SGK Toán Lớp 10 Chân Trời Sáng Tạo

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[SGK Toán Lớp 10 Chân Trời Sáng Tạo] Bài 1. Mệnh đề

Hướng dẫn học bài: Bài 1. Mệnh đề - Môn Toán học Lớp 10 Lớp 10. Đây là sách giáo khoa nằm trong bộ sách 'SGK Toán Lớp 10 Chân Trời Sáng Tạo Lớp 10' được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết các bé sẽ nắm bài học tốt hơn.

Đề bài

Xét tính đúng sai và viết mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau đây:

a) $\exists x \in \mathbb{N},x + 3 = 0$

b) $\forall x \in \mathbb{R},{x^2} + 1 \ge 2x$

c) $\forall a \in \mathbb{R},\sqrt {{a^2}} = a$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Phủ định của mệnh đề “$\forall x \in X,P(x)$” là “$\exists x \in X,\overline {P(x)} $”

Phủ định của mệnh đề “$\exists x \in X,P(x)$” là “$\forall x \in X,\overline {P(x)} $”

Lời giải chi tiết

a) Mệnh đề sai, vì chỉ có $x = - 3$ thảo mãn $x + 3 = 0$ nhưng $ - 3 \notin \mathbb{N}$.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là: “$\forall x \in \mathbb{N},x + 3 \ne 0$”.

b) Mệnh đề đúng, vì ${(x - 1)^2} \ge 0$ hay${x^2} + 1 \ge 2x$ với mọi số thực x.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là: “$\exists x \in \mathbb{R},{x^2} + 1 < 2x$”

c) Mệnh đề sai, vì có $a = - 2 \in \mathbb{R},\sqrt {{{( - 2)}^2}} = 2 \ne a$

Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là: “$\exists a \in \mathbb{R},\sqrt {{a^2}} \ne a$”.

Đề bài

Cho các mệnh đề sau:

P: “Giá trị tuyệt đối của mọi số thực đều lớn hơn hoặc bằng chính nó”

Q: “Có số tự nhiên sao cho bình phương của nó bằng 10”

R: “Có số thực x sao cho ${x^2} + 2x - 1 = 0$”

a) Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề trên.

b) Sử dụng kí hiệu $\forall ,\exists $ để viết lại các mệnh đề đã cho.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Kiểm tra tính đúng sai cho mệnh đề.

b) Viết lại mệnh đề với các kí hiệu:

+ Kí hiệu $\forall$ đọc là “với mọi”.

+ Kí hiệu $\exists$ đọc là “tồn tại”.

Lời giải chi tiết

a) Mệnh đề P đúng, vì: $\left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\quad \;\;(x \ge 0)\\ - x\quad (x < 0)\end{array} \right.$ nên $\left| x \right| \ge x$.

Mệnh đề Q sai vì chỉ có các số $ \pm \sqrt {10} $ có bình phương bằng 10, nhưng $\sqrt {10} $ và $ - \sqrt {10} $ đều không là số tự nhiên.

Mệnh đề R đúng vì $x = - 1 + \sqrt 2 \in \mathbb{R}$ thỏa mãn ${x^2} + 2x - 1 = 0.$

b) Có thể viết lại các mệnh đề trên như sau:

P: “$\forall x \in \mathbb{R},\;\left| x \right| \ge x$”

Q: “$\exists n \in \mathbb{N},{n^2} = 10$”

R: “$\exists x \in \mathbb{R},\;{x^2} + 2x - 1 = 0$”

Đề bài

Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ”, phát biểu lại các định lí sau:

a) Một phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức của nó dương.

b) Một hình bình hành là hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc với nhau và ngược lại.

Lời giải chi tiết

Các định lí trên có thể được phát biểu là:

a) Một phương trình bậc hai có biệt thức dương là điều kiện cần và đủ để có hai nghiệm phân biệt

b) Một hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là điều kiện cần và đủ để nó là hình thoi.

Đề bài

Cho các định lí:

P: “Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau”.

