[SGK Toán Lớp 11 Cùng khám phá] Giải mục 2 trang 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Hướng dẫn học bài: Giải mục 2 trang 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá - Môn Toán học Lớp 11 Lớp 11. Đây là sách giáo khoa nằm trong bộ sách 'SGK Toán Lớp 11 Cùng khám phá Lớp 11' được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết các bé sẽ nắm bài học tốt hơn.

hoạt động 2

trong hình 1.45, xét đường thẳng \(y = m\left( { - 1 \le m \le 1} \right)\) và đồ thị hàm số \(y = \sin x\).

a) dựa vào hình 1.45, cho biết trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\), đồ thị hàm số \(y = \sin x\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại điểm có hoành độ là giá trị nào.

b) biểu diễn hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \sin x\) và đường thẳng \(y = m\) theo hoành độ của giao điểm trong câu a).

phương pháp giải:

quan sát hình vẽ để trả lời câu hỏi.

lời giải chi tiết:

a) dựa vào hình 1.45, trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\), đồ thị hàm số \(y = \sin x\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại điểm có hoành độ là \(a\) và \(\pi  - a\).

b) hoành độ của tất cả các giao điểm lần lượt từ trái sang phải là \( - 3\pi  - a;a - 2\pi ; - \pi  - a;a;\pi  - a;a + 2\pi ;3\pi  - a\).

luyện tập 3

giải các phương trình sau:

a) \(\sin x = \frac{1}{3};\)

b) \(\sin 2x =  - \frac{1}{2};\)

c) \(\sin \left( {x + {{30}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

phương pháp giải:

\(\begin{array}{l}\sin x = m \leftrightarrow \sin x = \sin \alpha \\ \rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x = \pi  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

lời giải chi tiết:

a)

\(\begin{array}{l}\sin x = \frac{1}{3}\\ \leftrightarrow \sin x = \sin 0,34\\ \rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0,34 + k2\pi \\x = \pi  - 0,34 + k2\pi  \approx 2,8 + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

vậy phương trình có các nghiệm là \(x = 0,34 + k2\pi ,x = 2,8 + k2\pi \left( {k \in \mathbb{z}} \right)\).

b)

\(\begin{array}{l}\sin 2x =  - \frac{1}{2}\\ \leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\\ \rightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \pi  - \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) + k2\pi  = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

vậy phương trình có các nghiệm là \(x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi ,x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{z}} \right)\).

c)

\(\begin{array}{l}\sin \left( {x + {{30}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \leftrightarrow \sin \left( {x + {{30}^0}} \right) = \sin \left( {{{45}^0}} \right)\\ \rightarrow \left[ \begin{array}{l}x + {30^0} = {45^0} + k{360^0}\\x + {30^0} = {180^0} - {45^0} + k{360^0} = {135^0} + k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\\ \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {15^0} + k{360^0}\\x = {180^0} - {45^0} - {30^0} + k{360^0} = {105^0} + k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

vậy phương trình có các nghiệm là \(x = {15^0} + k{360^0},x = {105^0} + k{360^0}\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\).

luyện tập 4

giải phương trình: \(\sin 4x =  - \sin \left( {\pi  - x} \right)\).

phương pháp giải:

\(\begin{array}{l}\sin x =  - \sin \alpha \\ \leftrightarrow \sin x = \sin \left( { - \alpha } \right)\\ \rightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \alpha  + k2\pi \\x = \pi  + \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\sin 4x =  - \sin \left( {\pi  - x} \right)\\ \leftrightarrow \sin 4x = \sin \left( { - \pi  + x} \right)\\ \rightarrow \left[ \begin{array}{l}4x =  - \pi  + x + k2\pi \\x = \pi  - \left( { - \pi  + x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\\ \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x =  - \pi  + k2\pi \\2x = 2\pi  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\\ \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \pi  + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

vậy phương trình có các nghiệm là \(x =  - \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3},x = \pi  + k\pi \left( {k \in \mathbb{z}} \right)\).

vận dụng 1

giả sử số lượng n của một loài hươu sau t năm được xác định bởi công thức

\(n = 30000 + 20000\sin \left( {\frac{{\pi t}}{{10}}} \right)\)

xác định năm đầu tiên mà số lượng của loài hươu này bằng 50 nghìn con theo công thức trên.

