[SGK Toán Lớp 10 Chân Trời Sáng Tạo] Bài 2. Hàm số bậc hai

Đề bài

Chiếc cầu dây văng một nhịp được thiết kế hai bên thành cầu có dạng parabol và được cố định bằng các dây cáp song song.

Dựa vào bản vẽ ở Hình 14, hãy tính chiều dài tổng cộng của các dây cáp dọc ở hai mặt bên. Biết:

-  Dây dài nhất là 5 m, dây ngắn nhất là 0,8 m. Khoảng cách giữa các dây bằng nhau.

-  Nhịp cầu dài 30 m.

-  Cần tính thêm 5% chiều dài mỗi sợi dây cáp để neo cố định.

Lời giải chi tiết

Gọi \(y = a{x^2} + bx + c\) là công thức của hàm số có đồ thị là thành cầu. 

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình dưới:

Khi đó độ dài dây cáp dọc ở mỗi mặt bên là tung độ của điểm biểu diễn tương ứng.

Ở mỗi mặt: có 21 dây cáp dọc, tương ứng cho 20 khoảng cách giữa chúng.

Khoảng cách giữa hai dây cáp liền kề là: \(30:20 = 1,5\left( m \right)\)

Khi đó: \({x_0} = 0;{x_1} = 1,5;\;{x_2} = 3;\;{x_3} = 4,5;\;...;{x_n} = 1,5.n\;\)

Dễ thấy: các điểm có tọa độ (0; 5), (\({x_{10}};0,8\)), \(({x_{20}};5)\) thuộc đồ thị hàm số.

(Trong đó: \({x_{10}} = 10.1,5 = 15;\;{x_{20}} = 20.1,5 = 30.\))

Suy ra:

\(f(0) = a{.0^2} + b.0 + c = 5 \Leftrightarrow c = 5\)

Và \(f(1) = a{.15^2} + b.15 + c = 0,8 \Leftrightarrow 225a + 15b + 5 = 0,8\)

\(f(2) = a{.30^2} + b.30 + c = 5 \Leftrightarrow 900a + 30b + 5 = 5\)

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}225a + 15b + 5 = 0,8\\900a + 30b + 5 = 5\end{array} \right.\) ta được \(a = \frac{{7}}{{375}};b =  - \frac{{14}}{{25}}\)

Như vậy \(y = \frac{{7}}{{375}}{x^2} - \frac{{14}}{{25}}x + 5\)

Gọi \({y_0},{y_1},{y_2},..{y_{20}}\) là tung độ của các điểm có hoành độ lần lượt là \({x_0},{x_1},{x_2},..{x_{20}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{y_0} = 5\\{y_1} = \frac{{7}}{{375}}.1,{5^2} - \frac{{14}}{{25}}.1,5 + 5\\{y_2} = \frac{{7}}{{375}}.{(2.1,5)^2} - \frac{{14}}{{25}}.(2.1,5) + 5 = {2^2}.\frac{{7}}{{375}}.1,{5^2} - 2.\frac{{14}}{{25}}.1,5 + 5\\...\\{y_n} = \frac{{7}}{{375}}.{(n.1,5)^2} - \frac{{14}}{{25}}.(2.1,5) + 5 = {n^2}.\frac{{7}}{{375}}.1,{5^2} - n.\frac{{14}}{{25}}.1,5 + 5\\ \Rightarrow T = {y_0} + {y_1} + {y_2} + .. + {y_{20}} = 5 + \frac{{7}}{{375}}.1,{5^2}.(1 + {2^2} + ... + {20^2}) - \frac{{14}}{{25}}.1,5.(1 + 2 + ... + 20) + 5.20\end{array}\)

Mà \(1 + {2^2} + ... + {20^2} = 2870;\;1 + 2 + ... + 20 = 210\)

\( \Rightarrow T = 5 + \frac{{7}}{{375}}.1,{5^2}.2870 - \frac{{14}}{{25}}.1,5.210 + 5.20 \approx 49,14(m)\)

Do cần tính thêm 5% chiều dài để neo cố định và cần 2 thành mặt cầu nên tổng chiều dài của các dây cáp cần sử dụng là: \(49,14.2.105% = 103,2(m)\)

Vậy chiều dài tổng cộng của các dây cáp dọc ở hai mặt bên là 103,2m.

Đề bài

Tìm công thức của hàm số bậc hai có đồ thị như Hình 13.

Lời giải chi tiết

Gọi công thức của hàm số bậc hai là \(y = a{x^2} + bx + c\)

Đồ thị hàm số đi qua 3 điểm có tọa độ (-1;0), (4;0), (0;-4)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a.{( - 1)^2} + b.( - 1) + c = 0\\a{.4^2} + b.4 + c = 0\\a{.0^2} + b.0 + c =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b + c = 0\\16a + 4b + c = 0\\c =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 4\\16a + 4b = 4\\c =  - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow a = 1,b =  - 3,c =  - 4.\end{array}\)

Vậy hàm số cần tìm có công thức \(y = {x^2} - 3x - 4\)

Đề bài

Hãy xác định đúng đồ thị của mỗi hàm số sau trên Hình 12.

