tính khoảng cách OG.

Lời giải chi tiết :

Gọi điểm G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó:

\(G\left( {\frac{{2500 + 3700 - 5000}}{3};\frac{{4700 + 1100 - 4000}}{3};\frac{{ - 3600 + 2900 - 7100}}{3}} \right) = \left( {400;600; - 2600} \right)\).

Phi thuyền đang ở vị trí gốc tọa độ, cần di chuyển đến vị trí trọng tâm G của 3 vệ tinh A, B, C nên quãng đường cần di chuyển bằng độ dài vecto \(\overrightarrow {OG} = \left( {400;600; - 2600} \right)\).

Độ dài vecto \(\overrightarrow {OG} \) là \(\sqrt {{{400}^2} + {{600}^2} + {{( - 2600)}^2}} \approx 2698\).

Câu 6 :

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Tìm N’(t) và giải phương trình N’(t) = 1,5.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(N'(t) = 100.0,012{e^{0,012t}} = 1,2{e^{0,012t}}\).

Tốc độ tăng trưởng dân số đạt 1,5 triệu người/năm tức là \(N'(t) = 1,5 \Leftrightarrow 1,2{e^{0,012t}} = 1,5 \Leftrightarrow t \approx 18,6\).

Vậy, vào năm 2023 + 18 = 2041, tốc độ tăng trưởng dân số của quốc gia đó là 1,5 triệu người/năm.