[SGK Toán Lớp 10 Cánh Diều] Bài 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Hướng dẫn học bài: Bài 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn - Môn Toán học Lớp 10 Lớp 10. Đây là sách giáo khoa nằm trong bộ sách 'SGK Toán Lớp 10 Cánh Diều Lớp 10' được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết các bé sẽ nắm bài học tốt hơn.
Đề bài
Trong 1 lạng (100 g thịt bò chứa khoảng 26 g protein, 1 lạng cá rô phi chứa khoảng 20 g protein. Trung bình trong một ngày, một người phụ nữ cần tối thiểu 46 g protein. (Nguồn: https://vinmec.com và https://thanhnien.vn) Gọi x, y lần lượt là số lạng thịt bò và số lạng cá rô phi mà một người phụ nữ nên ăn trong một ngày. Viết bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y để biểu diễn lượng protein cần thiết cho một người phụ nữ trong một ngày và chỉ ra ba nghiệm của bất phương trình đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1: Biểu diễn lượng protein có trong x lạng thịt bò và y lạng cá rô phi.
Bước 2: Biểu diễn bất phương trình.
Bước 3: Tìm nghiệm của bất phương trình
Có thể lấy các cặp số: (1;1), (1;2), (2;1)
Lời giải chi tiết
Bước 1: Biểu diễn lượng protein có trong x lạng thịt bò và y lạng cá rô phi.
Lượng protein trong x lạng thịt bò là 26x (g)
Lượng protein trong y lạng cá rô phi là 20y (g)
Lượng protein trong x lạng thịt bò và y lạng cá rô phi là 26x+20y (g).
Bước 2: Biểu diễn bất phương trình.
Vì lượng protein tối thiểu là 46g nên ta có bất phương trình:
\(26x + 20y \ge 46\)
Bước 3: Tìm nghiệm của bất phương trình
Thay x=1, y=1 vào bất phương trình ta được
Thay x=2, y=1 vào bất phương trình ta được
Thay x=1, y=2 vào bất phương trình ta được
Vậy (1;1), (2;1), (1;2) là các nghiệm cần tìm.
Chú ý
Có thể chọn các nghiệm khác, miền là nghiệm nguyên.
Đề bài
Một gian hàng trưng bày bàn và ghế rộng 60 \({m^2}\). Diện tích để kê một chiếc ghế là 0,5\({m^2}\), một chiếc bàn là 1,2 \({m^2}\). Gọi x là số chiếc ghế, y là số chiếc bàn được kê.
a) Viết bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y cho phần mặt sàn để kê bàn và ghế, biết diện tích mặt sàn dành cho lưu thông tối thiểu là 12 \({m^2}\).
b) Chỉ ra ba nghiệm của bất phương trình trên.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a)
Bước 1: Biểu diễn diện tích x chiếc ghế và y chiếc bàn.
Bước 2: Biểu diễn diện tích lưu thông và cho lớn hơn hoặc bằng 12 \({m^2}\).
b) Lấy các số thỏa mãn bất phương trình.
Có thể lấy các cặp số (10;10), (10;20) và (20;10).
Lời giải chi tiết
a)
Bước 1: Biểu diễn diện tích x chiếc ghế và y chiếc bàn.
Diện tích của x chiếc ghế là \(0,5x\left( {{m^2}} \right)\) và y chiếc bàn là \(1,2y\left( {{m^2}} \right)\)
Bước 2: Biểu diễn diện tích lưu thông và cho lớn hơn hoặc bằng 12 \({m^2}\).
Tổng diện tích x chiếc ghế và y chiếc bàn là \(0,5x + 1,2y\left( {{m^2}} \right)\)
Diện tích lưu thông là \(60 - 0,5x - 1,2y\left( {{m^2}} \right)\)
Bất phương trình cần tìm là
\(\begin{array}{l}60 - 0,5x - 1,2y \ge 12\\ \Leftrightarrow 0,5x + 1,2y \le 48\end{array}\)
b)
+) Thay x=10, y=10 ta được
\(0,5.10 + 1,2.10 = 17 \le 48\)
=> (10;10) là nghiệm của bất phương trình
+) Thay x=10, y=20 ta được
\(0,5.10 + 1,2.20 = 29 \le 48\)
=> (10;20) là nghiệm của bất phương trình
+) Thay x=20, y=10 ta được
\(0,5.20 + 1,2.10 = 22 \le 48\)
=> (20;10) là nghiệm của bất phương trình
Chú ý
Ta có thể lấy các giá trị khác để thay vào, nếu thỏa mãn bất phương trình thì đó là nghiệm.
