[SGK Toán Lớp 10 Kết nối tri thức] Bài 4. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

LG a

a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương

trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.

Phương pháp giải:

Dựa vào:

+ Số đơn vị tối thiểu của Protein

+ Số đơn vị tối thiểu của Lipit

+ Số kg tối đa thịt bò

+ Số kg tối đa thịt lợn.

Lời giải chi tiết:

Thịt bò

Thịt lợn

Protein

800/1kg

600/1kg

Lipit

200/1kg

400/1kg

 a) Giả sử gia đình đó mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn.

Số lượng thịt bò và thịt lợn phải là một số không âm nên ta có: \(x \ge 0,y \ge 0\).

Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein trong thức ăn mỗi ngày nên ta có: \(800x + 600y \ge 900 \Leftrightarrow 8x + 6y \ge 9\)

Một gia đình cần ít nhất 400 đơn vị protein trong thức ăn mỗi ngày nên ta có: \(200x + 400y \ge 400 \Leftrightarrow x + 2y \ge 2\)

Vì gia đình này chỉ mua nhiều nhất là 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn nên ta có:

\(x \le 1,6\) và \(y \le 1,1\).

Vậy ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\8x + 6y \ge 9\\x + 2y \ge 2\\x \le 1,6\\y \le 1,1\end{array} \right.\)

Miền nghiệm của hệ là tứ giác ABCD với

A(1,6;0,2) (giao của d’ và đường thẳng x=1,6)

B(1,6;1,1) (giao của đường thẳng x=1,6 và đường thẳng y=1,1)

C(0,3;1,1) (giao của d và đường thẳng y=1,1)

D(0,6;0,7) (giao của d và d’)

b) Vì số tiền mỗi kg thịt bò và thịt lợn lần lượt là 250 nghìn đồng và 160 nghìn đồng nên ta có

\(F\left( {x;y} \right) = 250x + 160y\)(nghìn đồng)

c)

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của F(x;y) khi (x;y) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\8x + 6y \ge 9\\x + 2y \ge 2\\x \le 1,6\\y \le 1,1\end{array} \right.\)

Ta có F(1,6;0,2)=250.1,6+160.0,2=432.

F(1,6;1,1)=250.1,6+160.1,1=576

F(0,3;1,1)=251

F(0,6;0,7)=262

Giá trị nhỏ nhất là F(0,3;1,1)=251.

Vậy để chi phí ít nhất thì cần mua 0,3kg thịt bò và 1,1 thịt lợn.

Chú ý

Đơn vị của F phải là nghìn đồng.

LG b

b) Gọi F (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn. Hãy

biểu diễn F theo x và y.

Phương pháp giải:

Dựa vào số tiền mỗi kg thịt lợn và thịt bò để lập biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Vì số tiền mỗi kg thịt bò và thịt lợn lần lượt là 250 nghìn đồng và 160 nghìn đồng nên ta có

\(F\left( {x;y} \right) = 250x + 160y\)(nghìn đồng)

LG c

c) Tìm số kilôgam thịt mỗi loại mà gia đình cần mua để chi phí là ít nhất.

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định giá trị của F tại các điểm thuộc miền đa giác biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ở câu a.

Bước 2: Giá trị lớn nhất của F là số lớn nhất trong các số tìm được ở bước 1.

Lời giải chi tiết:

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của F(x;y) khi (x;y) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\8x + 6y \ge 9\\x + 2y \ge 2\\x \le 1,6\\y \le 1,1\end{array} \right.\)

Ta có F(1,6;0,2)=250.1,6+160.0,2=432.

F(1,6;1,1)=250.1,6+160.1,1=576

F(0,3;1,1)=251

F(0,6;0,7)=262

Giá trị nhỏ nhất là F(0,3;1,1)=251.

Vậy để chi phí ít nhất thì cần mua 0,3kg thịt bò và 1,1 thịt lợn.

