SGK Toán Lớp 10 Kết nối tri thức

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[SGK Toán Lớp 10 Kết nối tri thức] Bài 23. Quy tắc đếm

Hướng dẫn học bài: Bài 23. Quy tắc đếm - Môn Toán học Lớp 10 Lớp 10. Đây là sách giáo khoa nằm trong bộ sách 'SGK Toán Lớp 10 Kết nối tri thức Lớp 10' được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết các bé sẽ nắm bài học tốt hơn.

Đề bài

a) Mật khẩu của chương trình máy tính quy định gồm 3 kí tự, mỗi kí tự là một chữ số. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu mật khẩu khác nhau?

b) Nếu chương trình máy tính quy định mới mật khẩu vẫn gồm 3 kí tự, nhưng kí tự đầu tiên phải là một chữ cái in hoa trong bảng chữ cái tiếng Anh gồm 26 chữ (từ A đến Z) và 2 kí tự sau là các chữ số (từ 0 đến 9). Hỏi quy định mới có thể tạo được nhiều hơn quy định cũ bao nhiêu mật khẩu khác nhau?

Lời giải chi tiết

a) Mỗi kí tự đều có 10 cách chọn.

Số mật khẩu có thể tạo ra là 10. 10. 10 = 1000

b) - Kí tự đầu có 26 cách chọn.

- 2 kí tự sau, mỗi kí tự có 10 cách chọn.

Quy định mới có thể tạo ra số mật khẩu là:

26. 10. 10= 2600

Quy định mới có thể tạo được nhiều hơn quy định cũ số mật khẩu khác nhau là:

2600- 1000= 1600 (mật khẩu)

Đề bài

Có bao nhiêu số tự nhiên

a) có 3 chữ số khác nhau

b) là số lẻ có 3 chữ số khác nhau?

c) là số có 3 chữ số và chia hết cho 5?

d) là số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng kết hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân.

Lời giải chi tiết

Chọn các chữ số hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị trong các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

a) - chữ số hàng trăm có 9 cách (khác 0)

- chữ số hàng chục có 9 cách (khác chữ số hàng trăm)

- chữ số hàng đơn vị có 8 cách (khác chữ số hàng trăm và hàng chục)

Vậy có tất cả 9. 9. 8= 648 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau.

b) - Chọn chữ số hàng đơn vị có 5 cách

- Chọn chữ số hàng trăm có 8 cách

- Chọn chữ số hàng chục có 8 cách

Vậy có tất cả 5. 8. 8= 320 số lẻ có 3 chữ số khác nhau.

c) - Chọn chữ số hàng đơn vị có 2 cách

- Chọn chữ số hàng trăm có 9 cách

- Chọn chữ số hàng chục có 10 cách

Vậy có tất cả 2.9.10= 180 số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 5.

d) Trường hợp 1: chữ số hàng đơn vị là 0.

- Chọn chữ số hàng trăm có 9 cách

- Chọn chữ số hàng chục có 8 cách

Trường hợp 2 chữ số hàng đơn vị là 5:

- Chọn chữ số hàng trăm có 8 cách (khác 0 và 5)

- Chọn chữ số hàng chục có 8 cách

Vậy có tất cả 9.8 +8. 8= 136 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5.

Đề bài

Ở một loài thực vật, A là gen trội quy định tính trạng hoa kép, a là gen lặn quy định tính trạng hoa đơn.

a) Sự tổ hợp giữa hai gen tạo ra mấy kiểu gen? Viết các kiểu gen đó.

b) Khi giao phối ngẫu nhiên, có bao nhiêu kiểu giao phối khác nhau từ các kiểu gen đó?

Lời giải chi tiết

a) Sự tổ hợp giữa hai gen tạo ra 3 kiểu gen: AA, aa, Aa.

b) Khi giao phối ngẫu nhiên, ta lấy 2 gene bất kì trong 3 kiểu gene kết hợp với nhau

Khi đó, các kiểu giao phối khác nhau được tạo ra từ 3 kiểu gene trên là:

AA x AA; AA x Aa; AA x aa; Aa x Aa; Aa x aa; aa x aa

=> Có 6 kiểu giao phối khác nhau

Đề bài

Một người gieo đồng xu hai mặt, sau mỗi lần gieo thì ghi lại kết quả là sấp hay ngửa. Hỏi nếu người đó gieo 3 lần thì có thể có bao nhiêu khả năng xảy ra?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

áp dụng quy tắc nhân

Lời giải chi tiết

Mỗi lần gieo có 2 khả năng xảy ra: xấp hoặc ngửa

Nếu người đó gieo 3 lần thì có thể có số khả năng xảy ra là:

2.2.2 = 8 (khả năng)

Đề bài

Trên giá sách có 8 cuốn truyện ngắn, 7 cuốn tiểu thuyết và 5 tập thơ (tất cả đều khác nhau). Vẽ sơ đồ hình cây cho biết bạn Phong có bao nhiêu cách chọn một cuốn để đọc vào ngày cuối tuần.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng quy tắc cộng.

