SGK Toán Lớp 10 Kết nối tri thức

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[SGK Toán Lớp 10 Kết nối tri thức] Bài 25. Nhị thức Newton

Hướng dẫn học bài: Bài 25. Nhị thức Newton - Môn Toán học Lớp 10 Lớp 10. Đây là sách giáo khoa nằm trong bộ sách 'SGK Toán Lớp 10 Kết nối tri thức Lớp 10' được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết các bé sẽ nắm bài học tốt hơn.

Đề bài

Số dân của một tỉnh ở thời điểm hiện tại là khoảng 800 nghìn người. Giả sử rằng tỉ lệ tăng dân số hằng năm của tỉnh đó là r%

a) Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau 1 năm, sau 2 năm. Từ đó suy ra công thức dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa (theo đơn vị nghìn người).

b) Với \(r = 1,5\% \), dùng hai số hạng đầu trong khai triển của \({(1 + 0,015)^5},\) hãy ước tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa (theo đơn vị nghìn người)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng công thức khai triển

\({(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\)

Lời giải chi tiết

a) - Số dân tỉnh đó sau 1 năm là: \(800 + 800.r\% = 800.\left( {1 + r\% } \right)\)

- Số dân tỉnh đó sau 2 năm là: \(\begin{array}{l}800 + 800r\% + (800 + 800r\% ).r\% \\ = 800 + 1600.r\% + 800.{(r\% )^2} = 800.(1 + 2r\% + {(r\% )^2})\\ = 800{(r\% + 1)^2}\end{array}\)

- Số dân tỉnh đó sau 5 năm là: \(800.{(1 + r?\% )^5}\)

b) Ước tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa với \(r\% = 1,5\% \)là:

\(800.{(1 + 0,015)^5} = 800.(1 + {5.1^4}.0,015) = 860\) (nghìn người)

Đề bài

a) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của \({(1 + 0,02)^5}\) để tính giá trị gần đúng của \(1,{02^5}\).

b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của \(1,{02^5}\) và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng công thức khai triển

\({(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\)

Lấy kết quả tính bằng máy tính trừ đi kết quả câu a để tính sai số tuyệt đối.

Lời giải chi tiết

a) Giá trị gần đúng của \(1,{02^5}\) là:

\({1^5} + {5.1^4}.0,02 = 1,1\)

b) \(1,{02^5} = 1,104\)

Sai số tuyệt đối là: 1,104 - 1,1 = 0,004

Đề bài

Biểu diễn \({(3 + \sqrt 2 )^5} - {(3 - \sqrt 2 )^5}\) dưới dạng \(a + b\sqrt 2 \) với a, b là các số nguyên.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng công thức khai triển \({(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\)

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{(3 + \sqrt 2 )^5} - {(3 - \sqrt 2 )^5}\\ = {3^5} + {5.3^4}.\sqrt 2 + {10.3^3}{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + {10.3^2}{\left( {\sqrt 2 } \right)^3} + 5.3{\left( {\sqrt 2 } \right)^4} + {\sqrt 2 ^5}\\ - \left[ {{3^5} - {{5.3}^4}.\sqrt 2 + {{10.3}^3}{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} - {{10.3}^2}{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^3} + 5.3{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^4} - {{\sqrt 2 }^5}} \right]\\ = 2\left( {{{5.3}^4}.\sqrt 2 + {{10.3}^2}{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^3} + {{\sqrt 2 }^5}} \right)\\ = 810\sqrt 2 + 360\sqrt 2 + 8\sqrt 2 \\ = 1178\sqrt 2 \end{array}\)

Đề bài

Tìm hệ số của \({x^4}\) trong khai triển của \({(3x - 1)^5}.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng công thức khai triển \({(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\)

Lời giải chi tiết

Hệ số của \({x^4}\) trong khai triển của \({(3x - 1)^5}\) là: \(C_5^1{.3^4}.( - 1) = - 405\)

Đề bài

Khai triển các đa thức:

a) \({(x - 3)^4};\)

b) \({(3x - 2y)^4};\)

c) \({(x + 5)^4} + {(x - 5)^4};\)

d) \({(x - 2y)^5}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng công thức khai triển \({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\) và \({(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\)

Lời giải chi tiết

a) \(\begin{array}{l}{(x - 3)^4} = {x^4} + 4{x^3}.( - 3) + 6{x^2}.{( - 3)^2} + 4x.{( - 3)^3} + {( - 3)^4}\\ = {x^4} - 12{x^3} + 54{x^2} - 108x + 81\end{array}\)

b) \({(3x - 2y)^4} = 81{x^4} - 216{x^3}y + 216{x^2}{y^2} - 96x{y^3} + 16{y^4}\)

