SGK Toán Lớp 10 Chân Trời Sáng Tạo

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[SGK Toán Lớp 10 Chân Trời Sáng Tạo] Bài 3. Các phép toán trên tập hợp

Hướng dẫn học bài: Bài 3. Các phép toán trên tập hợp - Môn Toán học Lớp 10 Lớp 10. Đây là sách giáo khoa nằm trong bộ sách 'SGK Toán Lớp 10 Chân Trời Sáng Tạo Lớp 10' được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết các bé sẽ nắm bài học tốt hơn.

Đề bài

Xác định các tập hợp sau đây:

a) \(( - \infty ;0] \cup [ - \pi ;\pi ]\)

b) \([ - 3,5;2] \cap ( - 2;3,5)\)

c) \(( - \infty ;\sqrt 2 ] \cap [1; + \infty )\)

d) \(( - \infty ;\sqrt 2 ]{\rm{\backslash }}[1; + \infty )\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Biểu diễn các tập hợp trên trục số

Lời giải chi tiết

a) Để xác định tập hợp \(A = ( - \infty ;0] \cup [ - \pi ;\pi ]\), ta vẽ sơ đồ sau đây:

Từ sơ đồ, ta thấy \(A = ( - \infty ;\pi ]\)

b) Để xác định tập hợp \(B = [ - 3,5;2] \cap ( - 2;3,5)\), ta vẽ sơ đồ sau đây:

Từ sơ đồ, ta thấy \(B = ( - 2;2]\)

c) Để xác định tập hợp \(C = ( - \infty ;\sqrt 2 ] \cap [1; + \infty )\), ta vẽ sơ đồ sau đây:

Từ sơ đồ, ta thấy \(C = [1;\sqrt 2 ]\)

d) Để xác định tập hợp \(D = ( - \infty ;\sqrt 2 ]{\rm{\backslash }}[1; + \infty )\), ta vẽ sơ đồ sau đây:

Từ sơ đồ, ta thấy \(D = ( - \infty ;1)\)

Đề bài

Trong số 35 học sinh của lớp 10H, có 20 học sinh thích môn Toán, 16 học sinh thích môn Tiếng Anh và 12 học sinh thích cả hai môn này. Hỏi lớp 10H:

a) Có bao nhiêu học sinh thích ít nhất một trong hai môn Toán và Tiếng Anh?

b) Có bao nhiêu học sinh không thích cả hai môn này?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Kí hiệu A, B lần lượt là tập hợp các học sinh thích môn Toán và Tiếng Anh.

Sử dụng biểu đồ Ven, minh họa tập hợp các thích ít nhất một trong hai môn Toán và Tiếng Anh (\(A \cup B\)) và các học sinh không thích cả hai môn này.

Lời giải chi tiết

Gọi A, B lần lượt là tập hợp các học sinh thích môn Toán và Tiếng Anh, X là tập hợp học sinh lớp 10H.

Theo giả thiết, \(n(A) = 20,n(B) = 16,n(A \cap B) = 12,n(X) = 35\)

a) Nhận thấy rằng, nếu tính tổng \(n(A) + n(B)\) thì ta được số học sinh thích ít nhất một trong hai môn Toán và Tiếng Anh, nhưng số học sinh thích cả hai môn Toán và Tiếng Anh được tính hai lần. Do đó, số học sinh thích ít nhất một trong hai môn Toán và Tiếng Anh là:

\(n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 20 + 16 - 12 = 24\)

b) Trong số 35 học sinh lớp 10H, có 24 học sinh thích ít nhất một trong hai môn Toán và Tiếng Anh, còn lại số học sinh không thích cả hai môn này là: \(35 - 24 = 11\) (học sinh).

