SGK Toán Lớp 10 Chân Trời Sáng Tạo

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[SGK Toán Lớp 10 Chân Trời Sáng Tạo] Bài 1. Dấu của tam thức bậc hai

Hướng dẫn học bài: Bài 1. Dấu của tam thức bậc hai - Môn Toán học Lớp 10 Lớp 10. Đây là sách giáo khoa nằm trong bộ sách 'SGK Toán Lớp 10 Chân Trời Sáng Tạo Lớp 10' được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết các bé sẽ nắm bài học tốt hơn.

Đề bài

Tìm giá trị của m để:

a) \(2{x^2} + 3x + m + 1 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\);

b) \(m{x^2} + 5x - 3 \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Bước 1: Tính \(\Delta \) và xác định dấu của a

Bước 2: \(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi \(a > 0\) và \(\Delta < 0\)

b) Bước 1: Tính \(\Delta \) và xác định dấu của a

Bước 2: \(f\left( x \right) \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi \(a < 0\) và \(\Delta \le 0\)

Lời giải chi tiết

a) Tam thức \(2{x^2} + 3x + m + 1\) có \(\Delta = {3^2} - 4.2.\left( {m + 1} \right) = 1 - 8m\)

Vì \(a = 2 > 0\) nên để \(2{x^2} + 3x + m + 1 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(\Delta < 0 \Leftrightarrow 1 - 8m < 0 \Leftrightarrow m > \frac{1}{8}\)

Vậy khi \(m > \frac{1}{8}\) thì \(2{x^2} + 3x + m + 1 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

b) Tam thức \(m{x^2} + 5x - 3\) có \(\Delta = {5^2} - 4.m.\left( { - 3} \right) = 25 + 12m\)

Đề \(m{x^2} + 5x - 3 \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(m < 0\) và \(\Delta = 25 + 12m \le 0 \Leftrightarrow m \le - \frac{{25}}{{12}}\)

Vậy \(m{x^2} + 5x - 3 \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi \(m \le - \frac{{25}}{{12}}\)

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi số thực m ta luôn có \(9{m^2} + 2m > - 3\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Chuyển bất phương trình tương đương với \(f\left( x \right) = 9{m^2} + 2m + 3 > 0\)

Bước 2: Tính \(\Delta \) và chỉ ra dấu của \(\Delta \)âm

Bước 3: Áp dụng tính chất của tam thức bậc hai

Lời giải chi tiết

Yêu cầu bài toán tương đương chứng minh \(f\left( x \right) = 9{m^2} + 2m + 3 > 0\) với mọi m

Tam thức có \(\Delta = {2^2} - 4.9.3 = - 104 < 0\)

Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai ta có

\(\Delta < 0\) và \(a = 9 > 0\) nên \(f\left( x \right)\) cùng dấu với a với mọi m

Vậy \(f\left( x \right) = 9{m^2} + 2m + 3 > 0\) với mọi m \( \Leftrightarrow 9{m^2} + 2m > - 3\)với mọi m.

Đề bài

Một khung dây thép hình chữ nhật có chiều dài 20 cm và chiều rộng 15 cm được uốn lại thành hình chữ nhật mới có kích thước \(\left( {20 + x} \right)\) cm và \(\left( {15 - x} \right)\) cm. Với x nằm trong các khoảng nào thì diện tích của khung sau khi uốn: tăng lên, không thay đổi, giảm đi?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Lập hiệu giữa diện tích mới và diện tích cũ \(f\left( x \right) = 20.15 - \left( {20 + x} \right)\left( {15 - x} \right)\) với \(x > 0\)

Bước 2: Tìm các khoảng thỏa mãn yêu cầu

+) Khoảng mà \(f\left( x \right) > 0\) là khoảng diện tích tăng lên

+) Khoảng mà \(f\left( x \right) < 0\) là khoảng diện tích giảm đi

+) Khoảng mà \(f\left( x \right) = 0\) là khoảng diện tích không đổi

Lời giải chi tiết

Theo giải thiết ta có tam thức sau: \(f\left( x \right) = 20.15 - \left( {20 + x} \right)\left( {15 - x} \right) = {x^2} + 5x\)

Tam thức có \(\Delta = 25 > 0\), có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = 0;{x_2} = -5\)

Vậy khoảng diện tích tăng lên là \(x>0\) và \(x<-5\), khoảng diện giảm đi là \(x \in(-5;0)\) và diện tích không đổi khi \(x = 0\) và \(x = -5\)

