8 Các bài toán nâng cao lớp 6 về chứng minh có đáp án

8 Bài Toán Nâng Cao Lớp 6 về Chứng Minh (Có Đáp Án)

Dưới đây là 8 bài toán nâng cao dành cho học sinh lớp 6, tập trung vào kỹ năng chứng minh. Mỗi bài toán đều đi kèm với lời giải chi tiết, giúp học sinh hiểu rõ bản chất vấn đề và rèn luyện tư duy logic.

Bài 1: Chứng minh một tổng chia hết cho một số

Đề bài: Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3.

Lời giải:

Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là n, n+1, n+2 (với n là số tự nhiên).

Tổng của ba số này là: n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n+1)

Vì 3(n+1) chia hết cho 3, nên tổng của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3.

Bài 2: Chứng minh một hiệu chia hết cho một số

Đề bài: Chứng minh rằng hiệu của hai số chẵn chia hết cho 2.

Lời giải:

Gọi hai số chẵn là 2a và 2b (với a, b là số tự nhiên).

Hiệu của hai số này là: 2a - 2b = 2(a - b)

Vì 2(a - b) chia hết cho 2, nên hiệu của hai số chẵn chia hết cho 2.

Bài 3: Chứng minh một tích chia hết cho một số

Đề bài: Chứng minh rằng tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2.

Lời giải:

Gọi hai số tự nhiên liên tiếp là n và n+1 (với n là số tự nhiên).

Trong hai số liên tiếp, luôn có một số chẵn. Vì vậy, tích n(n+1) sẽ chia hết cho 2.

Bài 4: Chứng minh một tổng không chia hết cho một số

Đề bài: Chứng minh rằng tổng của hai số lẻ không chia hết cho 2.

Lời giải:

Gọi hai số lẻ là 2a+1 và 2b+1 (với a, b là số tự nhiên).

Tổng của hai số này là: (2a+1) + (2b+1) = 2a + 2b + 2 = 2(a+b+1)

Tổng này chia hết cho 2. Tuy nhiên, đề bài yêu cầu chứng minh tổng không chia hết cho 2. Đề bài có lỗi, tổng của hai số lẻ luôn chia hết cho 2.

Bài 5: Chứng minh một số có dạng đặc biệt

Đề bài: Chứng minh rằng nếu một số chia hết cho 3 và các chữ số của nó có tổng chia hết cho 9 thì số đó chia hết cho 9.

Lời giải:

Bài này liên quan đến tính chất chia hết của các số. Nếu một số chia hết cho 9, thì tổng các chữ số của nó cũng chia hết cho 9. Ngược lại, nếu tổng các chữ số của một số chia hết cho 9, thì số đó cũng chia hết cho 9. Vì vậy, nếu một số chia hết cho 3 và tổng các chữ số của nó chia hết cho 9, thì số đó chắc chắn chia hết cho 9.

Bài 6: Chứng minh một phân số tối giản

Đề bài: Chứng minh rằng phân số (2n+3)/(4n+5) là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n.

Lời giải:

Gọi d là ước chung lớn nhất của 2n+3 và 4n+5. Khi đó:

• 2n+3 chia hết cho d
• 4n+5 chia hết cho d

Nhân 2n+3 với 2, ta được 4n+6 chia hết cho d.

Lấy (4n+6) - (4n+5) = 1. Vì vậy, 1 chia hết cho d. Suy ra d = 1.

Do đó, phân số (2n+3)/(4n+5) là phân số tối giản.

Bài 7: Chứng minh một đẳng thức

Đề bài: Chứng minh rằng (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Lời giải:

Ta có: (a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a(a+b) + b(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2

Bài 8: Chứng minh một bất đẳng thức

Đề bài: Chứng minh rằng a^2 + b^2 >= 2ab với mọi số thực a, b.

Lời giải:

Ta có: (a-b)^2 >= 0 (vì bình phương của một số luôn không âm).

Mở rộng ra: a^2 - 2ab + b^2 >= 0.

Cộng 2ab vào cả hai vế: a^2 + b^2 >= 2ab.

Vậy, bất đẳng thức được chứng minh.

Lưu ý: Học sinh nên luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để củng cố kiến thức và nâng cao khả năng chứng minh.

Lời khuyên: Hãy hiểu rõ các định nghĩa và tính chất cơ bản trước khi bắt đầu giải các bài toán chứng minh. Việc vẽ hình (nếu có thể) cũng giúp trực quan hóa vấn đề và tìm ra hướng giải quyết.