phương pháp giải:

thay n = 50000 vào phương trình. giải phương trình lượng giác cơ bản để tìm t.

lời giải chi tiết:

thay n = 50000 vào phương trình, ta có:

\(\begin{array}{l}30000 + 20000\sin \left( {\frac{{\pi t}}{{10}}} \right) = 50000\\ \leftrightarrow \sin \left( {\frac{{\pi t}}{{10}}} \right) = 1\\ \leftrightarrow \sin \left( {\frac{{\pi t}}{{10}}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2}} \right)\\ \rightarrow \frac{{\pi t}}{{10}} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ \leftrightarrow t = 5 + k20\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

vậy sau 5 năm đầu tiên thì số lượng của loài hươu này bằng 50 nghìn con.

hoạt động 3

trong hình 1.46, xét đường thẳng \(y = m\left( { - 1 \le m \le 1} \right)\) và đồ thị hàm số \(y = \cos x\).

a) dựa vào hình 1.46, cho biết trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\), đồ thị hàm số \(\cos x = m\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại điểm có hoành độ là giá trị nào.

b) biểu diễn hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \cos x\) và đường thẳng \(y = m\) theo hoành độ của giao điểm trong câu a).

phương pháp giải:

quan sát hình vẽ để trả lời câu hỏi.

lời giải chi tiết:

a) dựa vào hình 1.46, trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\), đồ thị hàm số \(\cos x = m\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại điểm có hoành độ là \( - a\) và \(a\).

b) hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \cos x\) và đường thẳng \(y = m\) lần lượt từ trái sang phải là \( - a - 2\pi ;a - 2\pi ; - a;a; - a + 2\pi ;a + 2\pi \).

luyện tập 5

giải các phương trình sau:

a) \(\cos 2x = \cos \frac{\pi }{3};\)

b) \(\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) =  - 1;\)

c) \(\cos \left( {x - {{45}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)

phương pháp giải:

\(\begin{array}{l}\cos x = m\\ \leftrightarrow \cos x = \cos \alpha \\ \rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x =  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

lời giải chi tiết:

a)

\(\begin{array}{l}\cos 2x = \cos \frac{\pi }{3}\\ \rightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x =  - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\\ \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x =  - \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

vậy phương trình có các nghiệm là \(x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,x =  - \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{z}} \right)\)

b)

\(\begin{array}{l}\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) =  - 1\\ \leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = \pi  + k2\pi \left( {k \in \mathbb{z}} \right)\\ \leftrightarrow x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

vậy phương trình có các nghiệm là \(x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{z}} \right)\)

c)

\(\begin{array}{l}\cos \left( {x - {{45}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \leftrightarrow \cos \left( {x - {{45}^0}} \right) = \cos \left( {{{30}^0}} \right)\\ \rightarrow \left[ \begin{array}{l}x - {45^0} = {30^0} + k{360^0}\\x - {45^0} =  - {30^0} + k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\\ \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {75^0} + k{360^0}\\x = {15^0} + k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

vậy phương trình có các nghiệm là \(x = {75^0} + k{360^0},x = {15^0} + k{360^0}\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\)

luyện tập 6

giải phương trình sau: \(\sin 5x =  - \cos \left( {\pi  + x} \right).\)

phương pháp giải:

đưa phương trình về dạng \(\cos x = \cos \alpha \)\( \rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x =  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\)

lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\sin 5x =  - \cos \left( {\pi  + x} \right)\\ \leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 5x} \right) = \cos \left( {\pi  + x} \right)\\ \rightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{2} - 5x = \pi  + x + k2\pi \\\frac{\pi }{2} - 5x =  - \pi  - x + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\\ \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 6x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ - 4x =  - \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\\ \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{{12}} - k\frac{\pi }{3}\\x = \frac{{3\pi }}{8} - k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

vậy phương trình có các nghiệm là \(x =  - \frac{\pi }{{12}} - k\frac{\pi }{3},x = \frac{{3\pi }}{8} - k\frac{\pi }{2}\)

vận dụng 2

cường độ dòng điện i (ampe) qua một mạch điện xoay chiều được tính bởi công thức \(i = 10\sqrt 2 \cos \left( {100\pi t} \right),\) trong đó t là thời gian tính bằng giây. xác định thời điểm đầu tiên cường độ dòng điện bằng 10 ampe.