Q: “Nếu $a < b$ thì $a + c < b + c$” ($a,b,c \in \mathbb{R}$).

a) Chỉ ra giả thiết và kết luận của mỗi định lí.

b) Phát biểu lại mỗi định lí đã cho, sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” hoặc “điều kiện đủ”.

c) Mệnh đề đảo của mỗi định lí đó có là định lí không?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Khi mệnh đề $R \Rightarrow T$ là định lí, ta nói:

R là giả thiết, T là kết luận

R là điều kiện đủ để có T

T là điều kiện cần để có R

+) Mệnh đề đảo của mệnh đề $R \Rightarrow T$ là mệnh đề $T \Rightarrow R$.

Lời giải chi tiết

Mệnh đề P có dạng $R \Rightarrow T$với R: “Hai tam giác bằng nhau” và T: “Diện tích của hai tam giác bằng nhau”

Giả thiết là mệnh đề R: “Hai tam giác bằng nhau”

Kết luận là mệnh đề T: “Diện tích của hai tam giác bằng nhau”

Mệnh đề Q có dạng $A \Rightarrow B$với A: “$a < b$” và B: “$a + c < b + c$”

Giả thiết là mệnh đề A: “$a < b$”

Kết luận là mệnh đề B: “$a + c < b + c$”

+) Mệnh đề P có thể phát biểu lại như sau:

Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để có diện tích của chúng bằng nhau.

Diện tích của hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần để hai tam giác bằng nhau.

+) Mệnh đề Q có thể phát biểu lại như sau:

$a < b$ là điều kiện đủ để có $a + c < b + c$.

$a + c < b + c$là điều kiện cần để có $a < b$.

Mệnh đề đảo của mệnh đề P có dạng $T \Rightarrow R$, phát biểu là: “Nếu hai tam giác có diện tích bằng nhau thì hai tam giác đó bằng nhau”.

Mệnh đề này sai nên không là định lí.

Chẳng hạn: Tam giác ABC và tam giác DEF, có diện tích bằng nhau nhưng hai tam giác không bằng nhau.

Mệnh đề đảo của mệnh đề Q có dạng $B \Rightarrow A$, phát biểu là: “Nếu $a + c < b + c$thì $a < b$”.

Mệnh đề này đúng nên nó cũng là định lí.

Đề bài

Xét hai mệnh đề:

P: “Tứ giác ABCD là hình bình hành”.

Q: “Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường”.

a) Phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và xét tính đúng sai của nó.

b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề $P \Rightarrow Q$.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ phát biểu là “Nếu P thì Q” hoặc “P kéo theo Q”, “Từ P suy ra Q”.

b) Mệnh đề đảo của mệnh đề $P \Rightarrow Q$ là mệnh đề $Q \Rightarrow P$.

Lời giải chi tiết

a) Mệnh đề $P \Rightarrow Q$: “Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì nó có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường”.

Mệnh đề này đúng vì “hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường” là tính chất của hình hình hành.

b) Mệnh đề đảo của mệnh đề $P \Rightarrow Q$ là mệnh đề $Q \Rightarrow P$, được phát biểu là: “Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì nó là hình bình hành”.

Đề bài

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau và phát biểu mệnh đề phủ định của chúng.

a) 2020 chia hết cho 3

b) $\pi < 3,15$

c) Nước ta hiện nay có 5 thành phố trực thuộc trung ương.

d) Tam giác có hai góc bằng ${45^o}$ là tam giác vuông cân.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Để phủ định mệnh đề, ta thêm (hoặc bớt) từ “không” hoặc “không phải” vào trước vị ngữ của mệnh đề đó. Hoặc diễn đạt bằng từ ngữ, kí hiệu toán học đối lập.

