SGK Toán Lớp 10 Kết nối tri thức

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[SGK Toán Lớp 10 Kết nối tri thức] Bài 26. Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất

Hướng dẫn học bài: Bài 26. Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất - Môn Toán học Lớp 10 Lớp 10. Đây là sách giáo khoa nằm trong bộ sách 'SGK Toán Lớp 10 Kết nối tri thức Lớp 10' được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết các bé sẽ nắm bài học tốt hơn.

Đề bài

Hai bạn An và Bình mỗi người gieo một con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để:

a) Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bé hơn 3;

b) Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc mà An gieo lớn hơn hoặc bằng 5;

c) Tích hai số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bé hơn 6;

d) Tổng hai số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là một số nguyên tố.

Lời giải chi tiết

Ta có số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = 36\).

a) Ta có \(E = \left\{ {\left( {1,1} \right);\left( {1,2} \right);\left( {2,1} \right);\left( {2,2} \right)} \right\}\). Suy ra \(n\left( E \right) = 4\) và \(P\left( E \right) = \frac{4}{{36}} = \frac{1}{9}\).

b) Ta có \(F = \{(1,5);(2,5);(3,5);(4,5);(5,5);(6,5);(1,6);(2,6);(3,6);(4,6);(5,6);(6;6)\}\). Suy ra \(n\left( F \right) = 12\). Vậy \(P\left( F \right) = \frac{{12}}{{36}} = \frac{1}{3}\).

c) Ta có \(G = \{ \left( {1;1} \right);\left( {1,2} \right);\left( {1,3} \right);\left( {1,4} \right);\left( {1,5} \right);\left( {2,1} \right);\left( {2,2} \right);\left( {3,1} \right);\left( {4,1} \right);\left( {5,1} \right)\} \). Suy ra \(n\left( G \right) = 10\). Vậy \(P\left( G \right) = \frac{{10}}{{36}} = \frac{5}{{18}}\).

d) Ta có \(H = \{ ( 1,1 );( 1,2 );( 2,1 );( 1,4 );( 2,3 );( 3,2 );( 4,1 );( 1,6 ) ;( 2,5 ) ;( 3,4 );( 4,3 );( 5,2 );( 6,1 );( 5,6 );( 6,5 ) \}\)

. Suy ra \(n\left( H \right) = 15\). Vậy \(P\left( H \right) = \frac{{15}}{{36}} = \frac{5}{{12}}\).

Đề bài

Một túi có chứa một số bi xanh, bi đỏ, bi đen và bi trắng. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ trong túi.

a) Gọi H là biến cố: “Bi lấy ra có màu đỏ”. Biến cố: “Bi lấy ra có màu xanh hoặc màu đen hoặc trắng" có phải là biến cố đối của H hay không?

b) Gọi K là biến cố: “Bi lấy ra có màu xanh hoặc màu trắng”. Biến cố: “Bi lấy ra màu đen” có phải là biến cố đối của K hay không?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Bi lấy ra không có màu đỏ tức là nó có màu xanh hoặc màu đen hoặc màu trắng.

b) Bi lấy ra không có màu xanh hoặc màu trắng tức là nó có màu đỏ hoặc đen.

Lời giải chi tiết

a) Biến cố: “Bi lấy ra có màu xanh hoặc đen hoặc trắng” là biến cố: “Không xảy ra H” do đó là biến cố \(\overline H \).

b) \(\overline K \) là biến cố: “Không xảy ra K” tức là biến cố: “Bi lấy ra có màu đỏ hoặc màu đen”. Do đó biến cố: “Bi lấy ra màu đen” không phải là biến cố \(\overline K \).

Đề bài

Gieo đồng thời một con xúc xắc và một đồng xu.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Xét các biến cố sau:

C: “Đồng xu xuất hiện mặt sấp”,

D: “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa hoặc số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 5". Các biến cố C, \(\overline C \) , D và \(\overline D \) là các tập con nào của không gian mẫu?

Lời giải chi tiết

a) Không gian mẫu là: \(\Omega = \left\{ {\left( {1,S} \right);\left( {2,S} \right);\left( {3,S} \right);\left( {4,S} \right);\left( {5,S} \right);\left( {6,S} \right);\left( {1,N} \right);\left( {2,N} \right);\left( {3,N} \right);\left( {4,N} \right);\left( {5,N} \right);\left( {6,N} \right)} \right\}\).

b) \(C = \left\{ {\left( {1,S} \right);\left( {2,S} \right);\left( {3,S} \right);\left( {4,S} \right);\left( {5,S} \right);\left( {6,S} \right)} \right\} \Rightarrow \overline C = \left\{ {\left( {1,N} \right);\left( {2,N} \right);\left( {3,N} \right);\left( {4,N} \right);\left( {5,N} \right);\left( {6,N} \right)} \right\}\)

\(D = \left\{ {\left( {1,N} \right);\left( {2,N} \right);\left( {3,N} \right);\left( {4,N} \right);\left( {5,N} \right);\left( {6,N} \right);\left( {5,S} \right)} \right\} \Rightarrow \overline D = \left\{ {\left( {1,S} \right);\left( {2,S} \right);\left( {3,S} \right);\left( {4,S} \right);\left( {6,S} \right)} \right\}\).

Đề bài

Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 22.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Gọi B là biến cố: “Số được chọn chia hết cho 3". Các biến cố B và \(\overline B \) là các tập con nào của không gian mẫu?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Liệt kê các số nguyên dương từ 1 đến 22.

b) Tập B là tập các số từ 1 đến 22 chia hết cho 3. Các số còn lại thuộc tập \(\overline B \).

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\Omega = \left\{ {1;2;...;22} \right\}\).

b) \(B = \left\{ {3;6;9;12;15;18;21} \right\}\).

\(\overline B = \left\{ {1;2;4;5;7;8;10;11;13;14;16;17;19;20;22} \right\}\).

Đề bài

Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 30.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Gọi A là biến cố: “Số được chọn là số nguyên tố". Các biến cố A và \(\overline A \) là tập con nào của không gian mẫu?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Liệt kê tất cả các số nguyên dương từ 1 đến 30.

b) Tập A là tập các số nguyên tố từ 2 đến 30. Các số còn lại không thuộc A là tập con của \(\overline A \).

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\Omega = \left\{ {1;2;...;30} \right\}\).

b) \(A = \left\{ {2;3;5;7;11;13;17;19;23;29} \right\}\).

\(\overline A = \left\{ {1;4;6;8;9;10;12;14;15;16;18;20;21;22;24;25;26;27;28;30} \right\}\).

Đề bài

Vận dụng trang 82 Sách giáo khoa Toán 10 - Kết nối tri thức

Xác suất của biến cố có ý nghĩa thực tế như sau:

Giả sử biến cố A có xác suất P(A). Khi thực hiện phép thử n lần (\(n \ge 30\)) thì số lần xuất hiện biến cố A sẽ xấp xỉ bằng nP(A) (nói chung khi n càng lớn thì sai số tương đối càng bé). Giả thiết rằng xác suất sinh con trai là 0,512 và xác suất sinh con gái là 0,488. Vận dụng ý nghĩa thực tế của xác suất, hãy ước tính trong số trẻ mới sinh với 10 000 bé gái thì có bao nhiêu bé trai.

Hướng dẫn: Gọi n là số trẻ mới sinh. Ta coi mỗi lần sinh là một phép thử và biến cố liên quan đến phép thử là biến cố: “Sinh con gái". Như vậy ta có n phép thử. Ước tính n, từ đó ước tỉnh Số bé trai.

Lời giải chi tiết

Gọi n là số trẻ mới sơ sinh. Vận dụng ý nghĩa thực tế của xác suất, ta có \(n.0,488 \approx 10000\).

Vậy \(n \approx 20492\)(trẻ sơ sinh). Do đó, trong 10000 bé gái thì có khoảng \(20492 - 10000 = 10492\)(bé trai).

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ3 Câu hỏi Luyện tập 3

HĐ3

Một hộp chứa 12 tấm thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Rút ngẫu

nhiên từ hộp đó một tấm thẻ.

a) Mô tả không gian mẫu \(\Omega \) . Các kết quả có thể có đồng khả năng không?

b) Xét biến cố E: “Rút được thẻ ghi số nguyên tố". Biến cố E là tập con nào của không gian mẫu?

c) Phép thử có bao nhiêu kết quả có thể? Biến cố E có bao nhiêu kết quả thuận lợi? Từ đó, hãy tính xác suất của biến cố E.

Lời giải chi tiết:

a) Không gian mẫu \(\Omega = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12} \right\}\). Các kết quả xảy ra có đồng khả năng với nhau.

b) Biến cố \(E = \left\{ {2;3;5;7;11} \right\}\).

c) Phép thử có 12 kết quả có thể xảy ra. Biến cố E có 5 kết quả có lợi.

Vậy xác suất của biến cố E là \(\frac{5}{{12}}\).

Câu hỏi

Từ định nghĩa cổ điển của xác suất, hãy chứng minh các nhận xét trên

Lời giải chi tiết:

E là biến cố liên quan đến phép thử T nên \(0 \le n(E) \le n(\Omega ) \Rightarrow 0 \le P(E) = \frac{{n(E)}}{{n(\Omega )}} \le 1\)

\(P(\Omega ) = \frac{{n(\Omega )}}{{n(\Omega )}} = 1\)

\(P(\emptyset ) = \frac{{n(\emptyset )}}{{n(\Omega )}} = \frac{0}{{n(\Omega )}} = 0\)

Luyện tập 3

Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 4 hoặc bằng 6.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức xác suất cổ điển \(P\left( E \right) = \frac{{n\left( E \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\).

Lời giải chi tiết:

Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = 36\).

Gọi E là biến cố tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 4 hoặc bằng 6. Khi đó ta có \(E = \left\{ {\left( {1,3} \right);\left( {2,2} \right);\left( {3,1} \right);\left( {1,5} \right);\left( {2,4} \right);\left( {3,3} \right);\left( {4,2} \right);\left( {5,1} \right)} \right\} \Rightarrow n\left( E \right) = 8\).

Vậy xác suất của biến cố E là \(P\left( E \right) = \frac{{n\left( E \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{8}{{36}} = \frac{2}{9}\).

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ1 Luyện tập 1 HĐ2 Luyện tập 2

HĐ1

Trở lại Vi dụ 1, xét hai biến cố sau:

A: “Học sinh được gọi là một bạn nữ";

B; Học sinh được gọi có tên bắt đầu bằng chữ H".

Hãy liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố A, B.

Lời giải chi tiết:

Các kết quả thuận lợi cho biến cố A là A = {Hương; Hồng; Dung}.

Các kết quả thuận lợi cho biến cố B là B = { Hương; Hồng; Hoàng}.

Luyện tập 1

Phần thưởng trong một chương trình khuyến mãi của một siêu thị là: ti vi, bàn ghế, tủ lạnh, máy tính, bếp từ, bộ bát đĩa. Ông Dũng tham gia chương trình được chọn ngẫu nhiên một mặt hàng.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Gọi D là biến cố: “Ông Dũng chọn được mặt hàng là đồ điện". Hỏi D là tập con nào của không gian mẫu?

Phương pháp giải:

a) Liệt kê các kết quả mà ông Dũng có thể chọn được.

b) Liệt kê tất cả các mặt hàng là đồ điện.

Lời giải chi tiết:

a) \(\Omega = \) { ti vi, bàn ghế, tủ lạnh, máy tính, bếp từ, bộ bát đĩa}.

b) \(D = \) { ti vi, tủ lạnh, máy tính, bếp từ}.

a) \(\Omega = \) { ti vi, bàn ghế, tủ lạnh, máy tính, bếp từ, bộ bát đĩa}.

b) \(D = \) { ti vi, tủ lạnh, máy tính, bếp từ}.

HĐ2

Trở lại Ví dụ 1, hãy cho biết khi nào biến cố C: “Học sinh được gọi là một bạn nam" xảy ra?

Lời giải chi tiết:

Ta thấy biến cố C xảy ra khi và chỉ khi biến cố A không xảy ra.

Luyện tập 2

Gieo một con xúc xắc. Gọi K là biến cố: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một số nguyên tố". a) Biến cố: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một hợp số" có là biến cố K không?

b) Biến cố K và K là tập con nào của không gian mẫu?

Phương pháp giải:

a) Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc không là số nguyên tố khi nó là số 1 hoặc hợp số.

b) Tìm phần bù của K trong không gian mẫu.

Lời giải chi tiết:

a) Biến cố: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một hợp số” không phải là biến cố \(\overline K \).

b) Ta có \(K = \left\{ {2;3;5} \right\}\) và \(\overline K = \left\{ {1;4;6} \right\}\).

A. Lý thuyết

1. Biến cố

Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà kết quả của nó không thể được dự đoán trước khi phép thử được thực hiện.

Không gian mẫu của phép thử là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử. Không gian mẫu của phép thử được ký hiệu là Ω.

Kết quả thuận lợi cho một biến cố E liên quan tới phép thử T là kết quả của phép thử T làm cho biến cố đó xảy ra.

Chú ý: Ta chỉ xét các phép thử mà không gian mẫu gồm hữu hạn kết quả.

Mỗi biến cố là một tập hợp con của không gian mẫu Ω.

Tập con này là tất cả các kết quả thuận lợi cho biến cố đó.

Nhận xét: Biến cố chắc chắn là tập Ω, biến cố không thể là tập ∅.

Biến cố đối của biến cố E là biến cố “E không xảy ra”.

Biến cố đối của E được kí hiệu là \(\overline E \).

Nhận xét: Nếu biến cố E là tập con của không gian mẫu Ω thì biến cố đối \(\overline E \) là tập hợp tất cả các phần tử của Ω mà không là phần tử của E. Vậy biến cố \(\overline E \) là phần bù của E trong Ω: \(\overline E = {C_\Omega }E\).

2. Định nghĩa cổ điển của xác suất

Một cách tổng quát, ta có định nghĩa sau:

Xét phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả có thể xảy ra và khả năng xảy ra của từng kết quả là giống nhau. Gọi Ω là không gian mẫu của phép thử đó. Khi đó, với mỗi biến cố A, ta có định nghĩa cổ điển của xác suất như sau:

Cho phép thử T có không gian mẫu là Ω. Giả thiết rằng các kết quả có thể của T là đồng khả năng. Khi đó nếu E là một biến cố liên quan đến phép thử T thì xác suất của E được cho bởi công thức

\(P(E) = \frac{{n(E)}}{{n(\Omega )}}\)

trong đó n(E), n(Ω) tương ứng là số phần tử của tập Ω và tập E.

Nhận xét:

+ \(P(\emptyset ) = 0\); \(P(\Omega ) = 1\).

+ \(0 \le P(E) \le 1\) với mỗi biến cố E.

3. Nguyên lí xác suất bé

Nếu một biến cố có xác suất rất bé thì trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra.

Tuy nhiên, một xác suất như thế nào được xem là bé phụ thuộc vào từng bài toán cụ thể.

B. Bài tập

Bài 1: Một hộp có 1 quả bóng xanh, 1 quả bóng đỏ, 1 quả bóng vàng; các quả bóng có kích thước và khối lượng giống nhau. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ trong hộp, ghi lại màu của quả bóng được lấy ra và bỏ lại quả bóng đó vào hộp. Xét phép thử “Lấy ngẫu nhiên tiếp 2 quả bóng trong hộp”. Hãy cho biết không gian mẫu của phép thử đó.

Giải:

Không gian mẫu của phép thử trên là tập hợp Ω = {XX; XD; XV; ĐD; ĐV; DX; DV; VX; VD}, ở đó, chẳng hạn XD là kết quả “Lần thứ nhất lấy ra quả bóng xanh, lần thứ hai lấy ra quả bóng đỏ”.

Bài 2: Gieo một đồng xu cản đối liên tiếp ba lần. Gọi E là biến cố: “Có hai lần xuất hiện mặt sấp và một lần xuất hiện mặt ngửa". Tính xác suất của biến cố E.

Giải:

Kí hiệu S và N tương ứng là đồng xu ra mặt sấp và đồng xu ra mặt ngửa. Không gian mẫu Ω = {SSN; SNS; SNN; SSS; NSN; NNS; NNN; NSS}. E = {SSN; SNS; NSS}.

Ta có n(Ω) = 8; n(E) = 3. Do đồng xu cân đối nên các kết quả có thể là đồng khả năng.

Vậy \(P(E) = \frac{{n(E)}}{{n(\Omega )}}\).

Bài 3: Gieo một con xúc xắc 6 mặt và quan sát số chấm xuất hiện trên con xúc xắc.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Gọi M là biến cố: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một số chẵn". Nội dung biến cố đối M của M là gì?

c) Các biến cố M và \(\overline M \) là tập con nào của không gian mẫu?

Giải:

a) Không gian mẫu Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

b) Biến cố đối M của M là biến cố: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một số lẻ”.

c) Ta có \(M = \{ 2;4;6\} \subset \Omega \); \(\overline M = {C_\Omega }M = \{ 1;3;5\} \subset \Omega \).