HĐ3

Xét biểu thức F(x, y) = 2x + 3y với (x; y) thuộc miền tam giác OAB ở HĐ2. Toạ độ ba đình là O(0, 0), A(150, 0) và B(0; 150) (H.2.5). 

a) Tính giá trị của biểu thức F(x; y) tại mỗi đỉnh O, A và B.

b) Nêu nhận xét về dấu của hoành độ x và tung độ y của điểm (x; y) nằm trong miền tam giác OAB. Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của F(x; y) trên miền tam giác OAB.

c) Nêu nhận xét về tổng x + y của điểm (X; y) nằm trong miền tam giác OAB. Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của F(x, y) trên miền tam giác OAB.

Phương pháp giải:

a) Thay tọa độ điểm O, A, B vào F(x;y) và tính giá trị.

b) Lấy một điểm bất kì trong miền tam giác OAB.

Xác định dấu:

+ So sánh x với 0

+ So sánh y với 0

Đánh giá biểu thức F(x;y) dựa vào dấu của x và y, từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

c)

Dựa vào biểu thức

Giá trị lớn nhất: Tách 2x+3y =2.(x+y)+y và dựa vào việc đánh giá x+y và y ở bước trên để tìm giá trị lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

a) Thay tọa độ điểm O, A, B vào F(x;y) ta được:

F(0;0)=2.0+3.0=0

F(150;0)=2.150+3.0=300

F(0;150)=2.0+3.150=450.

b) Lấy một điểm bất kì trong miền tam giác OAB.

Vì miền OAB là miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 150\end{array} \right.\) nên mọi điểm (x;y) thuộc miền OAB thỏa mãn \(x \ge 0\).

Vì miền OAB là miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 150\end{array} \right.\) nên mọi điểm (x;y) thuộc miền OAB thỏa mãn \(y \ge 0\).

Vậy \(x \ge 0\) và \(y \ge 0\).

=> \(F\left( {x;y} \right) = 2x + 3y \ge 2.0 + 3.0 = 0\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của F(x;y) trên miền OAB là 0.

c) Vì miền OAB là miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 150\end{array} \right.\) nên mọi điểm (x;y) thuộc miền OAB thỏa mãn \(x + y \le 150\)

Như vậy với mỗi điểm trong miền tam giác OAB thì đều có tổng \(x + y \le 150\)

Quan sát miền OAB ta thấy điểm B(0;150) là điểm có tung độ lớn nhất nên mọi điểm (x;y) thuộc miền OAB đều có \(y \le 150\).

Vậy ta có: \(F\left( {x;y} \right) = 2x + 3y\)\( = 2.\left( {x + y} \right) + y\)\( \le 2.150 + 150 = 450\)

Dấu “=” xảy ra khi x+y=150 và y=150. Hay x=0, y=150.

Giá trị lớn nhất trên miền OAB là 450 tại điểm B.

Vận dụng

Một cửa hàng có kế hoạch nhập về hai loại máy tính A và B, giá mỗi chiếc lần lượt là 10 triệu đồng và 20 triệu đồng với số vốn ban đầu không vượt quá 4 tỉ đồng. Loại máy A mang lại lợi nhuận 2,5 triệu đồng cho mỗi máy bán được và loại máy B mang lại lợi nhuận là 4 triệu đồng mỗi máy. Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu hàng tháng sẽ không vượt quá 250 máy. Giả sử trong một tháng cửa hàng cần nhập số máy tính loại A là x và số máy tính loại B là y.

a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương

trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.

b) Gọi F (triệu đồng) là lợi nhuận mà cửa hàng thu được trong tháng đó khi bán x máy tính loại A và y máy tính loại B. Hãy biểu diễn F theo x và y.

c) Tìm số lượng máy tính mỗi loại cửa hàng cần nhập về trong tháng đó đề lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Phương pháp giải:

a)

Bước 1: Lập bảng thể hiện vốn và lợi nhuận của mỗi loại máy.