Lời giải chi tiết

Bạn Phong có số cách chọn một cuốn để đọc vào ngày cuối tuần là:

8+ 7+ 5= 20 (cách)

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Luyện tập 3 Vận dụng

Luyện tập 3

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số thỏa mãn:

a) Là số tự nhiên có ba chữ số khác nhau?

b) Là số tự nhiên chẵn có ba chữ số khác nhau?

Lời giải chi tiết:

a) Từ 4 chữ số 0, 1, 2, 3:

- Hàng trăm có 3 cách chọn.

- Hàng chục có 3 cách chọn.

- Hàng đơn vị có 2 cách chọn.

Vậy có tất cả 3.3.2=18 số tự nhiên khác nhau có 3 chữ số được lập từ 0, 1, 2, 3.

b) - Trường hợp 1: hàng đơn vị là số 0 như vậy hàng trăm có 3 cách chọn, hàng chục có 2 cách chọn.

Có tất cả 1. 2. 3= 6 số có thể lập được.

- Trường hợp 2: hàng đơn vị là số 2 như vậy hàng trăm có 2 cách chọn, hàng chục có 2 cách chọn.

Có tất cả 1. 2. 2= 4 số có thể lập được.

Vậy có thể lập 6+4= 10 số tự nhiên chẵn có ba chữ số khác nhau.

Vận dụng

Khối lớp 10 của một trường trung học phổ thông có ba lớp 10A, 10B, 10C. Lớp 10A có 30 bạn, lớp 10B có 35 bạn, lớp 10C có 32 bạn. Nhà trường muốn chọn 4 bạn để thành lập đội cờ đỏ của khối sao cho có đủ đại diện của các lớp. Hỏi có bao nhiêu cách lựa chọn?

Phương pháp giải:

Chia 3 trường hợp:

- 2 bạn lớp 10A, 1 bạn lớp 10B, 1 bạn lớp 10C.

- 1 bạn lớp 10A, 2 bạn lớp 10B, 1 bạn lớp 10C.

- 1 bạn lớp 10A, 1 bạn lớp 10B, 2 bạn lớp 10C.

Áp dụng quy tắc nhân tính từng trường hợp có bao nhiêu cách chọn và quy tắc cộng để cộng 3 trường hợp với nhau.

Lời giải chi tiết:

TH1: 2 bạn lớp 10A, 1 bạn lớp 10B, 1 bạn lớp 10C có số cách chọn là:

\(C_{30}^2\). 35. 32= 487200( cách)

TH2: 1 bạn lớp 10A, 2 bạn lớp 10B, 1 bạn lớp 10C có số cách chọn là:

30.\(C_{35}^2\). 32= 571200 (cách)

TH3: 1 bạn lớp 10A, 1 bạn lớp 10B, 2 bạn lớp 10C có số cách chọn là:

30. 35.\(C_{32}^2\)= 520800 (cách)

Vậy số cách lựa chọn là: 487200+ 571200 + 520800= 1579200 cách

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ3 HĐ4 Luyện tập 2

HĐ3

Thầy Trung muốn đi từ Hà Nội vào Huế, rồi từ Huế vào Quảng Nam. Biết rằng từ Hà Nội vào Huế có thể đi bằng 3 cách: ô tô, tàu hỏa hoặc máy bay. Còn từ Huế vào Quảng Nam có thể đi bằng 2 cách: ô tô hoặc tàu hỏa.

Hỏi thầy Trung có bao nhiêu cách chọn phương tiện để đi từ Hà Nội vào Quảng Nam?

Lời giải chi tiết:

Đi từ Hà Nội vào Huế, rồi từ Huế vào Quảng Nam có các cách là:

Máy bay >> Oto

Máy bay >> tàu hỏa

Oto >> Oto

Oto >> tàu hỏa

Tàu hỏa >> Oto

Tàu hỏa >> tàu hỏa

Vậy thầy Trung có 6 cách chọn phương tiện để đi từ Hà Nội vào Quảng Nam.

HĐ4

Để lắp ghế vào một phòng chiếu phim, các ghế được gắn nhãn bằng một chữ cái in hoa (trong bảng 26 chữ cái tiếng Anh Từ A đến Z) đứng trước và một số nguyên từ 1 đến 20, chẳng hạn X15, Z2,...