Đề bài

Độ cao (tính bằng mét) của một quả bóng so với vành rổ khi bóng di chuyển được x mét theo phương ngang được mô phỏng bằng hàm số \(h\left( x \right) = - 0,1{x^2} + x - 1\). Trong các khoảng nào của x thì bóng nằm: cao hơn vành rổ, thấp hơn vành rổ và ngang vành rổ? Làm tròn các kết quả đến hàng phần mười.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Tính và xác định dấu của biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\)

Bước 2: Xác định nghiệm của \(h\left( x \right)\) (nếu có) \(x = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\)

Bước 3: Lập bảng xét dấu

Bước 4: Dựa vào bảng xét dấu đưa ra các khoảng theo yêu cầu

+) Khoảng mà \(h\left( x \right) > 0\) là khoảng bóng nằm cao hơn vành rổ

+) Khoảng mà \(h\left( x \right) < 0\) là khoảng bóng nằm thấp hơn vành rổ

+) Khoảng mà \(h\left( x \right) = 0\) là khoảng bóng nằm ngang vành rổ

Lời giải chi tiết

\(h\left( x \right) = - 0,1{x^2} + x - 1\) có \(\Delta = \frac{3}{5} > 0\), có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = 5 - \sqrt {15} ;{x_2} = 5 + \sqrt {15} \)

Ta có bảng xét dấu như sau

Vậy khoảng bóng nằm trên vành rổ là \(x \in \left( {1,2;8,9} \right)\)mét khoảng bóng nằm dưới vành rổ là \(x \in \left( { - \infty ;1,2} \right) \cup \left( {8,9; + \infty } \right)\) mét khoảng bóng nằm ngang vành rổ là \(x \simeq \left\{ {1,2;8,9} \right\}\)

Đề bài

Xét dấu của các tam thức bậc hai sau đây:

a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} + 4x + 2\)

b) \(f\left( x \right) = - 3{x^2} + 2x + 21\)

c) \(f\left( x \right) = - 2{x^2} + x - 2\)

d) \(f\left( x \right) = - 4x(x + 3) - 9\)

e) \(f\left( x \right) = \left( {2x + 5} \right)\left( {x - 3} \right)\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Tính và xác định dấu của biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\)

Bước 2: Xác định nghiệm của \(f\left( x \right)\) (nếu có) \(x = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\)

Bước 3: Xác định dấu của hệ số \(a\)

Bước 4: Xác định dấu của \(f\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết

a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} + 4x + 2\) có \(\Delta = 0\), có nghiệm kép là \({x_1} = {x_2} = - 1\)

và \(a = 2 > 0\)

Ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy \(f\left( x \right)\) dương với mọi \(x \ne - 1\)

b) \(f\left( x \right) = - 3{x^2} + 2x + 21\) có \(\Delta = 256 > 0\), hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = - \frac{7}{3};{x_2} = 3\)

và \(a = - 3 < 0\)

Ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy \(f\left( x \right)\) dương với \(x \in \left( { - \frac{7}{3};3} \right)\) và âm khi \(x \in \left( { - \infty ; - \frac{7}{3}} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)

c) \(f\left( x \right) = - 2{x^2} + x - 2\) có \(\Delta = - 15 < 0\), tam thức vô nghiệm

và \(a = - 2 < 0\)

Ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy \(f\left( x \right)\) âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

d) \(f\left( x \right) = - 4x\left( {x + 3} \right) - 9 = - 4{x^2} - 12x - 9\) có \(\Delta = 0\), tam thức có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = - \frac{3}{2}\) và \(a = - 4 < 0\)

Ta có bảng xét dấu như sau

Vậy \(f\left( x \right)\) âm với mọi \(x \ne - \frac{3}{2}\)

e) \(f\left( x \right) = \left( {2x + 5} \right)\left( {x - 3} \right) = 2{x^2} - x - 15\) có \(\Delta = 121 > 0\), có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = - \frac{5}{2};{x_2} = 3\) và có \(a = 2 > 0\)

Ta có bảng xét dấu như sau

Vậy \(f\left( x \right)\) âm với \(x \in \left( { - \frac{5}{2};3} \right)\) và dương khi \(x \in \left( { - \infty ; - \frac{5}{2}} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)

Đề bài

Dựa vào đồ thị của các hàm số bậc hai sau đây, hãy lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai tương ứng

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Xác định nghiệm của tam thức (là giao điểm của đồ thị với trục hoành)