Bước 2: Dựa vào các điều kiện sau để lập bất phương trình:

+ Số lượng là số tự nhiên

+ Điều kiện vốn ban đầu

+ Nhu cầu hàng tháng

Bước 3: Xác định miền nghiệm.

b) Lợi nhuận hàng tháng bằng lợi nhuận bán x máy loại A và y máy loại B.

c)

Bước 1: Xác định giá trị của F tại các điểm thuộc miền đa giác biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ở câu a.

Bước 2: Giá trị lớn nhất của F là số lớn nhất trong các số tìm được ở bước 1.

Lời giải chi tiết:

a)

Bước 1: Ta có:

Loại A

Loại B

Giá mua vào

10 triệu đồng/1 máy

20 triệu đồng/1 máy

Lợi nhuận

2,5 triệu đồng/1 máy

4 triệu đồng/1 máy

Bước 2: Lập hệ bất phương trình

Vì số lượng máy là số tự nhiên nên ta có \(x \ge 0;y \ge 0\)

Vốn nhập vào x máy loại A và y máy loại B là \(10x + 20y\)(triệu đồng)

4 tỉ đồng=4000 (triệu đồng)

Vì số vốn ban đầu không vượt quá 4 tỉ đồng nên ta có bất phương trình

\(10x + 20y \le 4000\) \( \Leftrightarrow x + 2y \le 400\)

Vì tổng nhu cầu hàng tháng sẽ không vượt quá 250 máy nên ta có \(x + y \le 250\).

Vậy ta có hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + 2y \le 400\\x + y \le 250\end{array} \right.\)

Bước 3: Xác định miền nghiệm

Miền nghiệm là tứ giác OABC với tọa độ các đỉnh này là O(0;0), A(250;0), B(100;150), C(0;200)

b) Lợi nhuận hàng tháng là F(x;y)=2,5x+4y(triệu đồng)

c) Ta cần tìm giá trị lớn nhất của F(x;y) khi (x;y) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + 2y \le 400\\x + y \le 250\end{array} \right.\)

Ta có F(0;0)=0, F(250;0)=2,5.250+4.0=625

F(100;150)=2,5.100+4.150=850

F(0;200)=2,5.0+4.200=800

Giá trị lớn nhất là F(100;150)=850.

Vậy cửa hàng cần đầu tư kinh doanh 100 máy A và 150 máy B.

HĐ2

Cho đường thẳng d: x+y=150 trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Đường thẳng này cắt hai trục tọa độ Ox và Oy tại hai điểm A và B.

a) Xác định miền nghiệm \({D_1},{D_2},{D_3}\) của các bất phương trình tương ứng \(x \ge 0;y \ge 0\) và \(x + y \le 150\).

b) Miền tam giác OAB (H.2.5) có phải là giao điểm của các miền \({D_1},{D_2}\) và \({D_3}\) hay không?

c) Lấy một điểm trong tam giác OAB (chẳng hạn điểm (1;2)) hoặc một điểm trên cạnh nào đó của tam giác OAB (chẳng hạn điểm (1;149)) và kiểm tra xem tọa độ của các điểm đó có phải là nghiệm của hệ bất phương trình sau hay không:

\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 150\end{array} \right.\)

Phương pháp giải:

a) Biểu diễn các miền nghiệm của từng bất phương trình \(x \ge 0;y \ge 0\) và \(x + y \le 150\)

Bước 1: Vẽ đường thẳng (nét liền) \(ax + by = c\).

Bước 2: Lấy điểm một điểm không thuộc đường thẳng \(ax + by = c\) và thay vào bất phương trình cần xác định miền nghiệm.

Bước 3: Nếu tọa độ điểm đó thỏa mãn bất phương trình thì miền nghiệm của bất phương trình chứa điểm đó.

b) Vẽ tất cả các miền miền \({D_1},{D_2}\) và \({D_3}\) lên cùng một mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

a)

Miền nghiệm của bất phương trình \(x \ge 0\)

Bước 1: Vẽ đường thẳng (nét liền) \(x = 0\). Đây là trục Oy.