\(\begin{array}{l}({P_1}):y =  - 2{x^2} - 4x + 2;\\({P_2}):y = 3{x^2} - 6x + 5;\\({P_3}):y = 4{x^2} - 8x + 7;\\({P_4}):y =  - 3{x^2} - 6x - 1.\end{array}\)

Lời giải chi tiết

Vì 4 đồ thị hàm số cắt trục tung tại 4 điểm phân biệt nên ta chỉ cần xác định tọa độ giao điểm của mỗi hàm số với trục tung là có thể phân biệt 4 đồ thị hàm số.

Đồ thị hàm số \(({P_1}):y =  - 2{x^2} - 4x + 2\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 2) => Đồ thị là đường màu xanh lá.

Đồ thị hàm số \(({P_2}):y = 3{x^2} - 6x + 5;\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 5) => Đồ thị là đường màu xanh dương.

Đồ thị hàm số \(({P_3}):y = 4{x^2} - 8x + 7;\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 7, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 7) => Đồ thị là đường màu nâu đỏ.

Đồ thị hàm số \(({P_4}):y =  - 3{x^2} - 6x - 1\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; -1) => Đồ thị là đường màu vàng.

Đề bài

Cho hàm số \(y = 2{x^2} + x + m\). Hãy xác định giá trị của m để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5.

Lời giải chi tiết

Đỉnh S có tọa độ: \({x_S} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 1}}{{2.2}} =  - \frac{1}{4};{y_S} = f( - \frac{1}{4}) = 2{\left( { - \frac{1}{4}} \right)^2} + \left( { - \frac{1}{4}} \right) + m = m - \frac{1}{8}\)

Ta có: \(a = 2 > 0\), hàm số có bảng biến thiên dạng:

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(m - \frac{1}{8} = 5 \Leftrightarrow m = \frac{{41}}{8}.\)

Vậy \(m = \frac{{41}}{8}\) thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5.

Đề bài

Cho hàm số bậc hai \(y = f(x) = a{x^2} + bx + c\) có \(f(0) = 1,f(1) = 2,f(2) = 5.\)

a) Hãy xác định giá trị của các hệ số \(a,b\) và \(c.\)

b) Xác định tập giá trị và khoảng biến thiên của hàm số.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(f(0) = a{.0^2} + b.0 + c = 1 \Rightarrow c = 1.\)

Lại có:

 \(f(1) = a{.1^2} + b.1 + c = 2 \Rightarrow a + b + 1 = 2\)

\(f(2) = a{.2^2} + b.2 + c = 5 \Rightarrow 4a + 2b + 1 = 5\)

Từ đó ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}a + b + 1 = 2\\4a + 2b + 1 = 5\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 1\\4a + 2b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\end{array} \right.\)(thỏa mãn điều kiện \(a \ne 0\))

Vậy hàm số bậc hai đó là \(y = f(x) = {x^2} + 1\)

b) Tập giá trị \(T = \{ {x^2} + 1|x \in \mathbb{R}\} \)

Vì \({x^2} + 1 \ge 1\;\forall x \in \mathbb{R}\) nên \(T = [1; + \infty )\)

Đỉnh S có tọa độ: \({x_S} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 0}}{{2.1}} = 0;{y_S} = f(0) = 1\)

Hay \(S\left( {0;1} \right).\)

Vì hàm số bậc hai có \(a = 1 > 0\) nên ta có bảng biến thiên sau:

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Đề bài

Lập bảng biến thiên của hàm số \(y = {x^2} + 2x + 3.\) Hàm số này có giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị đó.

Lời giải chi tiết

Đỉnh S có tọa độ: \({x_S} = \dfrac{{ - b}}{{2a}} = \dfrac{{ - 2}}{{2.1}} =  - 1;\,{y_S} = {\left( { - 1} \right)^2} + 2.( - 1) + 3 = 2.\)

Hay \(S\left( { - 1;2} \right).\)

Vì hàm số bậc hai có \(a = 1 > 0\) nên ta có bảng biến thiên sau:

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(2\).