Lời giải chi tiết

a) Mệnh đề “2020 chia hết cho 3” sai.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là: “2020 không chia hết cho 3”

b) Mệnh đề “$\pi < 3,15$” đúng vì $\pi \approx 3,141592654$

Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là: “$\pi \ge 3,15$”

c) Mệnh đề “Nước ta hiện nay có 5 thành phố trực thuộc trung ương” đúng (gồm Hà Nội, Đà Nẵng, Hải Phòng, Hồ Chí Minh và Cần Thơ)

Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là: “Nước ta hiện nay không phải có 5 thành phố trực thuộc trung ương”

d) Mệnh đề “Tam giác có hai góc bằng ${45^o}$ là tam giác vuông cân” đúng.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là: “Tam giác có hai góc bằng ${45^o}$ không phải là tam giác vuông cân”

Đề bài

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là mệnh đề, khẳng định nào là mệnh đề chứa biến

a) $3 + 2 > 5$

b) $1 - 2x = 0$

c) $x - y = 2$

d) $1 - \sqrt 2 < 0$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Mệnh đề là một khẳng định đúng hoặc sai.

Mệnh đề chứa biến là một mệnh đề khi thay biến bằng một giá trị cụ thể.

Lời giải chi tiết

Các khẳng định là mệnh đề là:

a) $3 + 2 > 5$

d) $1 - \sqrt 2 < 0$

Các khẳng định là mệnh đề chứa biến là:

b) $1 - 2x = 0$

c) $x - y = 2$

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ Khám phá 6 Thực hành 7 Thực hành 8

HĐ Khám phá 6

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

(1) Với mọi số tự nhiên $x,\,\,\sqrt x $ là số vô tỉ;

(2) Bình phương của mọi số thực đều không âm;

(3) Có số nguyên cộng với chính nó bằng 0;

(4) Có số tự nhiên n sao cho 2n – 1 = 0.

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thức về mệnh đề.

Lời giải chi tiết:

(1) “Với mọi số tự nhiên $x,\,\,\sqrt x $ là số vô tỉ” sai, chẳng hạn $x = 1:\;\sqrt x = 1$ không là số vô tỉ.

(2) “Bình phương của mọi số thực đều không âm” đúng;

(3) “Có số nguyên cộng với chính nó bằng 0” đúng, số nguyên đó chính là số 0;

(4) “Có số tự nhiên n sao cho 2n – 1 = 0” sai, vì chỉ khi $n = \frac{1}{2}$ thì 2n – 1 = 0 nhưng $\frac{1}{2}$ không phải là số tự nhiên.

Thực hành 7

Sử dụng kí hiệu $\forall ,\exists $ để viết các mệnh đề sau:

a) Mọi số thực cộng với số đối của nó đều bằng 0

b) Có một số tự nhiên mà bình phương bằng 9.

Phương pháp giải:

Viết lại mệnh đề với các kí hiệu:

+ Kí hiệu $\forall$ đọc là “với mọi”.

+ Kí hiệu $\exists$ đọc là “tồn tại”.

Lời giải chi tiết:

a) “$\forall x \in \mathbb{R},x + ( - x) = 0$”

b) “$\exists n \in \mathbb{N},{x^2} = 9$”

Thực hành 8

Xét tính đúng sai và viết mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:

a) $\forall x \in \mathbb{R},{x^2} > 0$

b) $\exists x \in \mathbb{R},{x^2} = 5x - 4$

c) $\exists x \in \mathbb{Z},2x + 1 = 0$

Phương pháp giải:

Phủ định của mệnh đề “$\forall x \in X,P(x)$” là “$\exists x \in X,\overline {P(x)} $”

Phủ định của mệnh đề “$\exists x \in X,P(x)$” là “$\forall x \in X,\overline {P(x)} $”

Lời giải chi tiết:

a) Mệnh đề sai, vì $x = 0 \in \mathbb{R}$ nhưng ${0^2}$ không lớn hơn 0.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là: “$\exists x \in \mathbb{R},{x^2} \le 0$”

b) Mệnh đề đúng, vì $x = 1 \in \mathbb{R}$ thỏa mãn ${1^2} = 5.1 - 4$

Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là: “$\forall x \in \mathbb{N},{x^2} \ne 5x - 4$”

c) Mệnh đề sai, vì $2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}$

Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là: “$\forall x \in \mathbb{Z},2x + 1 \ne 0$”

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ Khám phá 5 Thực hành 6

HĐ Khám phá 5

Xét hai mệnh đề dạng $P \Rightarrow Q$ sau:

“Nếu ABC là tam giác đều thì nó có hai góc bằng ${60^o}$”;

“Nếu $a = 2$ thì ${a^2} - 4 = 0$”.

a) Chỉ ra P, Q và xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề trên.

b) Với mỗi mệnh đề đã cho, phát biểu mệnh đề $Q \Rightarrow P$ và xét tính đúng sai của nó.

