[SGK Toán Lớp 10 Cánh Diều] Bài 4. Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Đề bài

Có hai con tàu A và B cùng xuất phát từ hai bến, chuyển động đều theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (được coi như mặt phẳng toạ độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), sau khi xuất phát t (giờ) (\(t \ge 0\)), vị trí

của tàu A có toạ độ được xác định bởi công thức \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 35t\\y =  - 4 + 25t\end{array} \right.\) ,vị trí của tàu B có toạ độ là (4 – 30t; 3 – 40t).

a) Tính côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu A và B.

b) Sau bao lâu kể từ thời điểm xuất phát hai tàu gần nhau nhất?

c) Nếu tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu B chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

a) Tàu A di chuyển theo hướng vecto \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 35;25} \right)\)

Tàu B di chuyển theo hướng vecto \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 30; - 40} \right)\)

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai đường đi của hai tàu, ta có:

\(\cos \alpha  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\left( { - 35} \right).\left( { - 30} \right) + 25.\left( { - 40} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 35} \right)}^2} + {{25}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 30} \right)}^2} + {{\left( { - 40} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{5\sqrt {74} }}.\)

b) Sau t giờ, vị trí của tàu A là điểm M có tọa độ là: \(M\left( {3 - 35t; - 4 + 25t} \right)\)

Sau t giờ, vị trí của tàu B là điểm N có tọa độ là: \(N\left( {4 - 30t;3 - 40t} \right)\)

Do đó, \(\overrightarrow {MN}  = \sqrt {{{\left( {1 + 5t} \right)}^2} + {{\left( {7 - 65t} \right)}^2}}  = \sqrt {4250{t^2} - 900t + 50}  = \sqrt {4250{{\left( {t - \frac{9}{{85}}} \right)}^2} + \frac{{40}}{{17}}}  \ge \sqrt {\frac{{40}}{{17}}}  \approx 1,53\left( {km} \right)\)

Suy ra MN nhỏ nhất xấp xỉ 1,53km khi \(t = \frac{9}{{85}}\)

Vậy sau \(\frac{9}{{85}}\) giờ kể từ thời điểm xuất phát thì hai tàu  gần nhau nhất và cách nhau 1,53km

c) Vị trí ban đầu của tàu A tại \({M_o}\) ứng với \(t = 0\) , khi đó \({M_o}\left( {3; - 4} \right)\)

Tàu B di chuyển theo đường thẳng có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {40; - 30} \right)\) và đi qua điểm \(K\left( {4;3} \right)\) Phương trình tổng quát của là: \(40\left( {x - 4} \right) - 30\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y - 7 = 0\) \(\Delta \)

Ta có: \(d\left( {{M_o},\Delta } \right) = \frac{{\left| {4.3 - 3.\left( { - 4} \right) - 7} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{17}}{5} = 3,4\left( {km} \right)\)

Vậy nếu tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu còn tàu B di chuyển thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng 3,4km.

Đề bài

Cho ba điểm A(2;4), B(-1; 2) và C(3;-1). Viết phương trình đường thẳng đi qua B đồng thời cách đều A và C.

Lời giải chi tiết

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua B và có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\)

Vậy phương trình \(\Delta \) là: \(a\left( {x + 1} \right) + b\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow {\rm{a}}x + by + \left( {a - 2b} \right) = 0\)

Ta có: \(d\left( {A,\Delta } \right) = d\left( {C,\Delta } \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {3a + 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| {4a - 3b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3a + 2b = 4a - 3b\\3a + 2b =  - 4a + 3b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 5b\left( 1 \right)\\7a = b\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ (1) ta có thể chọn được 1 vecto pháp tuyến là: \(\overrightarrow n  = \left( {5;1} \right)\). Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \)là: \(5x + y + 3 = 0\)

Từ (2) ta có thể chọn được 1 vecto pháp tuyến là: \(\overrightarrow n  = \left( {1;7} \right)\). Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \)là: \(x + 7y - 13 = 0\)

Đề bài

Cho ba điểm A(2;- 1), B(1 ; 2) và C(4;- 2). Tính số đo góc BAC và góc giữa hai đường thẳng AB, AC.

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;3} \right);\overrightarrow {AC}  = \left( {2; - 1} \right)\)

Vậy\(\cos \left( {AB,AC} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)} \right| = \frac{{\left| { - 1.2 + 3.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \widehat {BAC} = {45^o}\)

Đề bài

Với giá trị nào của tham số m thì hai đường thẳng sau đây vuông góc?