Hỏi có thể gắn nhãn tối đa được cho bao nhiêu ghế?

Lời giải chi tiết:

Để gắn nhãn cho các ghế ta chọn chọn 1 chữ cái in hoa và 1 số (từ 1 đến 20).

Số cách chọn chữ cái in hoa: 26 cách (tương ứng với 26 chữ)

Số cách chọn số: 20 cách

Vậy số ghế gắn nhãn tối đa là 26.20 = 520 (ghế)

Luyện tập 2

Tại kì World Cup năm 2018, vòng bảng gồm có 32 đội tham gia, được chia vào 8 bảng, mỗi bảng 4 đội thi đấu vòng tròn (mỗi đội chơi một trận với từng đội khác trong cùng bảng). Hỏi tổng cộng vòng bảng có bao nhiêu trận đấu?

Lời giải chi tiết:

- Mỗi bảng 4 đội thi đấu vòng tròn, giả sử là các đội A, B, C, D

Các trận đấu là: A-B, A-C, A-D, B-C, B-D, C-D => có tất cả 6 trận đấu

- Có 8 bảng khác nhau.

- Tổng cộng vòng bảng có số trận đấu là 6.8=48 (trận đấu).

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ1 HĐ2 Luyện tập 1

HĐ1

Chọn chuyến đi (H.8.1)

Từ Hà Nội vào Vinh mỗi ngày có 7 chuyến tàu hỏa và 2 chuyến máy bay. Bạn An muốn ngày Chủ nhật này đi từ Hà Nội vào Vinh bằng tàu hỏa hoặc máy bay.

Hỏi bạn An có bao nhiêu cách chọn?

Lời giải chi tiết:

Để đi bằng tàu hỏa bạn An có 7 cách chọn và đi bằng máy bay có 2 cách chọn.

Vậy bạn An có tất cả 7+2=9 cách chọn chuyến đi

HĐ2

Chọn vé tàu (H.8.2)

Bạn An đã quyết định mua vé tàu đi từ Hà Nội vào Vinh trên chuyến tàu SE7. Trên tàu có các toa ghế ngồi và các toa giường nằm. Toa ngồi có 2 loại vé: ngồi cứng và ngồi mềm. Toa nằm có loại không 4 giường và loại khoang 6 giường. Khoang 4 giường có hai loại vé: tầng 1 và tầng 2, khoang 6 giường có ba loại vé: tầng 1, tầng 2, tầng 3. Hỏi:

a) Có bao nhiêu loại vé ghế ngồi và bao nhiêu loại vé giường nằm?

b) Có bao nhiêu loại vé để bạn An lựa chọn?

Lời giải chi tiết:

a) Số vé ghế ngồi là 2 (loại vé)

Số vé giường nằm là 2+3=5 (loại vé)

b) Số loại vé để bạn An lựa chọn là:

2+5=7 (loại vé)

Luyện tập 1

Có bao nhiêu số tự nhiên từ 1 đến 30 mà không nguyên tố cùng nhau với 35?

Phương pháp giải:

- không nguyên tố cùng nhau = có ước chung (khác 1).

- Mà 35 =5.7 nên ta tìm các số chia hết cho 5 hoặc 7.

Lời giải chi tiết:

Từ 1 đến 30 có:

- Có 6 số chia hết cho 5 là: 5, 10, 15, 20, 25, 30.

- Có 4 số chia hết cho 7 là: 7, 14, 21, 28.

Có tất cả 6+4= 10 số tự nhiên không nguyên tố cùng nhau với 35.

A. Lý thuyết

1. Quy tắc cộng và sơ đồ hình cây

Giả sử một công việc có thể thực hiện theo một trong hai phương án khác nhau:

- Phương án một có m cách thực hiện.

- Phương án hai có n cách thực hiện (không trùng với bất kỳ cách thực hiện nào của phương án một).

Khi đó số cách thực hiện công việc sẽ là: m + n cách.

Chú ý: Sơ đồ minh họa cách phân chia trường hợp như trên được gọi là sơ đồ hình cây. Trong các bài toán đếm, người ta thường dùng sơ đồ hình cây để minh họa, giúp cho việc đếm thuận tiện và không bị sót trường hợp.

2. Quy tắc nhân

Giả sử một công việc phải hoàn thành qua hai công đoạn liên tiếp nhau:

- Công đoạn một có m cách thực hiện.

- Với mỗi cách thực hiện công đoạn một, có n cách thực hiện công đoạn hai.