Bước 2: Xác định khoảng mà \(f\left( x \right) > 0\) (khoảng đồ thị nằm trên trục hoành)

Bước 3: Xác định khoảng mà \(f\left( x \right) < 0\) (khoảng đồ thị nằm dưới trục hoành)

Bước 4: Lập bảng xét dấu

Lời giải chi tiết

a) Tam thức \(f\left( x \right) = {x^2} + 1,5x - 1\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = - 2;{x_2} = \frac{1}{2}\)

\(\)\(f\left( x \right) > 0\) khi \(x \in \left( { - \infty , - 2} \right) \cup \left( {\frac{1}{2}, + \infty } \right)\) và \(f\left( x \right) < 0\) khi \(x \in \left( { - 2,\frac{1}{2}} \right)\)

Ta có bảng xét dấu như sau

b) Tam thức \(g\left( x \right) = {x^2} + x + 1\) vô nghiệm, \(g\left( x \right) > 0\forall x \in \mathbb{R}\)

Ta có bảng xét dấu như sau

c) Tam thức \(h\left( x \right) = - 9{x^2} - 12x - 4\) có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = - \frac{2}{3}\) và \(h\left( x \right) < 0\forall x \ne - \frac{2}{3}\)

Ta có bảng xét dấu như sau

d) Tam thức \(f\left( x \right) = - 0,5{x^2} + 3x - 6\) vô nghiệm và \(f\left( x \right) < 0\forall x \in \mathbb{R}\)

Ta có bảng xét dấu như sau:

e) Tam thức \(g\left( x \right) = - {x^2} - 0,5x + 3\) có hai nghiệm \({x_1} = - 2,{x_2} = \frac{3}{2}\)

\(g\left( x \right) > 0\) khi \(x \in \left( { - 2,\frac{3}{2}} \right)\) và \(g\left( x \right) < 0\) khi \(x \in \left( { - \infty , - 2} \right) \cup \left( {\frac{3}{2}, + \infty } \right)\)

Ta có bảng xét dấu như

g) Tam thức \(h\left( x \right) = {x^2} + 2\sqrt 2 x + 2\) có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = - \sqrt 2 \)

\(h\left( x \right) > 0\forall x \ne - \sqrt 2 \)

Ta có bảng xét dấu như sau

Đề bài

Xác định giá trị của m để các đa thức sau là tam thức bậc hai

a) \(\left( {m + 1} \right){x^2} + 2x + m\)

b) \(m{x^3} + 2{x^2} - x + m\)

c) \( - 5{x^2} + 2x - m + 1\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Xác định \(a\) là hệ số của \({x^2}\)

Bước 2: Đa thức \(a{x^2} + bx + c\)được gọi là tam thức bậc hai khi \(a \ne 0\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(a = m + 1\)

Để đa thức \(\left( {m + 1} \right){x^2} + 2x + m\) là tam thức bậc hai khi và chỉ khi \(m + 1 \ne 0\)

\( \Leftrightarrow m \ne - 1\)

Vậy khi \(m \ne - 1\) thì đa thức \(\left( {m + 1} \right){x^2} + 2x + m\)là tam thức bậc hai

b) Ta có: \(a = 2\)

Để đa thức \(m{x^3} + 2{x^2} - x + m\) là tam thức bậc hai khi và chỉ khi \(m = 0\)

Vậy khi \(m = 0\) thì đa thức \(m{x^3} + 2{x^2} - x + m\)là tam thức bậc hai

c) Ta có \(a = - 5\)

Hệ số c không ảnh hưởng đến tam thức bậc hai

Vậy đa thức \( - 5{x^2} + 2x - m + 1\) là tam thức bậc hai với mọi m

Đề bài

Đa thức nào sau đây là tam thức bậc hai?

a) \(4{x^2} + 3x + 1\)

b) \({x^3} + 3{x^2} - 1\)

c) \(2{x^2} + 4x - 1\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tam thức bậc hai là đa thức có bậc cao nhất của biến là 2.