phương pháp giải:

thay i = 10 vào công thức. giải phương trình lượng giác cơ bản để tìm t.

lời giải chi tiết:

thay i = 10 vào công thức, ta có:

\(\begin{array}{l}10\sqrt 2 \cos \left( {100\pi t} \right) = 10\\ \leftrightarrow \cos \left( {100\pi t} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \leftrightarrow \cos \left( {100\pi t} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right)\\ \rightarrow \left[ \begin{array}{l}100\pi t = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\100\pi t =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\\ \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{{400}} + \frac{k}{{50}}\\t =  - \frac{1}{{400}} + \frac{k}{{50}}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

vậy thời điểm đầu tiên cường độ dòng điện bằng 10 ampe là \(\frac{1}{{400}}\) giây.

hoạt động 4

trong hình 1.47, xét đường thẳng \(y = m\) và đồ thị hàm số \(y = \tan x\).

a) dựa vào hình 1.47, cho biết trên đoạn \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\), đồ thị hàm số \(y = \tan x\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại điểm có hoành độ là giá trị nào.

b) biểu diễn hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \tan x\) và đường thẳng \(y = m\) theo hoành độ của giao điểm trong câu a).

phương pháp giải:

quan sát hình vẽ để trả lời.

lời giải chi tiết:

a) dựa vào hình 1.47, trên đoạn \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\), đồ thị hàm số \(y = \tan x\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại điểm có hoành độ là \(a\).

b) hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \tan x\) và đường thẳng \(y = m\) lần lượt từ trái sang phải là \(a - 2\pi ,a - \pi ,a,a + \pi ,a + 2\pi \).

luyện tập 7

giải các phương trình sau:

a) \(\tan 3x = 1;\)

b) \(\tan 4x =  - 1,5;\)

c) \(\tan \left( {x + {{15}^0}} \right) =  - \sqrt 3 .\)

phương pháp giải:

\(\begin{array}{l}\tan x = m\\ \leftrightarrow \tan x = \tan \alpha \\ \leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

lời giải chi tiết:

a)

\(\begin{array}{l}\tan 3x = 1\\ \leftrightarrow \tan 3x = \tan \frac{\pi }{4}\\ \leftrightarrow 3x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{z}} \right)\\ \leftrightarrow x = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3}\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)                  

vậy phương trình có nghiệm là \(x = \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3}\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\)

b) gọi a là góc lượng giác thuộc khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) thỏa mãn \(\tan 4x =  - 1,5\)

\(\begin{array}{l}\tan 4x = \tan a\\ \leftrightarrow 4x = a + k\pi \left( {k \in \mathbb{z}} \right)\\ \leftrightarrow x = \frac{a}{4} + k\frac{\pi }{4}\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

vậy phương trình có nghiệm là \(x = \frac{a}{4} + k\frac{\pi }{4}\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\)

c)

\(\begin{array}{l}\tan \left( {x + {{15}^0}} \right) =  - \sqrt 3 \\ \leftrightarrow \tan \left( {x + {{15}^0}} \right) = \tan \left( { - {{60}^0}} \right)\\ \leftrightarrow x + {15^0} =  - {60^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\\ \leftrightarrow x =  - {75^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

vậy phương trình có nghiệm là \(x =  - {75^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\)

vận dụng 3

một người dẫn em gái của mình đến công viên để chơi xích đu. lực đẩy theo phương ngang f (n) mà người đó dùng để đẩy em gái trong trò chơi này được xác định bởi công thức \(f = mg\tan \theta \), trong đó m (kg) là khối lượng của em gái, g là gia tốc trọng trường và \(\theta \) là góc tạo bởi xích đu khi bắt đầu được đẩy với phương thẳng đứng (hình 1.49) (nguồn: https://www.khanacademy.org/science/physics/centripetal-force-and-gravitation/centripetal-forces/v/mass-swiging-in-a-horizontal-circle). xác định góc \(\theta \) khi \(f = 400\sqrt 3 \)n, m = 40 kg và g = 10 m/s2.