Đề bài

Cho A và B là hai tập hợp bất kì. Trong mỗi cặp tập hợp sau đây, tập hợp nào là tập con của tập hợp còn lại? Hãy giải thích bằng cách sử dụng biểu đồ Ven.

a) A và \(A \cup B\)

b) A và \(A \cap B\)

Lời giải chi tiết

a) \(A \subset A \cup B\) vì

b) \(A \cap B \subset A\) vì

Đề bài

Cho \(E = \{ x \in \mathbb{N}|x < 10\} ,A = \{ x \in E|x\)là bội của 3\(\} ,\)\(B = \{ x \in E|x\) là ước của 6\(\} .\)

Xác định các tập hợp \(A\backslash B,{\rm{ }}B\backslash A,\;{C_E}A,\;{C_E}B,{C_E}(A \cup B),{C_E}(A \cap B).\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Lời giải chi tiết

\(E = \{ x \in \mathbb{N}|x < 10\} = \{ 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\} \)

\(A = \{ x \in E|x\) là bội của 3\(\} \)\( = \{ 0;3;6;9\} \)

\(B = \{ x \in E|x\) là ước của 6\(\} \)\( = \{1;2;3;6\} \)

Ta có: \(A\backslash B = \left\{ {0;9} \right\}\), \(B\backslash A = \left\{ {1;2} \right\}\)

\({C_E}A = \{ 1;2;4;5;7;8\} ,\;{C_E}B = \{ 0;4;5;7;8;9\} \)

\(A \cap B = \{ 3;6\} \Rightarrow {C_E}(A \cap B) = {C_E}B = \{0;1;2;4;5;7;8;9\} \)

\(A \cup B = \{ 0;1;2;3;6;9\} \Rightarrow {C_E}(A \cup B) = {C_E}A = \{ 4;5;7;8\} \)

Đề bài

Xác định các tập hợp \(A \cap B\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(A = \{ x \in \mathbb{R}|{x^2} - 2 = 0\} ,\)\(B = \{ x \in \mathbb{R}|2x - 1 < 0\} \)

b) \(A = \{ (x;y)|\;x,y \in \mathbb{R},y = 2x - 1\} ,\)\(B = \{ (x;y)|\;x,y \in \mathbb{R},y = - x + 5\} \)

c) A là tập hợp các hình thoi, B là tập hợp các hình chữ nhật.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) \(A \cap B = \{ x|x \in A\) và \(x \in B\} \)

b) \(A \cap B = \{ (x;y)|\;x,y \in \mathbb{R},y = 2x - 1,y = - x + 5\} \)

Lời giải chi tiết

a) Phương trình \({x^2} - 2 = 0\) có hai nghiệm là \(\sqrt 2 \) và \( - \sqrt 2 \), nên \(A = \{ \sqrt 2 ; - \sqrt 2 \} \)

Tập hợp \(B = \{ x \in \mathbb{R}|2x - 1 < 0\} \) là tập hợp các số thực \(x < \frac{1}{2}\)

Từ đó \(A \cap B = \{ - \sqrt 2 \} .\)

b) \(A \cap B = \{ (x;y)|\;x,y \in \mathbb{R},y = 2x - 1,y = - x + 5\} \)

Tức là \(A \cap B\)là tập hợp các cặp số (x; y) thỏa mãn hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}y = 2x - 1\\y = - x + 5\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 1 = - x + 5\\y = 2x - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 6\\y = 2x - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\)

Vậy \(A \cap B = \{ (2;3)\} .\)

c) A là tập hợp các hình thoi, B là tập hợp các hình chữ nhật.

\(A \cap B\) là tập hợp các hình vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi.

Một tứ giác bất kì thuộc \(A \cap B\) thì nó là hình chữ nhật và có 2 cạnh kề bằng nhau (hình vuông)

Do đó \(A \cap B\) là tập hợp các hình vuông.

Đề bài

Xác định các tập hợp \(A \cup B\) và \(A \cap B\) với

a) A = {đỏ; cam; vàng; lục; lam}, B = {lục; lam; chàm; tím}.

b) A là tập hợp các tam giác đều, B là tập hợp các tam giác cân.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

\(A \cup B = \{ x|x \in A\) hoặc \(x \in B\} \)

\(A \cap B = \{ x|x \in A\) và \(x \in B\} \).

