SGK Toán Lớp 10 Chân Trời Sáng Tạo

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[SGK Toán Lớp 10 Chân Trời Sáng Tạo] Bài 3. Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Hướng dẫn học bài: Bài 3. Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ - Môn Toán học Lớp 10 Lớp 10. Đây là sách giáo khoa nằm trong bộ sách 'SGK Toán Lớp 10 Chân Trời Sáng Tạo Lớp 10' được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết các bé sẽ nắm bài học tốt hơn.

Đề bài

Một cái cầu hình bán nguyệt rộng 8,4 m cao 4,2 m như hình 5. Mặt đường dưới cộng được chia thành hai làn cho xe ra vào.

a) Vết phương trình mô phỏng cái cổng.

b) Một chiếc xe tải rộng 2,2 m và cao 2,6 m đi đúng làn đường quy định có thể đi qua cổng và không làm hư hỏng cổng hay không?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Bước 1: Gắn hệ trục tọa độ vào đường

Bước 2: Viết phương trình đường tròn với điều kiện ràng buộc

b) Bước 1: Xác định khoảng cách điểm xa nhất tới tâm đường tròn

Bước 2: So sánh kết quả vừa tìm được với bán kinh

+) Nếu nhỏ hơn hoặc bán kính thì có thể đi qua và không làm hỏng cổng

+) Ngược lại, nếu lớn hơn bánh kình thì không thể đi qua cổng

Lời giải chi tiết

a) Ta thấy cổng có hình bán nguyệt và chiều cao của cổng bằng một nửa chiều rộng của đường nên nó có dạng nửa đường tròn

Gắn trục tọa độ tại tim đường, ta có phương trình mô phỏng cái cổng là : \({x^2} + {y^2} = 4,{2^2}\) (với điều kiện \(y > 0\) vì cổng luôn nằm trên mặt đường)

b) Vì xe đi đúng làn nên ta có \(x = 2,2;y = 2,6\)

Khoảng cách từ điểm xa nhất của chiếc xe tài tới tim đường là: \(\sqrt {2,{2^2} + 2,{6^2}} \simeq 3,41\)

Ta thấy rằng \(3,41 < 4,2\), nên chiếc xe có thể đi qua cổng mà không làm hư hỏng cổng

Đề bài

Cho đường tròn \((C)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\)

a) Chứng tỏ rằng điểm \(M(4;6)\) thuộc đường tròn \((C)\)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(M(4;6)\)

c) Viết phương trình tiếp tuyến của \((C)\)song song với đường thẳng \(4x + 3y + 2022 = 0\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường tròn

+) Nếu biểu thức đó bằng 0 thì M thuộc đường tròn

+) Nếu biểu thức khác 0 thì M không thuộc đường tròn

b) Phương trình tiếp tuyến của đường trong tâm \(I(a;b)\) tại điểm \(M({x_0};{y_0})\)nằm trên đường tròn là: \(\left( {a - {x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {b - {y_0}} \right)\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)

c) Bước 1: Xác định pt tổng quát của tiếp tuyến (biết hai đường thẳng song song với nhau thì có cùng vt pháp tuyến)

Bước 2: Xác định tiếp tuyến (biết khoảng cách từ tâm đến tiếp tuyến là bán kính)

Lời giải chi tiết

a) Thay điểm \(M(4;6)\)vào phương trình đường tròn \({x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\)

ta có:

\({4^2} + {6^2} - 2.4 - 4.6 - 20 = 0\)

Suy ra, điểm M thuộc đường tròn (C)

b) Đường tròn có tâm \(I(1;2)\)

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại \(M(4;6)\) là:

\(\begin{array}{l}\left( {1 - 4} \right)\left( {x - 4} \right) + \left( {2 - 6} \right)\left( {y - 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3x + 4y -36 = 0\end{array}\)

c) Tiếp tuyến của đường tròn song song với đường thẳng \(4x + 3y + 2022 = 0\) nên phương trình có dạng \(d:4x + 3y + c = 0\)