\({\Delta _1}:mx - y + 1 = 0\) và \({\Delta _2}:2x - y + 3 = 0\).

Lời giải chi tiết

Vecto pháp tuyến của là: \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {m; - 1} \right)\)

Vecto pháp tuyến của là: \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2; - 1} \right)\)

Vậy ai đường thẳng \({\Delta _1}\),\({\Delta _2}\)  vuông góc với nhau khi và chỉ khỉ \(\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} \) vuông góc với nhau tức là \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 0 \Leftrightarrow 2m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{ - 1}}{2}\)

Đề bài

Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:

a)\(A\left( {1; - 2} \right){\rm{ }}v\`a {\rm{ }}{\Delta _1}:{\rm{ }}3x - y + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) ;

b) B(-3; 2) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + t\\y = 1 - 2t\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết

a) Khoảng cách từ điểm A đến \({\Delta _1}\) là: \(d\left( {A,{\Delta _1}} \right) = \frac{{\left| {3.1 - 1.\left( { - 2} \right) + 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{9}{{\sqrt {10} }}\)

b) Phương trình tổng quát của đường thẳng \({\Delta _2}\)là: \(2x + y + 3 = 0\)

Khoảng cách từ điểm B đến \({\Delta _2}\) là: \(d\left( {A,{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 3} \right) + 1.2 + 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)

Đề bài

Tính số đo góc giữa hai đường thẳng \({d_1}:2x--y + 5 = 0\) và\({d_2}:x - 3y + 3 = 0\) .

Lời giải chi tiết

Vecto pháp tuyến của đường thẳng \({d_1}\) là: \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2; - 1} \right)\)

Vecto pháp tuyến của đường thẳng \({d_2}\) là: \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1; - 3} \right)\)

Ta có:  \(\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( 2 \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Vậy \(\left( {{d_1},{d_2}} \right) = {45^o}\)

Đề bài

Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau

a) \({d_1}:3x + 2y--5 = 0\) và \({d_2}:x - 4y + 1 = 0\) ;

b) \({d_3}:x - 2y + 3 = 0\) và \({d_4}: - {\rm{ }}2x + 4y + 10 = 0\) ;

c) \({d_5}:4x + 2y - 3 = 0\) và \({d_6}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{1}{2} + t\\y = \frac{5}{2} - 2t\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết

a) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y - 5 = 0\\x - 4y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{9}{7}\\y = \frac{4}{7}\end{array} \right.\)

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất nên 2 đường thẳng cắt nhau.

b) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_3},{d_4}\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 3 = 0\\ - 2x + 4y + 10 = 0\end{array} \right.\) .

Hệ phương trình vô nghiệm.nên 2 đường thẳng song song với nhau

c) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \({d_5},{d_6}\) tương ứng với t thỏa mãn phương trình:

\(4\left( { - \frac{1}{2} + t} \right) + 2\left( {\frac{5}{2} - 2t} \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow 0t = 0\) .

Phương trình này có nghiệm với mọi t. Do đó \({d_5} \equiv {d_6}\).

A. Lý thuyết

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} \), \(\overrightarrow {{u_2}} \). Khi đó:

a) \({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow {{u_1}} \), \(\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương.

b) \({\Delta _1}\) song song với \({\Delta _2}\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow {{u_1}} \), \(\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương và có một điểm thuộc một đường thẳng mà không thuộc đường thẳng còn lại.

Nhận xét: Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có phương trình lần lượt là:

\({a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) và \({a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\).

Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\\{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\end{array} \right.\) (I).

Khi đó:

a) \({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\) khi và chỉ khi hệ (I) có nghiệm duy nhất.

b) \({\Delta _1}\) // \({\Delta _2}\) khi và chỉ khi hệ (I) vô nghiệm.

c) \({\Delta _1}\) trùng \({\Delta _2}\) khi và chỉ khi hệ (I) có vô số nghiệm.

2. Góc giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau tạo thành bốn góc:

- Nếu hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) không vuông góc với nhau thì góc nhọn trong bốn góc tạo thành được gọi là góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).

- Nếu hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau thì ta nói góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) bằng \({90^o}\).

Quy ước: Khi \({\Delta _1}\) song song hoặc trùng với \({\Delta _2}\), ta nói góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) bằng \({0^o}\).