Đề bài
Nửa mặt phẳng không bị gạch (không kể đường thẳng d) ở mỗi Hình 7a, 7b, 7c là miền nghiệm của bất phương trình nào?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1: Tìm phương trình đường thẳng dạng \(y = ax + b\)
Bước 2: Lấy điểm thuộc miền nghiệm trên đồ thị thay vào biểu thức \(ax + b - y\), nếu âm thì bất phương trình là \(ax - y + b < 0\), ngược lại thì bất phương trình là \(ax - y + b > 0\)
Lời giải chi tiết
a) Giả sử đường thẳng d có dạng y = ax + b
Vì đường thẳng d qua điểm (2;0) và (0;-2) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}0 = 2a + b\\ - 2 = b\end{array} \right.\)
Suy ra, b = -2 và a = 1, tức y = x - 2
Vậy phương trình đường thẳng là \(x-y-2=0\)
Lấy điểm (3;0) thuộc miền nghiệm ta có 3-0-2=1>0
=> Bất phương trình cần tìm là \(x - y - 2 > 0\)
b) Đường thẳng qua điểm (2;0) và (0;1)
Thay x=2, y=0 vào phương trình \(y = ax + b\) ta được \(0 = 2a + b\)
Thay x=0, y=1 vào phương trình \(y = ax + b\) ta được \(1 = 0.a + b\)
=> \(a = - \frac{1}{2},b = 1\)
=> phương trình đường thẳng là \(y = - \frac{1}{2}x + 1\)
Lấy điểm (3;0) thuộc miền nghiệm ta có \( - \frac{1}{2}x + 1 - y = \frac{{ - 1}}{2} < 0\)
=> Bất phương trình cần tìm là \( - \frac{1}{2}x - y + 1 < 0\)
c) Đường thẳng qua điểm (0;0) và (1;1)
Thay x=0, y=0 vào phương trình \(y = ax + b\) ta được \(b=0\)
Thay x=1, y=1 vào phương trình \(y = ax + b\) ta được \(1 = a + b\)
Suy ra, a = 1, b = 0, tức y = x
Vậy phương trình đường thẳng là x-y=0
Lấy điểm (0;1) thuộc miền nghiệm ta có x-y=-1<0
=> Bất phương trình cần tìm là \(x - y < 0\)
Đề bài
Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau:
a) \(x + 2y < 3\);
b) \(3x - 4y \ge - 3\);
c) \(y \ge - 2x + 4\);
d) \(y < 1 - 2x\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Các bước biểu diễn miền nghiệm:
- Vẽ đường thẳng
- Thay tọa độ điểm O(0;0) vào bất phương trình
- Nếu thỏa mãn thì điểm O nằm trong miền nghiệm, ta gạch phần không chứa O
- Ngược lại thì không nằm trong miền nghiệm ta gạch phần chứa O.
Lời giải chi tiết
a) Ta vẽ đường thẳng d’:\(x + 2y = 3 \Leftrightarrow y = - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}\)
Thay tọa độ điểm O(0;0) vào bất phương trình \(x + 2y < 3\) ta được:
\(0 + 2.0 = 0 < 3\) (Luôn đúng)
Vậy O nằm trong miền nghiệm.
Ta có miền nghiệm:
b) Ta vẽ đường thẳng d:\(3x - 4y = - 3 \Leftrightarrow y = \frac{{3x}}{4} + \frac{3}{4}\)
Thay tọa độ điểm O(0;0) vào bất phương trình \(3x - 4y \ge - 3\) ta được:
\(3.0 - 4.0 = 0 \ge - 3\) (Luôn đúng)
Vậy O nằm trong miền nghiệm.
Ta có miền nghiệm:
c) Ta vẽ đường thẳng d:\(y = - 2x + 4\)
Thay tọa độ điểm O(0;0) vào bất phương trình \(y \ge - 2x + 4\) ta được:
\(0 \ge - 2.0 + 4 \Leftrightarrow 0 \ge 4\) (Vô lí)
Vậy O không nằm trong miền nghiệm.