Ta có tâm và bán kính của đường tròn là: \(I(1;2),r = \sqrt {{1^2} + {2^2} + 20} = 5\)

Khoảng cách từ tâm đến tiếp tuyến là bán kính nên: \(d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {4.1 + 3.2 + c} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 5 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 15\\c = - 35\end{array} \right.\)

Vậy đường tròn (C) có hai tiếp tuyến song song với đường thẳng \(4x + 3y + 2022 = 0\) là \({d_1}:4x + 3y + 15 = 0,{d_2}:4x + 3y - 35 = 0\)

Đề bài

Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy và đi qua điểm \(A(4;2)\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Gọi \(I(a,b)\) là tâm của bán kính, giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {I,Ox} \right) = IA\\d\left( {I,Oy} \right) = IA\end{array} \right.\)

Bước 2: Viết phương trình đường tròn \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\) với tâm \(I(a;b)\) và bán kính R

Lời giải chi tiết

Gọi tâm của đường tròn là điểm \(I(a;b)\)

Ta có: \(IA = \sqrt {{{\left( {a - 4} \right)}^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}} ,d\left( {I,Ox} \right) = b,d\left( {I,Oy} \right) = a\)

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {I,Ox} \right) = IA\\d\left( {I,Oy} \right) = IA\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \sqrt {{{\left( {a - 4} \right)}^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}} \\a = \sqrt {{{\left( {a - 4} \right)}^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}} \end{array} \right.\)

Thay \(a = b\) vào phương trình \(a = \sqrt {{{\left( {a - 4} \right)}^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}} \) ta có:

\(\begin{array}{l}a = \sqrt {{{\left( {a - 4} \right)}^2} + {{\left( {a - 2} \right)}^2}} \\ \Rightarrow {a^2} = {\left( {a - 4} \right)^2} + {\left( {a - 2} \right)^2}\\ \Rightarrow {a^2} - 12a + 20 = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 10\\a = 2\end{array} \right. \end{array}\)

Với \(a = b = 2\) ta có phương trình đường tròn (C) là: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\)

Với \(a = b = 10\) ta có phương trình đường tròn (C) là: \({\left( {x - 10} \right)^2} + {\left( {y - 10} \right)^2} = 100\)

Đề bài

Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có tọa độ các đỉnh là:

a) \(M(2;5),N(1;2),P(5;4)\)

b) \(A(0;6),B(7;7),C(8;0)\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Xác định tâm của đường tròn (điểm cách đều ba đỉnh của tam giác, là giao điểm của 3 đường trung trực)

Bước 2: Tính bán kính của đường tròn (là khoảng cách từ tâm đến một trong ba đỉnh)

Bước 3: Viết phương trình đường tròn \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\) với tâm \(I(a;b)\) và bán kính R

Lời giải chi tiết

a) Gọi A,B lần lượt là trung điểm của MN, MP ta có: \(A\left( {\frac{3}{2};\frac{7}{2}} \right),B\left( {\frac{7}{2};\frac{9}{2}} \right)\)

Đường trung trực \(\Delta \)của đoạn thẳng MN là đường thẳng đi qua \(A\left( {\frac{3}{2};\frac{7}{2}} \right)\) và nhận vt \(\overrightarrow {MN} = ( - 1; - 3)\) làm vt pháp tuyến, nên có phương trình \( - x - 3y + 12 = 0\)

Đường trung trực d của đoạn thẳng MP là đường thẳng đi qua \(B\left( {\frac{7}{2};\frac{9}{2}} \right)\) và nhận vt \(\overrightarrow {MP} = (3; - 1)\) làm vt pháp tuyến, nên có phương trình \(3x - y - 6 = 0\)