Đề bài

Tìm điều kiện của m để mỗi hàm số sau là hàm số bậc hai:

a) \(y = m{x^4} + (m + 1){x^2} + x + 3\)

b) \(y = (m - 2){x^3} + (m - 1){x^2} + 5\)

Lời giải chi tiết

a) Để hàm số \(y = m{x^4} + (m + 1){x^2} + x + 3\) là hàm số bậc hai thì:

\(\left\{ \begin{array}{l}m = 0\\m + 1 \ne 0\end{array} \right.\) tức là \(m = 0.\)

Khi đó \(y = {x^2} + x + 3\)

Vây \(m = 0\) thì hàm số đã cho là hàm số bậc hai \(y = {x^2} + x + 3\)

b) Để hàm số \(y = (m - 2){x^3} + (m - 1){x^2} + 5\) là hàm số bậc hai thì:

\(\left\{ \begin{array}{l}m - 2 = 0\\m - 1 \ne 0\end{array} \right.\) tức là \(m = 2.\)

Khi đó \(y = (2 - 1){x^2} + 5 = {x^2} + 5\)

Vây \(m = 2\) thì hàm số đã cho là hàm số bậc hai \(y = {x^2} + 5\)

Đề bài

Hàm số nào sau đây là hàm số bậc hai?

a) \(y = 9{x^2} + 5x + 4\)

b) \(y = 3{x^3} + 2x + 1\)

c) \(y =  - 4{(x + 2)^3} + 2(2{x^3} + 1) + x + 4\)

d) \(y = 5{x^2} + \sqrt x  + 2\)

Lời giải chi tiết

Hàm số ở câu a) \(y = 9{x^2} + 5x + 4\) là hàm số bậc hai với \(a = 9,b = 5,c = 4\)

Hàm số ở câu b) không phải là hàm số bậc hai vì chứa \({x^3}\)

Hàm số ở câu c) \(y =  - 4{(x + 2)^3} + 2(2{x^3} + 1) + x + 4\)  \( =  - 4({x^3} + 6{x^2} + 12x + 8) + 4{x^3} + 2 + x + 4\) \( =  - 24{x^2} - 47x - 26\) 

là hàm số bậc hai với \(a = -24,b = -47,c = -26\)

Hàm số ở câu d) \(y = 5{x^2} + \sqrt x  + 2\) không phải là hàm số bậc hai vì chứa \(\sqrt x \)

Đề bài

Vận dụng trang 55 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo

Trong bài toán ứng dụng, khi chơi trên sân cầu lông đơn, các lần phát cầu với thông tin như sau có được xem là hợp lệ không? (Các thông tin không được đề cập thì vẫn giữ như trong giả thiết bài toán trên)

a) Vận tốc xuất phát của cầu là 12 m/s

b) Vị trí phát cầu cách mặt đất 1,3 m.

Lưu ý: Các thông số về sân cầu lông đơn được cho trong Hình 11.

Lời giải chi tiết

a)

Chọn hệ trục tọa độ như Hình 9 (vị trí rơi của cầu thuộc trục hoành và vị trí cầu rời mặt vợt thuộc trục tung).

Với \(g = 9,8\;m/{s^2}\), góc phát cầu \(\alpha  = {30^o}\), vận tốc ban đầu \({v_0} = 12\;m/s\), phương trình quỹ đạo của cầu là:

\(y = \frac{{ - 9,8}}{{{{2.12}^2}.{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}.x + 0,7 =  - \frac{{4,9}}{{108}}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}.x + 0,7\)

Vị trí cầu rơi chạm đất là giao điểm của parabol và trục hoành nên giải phương trình \( - \frac{{4,9}}{{108}}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}.x + 0,7 = 0\) ta được \({x_1} \approx  - 1,11\) và \({x_2} \approx 13,84\)

Giá trị nghiệm dương cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi cầu lông đến vị trí cầu rơi chạm đất là 13,84 m > 13,4 m (chiều dài cả sân)

Vậy lần phát cầu đã bị hỏng vì điểm rơi của cầu nằm ngoài đường biên ngoài.

b)

Ta so sánh tung độ của điểm trên quỹ đạo (có hoành động bằng khoảng cách từ điểm phát cầu đến chân lưới phân cách) với chiều cao mép trên của lưới.

Với \(g = 9,8\;m/{s^2}\), góc phát cầu \(\alpha  = {30^o}\), vận tốc ban đầu \({v_0} = 8\;m/s\), vị trí phát cầu cách mặt đất 1,3 m. Phương trình quỹ đạo của cầu là:

\(y = \frac{{ - 9,8}}{{{{2.8}^2}.{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}.x + 1,3 =  - \frac{{4,9}}{{48}}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}.x + 1,3\)

Khi \(x = 4,\)ta có \(y =  - \frac{{4,9}}{{48}}{.4^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}.4 + 1,3 \approx 1,98 > 1,524\)

Vậy quỹ đạo của cầu cao hơn mép trên của lưới.

Tiếp theo ta kiểm tra vị trí cầu rơi có vượt đường biên ngoài hoặc chưa tới đường biên trong hay không.