Ta có miền nghiệm:
d) Ta vẽ đường thẳng d:\(y = 1 - 2x\)
Thay tọa độ điểm O(0;0) vào bất phương trình \(y < 1 - 2x\) ta được:
\(0 < 1 - 2.0\) (Luôn đúng)
Vậy O nằm trong miền nghiệm.
Ta có miền nghiệm:
Chú ý
Đối với các bất phương trình có dấu “<” hoặc “>” thì vẽ đường thẳng là nét đứt.
Đối với các bất phương trình có dấu “\( \le \)” hoặc “\( \ge \)” thì vẽ đường thẳng là nét liền.
Đề bài
Cặp số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình \(2x - 3y < 3\)?
a) \(\left( {0; - 1} \right)\)
b) \(\left( {2;1} \right)\)
c) \(\left( {3;1} \right)\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Thay các cặp số vào bất phương trình
- Cặp số nào thỏa mãn thì là nghiệm.
Lời giải chi tiết
a) Thay \(x = 0,y = - 1\)vào bất phương trình \(2x - 3y < 3\) ta được:
\(2.0 - 3.\left( { - 1} \right) < 3 \Leftrightarrow 3 < 3\) (Vô lý)
Vậy \(\left( {0; - 1} \right)\) không là nghiệm.
b) Thay \(x = 2,y = 1\)vào bất phương trình \(2x - 3y < 3\) ta được:
\(2.2 - 3.1 < 3 \Leftrightarrow 1 < 3\) (Luôn đúng)
Vậy \(\left( {2;1} \right)\) là nghiệm.
c) Thay \(x = 3,y = 1\)vào bất phương trình \(2x - 3y < 3\) ta được:
\(2.3 - 3.1 < 3 \Leftrightarrow 3 < 3\) (Vô lý)
Vậy \(\left( {3;1} \right)\) không là nghiệm.
Hoạt động 3
Cho bất phương trình 2x – y > 2 (3).
a) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, vẽ đường thẳng \(d:2x - y = 2 \Leftrightarrow y = 2x - 2\).
b) Xét điểm M(2;-1). Chứng tỏ (2;-1) là nghiệm của bất phương trình (3).
c) Đường thẳng d chia mặt phẳng toạ độ thành hai nửa mặt phẳng. Gạch đi nửa mặt phẳng không chứa điểm M(2;- 1).
Phương pháp giải:
a) Vẽ đường thẳng y = 2x - 2 trên mặt phẳng tọa độ.
b) Thay tọa độ điểm M vào bất phương trình (3), nếu thỏa mãn thì (2;-1) là một nghiệm của bất phương trình (3).
c) Gạch phần không chứa điểm M.
Lời giải chi tiết:
a) Cho x = 0 => y = -2.
Cho y = 0 => x = 1.
Nối hai điểm (0;-2) và (1;0) ta được:
b) Thay tọa độ điểm M vào bất phương trình (3) ta được:
\(2.2 - \left( { - 1} \right) > 2 \Leftrightarrow 5 > 2\)(Luôn đúng)
Vậy (2;-1) là một nghiệm của bất phương trình (3)
c) Ta gạch đi nửa mặt phẳng không chứa M được:
Luyện tập – Vận dụng 2
Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau:
a) \(x - 2y < 4\)
b) \(x + 3y \ge 6\).
Phương pháp giải:
Các bước biểu diễn miền nghiệm:
- Vẽ đường thẳng.
- Thay tọa độ điểm O(0;0) vào bất phương trình.
- Nếu thỏa mãn thì điểm O nằm trong miền nghiệm, ta gạch phần không chứa O.
- Ngược lại thì không nằm trong miền nghiệm ta gạch phần chứa O.
Lời giải chi tiết:
a) Ta vẽ đường thẳng d:\(x - 2y = 4 \Leftrightarrow y = \frac{x}{2} - 2\).
Cho x = 0 thì y = –2, cho y = 0 thì x = 4. Đường thẳng d đi qua 2 điểm (0;–2) và (4;0).
Thay tọa độ điểm O(0;0) vào bất phương trình \(x - 2y < 4\) ta được:
\(0 - 2.0 < 4\) (Luôn đúng).
Vậy O nằm trong miền nghiệm.
