cho tam giác ABC vuông tại cân A, gọi I là trung điểm của BC = 2dm....

Giải bài toán về hình nón từ tam giác vuông cân

Bài toán yêu cầu chúng ta tính thể tích của một hình nón được tạo thành khi quay một tam giác vuông cân quanh trục đi qua trung điểm của cạnh huyền. Dưới đây là lời giải chi tiết, dễ hiểu và có giải thích rõ ràng.

1. Tóm tắt đề bài và phân tích

* Cho tam giác ABC vuông cân tại A. * I là trung điểm của cạnh huyền BC. * BC = 2 dm. * Tam giác ABC quay quanh trục AI tạo thành hình nón. * Yêu cầu: Tính thể tích hình nón.

2. Các bước giải chi tiết

2.1. Xác định các yếu tố của hình nón

Khi tam giác ABC quay quanh trục AI, ta sẽ tạo thành một hình nón. Để tính thể tích hình nón, chúng ta cần xác định bán kính đáy (r) và chiều cao (h) của hình nón. * Chiều cao (h): Chiều cao của hình nón chính là độ dài đoạn thẳng AI. Vì tam giác ABC vuông cân tại A, và I là trung điểm của BC, nên AI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Để tìm AI, ta sử dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông ABC. * Do tam giác ABC vuông cân tại A, suy ra AB = AC. * BC = 2 dm (đề bài). * Theo định lý Pythagoras: AB2 + AC2 = BC2 * Vì AB = AC, ta có: 2 * AB2 = BC2 = 22 = 4 * AB2 = 2 => AB = AC = √2 dm. * Trong tam giác vuông ABI, ta có: AI2 + BI2 = AB2 * BI = BC/2 = 1 dm (vì I là trung điểm của BC). * AI2 = AB2 - BI2 = (√2)2 - 12 = 2 - 1 = 1 * AI = 1 dm. Vậy chiều cao của hình nón, h = AI = 1 dm. * Bán kính đáy (r): Bán kính đáy của hình nón chính là độ dài đoạn thẳng BI hoặc CI (vì I là trung điểm của BC). * r = BI = CI = BC/2 = 2/2 = 1 dm.

2.2. Tính thể tích hình nón

Công thức tính thể tích hình nón là:

V = (1/3) * π * r2 * h

Trong đó: * V là thể tích hình nón. * π (Pi) ≈ 3.14159 (hoặc có thể giữ nguyên là π). * r là bán kính đáy (r = 1 dm). * h là chiều cao (h = 1 dm). Thay các giá trị vào công thức:

V = (1/3) * π * 12 * 1 = (1/3) * π dm3

3. Kết luận

Thể tích của hình nón được tạo thành khi quay tam giác ABC quanh trục AI là (π/3) dm3, tức là khoảng 1.047 dm3 (nếu làm tròn).

4. Tóm tắt các bước giải và công thức sử dụng

* Bước 1: Xác định các yếu tố của hình nón (r và h) dựa trên các thông tin đã cho và tính chất của tam giác vuông cân. * Bước 2: Áp dụng định lý Pythagoras để tìm độ dài các cạnh cần thiết. * Bước 3: Sử dụng công thức thể tích hình nón: V = (1/3) * π * r2 * h. * Bước 4: Thay số và tính toán để tìm thể tích.

5. Ví dụ minh họa

Giả sử BC = 4 dm. Khi đó: * AB = AC = √(BC2/2) = √(42/2) = √8 = 2√2 dm. * AI = √(AB2 - BI2) = √((2√2)2 - 22) = √(8 - 4) = √4 = 2 dm. * r = BI = BC/2 = 4/2 = 2 dm. * h = AI = 2 dm. * V = (1/3) * π * 22 * 2 = (8π/3) dm3 ≈ 8.378 dm3.

6. Lưu ý

* Luôn nhớ rằng trong tam giác vuông cân, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền đồng thời là đường cao. * Khi làm bài, hãy vẽ hình để dễ hình dung và xác định các yếu tố của hình nón. * Kiểm tra đơn vị đo để đảm bảo tính toán chính xác.