Nhận xét: Góc giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng \({90^o}\), tức là \(({\Delta _1},{\Delta _2}) \le {90^o}\).

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vecto chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}}  = ({a_1};{b_1})\), \(\overrightarrow {{u_2}}  = ({a_2};{b_2})\). Ta có:

Nhận xét:

+ \({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} = 0\).

+ Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vecto pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} \), \(\overrightarrow {{n_2}} \). Ta có:

\(\cos ({\Delta _1},{\Delta _2}) = \left| {\cos (\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} )} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\).

3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong trường hợp tổng quát, ta có:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(ax + by + c = 0\) \(({a^2} + {b^2} > 0)\) và điểm \({M_0}({x_0};{y_0})\). Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(\Delta \), kí hiệu là \(d(M,\Delta )\), được tính bởi công thức sau:

Chú ý: Nếu \(M \in \Delta \) thì \(d(M,\Delta ) = 0\).

B. Bài tập

Bài 1: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:

a) \({\Delta _1}:2x - y + 1 = 0\) và \({\Delta _2}: - x + 2y + 2 = 0\).

b) \({\Delta _3}:x - y - 1 = 0\) và \({\Delta _4}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.\).

Giải:

a) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = (1;2)\), đường thẳng \({\Delta _2}\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = ( - 2; - 1)\).

Do \(\frac{1}{{ - 2}} \ne \frac{2}{{ - 1}}\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương, suy ra \({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\).

b) Đường thẳng \({\Delta _3}\), \({\Delta _4}\) lần lượt có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_3}}  = (1;1)\) và \(\overrightarrow {{u_4}}  = (2;2)\). Suy ra \(\overrightarrow {{u_4}}  = 2\overrightarrow {{u_3}} \). Chọn t = 0, ta có điểm \(M(1;3) \in {\Delta _4}\). Do \(1 - 3 - 1 \ne 0\) nên \(M(1;3) \notin {\Delta _3}\).

Vậy \({\Delta _3}\) // \({\Delta _4}\).

Bài 2: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

\({\Delta _1}:x - 2y + 1 = 0\) và \({\Delta _2}:2x - 4y + 2 = 0\).

Giải:

Tọa độ giao điểm của đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 1 = 0\\2x - 4y + 2 = 0\end{array} \right.\).

Hệ trên có vô số nghiệm. Như vậy, \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vô số điểm chung, tức hai đường thẳng trên trùng nhau.

Bài 3: Tính số đo góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + \sqrt 3 {t_1}\\y = 1 + {t_1}\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + \sqrt 3 {t_2}\\y = 4 - {t_2}\end{array} \right.\).

b) \({\Delta _1}:3x + y - 10 = 0\) và \({\Delta _2}: - 2x + y - 7 = 0\).

Giải:

a) \({\Delta _1}\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {\sqrt 3 ;1} \right)\). \({\Delta _2}\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {\sqrt 3 ; - 1} \right)\).

Do đó, ta có: \(\cos ({\Delta _1},{\Delta _2}) = \frac{{\left| {\sqrt 3 .\sqrt 3  + 1.( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{1}{2}\).

Vậy \(({\Delta _1},{\Delta _2}) = {60^o}\).

b) \({\Delta _1}\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {3;1} \right)\). \({\Delta _2}\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( { - 2;1} \right)\).

Do đó, ta có: \(\cos ({\Delta _1},{\Delta _2}) = \left| {\cos (\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} )} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {3.( - 2) + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} .\sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy \(({\Delta _1},{\Delta _2}) = {45^o}\).

Bài 4: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(\Delta \) trong mỗi trường hợp sau:

a) M(-2;1) và \(\Delta :2x - 3y + 5 = 0\).

b) M(1;-3) và \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 3t\\y = 2 - 4t\end{array} \right.\).

Giải:

a) Ta có: \(d(M,\Delta ) = \frac{{\left| {2.( - 2) - 3.1 + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 3)}^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt {13} }} = \frac{{2\sqrt {13} }}{{13}}\).

b) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm N(-2;2) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (4;3)\).

Phương trình đường thẳng \(\Delta \) là \(4(x + 2) + 3(y - 2) = 0\). Từ đó, ta nhận được phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) là \(4x + 3y + 2 = 0\).

Vậy \(d(M,\Delta ) = \frac{{\left| {4.1 + 3.( - 3) + 2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{3}{5}\).