[SGK Toán Lớp 11 Cùng khám phá] Giải mục 2 trang 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

hoạt động 2

trong hình 1.45, xét đường thẳng \(y = m\left( { - 1 \le m \le 1} \right)\) và đồ thị hàm số \(y = \sin x\).

a) dựa vào hình 1.45, cho biết trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\), đồ thị hàm số \(y = \sin x\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại điểm có hoành độ là giá trị nào.

b) biểu diễn hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \sin x\) và đường thẳng \(y = m\) theo hoành độ của giao điểm trong câu a).

phương pháp giải:

quan sát hình vẽ để trả lời câu hỏi.

lời giải chi tiết:

a) dựa vào hình 1.45, trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\), đồ thị hàm số \(y = \sin x\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại điểm có hoành độ là \(a\) và \(\pi  - a\).

b) hoành độ của tất cả các giao điểm lần lượt từ trái sang phải là \( - 3\pi  - a;a - 2\pi ; - \pi  - a;a;\pi  - a;a + 2\pi ;3\pi  - a\).

luyện tập 3

giải các phương trình sau:

a) \(\sin x = \frac{1}{3};\)

b) \(\sin 2x =  - \frac{1}{2};\)

c) \(\sin \left( {x + {{30}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

phương pháp giải:

\(\begin{array}{l}\sin x = m \leftrightarrow \sin x = \sin \alpha \\ \rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x = \pi  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

lời giải chi tiết:

a)

\(\begin{array}{l}\sin x = \frac{1}{3}\\ \leftrightarrow \sin x = \sin 0,34\\ \rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0,34 + k2\pi \\x = \pi  - 0,34 + k2\pi  \approx 2,8 + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

vậy phương trình có các nghiệm là \(x = 0,34 + k2\pi ,x = 2,8 + k2\pi \left( {k \in \mathbb{z}} \right)\).

b)

\(\begin{array}{l}\sin 2x =  - \frac{1}{2}\\ \leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\\ \rightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \pi  - \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) + k2\pi  = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

vậy phương trình có các nghiệm là \(x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi ,x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{z}} \right)\).

c)

\(\begin{array}{l}\sin \left( {x + {{30}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \leftrightarrow \sin \left( {x + {{30}^0}} \right) = \sin \left( {{{45}^0}} \right)\\ \rightarrow \left[ \begin{array}{l}x + {30^0} = {45^0} + k{360^0}\\x + {30^0} = {180^0} - {45^0} + k{360^0} = {135^0} + k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\\ \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {15^0} + k{360^0}\\x = {180^0} - {45^0} - {30^0} + k{360^0} = {105^0} + k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

vậy phương trình có các nghiệm là \(x = {15^0} + k{360^0},x = {105^0} + k{360^0}\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\).

luyện tập 4

giải phương trình: \(\sin 4x =  - \sin \left( {\pi  - x} \right)\).

phương pháp giải:

\(\begin{array}{l}\sin x =  - \sin \alpha \\ \leftrightarrow \sin x = \sin \left( { - \alpha } \right)\\ \rightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \alpha  + k2\pi \\x = \pi  + \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\sin 4x =  - \sin \left( {\pi  - x} \right)\\ \leftrightarrow \sin 4x = \sin \left( { - \pi  + x} \right)\\ \rightarrow \left[ \begin{array}{l}4x =  - \pi  + x + k2\pi \\x = \pi  - \left( { - \pi  + x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\\ \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x =  - \pi  + k2\pi \\2x = 2\pi  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\\ \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \pi  + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

vậy phương trình có các nghiệm là \(x =  - \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3},x = \pi  + k\pi \left( {k \in \mathbb{z}} \right)\).

vận dụng 1

giả sử số lượng n của một loài hươu sau t năm được xác định bởi công thức

\(n = 30000 + 20000\sin \left( {\frac{{\pi t}}{{10}}} \right)\)

xác định năm đầu tiên mà số lượng của loài hươu này bằng 50 nghìn con theo công thức trên.

phương pháp giải:

thay n = 50000 vào phương trình. giải phương trình lượng giác cơ bản để tìm t.

lời giải chi tiết:

thay n = 50000 vào phương trình, ta có:

\(\begin{array}{l}30000 + 20000\sin \left( {\frac{{\pi t}}{{10}}} \right) = 50000\\ \leftrightarrow \sin \left( {\frac{{\pi t}}{{10}}} \right) = 1\\ \leftrightarrow \sin \left( {\frac{{\pi t}}{{10}}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2}} \right)\\ \rightarrow \frac{{\pi t}}{{10}} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ \leftrightarrow t = 5 + k20\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

vậy sau 5 năm đầu tiên thì số lượng của loài hươu này bằng 50 nghìn con.

hoạt động 3

trong hình 1.46, xét đường thẳng \(y = m\left( { - 1 \le m \le 1} \right)\) và đồ thị hàm số \(y = \cos x\).

a) dựa vào hình 1.46, cho biết trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\), đồ thị hàm số \(\cos x = m\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại điểm có hoành độ là giá trị nào.