Lời giải chi tiết

a) Đa thức \(4{x^2} + 3x + 1\) là tam thức bậc hai

b) Đa thức \({x^3} + 3{x^2} - 1\) không là tam thức bậc hai

c) Đa thức \(2{x^2} + 4x - 1\) là tam thức bậc hai

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ Khám phá 2 Thực hành 3 Vận dụng

HĐ Khám phá 2

Quan sát đồ thị của các hàm số bậc hai trong các hình thức dưới đây. Trong mỗi trường hợp, hãy cho biết:

+) Các nghiệm (nếu có) và dấu của biệt thức \(\Delta \)

+) Các khoảng giá trị của \(x\)mà trên đó \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số của \({x^2}\)

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định nghiệm của hàm số là giao của đồ thị và trục hoành

Bước 2: Xác định biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\) và xác định dấu của nó

Bước 3: Dựa vào đồ thị xác định dấu của \(f\left( x \right)\)

+) Phần đồ thị nằm trên trục hoành là \(f\left( x \right) > 0\)

+) Phần đồ thị nằm dưới trục hoành là \(f\left( x \right) < 0\)

Lời giải chi tiết:

a) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đã cho vô nghiệm

Biệt thức \(\Delta = {2^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 2} \right) = - 4 < 0\)

Ta thấy hệ số của \({x^2}\) là \( - 1 < 0\)

Đồ thị nằm dưới trục hoành với mọi x

Nên \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số của \({x^2}\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\)

b) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đã cho có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = 1\)

Biệt thức \(\Delta = {2^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) = 0\)

Ta thấy hệ số của \({x^2}\) là \( - 1 < 0\)

Đồ thị nằm dưới trục hoành với mọi x

Nên \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số của \({x^2}\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\)

c) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = - 1;{x_2} = 3\)

Biệt thức \(\Delta = {2^2} - 4.\left( { - 1} \right).3 = 16 > 0\)

Ta thấy hệ số của \({x^2}\) là \( - 1 < 0\)

Đồ thị nằm dưới trục hoành khi \(x \in \left( { - \infty , - 1} \right) \cup \left( {3, + \infty } \right)\)

Đồ thị nằm trên trục hoành với mọi \(x \in \left( { - 1,3} \right)\)

Nên \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số của \({x^2}\) khi \(x \in \left( { - \infty , - 1} \right) \cup \left( {3, + \infty } \right)\)

d) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số bậc hai đã cho vô nghiệm

Biệt thức \(\Delta = {6^2} - 4.1.10 = - 4 < 0\)

Ta thấy hệ số của \({x^2}\) là \(1 > 0\)

Đồ thị nằm trên trục hoành với mọi \(x\)

Nên \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số của \({x^2}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

e) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đã cho có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = - 3\)

Biệt thức \(\Delta = {6^2} - 4.1.9 = 0\)

Ta thấy hệ số của \({x^2}\) là \(1 > 0\)

Đồ thị nằm trên trục hoành với mọi x

Nên \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số của \({x^2}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

g) ) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = - 4;{x_2} = - 2\)

Biệt thức \(\Delta = {6^2} - 4.1.8 = 4 > 0\)

Ta thấy hệ số của \({x^2}\) là \(1 > 0\)

Đồ thị nằm trên trục hoành khi \(x \in \left( { - \infty , - 4} \right) \cup \left( { - 2, + \infty } \right)\)

Đồ thị nằm dưới trục hoành với mọi \(x \in \left( { - 4, - 2} \right)\)

Nên \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số của \({x^2}\) khi \(x \in \left( { - \infty , - 4} \right) \cup \left( { - 2, + \infty } \right)\)

Thực hành 3

Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:

a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x - 2\)

b) \(g\left( x \right) = - {x^2} + 2x - 3\)

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính và xác định dấu của biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\)

Bước 2: Xác định nghiệm của \(f\left( x \right)\) (nếu có) \(x = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\)

Bước 3: Xác định dấu của hệ số \(a\)

Bước 4: Xác định dấu của \(f\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết:

a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x - 2\) có \(\Delta = 25 > 0\), hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = - \frac{1}{2};{x_2} = 2\)

và \(a = 2 > 0\)

Ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy \(f\left( x \right)\) âm trong khoảng \(\left( { - \frac{1}{2},2} \right)\) và dương trong hai khoảng

\(\left( { - \infty , - \frac{1}{2}} \right)\) và \(\left( {2, + \infty } \right)\)

b) \(g\left( x \right) = - {x^2} + 2x - 3\) có \(\Delta = {2^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right) = - 8 < 0\) và \(a = - 1 < 0\)

Vậy \(g\left( x \right)\)âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Vận dụng

Xét dấu tam thức bậc hai \(h\left( x \right) = - 0,006{x^2} + 1,2x - 30\) trong bài toán khởi động và cho biết ở khoảng cách nào tính từ đầu cầu O thì vòm cầu: cao hơn mặt cầu, thấp hơn mặt cầu