Lời giải chi tiết

a) A = {đỏ; cam; vàng; lục; lam}, B = {lục; lam; chàm; tím}.

\(A \cup B = \){đỏ; cam; vàng; lục; lam; chàm; tím}

\(A \cap B = \){lục; lam}

b) Vì mỗi tam giác đều cũng là một tam giác cân nên \(A \subset B.\)

\(A \cup B = B,\;A \cap B = A.\)

Chú ý

Nếu \(A \subset B\) thì \(A \cup B = B,\;A \cap B = A.\)

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ Khám phá 2 Thực hành 3 Thực hành 4

HĐ Khám phá 2

Trở lại bảng thông tin về kết quả phỏng vấn tuyển dụng ở Hoạt động khám phá 1.

a) Xác định tập hợp E gồm những ứng viên đạt yêu cầu về chuyên môn nhưng không đạt yêu cầu về ngoại ngữ.

b) Xác định tập hợp F gồm những ứng viên không đạt yêu cầu về chuyên môn.

Phương pháp giải:

Viết tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử.

Lời giải chi tiết:

a) Tập hợp E gồm những ứng viên đạt yêu cầu về chuyên môn nhưng không đạt yêu cầu về ngoại ngữ là: \(E = \{ {a_2};{a_7}\} \)

b) Xác định tập hợp F gồm những ứng viên không đạt yêu cầu về chuyên môn là: \(F = \{ {a_3};{a_4};{a_9}\} \)

Thực hành 3

Cho tập hợp \(E = \{ x \in \mathbb{N}|x < 8\} ,A = \{ 0;1;2;3;4\} ,B = \{ 3;4;5\} \)

Xác định các tập hợp sau đây:

a) A\B, B\A và \((A\backslash B) \cap {\rm{(}}B\backslash A)\)

b) \({C_E}(A \cap B)\) và \(({C_E}A) \cap ({C_E}B)\)

c) \({C_E}(A \cup B)\) và \(({C_E}A) \cup ({C_E}B)\)

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

\(E = \{ x \in \mathbb{N}|x < 8\} = \{ 0;1;2;3;4;5;6;7\} \)

a) Ta có: \(A\backslash B = \left\{ {0;1;2} \right\}\), \(B\backslash A = \left\{ 5 \right\},\)\((A\backslash B) \cap {\rm{(}}B\backslash A) = \emptyset \)

b) Ta có: \(A \cap B = \{ 3;4\} ,\;{C_E}(A \cap B) = \{ 0;1;2;5;6;7\} \)

\({C_E}A = \{ 5;6;7\} ,\;{C_E}B = \{ 0;1;2;6;7\} \Rightarrow ({C_E}A) \cap ({C_E}B) = \{ 6;7\} \)

c) Ta có: \(A \cup B = \{ 0;1;2;3;4;5\} ,\;{C_E}(A \cup B) = \{ 6;7\} \)

\({C_E}A = \{ 5;6;7\} ,\;{C_E}B = \{ 0;1;2;6;7\} \Rightarrow ({C_E}A) \cup ({C_E}B) = \{ 0;1;2;5;6;7\} \)

Thực hành 4

Xác định các tập hợp sau đây:

a) \((1;3) \cup [ - 2;2]\)

b) \(( - \infty ;1) \cap [0;\pi ]\)

c) \([\frac{1}{2};3){\rm{\backslash }}(1; + \infty )\)

d) \({C_\mathbb{R}}[ - 1; + \infty )\)

Phương pháp giải:

Biểu diễn các tập hợp trên trục số

Lời giải chi tiết:

a) Để xác định tập hợp \(A = (1;3) \cup [ - 2;2]\), ta vẽ sơ đồ sau đây:

Từ sơ đồ, ta thấy \(A = [ - 2;3)\)

b) Để xác định tập hợp \(B = ( - \infty ;1) \cap [0;\pi ]\), ta vẽ sơ đồ sau đây:

Từ sơ đồ, ta thấy \(B = [0;1)\)

c) Để xác định tập hợp \(C = [\frac{1}{2};3){\rm{\backslash }}(1; + \infty )\), ta vẽ sơ đồ sau đây:

Từ sơ đồ, ta thấy \(C = [\frac{1}{2};1]\)

d) Để xác định tập hợp \(D = {C_\mathbb{R}}[ - 1; + \infty )\), ta vẽ sơ đồ sau đây:

Từ sơ đồ, ta thấy \(D = ( - \infty ; - 1)\)

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ Khởi động HĐ Khám phá 1 Thực hành 1 Thực hành 2 Vận dụng

HĐ Khởi động

Có 2 đường tròn chia một hình chữ nhật thành các miền như hình bên. Hãy đặt mooix thẻ số sau đây vào miền thích hợp trên hình chữ nhật và giải thích cách làm

100

120

231

Phương pháp giải:

Phân biệt các miền trong hình chữ nhật

Lời giải chi tiết:

Bội của 3: 75, 78, 90, 120, 231

Bội của 5: 65, 75, 90, 100, 120

Vừa là bội của 3, vừa là bội của 5: 75, 90, 120.

Không là bội của 3 và không là bội của 5: 82, 94

HĐ Khám phá 1

Bảng sau đây cho biết kết quả vòng phỏng vấn tuyển dụng vào một công ty (dấu “+” là đạt, dấu “-” là không đạt):

a) Xác định tập hợp A gồm các ứng viên đạt yêu cầu về chuyên môn, tập hợp B gồm các ứng viên đạt yêu cầu về ngoại ngữ.

b) Xác định tập hợp C gồm các ứng viên đạt yêu cầu cả về chuyên môn và ngoại ngữ.

c) Xác định tập hợp D gồm các ứng viên đạt ít nhất một trong hai yêu cầu về chuyên môn và ngoại ngữ.

Lời giải chi tiết:

a) Tập hợp A gồm các ứng viên đạt yêu cầu về chuyên môn là:

\(A = \{ {a_1};{a_2};{a_5};{a_6};{a_7};{a_8};{a_{10}}\} \)

Tập hợp B gồm các ứng viên đạt yêu cầu về ngoại ngữ là:

\(B = \{ {a_1};{a_3};{a_5};{a_6};{a_8};{a_{10}}\} \)

b) Tập hợp C gồm các ứng viên đạt yêu cầu cả về chuyên môn và ngoại ngữ là:

\(C = \{ {a_1};{a_5};{a_6};{a_8};{a_{10}}\} \)

c) Tập hợp D gồm các ứng viên đạt ít nhất một trong hai yêu cầu về chuyên môn và ngoại ngữ là:

\(D = \{ {a_1};{a_2};{a_3};{a_5};{a_6};{a_7};{a_8};{a_{10}}\} \)

Thực hành 1

Xác định các tập hợp \(A \cup B\) và \(A \cap B\), biết:

a) \(A = \{ a;b;c;d;e\} \), \(B = \{ a;e;i;u\} \)

b) \(A = \{ x \in \mathbb{R}|\;{x^2} + 2x - 3 = 0\} \),\(B = \{ x \in \mathbb{R}|\;|x|\; = 1\} \)

Phương pháp giải:

\(A \cup B = \{ x|x \in A\) hoặc \(x \in B\} \)

\(A \cap B = \{ x|x \in A\) và \(x \in B\} \)

Lời giải chi tiết:

a) \(A \cup B = \{ a;b;c;d;e;i;u\} \), \(A \cap B = \{ a;e\} \)

b) Phương trình \({x^2} + 2x - 3 = 0\) có hai nghiệm là 1 và -3, nên \(A = \{ 1; - 3\} \)

Phương trình \(B = \{ x \in \mathbb{R}|\;|x|\; = 1\} \) có hai nghiệm là 1 và -1, nên \(B = \{ 1; - 1\} \)

Từ đó, \(A \cup B = \{ 1; - 1; - 3\} \), \(A \cap B = \{ 1\} .\)

Thực hành 2

Cho \(A = \{ (x;y)|x,y \in \mathbb{R},3x - y = 9\} \), \(B = \{ (x;y)|\;x,y \in \mathbb{R},x - y = 1\} \)

Hãy xác định \(A \cap B\).