b) biểu diễn hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \cos x\) và đường thẳng \(y = m\) theo hoành độ của giao điểm trong câu a).

phương pháp giải:

quan sát hình vẽ để trả lời câu hỏi.

lời giải chi tiết:

a) dựa vào hình 1.46, trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\), đồ thị hàm số \(\cos x = m\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại điểm có hoành độ là \( - a\) và \(a\).

b) hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \cos x\) và đường thẳng \(y = m\) lần lượt từ trái sang phải là \( - a - 2\pi ;a - 2\pi ; - a;a; - a + 2\pi ;a + 2\pi \).

luyện tập 5

giải các phương trình sau:

a) \(\cos 2x = \cos \frac{\pi }{3};\)

b) \(\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) =  - 1;\)

c) \(\cos \left( {x - {{45}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)

phương pháp giải:

\(\begin{array}{l}\cos x = m\\ \leftrightarrow \cos x = \cos \alpha \\ \rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x =  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

lời giải chi tiết:

a)

\(\begin{array}{l}\cos 2x = \cos \frac{\pi }{3}\\ \rightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x =  - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\\ \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x =  - \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

vậy phương trình có các nghiệm là \(x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,x =  - \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{z}} \right)\)

b)

\(\begin{array}{l}\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) =  - 1\\ \leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = \pi  + k2\pi \left( {k \in \mathbb{z}} \right)\\ \leftrightarrow x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

vậy phương trình có các nghiệm là \(x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{z}} \right)\)

c)

\(\begin{array}{l}\cos \left( {x - {{45}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \leftrightarrow \cos \left( {x - {{45}^0}} \right) = \cos \left( {{{30}^0}} \right)\\ \rightarrow \left[ \begin{array}{l}x - {45^0} = {30^0} + k{360^0}\\x - {45^0} =  - {30^0} + k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\\ \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {75^0} + k{360^0}\\x = {15^0} + k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

vậy phương trình có các nghiệm là \(x = {75^0} + k{360^0},x = {15^0} + k{360^0}\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\)

luyện tập 6

giải phương trình sau: \(\sin 5x =  - \cos \left( {\pi  + x} \right).\)

phương pháp giải:

đưa phương trình về dạng \(\cos x = \cos \alpha \)\( \rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x =  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\)

lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\sin 5x =  - \cos \left( {\pi  + x} \right)\\ \leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 5x} \right) = \cos \left( {\pi  + x} \right)\\ \rightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{2} - 5x = \pi  + x + k2\pi \\\frac{\pi }{2} - 5x =  - \pi  - x + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\\ \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 6x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ - 4x =  - \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\\ \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{{12}} - k\frac{\pi }{3}\\x = \frac{{3\pi }}{8} - k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

vậy phương trình có các nghiệm là \(x =  - \frac{\pi }{{12}} - k\frac{\pi }{3},x = \frac{{3\pi }}{8} - k\frac{\pi }{2}\)

vận dụng 2

cường độ dòng điện i (ampe) qua một mạch điện xoay chiều được tính bởi công thức \(i = 10\sqrt 2 \cos \left( {100\pi t} \right),\) trong đó t là thời gian tính bằng giây. xác định thời điểm đầu tiên cường độ dòng điện bằng 10 ampe.

phương pháp giải:

thay i = 10 vào công thức. giải phương trình lượng giác cơ bản để tìm t.

lời giải chi tiết:

thay i = 10 vào công thức, ta có:

\(\begin{array}{l}10\sqrt 2 \cos \left( {100\pi t} \right) = 10\\ \leftrightarrow \cos \left( {100\pi t} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \leftrightarrow \cos \left( {100\pi t} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right)\\ \rightarrow \left[ \begin{array}{l}100\pi t = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\100\pi t =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\\ \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{{400}} + \frac{k}{{50}}\\t =  - \frac{1}{{400}} + \frac{k}{{50}}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

vậy thời điểm đầu tiên cường độ dòng điện bằng 10 ampe là \(\frac{1}{{400}}\) giây.

hoạt động 4

trong hình 1.47, xét đường thẳng \(y = m\) và đồ thị hàm số \(y = \tan x\).

a) dựa vào hình 1.47, cho biết trên đoạn \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\), đồ thị hàm số \(y = \tan x\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại điểm có hoành độ là giá trị nào.

b) biểu diễn hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \tan x\) và đường thẳng \(y = m\) theo hoành độ của giao điểm trong câu a).

phương pháp giải:

quan sát hình vẽ để trả lời.

lời giải chi tiết:

a) dựa vào hình 1.47, trên đoạn \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\), đồ thị hàm số \(y = \tan x\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại điểm có hoành độ là \(a\).

b) hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \tan x\) và đường thẳng \(y = m\) lần lượt từ trái sang phải là \(a - 2\pi ,a - \pi ,a,a + \pi ,a + 2\pi \).

luyện tập 7

giải các phương trình sau:

a) \(\tan 3x = 1;\)

b) \(\tan 4x =  - 1,5;\)

c) \(\tan \left( {x + {{15}^0}} \right) =  - \sqrt 3 .\)

phương pháp giải:

