[SGK Toán Lớp 10 Cánh Diều] Bài 1. Hàm số và đồ thị

Đề bài

Một lớp muốn thuê một chiếc xe khách cho chuyến tham quan với tổng đoạn đường cần di chuyển trong khoảng từ 550 km đến 600 km, có hai công ty được tiếp cận để tham khảo giá.

Công ty A có giá khởi đầu là 3,75 triệu đồng cộng thêm 5 000 đồng cho mỗi ki-lô-mét chạy xe.

Công ty B có giá khởi đầu là 2,5 triệu đồng cộng thêm 7 500 đồng cho mỗi ki-lô-mét chạy xe. Lớp đó nên chọn công ty nào để chi phí là thấp nhất?

Lời giải chi tiết

Công ty A: \({y_A} = 3750 + 5.x\)(nghìn đồng)

Công ty B: \({y_B} = 2500 + 7,5.x\)(nghìn đồng)

Với \(550 \le x \le 600\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{y_A} - {y_B}=\left( {3750 + 5.x} \right) - \left( {2500 + 7,5x} \right)\\ = 1250 - 2,5x\end{array}\)

Mà \(550 \le x \le 600\)\( \Leftrightarrow 2,5.550 \le 2,5x \le 2,5.600\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1250 - 1370 \ge 1250 - 2,5x \ge  - 250\\ \Leftrightarrow  - 250 \le 1250 - 2,5x \le  - 120\\ \Rightarrow {y_A} - {y_B} < 0\end{array}\)

Vậy chi phí thuê xe công ty A thấp hơn.

Đề bài

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như Hình 9. Chỉ ra khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của hàm số \(y = f\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết

Từ đồ thị hàm số ta thấy khi x tăng từ -3 đến -1 và từ -1 đến 0 thì đồ thị đi lên nên hàm số đồng biến trên các khoảng (-3;-1) và (-1;0).

Khi x tăng từ 0 đến 2 thì đồ thị đi xuống nên hàm số nghịch biến trên (0;2).

Đề bài

Cho hàm số \(y = \frac{1}{x}\). Chứng tỏ hàm số đã cho:

a) Nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\);

b) Nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).

Lấy \({x_1},{x_2} \in \left( {0; + \infty } \right)\) sao cho \({x_1} < {x_2}\).

Xét \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{1}{{{x_1}}} - \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_2} - {x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}\)

Do \({x_1} < {x_2}\) nên \({x_2} - {x_1} > 0\)

\({x_1},{x_2} \in \left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow {x_1}{x_2} > 0\)

\( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) > 0 \Leftrightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\)

Vậy hàm số nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

b) Lấy \({x_1},{x_2} \in \left( { - \infty ;0} \right)\) sao cho \({x_1} < {x_2}\).

Xét \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{1}{{{x_1}}} - \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_2} - {x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}\)

Do \({x_1} < {x_2}\) nên \({x_2} - {x_1} > 0\)

\({x_1},{x_2} \in \left( { - \infty ;0} \right) \Rightarrow {x_1}{x_2} > 0\)(Cùng dấu âm nên tích cũng âm)

\( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) > 0 \Leftrightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\)

Vậy hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\).

Đề bài

Cho đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) như Hình 8.

a) Trong các điểm có tọa độ \(\left( {1; - 2} \right),\left( {0;0} \right),\left( {2; - 1} \right)\), điểm nào thuộc đồ thị hàm số? Điểm nào không thuộc đồ thị hàm số?

b) Xác định \(f\left( 0 \right);f\left( 3 \right)\).

c) Tìm điểm thuộc đồ thị có tung độ bằng 0.

Lời giải chi tiết

a) Quan sát đồ thị:

điểm \(\left( {1; - 2} \right)\) (tức là có x =1; y=-2) thuộc đồ thị.

điểm \(\left( {2; - 1} \right)\) (tức là có x=2; y=-1) thuộc đồ thị hàm số.

điểm (0;0) không thuộc đồ thị hàm số.

b) Từ điểm trên Ox: \(x = 0\) ta kẻ đường thẳng song song với Oy ta được: \(f\left( 0 \right) =  - 1\)

Từ điểm trên Ox: \(x = 3\) ta kẻ đường thẳng song song với Oy ta được: \(f\left( 3 \right) = 0\)

c) Giao điểm của đồ thị và trục Ox là điểm \(\left( {3;0} \right)\).