\(\Delta \) cắt d tại điểm \(I(3;3)\) cách đều ba điểm M, N, P suy ra đường tròn (C) cần tìm có tâm \(I(3;3)\) và có bán kính \(R = IM = \sqrt 5 \). Vậy (C) có phương trình: \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\)

b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC ta có: \(M\left( {\frac{7}{2};\frac{{13}}{2}} \right),N\left( {4;3} \right)\)

Đường trung trực \(\Delta \)của đoạn thẳng AB là đường thẳng đi qua \(M\left( {\frac{7}{2};\frac{{13}}{2}} \right)\) và nhận vt \(\overrightarrow {BA} = ( - 7; - 1)\) làm vt pháp tuyến, nên có phương trình \( - 7x - y + 31 = 0\)

Đường trung trực d của đoạn thẳng AC là đường thẳng đi qua \(N\left( {4;3} \right)\) và nhận vt \(\overrightarrow {AC} = (8; - 6)\) làm vt pháp tuyến, nên có phương trình \(8x - 6y - 14 = 0\)

\(\Delta \) cắt d tại điểm \(I(4;3)\) cách đều ba điểm A, B, C suy ra đường tròn (C) cần tìm có tâm \(I(4;3)\) và có bán kính \(R = IA = 5\). Vậy (C) có phương trình: \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25\)

Đề bài

Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:

a) \((C)\) có tâm \(I(1;5)\) và bán kính \(r = 4\)

b) \((C)\) có đường kính MN với \(M(3; - 1)\)và \(N(9;3)\)

c) \((C)\) có tâm \(I(2;1)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(5x - 12y + 12 = 0\)

d) \((C)\) có tâm \(A(1; - 2)\) và đi qua điểm \(B(4; - 5)\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Phương trình đường tròn có dạng \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\) với tâm \(I(a;b)\) và bán kính R

b) Bước 1: Từ đường kính xác định bán kính của đường tròn

Bước 2: Xác định tâm của đường tròn (là trung điểm của đường kính)

c, d) Bước 1: Xác định bán kính của đường tròn (là khoảng cách từ tâm đến tiếp tuyến)

Bước 2: Viết phương trình đường tròn \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\) với tâm \(I(a;b)\) và bán kính R

Lời giải chi tiết

a) Đường tròn (C) tâm \(I(1;5)\), bán kính \(r = 4\) có phương trình là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 16\)

b) \(MN = \sqrt {{{\left( {9 - 3} \right)}^2} + {{\left( {3 - ( - 1)} \right)}^2}} = 2\sqrt {13} \), suy ra bán kính là \(\sqrt {13} \)

Tâm của đường tròn là trung điểm của MN: \(I(6;1)\)

Đường tròn (C) tâm \(I\left( {6;1} \right)\)và bán kính là \(\sqrt {13} \) có phương trình: \({\left( {x - 6} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 13\)

c) Ta có bán kính của đường tròn \(r = d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {5.2 - 12.1 + 11} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{12}^2}} }} = \frac{9}{{13}}\)

Đường tròn (C) tâm \(I\left( {2;1} \right)\)và bán kính là \(\frac{9}{{13}}\) có phương trình: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = \frac{{81}}{{169}}\)

d) Bán kính của đường tròn là \(r = AB = \sqrt {{{\left( {4 - 1} \right)}^2} + {{\left( {( - 5) - ( - 2)} \right)}^2}} = 3\sqrt 2 \)

Đường tròn (C) tâm \(A(1; - 2)\)và bán kính là \(3\sqrt 2 \) có phương trình: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 18\)

Đề bài

Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

a) \({x^2} + {y^2} - 6x - 8y + 21 = 0\)

b) \({x^2} + {y^2} - 2x + 4y + 2 = 0\)

c) \({x^2} + {y^2} - 3x + 2y + 7 = 0\)

d) \(2{x^2} + 2{y^2} + x + y - 1

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Phương trình \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} - c > 0\), khi đó nó có tâm I(a;b) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \)

Lời giải chi tiết

a) Phương trình đã cho có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \(a = 3,b = 4,c = 21\)