Phương pháp giải:

\(A \cap B = \{ (x;y)|(x;y) \in A\) và \((x;y) \in B\} \)

Lời giải chi tiết:

a) \(A \cap B = \{ (x;y)|\;x,y \in \mathbb{R},3x - y = 9,x - y = 1\} \)

Tức là \(A \cap B\)là tập hợp các cặp số (x;y) thỏa mãn hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y = 9\\x - y = 1\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3x - 9\\y = x - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 3x - 9\\y = x - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 8\\y = x - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 3\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(A \cap B = \{ (4;3)\} .\)

Vận dụng

Tại vòng chung kết của một trò chơi trên truyền hình, có 100 khán giả tại trường quay có quyền bình chọn cho hai thí sinh A và B. Biết rằng có 85 khán giả bình chọn cho thí sinh A, 72 khán giả bình chọn cho thí sinh B và 60 khán giả bình chọn cho cả hai thí sinh. Có bao nhiêu khán giả đã tham gia bình chọn? Có bao nhiêu khán giả không tham gia bình chọn?

Phương pháp giải:

Kí hiệu A, B lần lượt là tập hợp các khán giả bình chọn cho thí sinh A và thí sinh B.

Sử dụng biểu đồ Ven, minh họa tập hợp các khán giả đã tham gia bình chọn (\(A \cup B\)) và các khán giả không tham gia bình chọn.

Lời giải chi tiết:

Gọi A, B lần lượt là tập hợp các khán giả bình chọn cho thí sinh A và thí sinh B.

Theo giả thiết, \(n(A) = 85,n(B) = 72,n(A \cap B) = 60\)

Nhận thấy rằng, nếu tính tổng \(n(A) + n(B)\) thì ta được số khán giả đã tham gia bình chọn, nhưng số khán giả bình chọn cho cả hai thí sinh được tính hai lần. Do đó, số khán giả đã tham gia bình chọn là:

\(n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 85 + 72 - 60 = 97\)

Như vậy trong hội trường 100 khán giả, có 97 khán giải đã tham gia bình chọn, còn lại số khán giả không tham gia bình chọn là: \(100 - 97 = 3\) (khán giả).

1. Hợp và giao của các tập hợp

+ Hợp của hai tập hợp A và B (kí hiệu \(A \cup B\)) là tập hợp gồm các phần tử thuộc tập hợp A hoặc thuộc T.

\(A \cup B = \{ x|x \in A\) hoặc \(x \in B\} .\)

+ Giao của hai tập hợp A và B (kí hiệu \(A \cap B\)) là tập hợp gồm các phần tử thuộc cả hai tập hợp A và B.

\(A \cap B = \{ x|x \in A\) và \(x \in B\} .\)

+ Nhận xét: Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn thì

\(n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)\)

Nếu \(A \cap B = \emptyset \) thì \(n(A \cup B) = n(A) + n(B)\)

2. Hiệu của hai tập hợp, phần bù của tập con

Hiệu của hai tập hợp A và B (kí hiệu \(A{\rm{\backslash }}B\)) là tập hợp gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B.

\(A{\rm{\backslash }}B = \{ x|x \in A\) và \(x \notin B\} .\)

Nếu \(A \subset E\) thì \(E{\rm{\backslash }}A\)được gọi là phần bù của A trong E, kí hiệu là \({C_E}A.\)

Ví dụ: \({C_\mathbb{Z}}\mathbb{N} = \mathbb{Z}{\rm{\backslash }}\mathbb{N} = \{ x|x \in \mathbb{Z}\) và \(x \notin \mathbb{N}\} = \{ ...; - 3; - 2; - 1\} \)

Đặc biệt: \({C_S}S = \emptyset \)