Đề bài

Cho hàm số \(y =  - 2{x^2}\).

a) Điểm nào trong các điểm có tọa độ \(\left( { - 1; - 2} \right),\left( {0;0} \right),\left( {0;1} \right),\left( {2021;1} \right)\) thuộc đồ thị của hàm số trên?

b) Tìm những điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ lần lượt bằng \( - 2;3\) và 10.

c) Tìm những điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ bằng \( - 18\).

Lời giải chi tiết

a)

+) Thay tọa độ \(\left( { - 1; - 2} \right)\) vào hàm số \(y =  - 2{x^2}\) ta được:

\( - 2 =  - 2.{\left( { - 1} \right)^2}\)(Đúng)

=> \(\left( { - 1; - 2} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y =  - 2{x^2}\).

+) Thay tọa độ \(\left( {0;0} \right)\) vào hàm số \(y =  - 2{x^2}\) ta được:

\(0 =  - {2.0^2}\)(Đúng)

=> \(\left( {0;0} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y =  - 2{x^2}\).

+) Thay tọa độ \(\left( {0;1} \right)\) vào hàm số \(y =  - 2{x^2}\) ta được:

\(1 =  - {2.0^2} \Leftrightarrow 1 = 0\)(Vô lí)

=> \(\left( {0;1} \right)\) không thuộc đồ thị hàm số \(y =  - 2{x^2}\).

+) Thay tọa độ \(\left( {2021;1} \right)\) vào hàm số \(y =  - 2{x^2}\) ta được:

\(1 =  - {2.2021^2}\)(Vô lí)

=> \(\left( {2021;1} \right)\) không thuộc đồ thị hàm số \(y =  - 2{x^2}\).

b)

+) Thay \(x =  - 2\) vào hàm số \(y =  - 2{x^2}\) ta được:

\(y =  - 2.{\left( { - 2} \right)^2} =  - 8\)

+) Thay \(x = 3\) vào hàm số \(y =  - 2{x^2}\) ta được:

\(y =  - {2.3^2} =  - 18\)

+) Thay \(x = 10\) vào hàm số \(y =  - 2{x^2}\) ta được:

\(y =  - 2.{\left( {10} \right)^2} =  - 200\)

c) Thay \(y =  - 18\) vào hàm số \(y =  - 2{x^2}\) ta được:

\( - 18 =  - 2{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x =  \pm 3\)

Vậy các điểm có tọa độ (3;-18) và (-3;-18) thuộc đồ thị hàm số có tung độ bằng -18.

Đề bài

Theo quyết định số 2019/QĐ-BĐVN ngày 01/11/2018 của Tổng công ty Bưu điện Việt Nam, giá cước dịch vụ Bưu chính phổ cập đối với dịch vụ thư cơ bản và bưu thiếp trong nước có không lượng đến 250g như trong bảng sau:

a) Số tiền dịch vụ thư cơ bản phải trả y (đồng) có là hàm số của khối lượng thư cơ bản x(g) hay không? Nếu đúng, hãy xác định những công thức tính y.

b) Tính số tiền phải trả khi bạn Dương gửi thư có khối lượng 150g, 200g.

Lời giải chi tiết

a) Ta thấy với mỗi giá trị của x có đúng 1 giá trị của y tương ứng nên y là hàm số của x.

Công thức tính y:

\(y = \left\{ \begin{array}{l}2000{\rm{ khi }}x \le 20\\6000{\rm{ khi }}20 < x \le 100\\8000{\rm{ khi }}100 < x \le 250\end{array} \right.\)

b) Với x=150 thì y=8000

Với x=200 thì y=8000

Đề bài

Bảng 1 dưới đây cho biết chỉ số \(P{M_{2,5}}\) (bụi mịn) ở thành phố Hà Nội từ tháng 1 đến tháng 12 của năm 2019.

(Nguồn: Báo cáo chất lượng không khí thế giới 2019)

a) Nêu chỉ số \(P{M_{2,5}}\) trong tháng 2; tháng 5; tháng 10.

b) Chỉ số \(P{M_{2,5}}\) có phải là hàm số của tháng không? Tại sao?

Lời giải chi tiết

a) Từ bảng ta thấy:

Tháng 2: chỉ số \(P{M_{2,5}}\) là 36,0\(\left( {\mu g/{m^3}} \right)\)

Tháng 5: chỉ số \(P{M_{2,5}}\) là 45,8\(\left( {\mu g/{m^3}} \right)\)

Tháng 10: chỉ số \(P{M_{2,5}}\) là 43,2\(\left( {\mu g/{m^3}} \right)\)

b) Chỉ số \(P{M_{2,5}}\) là hàm số của tháng vì với mỗi tháng có đúng một chỉ số \(P{M_{2,5}}\) tương ứng.