Khi đó số cách thực hiện công việc là: m.n cách.

Chú ý: Quy tắc nhân áp dụng để tính số cách thực hiện một công việc có nhiều công đoạn, các công đoạn nối tiếp nhau và những công đoạn này độc lập với nhau.

3. Kết hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân

Hầu hết các bài toán đếm trong thực tế sẽ phức tạp hơn và phải áp dụng cả hai quy tắc.

B. Bài tập

Bài 1: Bạn Phương có 7 quyển sách Tiếng Anh và 8 quyển sách Văn học, các quyển sách là khác nhau. Hỏi bạn Phương có bao nhiêu cách chọn một quyển sách để đọc?

Giải:

Việc chọn một quyển sách để đọc là thực hiện một trong hai hành động sau:

Chọn một quyển sách Tiếng Anh: Có 7 cách chọn.

Chọn một quyển sách Văn học: Có 8 cách chọn.

Vậy có 7 + 8 = 15 cách chọn một quyển sách để đọc.

Bài 2: Trong kinh doanh nhà hàng, combo là một hình thức gọi món theo thực đơn được kết hợp từ nhiều món ăn hoặc đồ uống. Nếu nhà hàng có 5 món rau, 4 món cá và 3 món thịt thì có bao nhiêu cách tạo ra một combo? Biết mỗi combo có đầy đủ 1 món rau, 1 món cá và 1 món thịt.

Giải:

Để tạo một combo, ta thực hiện ba hành động liên tiếp: chọn 1 món rau, chọn 1 món cá và chọn 1 món thịt.

Chọn 1 món rau: Có 5 cách chọn.

Chọn 1 món cá: Có 4 cách chọn.

Chọn 1 món thịt: Có 3 cách chọn.

Vậy có 5.4.3 = 60 cách tạo ra một combo.

Bài 3: Bạn Hương có 3 chiếc quần khác màu: xám, đen, nâu nhạt và 4 chiếc áo sơ mi khác màu: hồng, vàng, xanh, tím. Hãy vẽ sơ đồ hình cây biểu thị số cách chọn:

a) 1 chiếc quần.

b) 1 chiếc áo sơ mi.

c) 1 bộ quần áo.

Giải:

Các sơ đồ hình cây \({T_1},{T_2},{T_1}{T_2}\) trong hình vẽ lần lượt:

a) Biểu thị số cách chọn 1 chiếc quần.

b) Biểu thị số cách chọn 1 chiếc áo sơ mi.

c) Biểu thị số cách chọn 1 bộ quần áo.

Bài 4: Cho 10 điểm phân biệt. Hỏi lập được bao nhiêu vectơ khác 0? Biết rằng hai đầu mút của mỗi vectơ là 2 trong 10 điểm đã cho.

Giải:

Việc lập vectơ là thực hiện hai hành động liên tiếp: chọn điểm đầu và chọn điểm cuối.

Chọn điểm đầu: Có 10 cách chọn. Chọn điểm cuối: Có 9 cách chọn. Theo quy tắc nhân, số vectơ lập được là: 10.9 = 90.

Bài 5: Đội văn nghệ của lớp 10B có 3 học sinh nữ và 2 học sinh nam. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ra một đội tam ca gồm 3 học sinh sao cho có cả học sinh nam và học sinh nữ. Hỏi giáo viên chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn ra một đội tam ca như vậy?

Giải:

Khi chọn ra một đội tam ca gồm 3 học sinh có cả nam và nữ, giáo viên chủ nhiệm chỉ có thể chọn theo một trong hai khả năng.

* Xét khả năng thứ nhất: Chọn ra một học sinh nữ và hai học sinh nam.

- Có 3 cách chọn ra một học sinh nữ.

- Có 1 cách chọn ra hai học sinh nam.

Theo quy tắc nhân, số cách chọn ra một sinh nữ và hai học sinh nam là: 3.1 = 3.

* Xét khả năng thứ hai: Chọn ra hai học sinh nữ và một học sinh nam.

- Có 3 cách chọn ra hai học sinh nữ.

- Có 2 cách chọn ra một học sinh nam.

Theo quy tắc nhân, số cách chọn ra hai học sinh nữ và một học sinh nam là: 3.2 = 6.

Vậy theo tác cộng, số cách chọn ra một đội tam ca gồm 3 học sinh sao cho có cả học sinh nam và học sinh nữ cùng tham gia là: 3 + 6 = 9.

Bài 6: Cho kiểu gen AaBbDdEE. Giả sử quá trình giảm phân tạo giao tử bình thường, không xảy ra đột biến.