Ta có \({a^2} + {b^2} - c = 9 + 16 - 21 = 4 > 0\). Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm là \(I(3;4)\) và có bán kính \(R = \sqrt 4 = 2\)

b) Phương trình đã cho có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \(a = 1,b = - 2,c = 2\)

Ta có \({a^2} + {b^2} - c = 1 + 4 - 2 = 3 > 0\). Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm là \(I(1; - 2)\) và có bán kính \(R = \sqrt 3 \)

c) Phương trình đã cho có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \(a = \frac{3}{2},b = - 1,c = 7\)

Ta có \({a^2} + {b^2} - c = \frac{9}{4} + 1 - 7 = - \frac{{15}}{4} < 0\). Vậy đây không là phương trình đường tròn.

d) Phương trình không có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) nên phương trình đã cho không là phương trình đường tròn.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ Khám phá 2 Thực hành 3 Vận dụng 3

HĐ Khám phá 2

Cho điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) nằm trên đường tròn \((C)\) tâm \(I(a;b)\)và cho điểm\(M(x;y)\) tùy ý trong mặt phẳng Oxy. Gọi \(\Delta \) là tiếp tuyến với \((C)\) tại \({M_0}\)

a) Viết biểu thức tọa độ của hai vt \(\overrightarrow {{M_0}M} \) và \(\overrightarrow {{M_0}I} \)

b) Viết biểu thức tọa độ của tích vô hướng của hai vt \(\overrightarrow {{M_0}M} \) và \(\overrightarrow {{M_0}I} \)

c) Phương trình \(\overrightarrow {{M_0}M} .\overrightarrow {{M_0}I} = 0\)là phương trình của đường thẳng nào?

Phương pháp giải:

a) Với \(A(a;b),B(x;y)\) thì tọa độ của vt \(\overrightarrow {AB} = (x - a;y - b)\)

b) Với \(\overrightarrow a = \left( {a,b} \right),\overrightarrow b = (x;y)\) thì \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = ax + by\)

c) Từ tích vô hướng đưa ra kết luận là \(\overrightarrow {{M_0}M} = \left( {x - {x_0};y - {y_0}} \right)\), \(\overrightarrow {{M_0}I} = \left( {a - {x_0};b - {y_0}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

a) Biểu thức tọa độ của hai vt \(\overrightarrow {{M_0}M} \) và \(\overrightarrow {{M_0}I} \) là \(\overrightarrow {{M_0}M} = \left( {x - {x_0};y - {y_0}} \right)\), \(\overrightarrow {{M_0}I} = \left( {a - {x_0};b - {y_0}} \right)\)

b) Ta có:

\(\overrightarrow {{M_0}M} .\overrightarrow {{M_0}I} = \left( {x - {x_0}} \right)\left( {a - {x_0}} \right) + \left( {b - {y_0}} \right)\left( {y - {y_0}} \right)\)

c) \(\overrightarrow {{M_0}M} .\overrightarrow {{M_0}I} = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{M_0}M} \bot \overrightarrow {{M_0}I} \)

Mà \({M_0}I\) là đoạn thẳng nối tâm với điểm nằm ngoài

Vậy ta thấy pt đường thẳng \(M{M_0}\) là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm \({M_0}\)

Thực hành 3

Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\) tại điểm \(A(4;6)\)

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm \(I(a;b)\) tại điểm \(M({x_0};{y_0})\)nằm trên đường tròn là: \(\left( {a - {x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {b - {y_0}} \right)\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \({4^2} + {6^2} - 2.4 - 4.6 - 20 = 0\), nên điểm A thuộc (C)

Đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\) có tâm \(I(1;2)\)

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại \(A(4;6)\) là:

\(\begin{array}{l}\left( {4 - 1} \right)\left( {x - 4} \right) + \left( {6 - 2} \right)\left( {y - 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3x + 4y + 16 = 0\end{array}\)

Vận dụng 3

Một vận động viên ném đĩa đã vung đĩa theo một đường tròn \((C)\) có phương trình:

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = \frac{{169}}{{144}}\).