\(\begin{array}{l}{(x + 5)^4} + {(x - 5)^4} = {x^4} + 20{x^3} + 150{x^2} + 500x + 625\\ + {x^4} - 20{x^3} + 150{x^2} - 500x + 625\\ = 2{x^4} + 300{x^2} + 1250\end{array}\)

d) \({(x - 2y)^5} = {x^5} - 10{x^4}y + 40{x^3}{y^2} - 80{x^2}{y^3} + 80x{y^4} - 32{y^5}\)

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ1 HĐ2 HĐ3 Luyện tập 1 HĐ4 Luyện tập 2 Vận dụng

HĐ1

Hãy xây dựng sơ đồ của tích hai nhị thức (a+b).(c+d) như sau:

Từ một điểm gốc, kẻ các mũi tên, mỗi mũi tên tương ứng với một đơn thức (gọi là nhãn của mũi tên) của nhị thức thứ nhất (H 8.6);

Từ ngọn của mỗi mũi tên đã xây dựng, kẻ các mũi tên, mỗi mũi tên tương ứng với một đơn thức của nhị thức thứ hai;

Tại ngọn của các mũi tên xây dựng tại bước sau cùng, ghi lại tích của các nhân của các mũi tên đi từ điểm gốc đến đầu mút đó.

Hãy lấy tổng của các tích nhận được và so sánh kết quả với khai triển của tích (a+b).(c+d).

Lời giải chi tiết:

Tổng các tích nhân được bằng với kết quả khai triển của tích (a+b).(c+d)= a.c+a.d+b.c+b.d

HĐ2

Hãy cho biết các đơn thức còn thiếu (...) trong sơ đồ hình cây (H 8.7) của tích (a+b).(a+b).(a+b).

Có bao nhiêu tích nhận được lần lượt bằng \({a^3},{a^2}b,a{b^2},{b^3}?\)

Hãy so sánh chúng với các hệ số nhận được khi khai triển \({(a + b)^3}.\)

Lời giải chi tiết:

Các đơn thức còn thiếu hàng trên lần lượt là: b, a, b, a, b. Hàng dưới lần lượt là: \({a^2}b,a{b^2},{a^2}b,a{b^2},a{b^2}\)

Ta có: \({(a + b)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\)

Các hệ số nhận được khi khai triển là bằng nhau.

HĐ3

Hãy vẽ sơ đồ hình cây của khai triển \({(a + b)^4}\) được mô tả như Hình 8.9. Sau khi khai triển, ta thu được một tổng gồm \({2^4}\) (theo quy tắc nhân) đơn thức có dạng x. y. z. t, trong đó mỗi x, y, z, t là a hoặc b. Chẳng hạn, nếu x, y, t là a, còn z là b thì ta có đơn thức a. a. b. a, thu gọn là \({a^3}b\). Để có đơn thức này, thì trong 4 nhân tử x, y, z, t có 1 nhân tử là b, 3 nhân tử còn lại là a. Khi đó số đơn thức đồng dạng với \({a^3}b\) trong tổng là \(C_4^1\).

Lập luận tương tự trên, dùng kiến thức về tổ hợp, hãy cho biết trong tổng nêu trên, có bao nhiêu đơn thức đồng dạng với mỗi đơn thức thu gọn sau.

\({a^4};\quad {a^3}b;\quad {a^2}{b^2};\quad a{b^3};\quad {b^4}?\)

Lời giải chi tiết:

Số đơn thức đồng dạng với \({a^4}\) trong tổng là \(C_4^0 = 1\)

Số đơn thức đồng dạng với \({a^3}b\) trong tổng là \(C_4^4 = 1\)

Số đơn thức đồng dạng với \({a^2}{b^2}\) trong tổng là \(C_4^2 = 6\)

Số đơn thức đồng dạng với \(a{b^3}\) trong tổng là \(C_4^3 = 1\)

Số đơn thức đồng dạng với \({b^4}\) trong tổng là \(C_4^4 = 1\)

Luyện tập 1

Khai triển \({(x - 2)^4}\)

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức khai triển \({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\) với a= x, b= -2.