phương pháp giải:

thay \(f = 400\sqrt 3 \), m = 40 và g = 10 vào công thức. giải phương trình lượng giác cơ bản để tìm \(\theta \).

lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}400\sqrt 3  = 40.10.\tan \theta \\ \leftrightarrow \tan \theta  = \sqrt 3 \\ \leftrightarrow \tan \theta  = \tan {60^0}\\ \leftrightarrow \theta  = {60^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

vậy \(\theta  = {60^0}\)

hoạt động 5

trong hình 1.50, xét đường thẳng \(y = m\)và đồ thị hàm số \(y = \cot x\).

a) dựa vào hình 1.50, cho biết trên đoạn \(\left( {0;\pi } \right)\), đồ thị hàm số \(y = \cot x\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại điểm có hoành độ là giá trị nào.

b) biểu diễn hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \cot x\) và đường thẳng \(y = m\) theo hoành độ của giao điểm trong câu a).

phương pháp giải:

quan sát hình vẽ để trả lời.

lời giải chi tiết:

a) dựa vào hình 1.50, trên đoạn \(\left( {0;\pi } \right)\), đồ thị hàm số \(y = \cot x\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại điểm có hoành độ là \(a\).

b) hoành độ của tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \cot x\) và đường thẳng \(y = m\) lần lượt từ trái sang phải là \(a - 2\pi ,a - \pi ,a,a + \pi \).

luyện tập 8

giải các phương trình sau:

a) \(\cot 2x =  - 1;\)

b) \(\cot 6x = 4;\)

c) \(\cot \left( {x - {{45}^0}} \right) = \sqrt 3 .\)

phương pháp giải:

\(\begin{array}{l}\cot a = m \leftrightarrow \cot a = \cot b\\ \leftrightarrow a = b + k\pi \left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

lời giải chi tiết:

a)

\(\begin{array}{l}\cot 2x =  - 1\\ \leftrightarrow \cot 2x = \cot \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)\\ \leftrightarrow 2x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{z}} \right)\\ \leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

vậy phương trình có nghiệm là \(x =  - \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\)

b) gọi a là góc lượng giác thuộc khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) thỏa mãn \(\cot 6x = 4\)

\(\begin{array}{l}\cot 6x = \cot a\\ \leftrightarrow 6x = a + k\pi \left( {k \in \mathbb{z}} \right)\\ \leftrightarrow x = \frac{a}{6} + k\frac{\pi }{6}\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

vậy phương trình có nghiệm là \(x = \frac{a}{6} + k\frac{\pi }{6}\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\)

c)

\(\begin{array}{l}\cot \left( {x - {{45}^0}} \right) = \sqrt 3 \\ \leftrightarrow \cot \left( {x - {{45}^0}} \right) = \cot \left( {{{30}^0}} \right)\\ \leftrightarrow x - {45^0} = {30^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\\ \leftrightarrow x = {75^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\end{array}\)

vậy phương trình có nghiệm là \(x = {75^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{z}} \right)\)