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính và xác định dấu của biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\)

Bước 2: Xác định nghiệm của \(h\left( x \right)\) (nếu có) \(x = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\)

Bước 3: Xác định dấu của hệ số \(a\)

Bước 4: Xác định dấu của \(h\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(h\left( x \right) = - 0,006{x^2} + 1,2x - 30\) có \(\Delta = 1,{2^2} - 4.\left( { - 0,006} \right).\left( { - 30} \right) = \frac{{18}}{{25}} > 0\), hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = 100 - 50\sqrt 2 ;{x_2} = 100 + 50\sqrt 2 \) và \(a = - 0,006 < 0\)

Ta có bảng xét dấu \(h\left( x \right)\) như sau:

Vậy vòm cầu cao hơn mặt cầu là khoảng cách từ \(100 - 50\sqrt 2 \)(m) đến \(100 + 50\sqrt 2 \) (m) (cách từ O), vòm vòm cầu thấp hơn mặt cầu là khoảng cách từ O đến\(100 - 50\sqrt 2 \)(m) và từ \(100 + 50\sqrt 2 \) (m) đến 200 (m) (cách từ O)

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ Khám phá 1 Thực hành 1 Thực hành 2

HĐ Khám phá 1

Đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right) = - {x^2} + x + 3\)được biểu diễn trong hình 1

a) Biểu thức \(f\left( x \right)\) là đa thức bậc mấy?

b) Xác định dấu của \(f\left( 2 \right)\)

Phương pháp giải:

a) Xác định số mũ cao nhất

b) Thay \(x = 2\) vào \(f\left( x \right)\), so sánh với 0.

Lời giải chi tiết:

a) Số mũ cao nhất của hàm số là 2, suy ra biểu thức\(f\left( x \right)\)đã cho là đa thức bậc hai

b) Thay \(x = 2\) vào \(f\left( x \right)\) ta có:

\(f\left( 2 \right) = - {2^2} + 2 + 3 = 1 > 0\)

Suy ra \(f\left( 2 \right)\) dương.

Thực hành 1

Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai? Nếu là tam thức bậc hai, hãy xét dấu của nó tại \(x = 1\).

a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} + x - 1\);

b) \(g\left( x \right) = - {x^4} + 2{x^2} + 1\)

c) \(h\left( x \right) = - {x^2} + \sqrt 2 .x - 3\)

Lời giải chi tiết:

a) Biểu thức \(f\left( x \right) = 2{x^2} + x - 1\) là một tam thức bậc hai

\(f\left( 1 \right) = {2.1^2} + 1 - 1 = 2 > 0\) nên \(f\left( x \right)\) dương tại \(x = 1\)

b) Biểu thức \(g\left( x \right) = - {x^4} + 2{x^2} + 1\) không phải là một tam thức bậc hai

c) Biểu thức \(h\left( x \right) = - {x^2} + \sqrt 2 .x - 3\) là một tam thức bậc hai

\(h\left( 1 \right) = - {1^2} + \sqrt 2 .1 - 3 = \sqrt 2 - 4 < 0\) nên \(h\left( x \right)\) âm tại \(x = 1\)

Thực hành 2

Tìm biệt thức và nghiệm của các tam thức bậc hai sau:

a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 5x + 2\)

b) \(g\left( x \right) = - {x^2} + 6x - 9\)

c) \(h\left( x \right) = 4{x^2} - 4x + 9\)

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định biệt thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\)

Bước 2: Xét dấu của \(\Delta \)

Bước 3: Tìm nghiệm

+) Nếu \(\Delta > 0 \Rightarrow {x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}};{x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}\)

+) Nếu \(\Delta = 0 \Rightarrow {x_1} = {x_2} = \frac{{ - b}}{{2a}}\)

+) Nếu \(\Delta = 0\)thì tam thức bậc hai vô nghiệm

Lời giải chi tiết:

a) Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 5x + 2\) có \(\Delta = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.2.2 = 9\)

\(\Delta > 0\), do đó \(f\left( x \right)\) có hai nghiệm phân biệt là

\({x_1} = \frac{{5 + \sqrt 9 }}{4} = 2\) và \({x_1} = \frac{{5 - \sqrt 9 }}{4} = \frac{1}{2}\)

b) Tam thức bậc hai \(g\left( x \right) = - {x^2} + 6x - 9\) có \(\Delta = {6^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 9} \right) = 0\)

\(\Delta = 0\), do đó \(g\left( x \right)\)có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \frac{{ - 6}}{{2.\left( { - 1} \right)}} = 3\)

c) Tam thức bậc hai \(h\left( x \right) = 4{x^2} - 4x + 9\) có \(\Delta = {\left( { - 4} \right)^2} - 4.4.9 = - 128\)

\(\Delta < 0\), do đó \(h\left( x \right)\) vô nghiệm

A. Lý thuyết

1. Tam thức bậc hai

Đa thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) với a, b, c là các hệ số, \(a \ne 0\) và x là biến số được gọi là tam thức bậc hai.