Lời giải chi tiết:

\({(x - 2)^4} = {x^4} + 4.{x^3}.( - 2) + 6.{x^2}.{( - 2)^2} + 4.x.{( - 2)^3} + {( - 2)^4}\)

\( = {x^4} - 8{x^3} + 24{x^2} - 32x + 16\)

HĐ4

Tương tự như HĐ3, sau khi khai triển \({(a + b)^5}\), ta thu được một tổng gồm \({2^5}\) đơn thức có dạng x. y. z. t. u, trong đó mỗi kí hiệu x, y, z, t, u là a hoặc b. Chẳng hạn, nếu x, z là a, còn y, t, u là b thì ta có đơn thức a. b. a. b. b, thu gọn là \({a^2}{b^3}\). Để có đơn thức này, thì trong 5 nhân tử x, y, z, t, u có 3 nhân tử là b, 2 nhân tử còn lại là a. Khi đó số đơn thức đồng dạng với \({a^3}b\) trong tổng là \(C_5^3\).

Lập luận tương tự trên, dùng kiến thức về tổ hợp, hãy cho biết trong tổng nêu trên, có bao nhiêu đơn thức đồng dạng với mỗi đơn thức thu gọn sau.

\({a^5};{a^4}b;{a^3}{b^2};{a^2}{b^3};a{b^4};{b^5}?\)

Lời giải chi tiết:

Số đơn thức đồng dạng với \({a^5}\) trong tổng là \(C_5^0 = 1\)

Số đơn thức đồng dạng với \({a^4}b\)trong tổng là \(C_5^1 = 5\)

Số đơn thức đồng dạng với \({a^3}{b^2}\) trong tổng là \(C_5^2 = 10\)

Số đơn thức đồng dạng với \({a^2}{b^3}\) trong tổng là \(C_5^3 = 10\)

Số đơn thức đồng dạng với \(a{b^4}\)trong tổng là \(C_5^4 = 5\)

Số đơn thức đồng dạng với \({b^5}\) trong tổng là \(C_5^5 = 1\)

Luyện tập 2

Khai triển \({(3x - 2)^5}\)

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức khai triển \({(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\)với a= 3x, b= -2

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}{(3x - 2)^5} = {(3x)^5} + 5.{(3x)^4}.( - 2) + 10.{(3x)^3}.{( - 2)^2}\\ + 10.{(3x)^2}.{( - 2)^3} + 5.3x.{( - 2)^4} + {( - 2)^5}\\ = 243{x^5} - 810{x^4} + 1080{x^3} - 720{x^2} + 240x - 32\end{array}\)

Vận dụng

a) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của \({(1 + 0,05)^4}\) để tính giá trị gần đúng của \(1,{05^4}\).

b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của \(1,{05^4}\) và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.

Phương pháp giải:

a) Áp dụng công thức khai triển

\({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\)

b) Lấy kết quả tính bằng máy tính trừ đi kết quả câu a để tính sai số tuyệt đối.

Lời giải chi tiết:

a) Giá trị gần đúng của \(1,{05^4}\) là: \({1^4} + {4.1^3}.0,05 = 1,2\)

b) \(1,{05^4} = 1,2155\)

Sai số tuyệt đối là: 1,2155-1,2=0,0155

A. Lý thuyết

1. Một số công thức khai triển

\({(a + b)^4} = C_4^0{a^4} + C_4^1{a^3}b + C_4^2{a^2}{b^2} + C_4^3{a^1}{b^3} + C_4^4{b^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4{a^1}{b^3} + {b^4}\).

\({(a + b)^5} = C_5^0{a^5} + C_5^1{a^4}b + C_5^2{a^3}{b^2} + C_5^3{a^2}{b^3} + C_5^4a{b^4} + C_5^5{b^5}\)

\( = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\).

Những công thức khai triển nói trên là công thức nhị thức Newton \({(a + b)^n}\) ứng với n = 4 và n = 5.

Chú ý: Các hệ số trong khai triển nhị thức Newton \({(a + b)^n}\) với n = 0; 1; 2; 3;… được viết thành từng hàng và xếp thành bảng số dưới đây. Bảng số này có quy luật: số đầu tiên và số cuối cùng của mỗi hàng đều là 1; tổng của hai số liên tiếp cùng hàng bằng số của hàng kế dưới ở vị trí giữa hai số đó (được chỉ bởi mũ tên trên bảng). Bảng số này được gọi là tam giác Pascal.

2. Công thức khai triển tổng quát

\({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^k{a^{n - k}}{b^k} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\).

Nhận xét:

- Số hạng tổng quát trong khai triển của \({(a + b)^n}\) đều có dạng \(C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\) \((0 \le k \le n)\).

- Từ công thức nhị thức Newton nói trên, ta có khai triển của \({(a - b)^n}\) như sau:

\({(a - b)^n} = C_n^0{a^n} - C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} - C_n^3{a^{n - 3}}{b^3} + ...\), ở đó các dấu “+”, “-“ xen kẽ nhau.