Phương pháp giải:

Mệnh đề $Q \Rightarrow P$ phát biểu là “Nếu Q thì P”

Lời giải chi tiết:

+) Mệnh đề R: “Nếu ABC là tam giác đều thì nó có hai góc bằng ${60^o}$” có dạng $P \Rightarrow Q$, với

P: “ABC là tam giác đều” và Q: “Tam giác ABC có hai góc bằng ${60^o}$”

Ta thấy khi P đúng thì Q cũng đúng. Do đó $P \Rightarrow Q$ đúng hay R đúng.

+) Mệnh đề T: “Nếu $a = 2$ thì ${a^2} - 4 = 0$” có dạng $P \Rightarrow Q$, với:

P: “$a = 2$” và Q: “${a^2} - 4 = 0$”.

Ta thấy khi P đúng thì Q cũng đúng. Do đó $P \Rightarrow Q$ đúng hay T đúng.

b) Mệnh đề $Q \Rightarrow P$ của hai mệnh đề trên là:

“Nếu ABC có hai góc bằng ${60^o}$ thì nó là tam giác đều”, đúng.

“Nếu ${a^2} - 4 = 0$ thì $a = 2$” sai (vì thiếu nghiệm $a = - 2$).

Thực hành 6

Xét hai mệnh đề:

P: “Tứ giác ABCD là hình vuông”;

Q: “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”.

a) Phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và mệnh đề đảo của nó.

b) Hai mệnh đề P và Q có tương đương không? Nếu có, sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” hoặc “khi và chỉ khi” để phát biểu định lí $P \Leftrightarrow Q$ theo hai cách khác nhau.

Phương pháp giải:

Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ phát biểu là “Nếu P thì Q”, “P kéo theo Q” hoặc “Từ P suy ra Q”.

Mệnh đề $Q \Rightarrow P$ phát biểu là “Nếu Q thì P”

b) Hai mệnh đề P và Q là tương đương nếu cả hai mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ đều đúng.

Phát biểu:

“P là điều kiện cần và đủ để có Q” (hoặc “Q là điều kiện cần và đủ để có P”)

Hoặc “P khi và chỉ chi Q”.

Lời giải chi tiết:

Mệnh đề $P \Rightarrow Q$: “Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì nó là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”

Mệnh đề $Q \Rightarrow P$: “Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau thì nó là hình vuông”

Theo dấu hiệu nhận biết hình vuông, hai mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ đều đúng. Do đó, P và Q là hai mệnh đề tương đương. Ta có thể phát biểu thành định lí như sau:

“Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là điều kiện cần và đủ để nó là hình vuông”

Hoặc “Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi nó là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau”

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ Khám phá 4 Thực hành 5

HĐ Khám phá 4

Xét hai mệnh đề sau:

(1) Nếu ABC là tam giác đều thì nó là tam giác cân

(2) Nếu 2a – 4 > 0 thì a > 2

a) Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề trên.

b) Mỗi mệnh đề trên đều có dạng “Nếu P thì Q”. Chỉ ra P và Q ứng với mỗi mệnh đề đó.

Lời giải chi tiết:

(1) “Nếu ABC là tam giác đều thì nó là tam giác cân” là mệnh đề đúng.

(2) “Nếu 2a – 4 >0 thì a > 2” là mệnh đề đúng.

b) Trong mệnh đề (1) “Nếu ABC là tam giác đều thì nó là tam giác cân”

P: “ABC là tam giác đều”

Q: “ABC là tam giác cân”

Trong mệnh đề (2) “Nếu 2a – 4 > 0 thì a > 2”

P: “2a – 4 > 0”

Q: “a > 2”

Chú ý

Từ “nó” trong mênh đề (1) được hiểu là “ABC”. Do đó khi chỉ ra mệnh đề Q, ta dùng “ABC” thay cho “nó” để mệnh đề được rõ nghĩa.