Khi thay x bằng giá trị \({x_0}\) vào f(x), ta được \(f({x_0}) = a{x_0}^2 + b{x_0} + c\), gọi là giá trị của tam thức bậc hai.

- Nếu \(f({x_0}) > 0\) thì ta nói \(f({x_0})\) dương tại \({x_0}\).

- Nếu \(f({x_0}) < 0\) thì ta nói \(f({x_0})\) âm tại \({x_0}\).

- Nếu f(x) dương (âm) tại mọi điểm x thuộc một khoảng hoặc một đoạn thì ta nói f(x) dương (âm) trên khoảng hoặc đoạn đó.

Cho tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) \((a \ne 0)\). Khi đó:

- Nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) là nghiệm của f(x).

- Biểu thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\) và \(\Delta ' = {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} - ac\) lần lượt là biệt thức và biệt thức thu gọn của f(x).

2. Định lí về dấu của tam thức bậc hai

Mối quan hệ giữa dấu của tam thức bậc hai với dấu của hệ số a trong từng trường hợp của được phát biểu trong định lí về dấu của tam thức bậc hai sau đây:

Cho tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) \((a \ne 0)\).

- Nếu \(\Delta < 0\) thì f(x) cùng dấu với hệ số a \(\forall x \in \mathbb{R}\).

- Nếu \(\Delta = 0\) và \({x_0} = - \frac{b}{{2a}}\) là nghiệm kép của f(x) thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi \(x \ne {x_0}\).

- Nếu \(\Delta > 0\) thì tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\) và \({x_2}\) \(({x_1} < {x_2})\). Khi đó:

+ f(x) cùng dấu với hệ số a \(\forall x \in ( - \infty ;{x_1}) \cup ({x_2}; + \infty )\).

+ f(x) trái dấu với hệ số a \(\forall x \in ({x_1};{x_2})\).

Chú ý: Để xét dấu tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\)\((a \ne 0)\), ta thực hiện các bước sau:

B1: Tính và xét dấu của biệt thức \(\Delta \).

B2: Xác định nghiệm của f(x) (nếu có).

B3: Xác định dấu của hệ số a.

B4: Xác định dấu của f(x).

B. Bài tập

Bài 1: Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai? Nếu là tam thức bậc hai, hãy xét dấu của nó tại x = 2.

A. \(3x + 2\sqrt x + 1\)

B. \( - 5{x^4} + 3{x^2} + 4\)

C. \( - \frac{2}{3}{x^2} + 7x - 4\)

D. \({\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + 2\frac{1}{x} + 3\)

Giải:

\( - \frac{2}{3}{x^2} + 7x - 4\) là tam thức bậc hai với \(a = - \frac{2}{3},b = 7,c = - 4\).

\(f(2) = - \frac{2}{3}{.2^2} + 7.2 - 4 = \frac{{22}}{3} > 0\) nên f(x) dương tại x = 2.

Bài 2: Xét dấu các tam thức bậc hai sau đây:

a) \({x^2} + x + 1\).

b) \( - \frac{3}{2}{x^2} + 9x - \frac{{27}}{2}\).

c) \(2{x^2} + 6x - 8\).

Giải:

a) \(f(x) = {x^2} + x + 1\) có \(\Delta = - 3 < 0\) và \(a = 1 > 0\) nên f(x) > 0 với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

b) \(f(x) = - \frac{3}{2}{x^2} + 9x - \frac{{27}}{2}\) có \(\Delta = 0\) và \(a = - \frac{3}{2} < 0\) nên f(x) có nghiệm kép x = 3 và f(x) < 0 với mọi \(x \ne 3\).

c) Dễ thấy \(f(x) = 2{x^2} + 6x - 8\) có \(\Delta ' = 25 > 0\), a = 2 > 0 và có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = - 4\), \({x_2} = 1\). Do đó ta có bảng xét dấu: