Câu hỏi Lớp 9 mới nhất

Giải bài toán về hình nón từ tam giác vuông cân

Bài toán yêu cầu chúng ta tính thể tích của một hình nón được tạo thành khi quay một tam giác vuông cân quanh trục đi qua trung điểm của cạnh huyền. Dưới đây là lời giải chi tiết, dễ hiểu và có giải thích rõ ràng.

1. Tóm tắt đề bài và phân tích

* Cho tam giác ABC vuông cân tại A. * I là trung điểm của cạnh huyền BC. * BC = 2 dm. * Tam giác ABC quay quanh trục AI tạo thành hình nón. * Yêu cầu: Tính thể tích hình nón.

2. Các bước giải chi tiết

2.1. Xác định các yếu tố của hình nón

Khi tam giác ABC quay quanh trục AI, ta sẽ tạo thành một hình nón. Để tính thể tích hình nón, chúng ta cần xác định bán kính đáy (r) và chiều cao (h) của hình nón. * Chiều cao (h): Chiều cao của hình nón chính là độ dài đoạn thẳng AI. Vì tam giác ABC vuông cân tại A, và I là trung điểm của BC, nên AI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Để tìm AI, ta sử dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông ABC. * Do tam giác ABC vuông cân tại A, suy ra AB = AC. * BC = 2 dm (đề bài). * Theo định lý Pythagoras: AB² + AC² = BC² * Vì AB = AC, ta có: 2 * AB² = BC² = 2² = 4 * AB² = 2 => AB = AC = √2 dm. * Trong tam giác vuông ABI, ta có: AI² + BI² = AB² * BI = BC/2 = 1 dm (vì I là trung điểm của BC). * AI² = AB² - BI² = (√2)² - 1² = 2 - 1 = 1 * AI = 1 dm. Vậy chiều cao của hình nón, h = AI = 1 dm. * Bán kính đáy (r): Bán kính đáy của hình nón chính là độ dài đoạn thẳng BI hoặc CI (vì I là trung điểm của BC). * r = BI = CI = BC/2 = 2/2 = 1 dm.

2.2. Tính thể tích hình nón

Công thức tính thể tích hình nón là:

V = (1/3) * π * r² * h

Trong đó: * V là thể tích hình nón. * π (Pi) ≈ 3.14159 (hoặc có thể giữ nguyên là π). * r là bán kính đáy (r = 1 dm). * h là chiều cao (h = 1 dm). Thay các giá trị vào công thức:

V = (1/3) * π * 1² * 1 = (1/3) * π dm³

3. Kết luận

Thể tích của hình nón được tạo thành khi quay tam giác ABC quanh trục AI là (π/3) dm³, tức là khoảng 1.047 dm³ (nếu làm tròn).

4. Tóm tắt các bước giải và công thức sử dụng

* Bước 1: Xác định các yếu tố của hình nón (r và h) dựa trên các thông tin đã cho và tính chất của tam giác vuông cân. * Bước 2: Áp dụng định lý Pythagoras để tìm độ dài các cạnh cần thiết. * Bước 3: Sử dụng công thức thể tích hình nón: V = (1/3) * π * r² * h. * Bước 4: Thay số và tính toán để tìm thể tích.

5. Ví dụ minh họa

Giả sử BC = 4 dm. Khi đó: * AB = AC = √(BC²/2) = √(4²/2) = √8 = 2√2 dm. * AI = √(AB² - BI²) = √((2√2)² - 2²) = √(8 - 4) = √4 = 2 dm. * r = BI = BC/2 = 4/2 = 2 dm. * h = AI = 2 dm. * V = (1/3) * π * 2² * 2 = (8π/3) dm³ ≈ 8.378 dm³.

6. Lưu ý

* Luôn nhớ rằng trong tam giác vuông cân, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền đồng thời là đường cao. * Khi làm bài, hãy vẽ hình để dễ hình dung và xác định các yếu tố của hình nón. * Kiểm tra đơn vị đo để đảm bảo tính toán chính xác.

Giải bài toán hình học lớp 9 về đường tròn

Bài toán này là một ví dụ điển hình về các bài toán hình học liên quan đến đường tròn, tiếp tuyến, và các tính chất hình học cơ bản. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng phần của bài toán, cùng với giải thích rõ ràng và các ví dụ minh họa.

Đề bài

Cho đường tròn tâm O bán kính R, kẻ đường kính AB. Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại A. Lấy C là một điểm bất kì trên d (điểm C khác điểm A). Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CM với (O) (M là tiếp điểm). Kẻ MH vuông góc với AB tại H. Gọi E là giao điểm của CO và MA, gọi K là giao điểm của CB và MH.

1) Chứng minh tứ giác AOMC nội tiếp.

Để chứng minh tứ giác AOMC nội tiếp, ta cần chứng minh tổng hai góc đối diện bằng 180 độ.

Giải thích:

* Vì CM là tiếp tuyến của (O) tại M, nên ∠OMA = 90°. * Vì CA là tiếp tuyến của (O) tại A, nên ∠OAC = 90°. * Xét tứ giác AOMC, ta có: ∠OMA + ∠OAC = 90° + 90° = 180°. * Vậy, tứ giác AOMC nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180 độ).

2) Chứng minh EA.MH = EO.HA.

Để chứng minh EA.MH = EO.HA, ta sẽ sử dụng các cặp tam giác đồng dạng.

Giải thích:

* Vì E là giao điểm của CO và MA, và ∠OAM = 90° (do CA là tiếp tuyến), nên ta có: ∠OEA = 90°. * Trong tam giác vuông OAM, ta có: EA ⊥ MA. * Trong tam giác vuông OAH, ta có: MH ⊥ AB. * Xét tam giác vuông OEA và tam giác vuông MHA, ta có: ∠OEA = ∠MHA = 90° và ∠AOE = ∠MHA (cùng bằng ∠MOA). * Do đó, ΔOEA ~ ΔMHA (g.g). * Từ đó, ta có tỉ lệ: EA/HA = EO/MH. * Nhân chéo, ta được: EA.MH = EO.HA (đpcm).

3) Kéo dài BM cắt d tại N. Chứng minh C là trung điểm của AN và KE // AB.

Để chứng minh C là trung điểm của AN và KE // AB, ta sẽ sử dụng các tính chất của tiếp tuyến và đường kính.

Giải thích:

* Vì CM và CA là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại C, nên CA = CM. * Xét tam giác OCM và tam giác OAC: OA = OM = R, OC chung, CA = CM (tính chất tiếp tuyến). Do đó, ΔOCM = ΔOCA (c.c.c). * Suy ra: ∠OCA = ∠OCM. * Ta có: ∠BMA = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). * Do đó, BM ⊥ AN. * Xét tam giác BAN, ta có: CA = CM và BM ⊥ AN và CM = CA. * Vậy, C là trung điểm của AN (đường cao đồng thời là đường trung tuyến). * Để chứng minh KE // AB, ta sử dụng định lý Thales. * Ta có: EA/EM = EO/EC (do EA/EO = EM/EC suy ra từ tính chất tam giác đồng dạng). * Xét tam giác ABC, ta có: K là giao điểm của CB và MH. * Vì MH // OA (cùng vuông góc với AB), theo định lý Thales, ta có: KE // AB.

Kết luận:

Bài toán này không chỉ giúp rèn luyện kỹ năng giải toán hình học mà còn củng cố kiến thức về đường tròn, tiếp tuyến, các tính chất của tam giác đồng dạng, và định lý Thales. Việc hiểu rõ các bước giải và giải thích chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức và áp dụng vào các bài toán tương tự.

Giải bài toán về thấu kính hội tụ

Bài toán này thuộc về chương trình Vật lý lớp 9, liên quan đến thấu kính hội tụ và việc xác định các đặc điểm của ảnh. Dưới đây là lời giải chi tiết, kèm theo giải thích và ví dụ minh họa để bạn dễ hiểu.

Tóm tắt đề bài

* Vật sáng AB có chiều cao: h = 2 cm * Tiêu cự của thấu kính hội tụ: f = 12 cm * Khoảng cách từ ảnh đến vật: d + d' = 60 cm (với d là khoảng cách từ vật đến thấu kính và d' là khoảng cách từ ảnh đến thấu kính) * Ảnh lớn hơn vật (ảnh thật)

Các bước giải chi tiết

1. Xác định các công thức liên quan: * Công thức thấu kính: $rac{1}{f} = rac{1}{d} + rac{1}{d'}$ * Số phóng đại ảnh: $k = -rac{d'}{d} = rac{h'}{h}$ (với h' là chiều cao của ảnh) 2. Phân tích bài toán và đặt các ẩn số: * Gọi d là khoảng cách từ vật đến thấu kính. * Gọi d' là khoảng cách từ ảnh đến thấu kính. * Theo đề bài, ta có: d + d' = 60 cm => d' = 60 - d 3. Áp dụng công thức thấu kính: Thay d' = 60 - d vào công thức thấu kính: $rac{1}{12} = rac{1}{d} + rac{1}{60 - d}$ Quy đồng mẫu số và giải phương trình: $rac{1}{12} = rac{60 - d + d}{d(60 - d)}$ $rac{1}{12} = rac{60}{60d - d^2}$ 60d - d² = 720 d² - 60d + 720 = 0 Giải phương trình bậc hai này, ta tìm được hai nghiệm: * d₁ ≈ 15.53 cm * d₂ ≈ 44.47 cm 4. Xác định giá trị phù hợp và tính d': * Trường hợp 1: d₁ ≈ 15.53 cm * d'₁ = 60 - 15.53 ≈ 44.47 cm * Số phóng đại: k₁ = -d'/d = -44.47/15.53 ≈ -2.86 (ảnh thật, ngược chiều và lớn hơn vật) * h'₁ = k₁ * h = -2.86 * 2 cm ≈ -5.72 cm (Ảnh cao 5.72 cm, ngược chiều với vật) * Trường hợp 2: d₂ ≈ 44.47 cm * d'₂ = 60 - 44.47 ≈ 15.53 cm * Số phóng đại: k₂ = -d'/d = -15.53/44.47 ≈ -0.35 (ảnh thật, ngược chiều và nhỏ hơn vật) * h'₂ = k₂ * h = -0.35 * 2 cm ≈ -0.7 cm (Ảnh cao 0.7 cm, ngược chiều với vật) Vì đề bài cho biết ảnh lớn hơn vật, nên ta chọn trường hợp 1. 5. Kết luận: * Khoảng cách từ vật đến thấu kính: d ≈ 15.53 cm * Khoảng cách từ ảnh đến thấu kính: d' ≈ 44.47 cm * Chiều cao của ảnh: h' ≈ 5.72 cm (ảnh thật, ngược chiều và lớn hơn vật)

Giải thích và ví dụ minh họa

* Ảnh thật và ảnh ảo: Ảnh thật là ảnh có thể hứng được trên màn chắn (trong trường hợp này, ảnh nằm ở phía bên kia của thấu kính so với vật). Ảnh ảo không hứng được trên màn chắn (nằm cùng phía với vật). * Số phóng đại k: * |k| > 1: Ảnh lớn hơn vật. * |k| < 1: Ảnh nhỏ hơn vật. * k > 0: Ảnh cùng chiều với vật (ảnh ảo). * k < 0: Ảnh ngược chiều với vật (ảnh thật). * Ví dụ minh họa: Giả sử vật AB là ngọn nến, thì ảnh A'B' sẽ là hình ảnh ngọn nến ngược chiều, lớn hơn và nằm ở vị trí khác.

Lưu ý quan trọng

* Luôn vẽ hình minh họa để dễ hình dung và kiểm tra kết quả. * Chú ý đến dấu của các đại lượng (d, d', h, h') để xác định tính chất của ảnh (thật/ảo, lớn/nhỏ, cùng chiều/ngược chiều). * Trong các bài toán về thấu kính, việc sử dụng công thức thấu kính và công thức số phóng đại là rất quan trọng. * Giải phương trình bậc hai có thể dẫn đến hai nghiệm, hãy kiểm tra để chọn nghiệm phù hợp với các điều kiện của bài toán. Hy vọng với lời giải chi tiết này, bạn có thể hiểu rõ hơn về cách giải các bài toán liên quan đến thấu kính hội tụ.

Tính Thể Tích Hình Nón Tạo Thành Từ Tam Giác Vuông Cân

Bài toán này liên quan đến việc tính thể tích của một hình nón được tạo ra khi quay một tam giác vuông cân quanh một trục. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định các yếu tố quan trọng của hình nón, bao gồm bán kính đáy và chiều cao.

1. Phân Tích Đề Bài và Xác Định Các Yếu Tố

Đề bài cho chúng ta:

• Tam giác ABC vuông cân tại A.
• I là trung điểm của BC.
• BC = 2 dm.
• Tam giác ABC quay quanh trục AI tạo thành hình nón.

Từ các thông tin trên, chúng ta cần tìm:

• Bán kính đáy (R) của hình nón.
• Chiều cao (h) của hình nón.

2. Xác Định Bán Kính Đáy và Chiều Cao

Khi tam giác ABC quay quanh AI, cạnh AB và AC sẽ tạo thành mặt xung quanh của hình nón. Điểm A sẽ là đỉnh của hình nón, và đoạn thẳng AI là trục của hình nón. Do đó, ta có:

• Chiều cao (h): AI là chiều cao của hình nón. Vì I là trung điểm của BC, và tam giác ABC vuông cân tại A, nên AI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.
• Bán kính đáy (R): Bán kính đáy của hình nón chính là độ dài của đoạn thẳng BI hoặc CI (vì I là trung điểm của BC).

Để tính toán:

1. Tính bán kính đáy (R): Vì BC = 2 dm và I là trung điểm của BC, nên BI = CI = BC/2 = 2/2 = 1 dm. Vậy, R = 1 dm.
2. Tính chiều cao (h): Trong tam giác vuông ABC, ta có AB = AC (do tam giác vuông cân). Áp dụng định lý Pythagore: AB² + AC² = BC². Vì AB = AC, nên 2AB² = BC². Suy ra AB² = BC²/2 = 2²/2 = 2. Vậy AB = AC = √2 dm. Do AI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông, nên AI = BC/2 = 2/2 = 1 dm. Vậy, h = AI = 1 dm.

3. Tính Thể Tích Hình Nón

Công thức tính thể tích hình nón là:

V = (1/3) * π * R² * h

Trong đó:

• V là thể tích hình nón.
• π (pi) ≈ 3.14159.
• R là bán kính đáy.
• h là chiều cao.

Thay các giá trị đã tìm được vào công thức:

V = (1/3) * π * (1 dm)² * (1 dm) = (1/3) * π * 1 dm³ ≈ 1.047 dm³

4. Kết Luận

Vậy, thể tích của hình nón tạo thành khi quay tam giác ABC quanh trục AI là khoảng 1.047 dm³.

5. Tóm Tắt Các Bước Giải

1. Xác định các yếu tố của hình nón: bán kính đáy (R) và chiều cao (h).
2. Tính bán kính đáy: R = BI = CI = BC/2 = 1 dm.
3. Tính chiều cao: AI = BC/2 = 1 dm.
4. Áp dụng công thức tính thể tích hình nón: V = (1/3) * π * R² * h.
5. Thay số và tính toán: V ≈ 1.047 dm³.

Bài toán này không chỉ kiểm tra kiến thức về hình học không gian, mà còn rèn luyện khả năng tư duy logic và vận dụng các công thức toán học một cách hiệu quả.

Hy vọng rằng, lời giải chi tiết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán này.