Thực hành 5

Xét hai mệnh đề:

P: “Hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau”.

Q: “Hai tam giác ABC và A’B’C’ có diện tích bằng nhau”.

a) Phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$.

b) Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ có phải là một định lí không? Nếu có, sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” để phát biểu định lí này theo cách khác nhau.

Phương pháp giải:

a) Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ phát biểu là “Nếu P thì Q”

b) Khi mệnh đề $P \Rightarrow Q$ là một định lí, ta nói:

P là điều kiện đủ để có Q,

Q là điều kiện cần để có P.

Lời giải chi tiết:

a) Mệnh đề $P \Rightarrow Q$: “Nếu hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau”

b) Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ đúng nên nó là một định lí. Hai cách phát biểu định lí là:

Hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau là điều kiện đủ để có diện tích bằng nhau.

Hai tam giác ABC và A’B’C’ có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để chúng bằng nhau.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ Khám phá 3 Thực hành 4

HĐ Khám phá 3

Xét các cặp mệnh đề nằm cùng dòng của bảng (có hai cột P và $\overline P $) sau đây:

$\overline P $

Dơi là một loài chim

Dơi không phải là một loài chim

$\pi $ không phải là một số hữu tỉ

$\pi $ là một số hữu tỉ

$\sqrt 2 + \sqrt 3 > \sqrt 5 $

$\sqrt 2 + \sqrt 3 \le \sqrt 5 $

$\sqrt 2 .\sqrt {18} = 6$

$\sqrt 2 .\sqrt {18} \ne 6$

Phương pháp giải:

Xét tính đúng sai của các mệnh đề để xếp vào đúng cột

Lời giải chi tiết:

$\overline P $

Dơi là một loài chim

Sai

Dơi không phải là một loài chim

Đúng

$\pi $ không phải là một số hữu tỉ

Đúng

$\pi $ là một số hữu tỉ

Sai

$\sqrt 2 + \sqrt 3 > \sqrt 5 $

Đúng

$\sqrt 2 + \sqrt 3 \le \sqrt 5 $

Sai

$\sqrt 2 .\sqrt {18} = 6$

Đúng

$\sqrt 2 .\sqrt {18} \ne 6$

Sai

Chú ý:

Hai mệnh đề cùng cặp luôn có một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai.

Nếu P đúng thì $\overline P $ sai và ngược lại.

Thực hành 4

Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau. Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề và mệnh đề phủ định của nó.

a) Paris là thủ đô của nước Anh

b) 23 là số nguyên tố

c) 2021 chia hết cho 3

d) Phương trình ${x^2} - 3x + 4 = 0$ vô nghiệm.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Mệnh đề phủ định của các mệnh đề trên là:

a) “Paris không phải là thủ đô của nước Anh”

b) “23 không phải là số nguyên tố”

c) “2021 không chia hết cho 3”

d) “Phương trình ${x^2} - 3x + 4 = 0$ có nghiệm”.

+) Xét tính đúng sai:

a) “Paris là thủ đô của nước Anh” là mệnh đề sai.

“Paris không phải là thủ đô của nước Anh” là mệnh đề đúng.

b) “23 là số nguyên tố” là mệnh đề đúng.

“23 không phải là số nguyên tố” là mệnh đề sai.

c) “2021 chia hết cho 3” là mệnh đề sai.

“2021 không chia hết cho 3” là mệnh đề đúng.

d) “Phương trình ${x^2} - 3x + 4 = 0$ vô nghiệm” là mệnh đề đúng.

“Phương trình ${x^2} - 3x + 4 = 0$ có nghiệm” là mệnh đề sai.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ Khám phá 2 Thực hành 3

HĐ Khám phá 2

Xét câu “n chia hết cho 5” (n là số tự nhiên).

a) Có thể khẳng định câu trên là đúng hay sai không?

b) Tìm hai giá trị của n sao cho câu trên là khẳng định đúng, hai giá trị của n sao cho câu trên là khẳng định sai.

Lời giải chi tiết:

a) Không thể khẳng định câu trên là đúng hay sai.

+) n = 0 hoặc n =5 thì “n chia hết cho 5” là khẳng định đúng.

+) n = 2 hoặc n =34 thì “n chia hết cho 5” là khẳng định sai.

Thực hành 3

Với mỗi mệnh đề chứa biến sau, tìm những giá trị của biến để nhận được một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai.

a) $P(x): "x^2=2"$

b) $Q(x): "x^2+1>0"$

c) $R(n): "n+2$ chia hết cho 3” (n là số tự nhiên).

Lời giải chi tiết:

+) $x = \sqrt 2 $ ta được mệnh đề là một mệnh đề đúng.

+) $x = 0$ ta được mệnh đề là một mệnh đề sai.

+) $x = 0$ ta được mệnh đề là một mệnh đề đúng.

+) Không có giá trị của x để là một mệnh đề sai do ${x^2} + 1 > 0$ với mọi x.

c) chia hết cho 3” (n là số tự nhiên).

+) $n = 1$ ta được mệnh đề chia hết cho 3” là một mệnh đề đúng.

+) $n = 5$ta được mệnh đề chia hết cho 3” là một mệnh đề sai.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ Khởi động HĐ Khám phá 1 Thực hành 1 Thực hành 2

HĐ Khởi động

Phương pháp giải:

Định lí trên bảng là một mệnh đề kéo theo, nên có thể phát biểu dạng:

“Nếu P thì Q”, “P suy ra Q”, “P kéo theo Q”, hoặc sử dụng cụm “điều kiện cần”, “điều kiện đủ”

Lời giải chi tiết:

Định lí có tóm tắt như trên bảng còn thể phát biểu là:

1. Tam giác ABC cân suy ra nó có hai góc ở đáy bằng nhau.

2. Tam giác ABC cân kéo theo nó có hai góc ở đáy bằng nhau.

3. Tam giác ABC cân là điều kiện đủ để nó có hai góc ở đáy bằng nhau.

4. Tam giác ABC có hai góc ở đáy bằng nhau là điều kiện cần để có tam giác ABC cân.

HĐ Khám phá 1

Xét các câu sau đây:

(1) 1+1=2.

(2) Dân ca Quan họ là di sản văn hóa phi vật thể đại diện của nhân loại.

(3) Dơi là một loài chim

(4) Nấm có phải là một loài thực vật không?

(5) Hoa hồng đẹp nhất trong các loài hoa.

(6) Trời ơi, nóng quá!

Trong những câu trên,

a) Câu nào là khẳng định đúng, câu nào là khẳng định sai?

b) Câu nào không phải là khẳng định?

c) Câu nào là khẳng định, nhưng không thể xác định nó đúng hay sai?

Lời giải chi tiết:

a) Câu là khẳng định đúng:

(1) 1+1=2.

(2) Dân ca Quan họ là di sản văn hóa phi vật thể đại diện của nhân loại.

Câu là khẳng định sai:

(3) Dơi là một loài chim

b) Câu không phải là khẳng định:

(4) Nấm có phải là một loài thực vật không?

(6) Trời ơi, nóng quá!

c) Câu là khẳng định, nhưng không thể xác định nó đúng hay sai:

(5) Hoa hồng đẹp nhất trong các loài hoa.

Thực hành 1

Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?

a) $\sqrt 2 $ là số vô tỉ

b) $\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {10} }} > 2$

c) 100 tỉ là số rất lớn

d) Trời hôm nay đẹp quá!

Phương pháp giải:

Mệnh đề là một khẳng định đúng hoặc sai.

Lời giải chi tiết:

a) “$\sqrt 2 $ là số vô tỉ” là một mệnh đề (do là khẳng định đúng).

b) “$\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {10} }} > 2$” là một mệnh đề (do là khẳng định đúng).

c) “100 tỉ là số rất lớn” không là một mệnh đề (do là một khẳng định không đúng, không sai)

d) “Trời hôm nay đẹp quá!” không là một mệnh đề (do không là khẳng định).

Thực hành 2

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Vịnh Hạ Long là di sản thiên nhiên thế giới.

b) $\sqrt {{{( - 5)}^2}} = - 5$

c) ${5^2} + {12^2} = {13^2}$

Lời giải chi tiết:

a) “Vịnh Hạ Long là di sản thiên nhiên thế giới” là mệnh đề đúng.

b) “$\sqrt {{{( - 5)}^2}} = - 5$” là mệnh đề sai (vì $\sqrt {{{( - 5)}^2}} = \left| { - 5} \right| = 5$).

c) “${5^2} + {12^2} = {13^2}$” là mệnh đề đúng (vì ${5^2} + {12^2} = 169 = {13^2}$)

1. Mệnh đề

+ Định nghĩa:

Mệnh đề logic (hay mệnh đề) là một khẳng định đúng hoặc sai.

Một khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng.

Một khẳng định sai gọi là mệnh đề sai.

Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.

Mệnh đề toán học là những mệnh đề liên quan đến toán học.

+ Ví dụ:

“Một tuần có 7 ngày” là một mệnh đề (đúng)

“Số 23 không là số nguyên tố” là mệnh đề (sai).

+ Kí hiệu: Thường sử dụng các chữ cái in hoa P, Q, R, … để kí hiệu các mệnh đề.

2. Mệnh đề chứa biến

+ Một khẳng định nhưng không là mệnh đề, nhưng nếu cho một giá trị cụ thể thì câu đó cho ta một mệnh đề. Những câu như vậy được gọi là mệnh đề chứa biến.

Ví dụ: P: “3n+1 chia hết cho 5”

Q: “x < 5”

+ Một mệnh đề chứa biến có thể chứa một hoặc nhiều biến.

3. Mệnh đề phủ định

+ Kí hiệu $\overline P $ là mệnh đề phủ định (hoặc phủ định) của mệnh đề P, chúng có tính đúng sai trái ngược nhau.

+ Để phủ định một mệnh đề, ta thường thêm (hoặc bớt) từ “không” hoặc “không phải” vào trước vị ngữ của mệnh đề đó.

4. Mệnh đề kéo theo

+ Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo, kí hiệu: $P \Rightarrow Q.$ Phát biểu là “P kéo theo Q” hoặc “Từ P suy ra Q”.

+ Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ chỉ sai khi P đúng và Q sai.

+ Khi mệnh đề $P \Rightarrow Q$ là định lí, ta nói:

P là giả thiết, Q là kết luận của định lí.

P là điều kiện đủ để có Q

Q là điều kiện cần để có P.

5. Mệnh đề đảo. Hai mệnh đề tương đương

+ Mệnh đề $Q \Rightarrow P$ được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề $P \Rightarrow Q.$

Chú ý: Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là đúng.

+ Nếu hai mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ đều đúng thì P và Q là hai mệnh đề tương đương, kí hiệu: $P \Leftrightarrow Q$ (đọc là “P tương đương với Q” hoặc “P khi và chỉ khi Q”, “P là điều kiện cần và đủ để có Q” hay “P là điều kiện cần và đủ để có Q”).

6. Mệnh đề chứa kí hiệu $\forall ,\exists $

+ Kí hiệu $\forall $ đọc là “với mọi”.

+ Kí hiệu $\exists $ đọc là “tồn tại”.

Ví dụ:

“Mọi số thực đều có bình phương lớn hơn 2” viết là: “$\forall x \in \mathbb{R}|{x^2} > 2$”

“Có một số thực có bình phương nhỏ hơn 2” viết là: “$\exists \;x \in \mathbb{R}|{x^2} < 2$”

+ Mệnh đề “$\forall x \in M,P(x)$” đúng nếu với mọi ${x_0} \in M,P({x_0})$ là mệnh đề đúng.

+ Mệnh đề “$\exists x \in M,P(x)$” đúng nếu có ${x_0} \in M$ sao cho $P({x_0})$ là mệnh đề đúng.