 Vị trí cầu rơi chạm đất là giao điểm của parabol và trục hoành nên giải phương trình \(y = \frac{{ - 9,8}}{{{{2.8}^2}.{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}.x + 1,3 =  - \frac{{4,9}}{{48}}{x^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{3}.x + 1,3\) ta được \({x_1} \approx  - 1,73\) và \({x_2} \approx 7,38\)

Giá trị nghiệm dương cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi cầu lông đến vị trí cầu rơi chạm đất là 7.38 m.

Dễ thấy: độ dài h (chiều dài của khu vực hợp lệ) là: \(13,4:2 - 1,98 -0,76= 3,96\) (m).

Do đó lần phát là hợp lệ nếu khoảng cách từ vị trí phát đến điểm rơi thuộc khoảng \(4 + 1,98 = 5,98(m)\) và \(4 + 1,98 +3,96= 9,94(m)\) và \(5,98 < 7,38 < 9,94\).

Như vậy vị trí quả cầu trên mặt đất nằm giữa đường biên trong và đường biên ngoài.

Kết luận: lần phát cầu này được coi là hợp lệ.

1. Hàm số bậc hai

+ Định nghĩa:

Hàm số bậc hai biến x là hàm số cho bởi công thức dạng \(y = f(x) = a{x^2} + bx + c\) với \(a,b,c \in \mathbb{R};a \ne 0.\)

+ Tập xác định: \(\mathbb{R}\)

2. Đồ thị hàm số bậc hai

+) Đồ thị hàm số bậc hai \(y = f(x) = a{x^2} + bx + c\) \((a \ne 0)\) là một parabol (P):

- Đỉnh \(S\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\)

- Trục đối xứng: đường thẳng \(x =  - \frac{b}{{2a}}\)

- Bề lõm: quay lên trên nếu \(a > 0\), quay xuống dưới nếu \(a < 0\)

- Cắt Oy tại điểm \((0;c)\)

* Chú ý: Nếu PT \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thì đồ thị hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ lần lượt là 2 nghiệm này.

+) Vẽ đồ thị

1) Xác định đỉnh \(S\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\)

2) Vẽ trục đối xứng d: \(x =  - \frac{b}{{2a}}\)

3) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị với trục tung (A(0;c)), trục hoành (nếu có).

Xác định \(B\left( {\frac{{ - b}}{a};c} \right)\) (là điểm đối xứng với A qua d)

4) Vẽ parabol đỉnh S, trục đối xứng d, đi qua các điểm tìm được.

3. Sự biến thiên của hàm số bậc hai

+) Bảng biến thiên

+) Kết luận:

\(a > 0\)

\(a < 0\)

Trên khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{{ - b}}{{2a}}} \right)\)

Hàm số nghịch biến

Hàm số đồng biến

Trên khoảng \(\left( {\frac{{ - b}}{{2a}}; + \infty } \right)\)

Hàm số đồng biến

Hàm số nghịch biến

GTLN hoặc GTNN

Đạt GTNN bằng \(\frac{{ - \Delta }}{{4a}}\) tại \(x = \frac{{ - b}}{{2a}}\)

Đạt GTLN bằng \(\frac{{ - \Delta }}{{4a}}\) tại \(x = \frac{{ - b}}{{2a}}\)

Tập giá trị

\(T = \left[ {\left. {\frac{{ - \Delta }}{{4a}}; + \infty } \right)} \right.\)

\(T = \left( {\left. { - \infty ;\frac{{ - \Delta }}{{4a}}} \right]} \right.\)

4. Ứng dụng của hàm số bậc hai

+) Tầm bay cao và tầm bay xa

Chọn điểm \((0;{y_0})\) là điểm xuất phát thì phương trình quỹ đạo của cầu lông khi rời mặt vợt là:

\(y = \frac{{ - g.{x^2}}}{{2.{v_0}^2.{{\cos }^2}\alpha }} + \tan \alpha .x + {y_0}\)

Trong đó:

\(g\) là giá tốc trọng trường ( \( \approx 9,8\;m/{s^2}\))

\(\alpha \) là góc phát cầu (so với phương ngang của mặt đất)

\({v_0}\) là vận tốc ban đầu của cầu

\({y_0}\) là khoảng cách từ vị trí phát cầu đến mặt đất

Quỹ đạo chuyển động của cầu lông là một parabol.

 - Vị trí cao nhất tại đỉnh parabol, gọi là tầm bay cao;

- Khoảng cách từ nơi đứng phát cầu đến điểm cham đất, gọi là tầm bay xa.

+) Bài toán ứng dụng

Khi cầu bay tới vị trí lưới phân cách, nếu nó ở bên trên mặt lưới và điểm rơi không ra khỏi đường biến phía sân đối phương thì lần phát cầu được xem là hợp lệ.