Bước 2: Lấy điểm A(150;0) không thuộc trục Oy và thay vào biểu thức \(x\), ta được: \(x = 150 \ge 0\).

Bước 3: Do điểm A thỏa mãn bất phương trình nên miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng có chứa điểm A.

Minh họa (phần không bị gạch chéo):

Miền nghiệm của bất phương trình \(y \ge 0\)

Bước 1: Vẽ đường thẳng (nét liền) \(y = 0\). Đây là trục Ox.

Bước 2: Lấy điểm B(0;150) không thuộc trục Ox và thay vào biểu thức \(y\), ta được: \(y = 150 \ge 0\).

Bước 3: Do điểm B thỏa mãn bất phương trình nên miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng có chứa điểm B.

Minh họa (phần không bị gạch chéo):

Miền nghiệm của bất phương trình \(x + y \le 150\):

Bước 1: Vẽ đường thẳng (nét liền) \(x + y = 150\).

Bước 2: Lấy điểm O(0;0) không thuộc đường thẳng \(x + y = 150\) và thay vào \(x + y\), ta được: \(0 + 0 = 0 \le 150\)

Bước 3: Do điểm O thỏa mãn bất phương trình nên miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng có chứa điểm O.

Minh họa (phần không bị gạch chéo):

Vậy \({D_1}\) là nửa trên mặt phẳng có bờ là trục Oy, \({D_2}\) là nửa bên phải mặt phẳng có bờ là trục Ox và \({D_3}\) là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng x+y=150 chứa điểm O.

b) Vẽ tất cả các miền miền \({D_1},{D_2}\) và \({D_3}\) lên cùng một mặt phẳng.

=>Miền tam giác OAB (H.2.5) có phải là giao điểm của các miền \({D_1},{D_2}\) và \({D_3}\)

c) Lấy một điểm trong tam giác OAB (chẳng hạn điểm (1;2)) hoặc một điểm trên cạnh nào đó của tam giác OAB (chẳng hạn điểm (1;149)) và kiểm tra xem tọa độ của các điểm đó có phải là nghiệm của hệ bất phương trình sau hay không:

\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 150\end{array} \right.\)

Lấy điểm (1;2) trong tam giác OAB, thay vào hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 150\end{array} \right.\)

Ta được:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 \ge 0}\\{2 \ge 0}\\{1 + 2 \le 150}\end{array}} \right.\) (luôn đúng)

Vậy điểm (1;2) là nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 150\end{array} \right.\)

Lấy điểm (1;149), thay vào hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 150\end{array} \right.\)

Ta được: 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 \ge 0}\\{149 \ge 0}\\{1 + 149 \le 150}\end{array}} \right.\) (luôn đúng)

Vậy điểm (1;149) là nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 150\end{array} \right.\)

LT 2

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng tọa độ:  \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y > 0\\x + y \le 100\\2x + y < 120\end{array} \right.\)

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(x \ge 0\)

Bước 2: Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(y > 0\)

Bước 3: Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(x + y \le 100\)

Bước 4: Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(2x + y < 120\)

Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(x \ge 0\)

Miền nghiệm của bất phương trình \(x \ge 0\) là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0).

Bước 2: Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(y > 0\)

Miền nghiệm của bất phương trình \(y > 0\) là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;1) không kể trục Ox.

Bước 3: Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(x + y \le 100\)

+ Vẽ đường thẳng d: x+y=100

+ Vì 0+0=0

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \(x + y \le 100\) là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ O.

Bước 4: Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(2x + y < 120\)

Tương tự miền nghiệm của bất phương trình \(2x + y < 120\) là nửa mặt phẳng bờ d’ chúa gốc tọa độ O. (không kể đường thẳng d’).

Khi đó miền không bị gạch là giao của các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Vậy miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho (Không kể đoạn thẳng OC và CD).