Ví dụ: \({(a - b)^3} = C_3^0{a^3} - C_3^1{a^{3 - 1}}b + C_3^2{a^{3 - 2}}{b^2} - C_3^3{a^{3 - 3}}{b^3} = C_3^0{a^3} - C_3^1{a^2}b + C_3^2a{b^2} - C_3^3{b^3}\).

Có thể xem thêm trong chuyên đề học tập Toán 10.

B. Bài tập

Bài 1: Khai triển biểu thức \({(x + 1)^4}\).

Giải:

Xác định số hạng: a = x, b = 1.

\({(x + 1)^4} = C_4^0{x^4} + C_4^1{x^3}.1 + C_4^2{x^2}{.1^2} + C_4^3{x^1}{.1^3} + C_4^4{.1^4} = {a^4} + 4{x^3} + 6{x^2} + 4x + 1\).

Bài 2: Khai triển biểu thức \({(x - 1)^4}\).

Giải:

Có hai cách khai triển, tùy thuộc vào việc đặt b = -1 hay b = 1.

Nếu coi a = x, b = -1:

\({(x - 1)^4} = C_4^0{x^4} + C_4^1{x^3}.( - 1) + C_4^2{x^2}.{( - 1)^2} + C_4^3{x^1}.{( - 1)^3} + C_4^4.{( - 1)^4} = {a^4} - 4{x^3} + 6{x^2} - 4x + 1\).

Hoặc có thể coi a = x, b = 1 và áp dụng công thức khai triển tổng quát:

\({(a - b)^n} = C_n^0{a^n} - C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} - C_n^3{a^{n - 3}}{b^3} + ...\), khi đó sẽ nhận được kết quả như trên (xen kẽ dấu).

Bài 3:

a) Khai triển biểu thức \({(x - 2y)^4}\) và tìm hệ số của số hạng chứa \({y^4}\).

b) Khai triển biểu thức \({(3x - y)^5}\).

Giải:

a) Coi a = x, b = -2y.

\({(x - 2y)^4} = {\left[ {x + ( - 2y)} \right]^4} = {x^4} + 4{x^3}( - 2y) + 6{x^2}{( - 2y)^2} + 4x{( - 2y)^3} + {( - 2y)^4}\)

\( = {x^4} - 8{x^3}y + 24{x^2}{y^2} - 32x{y^3} + 16{y^4}\).

Số hạng chứa \({y^4}\) là \(16{y^4}\), hệ số là 16.

b) Coi a = 3x, b = -y.

\({(3x - y)^5} = {\left[ {3x + ( - y)} \right]^5}\)

\( = {\left( {3x} \right)^5} + 5.{(3x)^4}.( - y) + 10{(3x)^3}.{( - y)^2} + 10{(3x)^2}.{( - y)^3} + 5.(3x).{( - y)^4} + {( - y)^5}\)

\( = 243{x^5} - 405{x^4}y + 270{x^3}{y^2} - 90{x^2}{y^3} + 15x{y^4} - {y^5}\).

Bài 4:

a) Xác định hệ số của \({x^6}\) trong khai triển \({\left( {2x + 1} \right)^{12}}\).

b) Xác định hệ số của \({x^9}\) trong khai triển \({\left( {3x - 2} \right)^{18}}\).

Giải:

a) Số hạng chứa \({x^6}\) là \(C_{12}^6.{\left( {2x} \right)^6} = C_{12}^6{.2^6}{x^6}\). Hệ số của \({x^6}\) là \(C_{12}^6{.2^6}\).

b) Số hạng chứa \({x^9}\) là \(C_{18}^9.{\left( {3x} \right)^9}.{( - 2)^9} = C_{18}^9.{( - 2)^9}{3^9}{x^9} = - C_{18}^9{.2^9}{3^9}{x^9}\). Hệ số của \({x^9}\) là \( - C_{18}^9{.2^9}{3^9} = - C_{18}^9{.6^9}\).

Bài 5: Cho tập hợp A = { a; b; c; d; e }. Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con?

Giải:

Tập hợp A có 5 phần tử. Mỗi tập con của A có k phần tử (1 ≤ k ≤ 5) là một tổ hợp chập k của A. Do đó, số tập con như vậy bằng \(C_5^k\). Mặt khác, có một tập con của A không có phần tử nào (tập rỗng), tức có \(C_5^0 = 1\) tập con như vậy. Do đó, số tập con của A bằng \(C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5\). Theo công thức nhị thức Newton, ta có \(C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = {(1 + 1)^5} = {2^5}\).

Vậy A có \({2^5} = 32\) tập con.