Ta có miền nghiệm:
b) Ta vẽ đường thẳng d:\(x+3y=6 \).
Cho x = 0 thì y = 2, cho y = 0 thì x = 6, do đó đường thẳng d đi qua hai điểm (0;2) và (6;0).
Thay tọa độ điểm O(0;0) vào bất phương trình \(x+3y=6 \) ta được:
\(0+3.0 < 6\).
Vậy O không nằm trong miền nghiệm.
Ta có miền nghiệm:
Hoạt động 1
Trong bài toán ở phần mở đầu, ta gọi x, y lần lượt là số bánh nướng và số bánh dẻo doanh nghiệp dự định sản xuất (x, y là số tự nhiên). Nếu điều kiện ràng buộc đối với 1 và y để lượng đường sản xuất bánh không vượt quá lượng đường đã nhập về.
Phương pháp giải:
- Đổi 60g và 50g ra kg.
- Lượng đường không vượt quá 500kg
Lời giải chi tiết:
Đổi 60g=0,06kg, 50g=0,05kg
Lượng đường cần cho x chiếc bánh nướng là 0,06x kg
Lượng đường cần cho y chiếc bánh dẻo là 0,05y kg
Vì lượng đường đã nhập về là 500kg và lượng đường sản xuất bánh không vượt quá lượng đường đã nhập về nên ta có:
\(0,06x + 0,05y \le 500\)
Luyện tập – Vận dụng 1
Tìm bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong các bất phương trình sau và chỉ ra một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn đó:
a) \(5x + 3y < 20\)
b) \(3x - \frac{5}{y} > 2\)
Phương pháp giải:
- Nhận dạng bất phương trình
- Bất phương trình có ẩn ở mẫu không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Lời giải chi tiết:
a) \(5x + 3y < 20\)
Đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Chọn \(x = 0;y = 0\)
Khi đó bất phương trình tương đương với 5.0+3.0
Vậy (0;0) là một nghiệm của bất phương trình trên.
b) \(3x - \frac{5}{y} > 2\)
Đây không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có ẩn y ở mẫu.
I. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Khái niệm
+) Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là BPT có một trong các dạng
\(ax + by \le c\;;ax + by \ge c;ax + by < c;ax + by > c\) trong đó a, b, c là những số cho trước, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn.
Ví dụ: \(2x + 3y > 10\)
2. Nghiệm
+) Mỗi cặp số \(({x_0};{y_0})\) thỏa mãn \(a{x_0} + b{y_0} + c\; < 0\)được gọi là một nghiệm của BPT đã cho.
Ví dụ: cặp số \((3;5)\) là một nghiệm của BPT \(2x + 3y > 10\) vì \(2.3 + 3.5 = 21 > 10\)
II. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn
+) Cách biểu diễn miền nghiệm của BPT \(ax + by < c\)
Bước 1: Vẽ đường thẳng \(d:ax + by = c\).
Bước 2: Lấy \(M({x_0};{y_0})\) không thuộc \(d\). Tính \(a{x_0} + b{y_0}\) và so sánh với c.
Bước 3: Kết luận
- Nếu \(a{x_0} + b{y_0} < c\) thì nửa mặt phẳng (không kể d) chứa điểm \(M\)là miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
- Nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c > 0\) thì nửa mặt phẳng (không kể d) không chứa điểm \(M\)là miền nghiệm của bất phương trình đã cho.
* Chú ý:
- Nếu \(c \ne 0\) ta thường chọn \(M\) là gốc tọa độ.
- Nếu \(c = 0\) ta thường chọn \(M\) có tọa độ \((1;0)\) hoặc \((0;1).\)
- Với BPT \(a{x_0} + b{y_0} + c \le 0\) hoặc \(a{x_0} + b{y_0} + c \ge 0\) thì miền nhiệm là nửa mặt phẳng kể cả đường thẳng d.
Giải bài tập những môn khác
Môn Ngữ văn Lớp 10
Môn Vật lí Lớp 10
Môn Tiếng Anh Lớp 10
Môn Hóa học Lớp 10
Môn Sinh học Lớp 10
Môn Lịch sử Lớp 10
Môn Địa lí Lớp 10
Môn Toán học Lớp 10
Môn GD kinh tế và pháp luật Lớp 10
Lời giải và bài tập Lớp 10 đang được quan tâm