Khi người đó vung đĩa đến vị trí điểm \(M\left( {\frac{{17}}{{12}};2} \right)\) thì buông đĩa (hình 4). Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \((C)\) tại điểm M

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đường trong tâm \(I(a;b)\) tại điểm \(M({x_0};{y_0})\)nằm trên đường tròn là: \(\left( {a - {x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {b - {y_0}} \right)\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \({\left( {\frac{{17}}{{12}} - 1} \right)^2} + {\left( {2 - 1} \right)^2} = \frac{{169}}{{144}}\), nên điểm M thuộc (C)

Đường tròn \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = \frac{{169}}{{144}}\) có tâm \(I(1;1)\)

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại \(M\left( {\frac{{17}}{{12}};2} \right)\) là:

\(\begin{array}{l}\left( {\frac{{17}}{{12}} - 1} \right)\left( {x - \frac{{17}}{{12}}} \right) + \left( {2 - 1} \right)\left( {y - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{5}{2}x + y - \frac{{133}}{{24}} = 0\end{array}\)

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ Khám phá 1 Thực hành 1 Thực hành 2 Vận dụng 1 Vận dụng 2

HĐ Khám phá 1

Hãy nhắc lại công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm \(I\left( {a;b} \right)\) và \(M\left( {x;y} \right)\)trong mặt phẳng Oxy

Lời giải chi tiết:

Khoảng cách hai điểm M,I (hay độ dài đoạn thẳng MI) chính là độ dài vecto \(\overrightarrow {MI} \)

\(\overrightarrow {MI} = \left( {a - x;b - y} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MI} } \right| = \sqrt {{{\left( {a - x} \right)}^2} + {{\left( {;b - y} \right)}^2}} \)

Vậy khoảng cách giữa hai điểm \(I\left( {a;b} \right)\) và \(M\left( {x;y} \right)\) là \(\sqrt {{{\left( {a - x} \right)}^2} + {{\left( {;b - y} \right)}^2}} \)

Thực hành 1

Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a) (C) có tâm \(O\left( {0;0} \right)\), bán kính \(R = 4\)

b) (C) có tâm \(I\left( {2; - 2} \right)\), bán kính \(R = 8\)

c) (C) đi qua 3 điểm \(A(1;4),B(0;1),C(4;3)\)

Phương pháp giải:

Phương trình đường tròn tâm \(I(a;b)\) và bán kính R là \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\)

c) Lập phương trình đường trung trực của 2 cạnh => có giao điểm là tâm I cần tìm.

Từ đó tính bán kính R và lập pt đường tròn.

Lời giải chi tiết:

a) Đường tròn (C) tâm \(O\left( {0;0} \right)\), bán kính \(R = 4\) có phương trình là: \({x^2} + {y^2} = 16\)

b) Đường tròn (C) tâm \(I\left( {2; - 2} \right)\), bán kính \(R = 8\) có phương trình: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 64\)

c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC ta có: \(M\left( {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right),N\left( {\frac{5}{2};\frac{7}{2}} \right)\)

Đường trung trực \(\Delta \)của đoạn thẳng AB là đường thẳng đi qua M và nhận vt \(\overrightarrow {BA} = (1;3)\) làm vt pháp tuyến, nên có phương trình \(x + 3y - 8 = 0\)

Đường trung trực d của đoạn thẳng AC là đường thẳng đi qua N và nhận vt \(\overrightarrow {AC} = (3; - 1)\) làm vt pháp tuyến, nên có phương trình \(3x - y - 4 = 0\)

\(\Delta \) cắt d tại điểm \(I(2;2)\) cách đều ba điểm A, B, C suy ra đường tròn (C) cần tìm có tâm \(I(2;2)\) và có bán kính \(R = IA = \sqrt 5 \). Vậy (C) có phương trình: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 5\)