HĐ1

Trong tình huống mở đầu, gọi x và y lần lượt là số máy điều hoà loại hai chiều và một chiều mà cửa hàng cần nhập. Tính số tiền vốn mà cửa hàng phải bỏ ra để nhập hai loại máy điều hoà theo x và y.

a) Do nhu cầu của thị trường không quá 100 máy nên x và y cần thoả mãn điều kiện gì?

b) Vì số vốn mà chủ cửa hàng có thể đầu tư không vượt quá 1,2 tỉ đồng nên x và y phải thoả mãn điều kiện gì?

c) Tính số tiền lãi mà cửa hàng dự kiến thu được theo x và y.

Phương pháp giải:

Số tiền vốn bằng tổng số tiền mua x điều hòa hai chiều và y chiếc điều hòa một chiều.

a) Nhu cầu thị trường không quá 100 máy cả 2 loại có nghĩa là tổng số điều hòa nhập vào cũng không quá 100 máy.

b) Lập bất phương trình thể hiện số vốn không vượt quá 1,2 tỉ đồng.

c) Dựa vào lợi nhuận dự kiến của mỗi loại điều hòa, lập công thức thể hiện số tiền lãi.

Lời giải chi tiết:

Số tiền mua x chiếc điều hòa hai chiều là 20x (triệu đồng)

Số tiền mua y chiếc điều hòa một chiều là 10y (triệu đồng).

Số tiền khi mua x chiếc điều hòa hai chiều và y chiếc điều hòa một chiều là 20x+10y (triệu đồng).

a) Nhu cầu thị trường không quá 100 máy cả 2 loại có nghĩa là tổng số điều hòa nhập vào cũng không quá 100 máy: \(x + y \le 100\)

b)

1,2 tỉ đồng =1200 (triệu đồng)

Số vốn mua x điều hòa hai chiều và y chiếc điều hòa một chiều là 20x+10y (triệu đồng).

Do chủ cửa hàng có thể đầu tư không vượt quá 1,2 tỉ đồng ( = 1200 triệu đồng) nên ta có: \(20x + 10y \le 1200\)

\( \Leftrightarrow 2x + y \le 120\)

c)

Số tiền lãi khi bán x chiếc điều hòa hai chiều là 3,5x (triệu đồng)

Số tiền lãi khi bán y chiếc điều hòa một chiều là 2y (triệu đồng)

Tổng số tiền lãi là 3,5x+2y (triệu đồng).

LT1

Trong tình huống mở đầu, gọi x và y lần lượt là số máy điều hoà loại hai chiều và một chiều mà cửa hàng cần nhập. Từ HĐ1, viết hệ bất phương trình hai ẩn x, y và chỉ ra một nghiệm của hệ này.

Phương pháp giải:

- Lập hệ:

+ Số điều hòa nhập vào phải là số tự nhiên

+ Nêu rõ các bất phương trình có ở HĐ 1. 

- Tìm nghiệm của hệ: Thử các cặp số (x;y) ngẫu nhiên vào hệ, nếu cặp số nào thỏa mãn hết các bất phương trình thì cặp số đó là nghiệm của hệ.

Lời giải chi tiết:

- Lập hệ:

Do số lượng máy nhập vào phải là số tự nhiên nên ta có \(x \ge 0,y \ge 0\).

Từ HĐ 1 ta có hai bất phương trình là \(x + y \le 100\) và \(2x + y \le 120\)

Vậy hệ bất phương trình từ HĐ 1 là

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 100\\2x + y \le 120\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\).

Cặp số (x;y)=(50;10) là một nghiệm của hệ BPT vì thay x= 50, y= 10 ta được:  

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{50 + 10 \le 100}\, \text {(Đúng)}\\{2.50 + 10 \le 120}\, \text {(Đúng)}\\{50 \ge 0}\, \text {(Đúng)}\\{10 \ge 0}\, \text {(Đúng)}\end{array}} \right.\)