Giải bài tập những môn khác

Môn Ngữ văn Lớp 11

  • Bài tập trắc nghiệm Văn Lớp 11 Cánh diều
  • Bài tập trắc nghiệm Văn Lớp 11 Cánh diều
  • Bài tập trắc nghiệm Văn Lớp 11 Chân trời sáng tạo
  • Bài tập trắc nghiệm Văn Lớp 11 Kết nối tri thức
  • Bài tập trắc nghiệm Văn Lớp 11 Chân trời sáng tạo
  • Bài tập trắc nghiệm Văn Lớp 11 Kết nối tri thức
  • Chuyên đề học tập Văn Lớp 11 Cánh diều
  • Chuyên đề học tập Văn Lớp 11 Chân trời sáng tạo
  • Chuyên đề học tập Văn Lớp 11 Kết nối tri thức
  • Đề thi, đề kiểm tra Văn Lớp 11 Kết nối tri thức
  • Đề thi, đề kiểm tra Văn Lớp 11 Chân trời sáng tạo
  • Đề thi, đề kiểm tra Văn Lớp 11 Cánh diều
  • Lý thuyết ngữ văn lớp 11
  • SBT Văn Lớp 11 Cánh diều
  • SBT Văn Lớp 11 Kết nối tri thức
  • SBT Văn Lớp 11 Chân trời sáng tạo
  • Soạn văn Lớp 11 Cánh Diều - chi tiết
  • Soạn văn Lớp 11 Cánh Diều - siêu ngắn
  • Soạn văn Lớp 11 Chân trời sáng tạo - chi tiết
  • Soạn văn Lớp 11 Kết nối tri thức siêu ngắn
  • Soạn văn Lớp 11 Cánh diều
  • Soạn văn Lớp 11 Cánh diều siêu ngắn
  • Soạn văn Lớp 11 Chân trời sáng tạo - siêu ngắn
  • Soạn văn Lớp 11 Chân trời sáng tạo siêu ngắn
  • Soạn văn Lớp 11 Kết nối tri thức - chi tiết
  • Soạn văn Lớp 11 Kết nối tri thức - siêu ngắn
  • Soạn văn Lớp 11 Chân trời sáng tạo
  • Soạn văn Lớp 11 Kết nối tri thức
  • Tác giả tác phẩm lớp 11
  • Tóm tắt, bố cục Văn Lớp 11 Kết nối tri thức
  • Tóm tắt, bố cục Văn Lớp 11 Chân trời sáng tạo
  • Tóm tắt, bố cục Văn Lớp 11 Cánh diều
  • Văn mẫu Lớp 11 Cánh diều
  • Văn mẫu Lớp 11 Kết nối tri thức
  • Văn mẫu Lớp 11 Chân trời sáng tạo
  • Môn Vật lí Lớp 11

    Môn Tiếng Anh Lớp 11

  • Bài tập trắc nghiệm Tiếng Anh Lớp 11 iLearn Smart World
  • Bài tập trắc nghiệm Tiếng Anh Lớp 11 iLearn Smart World
  • Bài tập trắc nghiệm Tiếng Anh Lớp 11 Friends Global
  • Bài tập trắc nghiệm Tiếng Anh Lớp 11 Global Success
  • Bài tập trắc nghiệm Tiếng Anh Lớp 11 Friends Global
  • Bài tập trắc nghiệm Tiếng Anh Lớp 11 Global Success
  • Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Anh Lớp 11 iLearn Smart World
  • Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Anh Lớp 11 friends Global
  • Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Anh Lớp 11 Global Success
  • Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Anh Lớp 11 Bright
  • Đề thi, đề kiểm tra Tiếng Anh Lớp 11 English Discovery
  • Lý Thuyết Tiếng Anh Lớp 11
  • SBT Tiếng Anh Lớp 11 Friends Global - Chân trời sáng tạo
  • SBT Tiếng anh Lớp 11 Bright
  • SBT Tiếng anh Lớp 11 Friends Global
  • SBT Tiếng Anh Lớp 11 iLearn Smart World
  • SBT Tiếng anh Lớp 11 iLearn Smart World
  • SBT Tiếng Anh Lớp 11 Bright
  • SBT Tiếng anh Lớp 11 English Discovery
  • SBT Tiếng Anh Lớp 11 English Discovery - Cánh buồm
  • SBT Tiếng anh Lớp 11 Global Success
  • SBT Tiếng Anh 11 Lớp 11 Global Success - Kết nối tri thức
  • SGK Tiếng Anh Lớp 11 Global Success
  • SGK Tiếng Anh 11 Lớp 11 Friends Global
  • SGK Tiếng Anh 11 Lớp 11 Bright
  • SGK Tiếng Anh 11 Lớp 11 English Discovery
  • SGK Tiếng Anh 11 Lớp 11 iLearn Smart World
  • Tiếng Anh Lớp 11 Global Success
  • Tiếng Anh Lớp 11 iLearn Smart Wolrd
  • Tiếng Anh Lớp 11 Friends Global
  • Tiếng Anh Lớp 11 English Discovery
  • Tiếng Anh Lớp 11 Bright
  • Môn Hóa học Lớp 11

    Môn Sinh học Lớp 11