Thực hành 2

Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó

a) \({x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\)

b) \({\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 121\)

c) \({x^2} + {y^2} - 4x - 8y + 5 = 0\)

d) \(2{x^2} + 2{y^2} + 6x + 8y - 2 = 0\)

Phương pháp giải:

+) Phương trình có dạng \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\)là đường tròn với tâm \(I(a;b)\) và bán kính R

Lời giải chi tiết:

a) Phương trình đã cho có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \(a = 1,b = 2,c = - 20\)

Ta có \({a^2} + {b^2} - c = 1 + 4 + 20 = 25 > 0\). Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm là \(I(1;2)\) và có bán kính \(R = \sqrt {25} = 5\)

b) Phương trình \({\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 121\) là phương trình dường tròn với tâm \(I( - 5; - 1)\) và bán kinh \(R = \sqrt {121} = 11\)

c) Phương trình đã cho có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \(a = - 3,b = - 2,c = - 2\)

Ta có \({a^2} + {b^2} - c = 9 + 4 + 2 = 15 > 0\). Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm là \(I( - 3; - 2)\) và có bán kính \(R = \sqrt {15} \)

d) Phương trình không có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) nên phương trình đã cho không là phương trình đường tròn

Vận dụng 1

Theo dữ kiện đã cho trong hoạt động khởi động của bài học, viết phương trình đường tròn biểu diễn tập hợp các điểm xa nhất mà vòi nước có thể phun tới

Phương pháp giải:

Tập hợp các điểm xa nhất tạo thành đường tròn với tâm I (a; b) và bán kính R

Phương trình là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\)

Lời giải chi tiết:

Theo giả thiết ta có: tâm \(I(30;40)\) và bán kính \(R = 50\)

Vậy phương trình tập hợp các điểm xa nhất mà vòi nước có thể phun tới là:

\({\left( {x - 30} \right)^2} + {\left( {y - 40} \right)^2} = {50^2}\)

Vận dụng 2

Một sân khấu đã được thiết lập một hệ trục tọa độ bởi đạo diễn có thể sắp đặt ánh sáng và xác định vị trí của các diễn viên. Cho biết một đèn chiếu đang gọi trên sân khấu một vùng sáng bên trong đường tròn (C) có phương trình \({\left( {x - 13} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 16\)

a) Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C)

b) Cho biết tọa độ trên sân khấu của 3 diễn viên A, B, C như sau: \(A(11;4).B(8;5),C(15;5)\).Diễn viên nào đang được đèn chiếu sáng?

Phương pháp giải:

a) Với phương trình thì tâm là \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\)thì tâm là \(I(a;b)\) và bán kính R

b) Bước 1: Tính khoảng cách của các diễn viên đến tâm vùng sáng

Bước 2: So sánh khoảng cách vừa tìm được với bán kính

+) Nếu nhỏ hơn hoặc bằng bán kính thì được chiếu sáng

+) Nếu lớn hơn bán kính thì không được chiếu sáng

Lời giải chi tiết:

a) (C) có phương trình \({\left( {x - 13} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 16\)nên có tâm là \(I(13;4)\) và bán kính \(R = \sqrt {16} = 4\)

b) Ta có: \(IA = \sqrt {{{\left( {11 - 13} \right)}^2} + {{\left( {4 - 4} \right)}^2}} = 2,IB = \sqrt {{{\left( {8 - 13} \right)}^2} + {{\left( {5 - 4} \right)}^2}} = \sqrt {26} \)

\(IC = \sqrt {{{\left( {15 - 13} \right)}^2} + {{\left( {5 - 4} \right)}^2}} = \sqrt 5 \)

\(2 < 4 \Rightarrow IA < R\), suy ra diễn viên A được chiếu sáng

\(\sqrt {26} > 4 \Rightarrow IB > R\), suy ra diễn viên B không được chiếu sáng

\(\sqrt 5 < 4 \Rightarrow IC < R\), suy ra diễn viên C được chiếu sáng

Vậy diễn viên A và C được chiếu sáng

A. Lý thuyết

1. Phương trình đường tròn

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính R. Ta có M(x;y) nằm trên đường tròn (C) khi và chỉ khi

\(IM = R \Leftrightarrow \sqrt {{{(x - a)}^2} + {{(y - b)}^2}} = R \Leftrightarrow {(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\).

Phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R là

\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\).

Nhận xét: Phương trình đường tròn \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}\) có thể được viết dưới dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\).

Phương trình \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) là phương trình của một đường tròn (C) khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} > c\). Khi đó, (C) có tâm I(a;b) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \).

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm I(a;b) tại điểm \({M_0}({x_0};{y_0})\) nằm trên đường tròn là:

\(({x_0} - a)(x - {x_0}) + ({y_0} - b)(y - {y_0}) = 0\).

B. Bài tập

Bài 1:

a) Tìm tâm và bán kính đường tròn (C) có phương trình: \({(x - 2)^2} + {(y + 3)^2} = 16\).

b) Viết phương trình đường tròn (C’) tâm J(2;-1) và có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C).

Giải:

a) Ta viết phương trình của (C) ở dạng \({(x - 2)^2} + {(y - ( - 3))^2} = {4^2}\).

Vậy (C) có tâm I(2;-3) và bán kính R = 4.

b) Đường tròn (C’) có tâm J(2;-1) và bán kính R’ = 2R = 8 nên có phương trình:

\({(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} = 64\).

Bài 2: Phương trình \({x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 4 = 0\) có phải là phương trình đường tròn không? Nếu có, xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

Giải:

Từ phương trình, ta có \(a = \frac{{ - 4}}{{ - 2}} = 2\); \(b = \frac{2}{{ - 2}} = - 1\); c = -4.

Suy ra \({a^2} + {b^2} - c = {2^2} + {( - 1)^2} - ( - 4) = 9 > 0\).

Vậy phương trình \({x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 4 = 0\) là phương trình đường tròn tâm I(2;-1) và bán kính \(R = \sqrt 9 = 3\).

Bài 3: Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(-1;1), B(0;-2), C(0;2).

Giải:

Giả sử tâm của đường tròn là điểm I(a;b). Ta có \(IA = IB = IC \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2} = I{C^2}\).

Khi đó:

\(\left\{ \begin{array}{l}{( - 1 - a)^2} + {(1 - b)^2} = {(0 - a)^2} + {( - 2 - b)^2}\\{(0 - a)^2} + {( - 2 - b)^2} = {(0 - a)^2} + {(2 - b)^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + 2a - 2b + 2 = {a^2} + {b^2} + 4b + 4\\{a^2} + {b^2} + 4b + 4 = {a^2} + {b^2} - 4b + 4\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - 2b = 4b + 2\\b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\end{array} \right.\).

Đường tròn tâm I(1;0) bán kính \(R = IC = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 4b + 4} = \sqrt 5 \).

Phương trình đường tròn là \({(x - 1)^2} + {(y - 0)^2} = {(\sqrt 5 )^2}\).

Vậy phương trình đường tròn là \({(x - 1)^2} + {y^2} = 5\).

Bài 4: Cho đường tròn (C) có phương trình \({(x + 1)^2} + {(y - 3)^2} = 5\). Điểm M(0;1) có thuộc đường tròn (C) hay không? Nếu có, hãy viết phương trình tiếp tuyến tại M của (C).

Giải:

Do \({(0 + 1)^2} + {(1 - 3)^2} = 5\), nên điểm M thuộc (C).

Đường tròn (C) có tâm là I(-1;3). Tiếp tuyến của (C) tại M(0;1) có vecto pháp tuyến \( - 1(x - 0) + 2(y - 1) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 2 = 0\).