\(\begin{array}{l}\tan x = m\\ \leftrightarrow \tan x = \tan \alpha \\ \leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

lời giải chi tiết:

a)

\(\begin{array}{l}\tan 3x = 1\\ \leftrightarrow \tan 3x = \tan \frac{\pi }{4}\\ \leftrightarrow 3x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{z}} \right)\\ \leftrightarrow x = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3}\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)                  

vậy phương trình có nghiệm là \(x = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3}\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\)

b) gọi a là góc lượng giác thuộc khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) thỏa mãn \(\tan 4x =  - 1,5\)

\(\begin{array}{l}\tan 4x = \tan a\\ \leftrightarrow 4x = a + k\pi \left( {k \in \mathbb{z}} \right)\\ \leftrightarrow x = \frac{a}{4} + k\frac{\pi }{4}\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

vậy phương trình có nghiệm là \(x = \frac{a}{4} + k\frac{\pi }{4}\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\)

c)

\(\begin{array}{l}\tan \left( {x + {{15}^0}} \right) =  - \sqrt 3 \\ \leftrightarrow \tan \left( {x + {{15}^0}} \right) = \tan \left( { - {{60}^0}} \right)\\ \leftrightarrow x + {15^0} =  - {60^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\\ \leftrightarrow x =  - {75^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

vậy phương trình có nghiệm là \(x =  - {75^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\)

vận dụng 3

một người dẫn em gái của mình đến công viên để chơi xích đu. lực đẩy theo phương ngang f (n) mà người đó dùng để đẩy em gái trong trò chơi này được xác định bởi công thức \(f = mg\tan \theta \), trong đó m (kg) là khối lượng của em gái, g là gia tốc trọng trường và \(\theta \) là góc tạo bởi xích đu khi bắt đầu được đẩy với phương thẳng đứng (hình 1.49) (nguồn: https://www.khanacademy.org/science/physics/centripetal-force-and-gravitation/centripetal-forces/v/mass-swiging-in-a-horizontal-circle). xác định góc \(\theta \) khi \(f = 400\sqrt 3 \)n, m = 40 kg và g = 10 m/s².

phương pháp giải:

thay \(f = 400\sqrt 3 \), m = 40 và g = 10 vào công thức. giải phương trình lượng giác cơ bản để tìm \(\theta \).

lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}400\sqrt 3  = 40.10.\tan \theta \\ \leftrightarrow \tan \theta  = \sqrt 3 \\ \leftrightarrow \tan \theta  = \tan {60^0}\\ \leftrightarrow \theta  = {60^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

vậy \(\theta  = {60^0}\)

hoạt động 5

trong hình 1.50, xét đường thẳng \(y = m\)và đồ thị hàm số \(y = \cot x\).

a) dựa vào hình 1.50, cho biết trên đoạn \(\left( {0;\pi } \right)\), đồ thị hàm số \(y = \cot x\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại điểm có hoành độ là giá trị nào.

b) biểu diễn hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \cot x\) và đường thẳng \(y = m\) theo hoành độ của giao điểm trong câu a).

phương pháp giải:

quan sát hình vẽ để trả lời.

lời giải chi tiết:

a) dựa vào hình 1.50, trên đoạn \(\left( {0;\pi } \right)\), đồ thị hàm số \(y = \cot x\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại điểm có hoành độ là \(a\).

b) hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \cot x\) và đường thẳng \(y = m\) lần lượt từ trái sang phải là \(a - 2\pi ,a - \pi ,a,a + \pi \).

luyện tập 8

giải các phương trình sau:

a) \(\cot 2x =  - 1;\)

b) \(\cot 6x = 4;\)

c) \(\cot \left( {x - {{45}^0}} \right) = \sqrt 3 .\)

phương pháp giải:

\(\begin{array}{l}\cot a = m \leftrightarrow \cot a = \cot b\\ \leftrightarrow a = b + k\pi \left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

lời giải chi tiết:

a)

\(\begin{array}{l}\cot 2x =  - 1\\ \leftrightarrow \cot 2x = \cot \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)\\ \leftrightarrow 2x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{z}} \right)\\ \leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

vậy phương trình có nghiệm là \(x =  - \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\)

b) gọi a là góc lượng giác thuộc khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) thỏa mãn \(\cot 6x = 4\)

\(\begin{array}{l}\cot 6x = \cot a\\ \leftrightarrow 6x = a + k\pi \left( {k \in \mathbb{z}} \right)\\ \leftrightarrow x = \frac{a}{6} + k\frac{\pi }{6}\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

vậy phương trình có nghiệm là \(x = \frac{a}{6} + k\frac{\pi }{6}\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\)

c)

\(\begin{array}{l}\cot \left( {x - {{45}^0}} \right) = \sqrt 3 \\ \leftrightarrow \cot \left( {x - {{45}^0}} \right) = \cot \left( {{{30}^0}} \right)\\ \leftrightarrow x - {45^0} = {30^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\\ \leftrightarrow x = {75^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

vậy phương trình có nghiệm là \(x = {75^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\)