Đề bài

Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:

a) \(y =  - {x^2}\)

b) \(y = \sqrt {2 - 3x} \)

c) \(y = \frac{4}{{x + 1}}\)

d) \(y = \left\{ \begin{array}{l}1{\rm{ khi }}x \in \mathbb{Q}\\0{\rm{ khi }}x \in \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết

a) Ta thấy hàm số có nghĩa với mọi số thực nên \(D = \mathbb{R}\)

b)

Điều kiện: \(2 - 3x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{2}{3}\)

Vậy tập xác định: \(S = \left( { - \infty ;\frac{2}{3}} \right]\)

c) Điều kiện: \(x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne  - 1\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

d) Ta thấy hàm số có nghĩa với mọi \(x \in \mathbb{Q}\) và \(x \in \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}\) nên tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Đề bài

Galileo Galilei (1564 - 1642). sinh tại thành phố Pisa (Italia). là nhà bác học vī đại của thời kì Phục Hưng. Ông được mệnh danh là “cha đẻ của khoa học hiện đại”. Trước Galileo. người ta tin rằng vật nặng rơi nhanh hơn vật nhẹ, ông đã bác bỏ điểu này bằng thí nghiệm nổi tiếng ở tháp nghiêng Pisa. Từ thí nghiệm của Galileo, các nhà khoa học sau này được truyển cảm hứng rằng chúng ta chỉ có thể rút ra tri thúc khoa học từ các quy luật khách quan của tự nhiên, chứ không phải từ niềm tin.

Làm thế nào để mô tả được mối liên hệ giữa thời gian t và quãng đuờmg đi đuợc S của vật rơi tự do? Làm thế nào để có được hình ảnh hình học mình hoạ mối liên hệ giữa hai đại lượng đó?

Lời giải chi tiết

+) Mối liên hệ là công thức tính quãng đường S (m) đi được của vật rơi tự do theo thời gian t (s) là \(S = \dfrac{1}{2}g{t^2}\). Trong đó g là gia tốc rơi tự do, \(g \approx 9,8m/{s^2}\).

+) Với mỗi giá trị của t, cho ta một giá trị tương ứng của S. Khi đó hình ảnh hình học mình hoạ mối liên hệ giữa hai đại lượng chính là đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2}.g{x^2}\;(g \approx 9,8m/{s^2})\)

I. Hàm số

1. Định nghĩa:

Cho \(\emptyset  \ne D \subset \mathbb{R}\)

Nếu với mỗi \(x \in D\), ta xác định được y duy nhất (\(y \in \mathbb{R}\)) thì ta có một hàm số.

+) Tên gọi:

x là biến số, y là hàm số của x

D là tập xác định

\(T = \left\{ {y|x \in D} \right\}\) là tập giá trị của hàm số.

+) Kí hiệu hàm số: \(y = f(x),\;x \in D\)

2. Cách cho hàm số

a. Hàm số cho bằng công thức

TXĐ của hàm số \(y = f(x)\) là tập hợp tất cả các \(x \in \mathbb{R}\) sao cho \(f(x)\) có nghĩa.

b. Hàm số cho bằng nhiều công thức.

Ví dụ: \(y = \left\{ \begin{array}{l}3x + 1\quad (x \ge 1)\\5x - 1\quad (x < 1)\end{array} \right.\)

c. Hàm số không cho bằng công thức.

Trong thực tiễn, có những tình huống dẫn tới những hàm số không thể cho bằng công thức. Chúng có thể được cho bằng bảng hoặc biểu đồ.

II. Đồ thị hàm số

+) Hàm số \(y = f(x)\) xác định trên D, Khi đó đồ thị \((C) = \left\{ {M(x;f(x))|x \in D} \right\}\)

+) Điểm \(M({x_M};{y_M})\) thuộc đồ thị hàm số \(y = f(x)\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} \in D\\{y_M} = f({x_M})\end{array} \right.\)

III. Sự biến thiên của hàm số

1.  Khái niệm:

+) Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\)

- Hàm số đồng biến trên khoảng \((a;b)\) nếu: \(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\)

- Hàm số nghịch biến trên khoảng \((a;b)\) nếu: \(\forall {x_1},{x_2} \in (a;b),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})\)

+) Bảng biến thiên

Mũi tên đi xuống: diễn tả hàm số nghịch biến

Mũi tên đi lên: diễn tả hàm số đồng biến

2. Mô tả hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến bằng đồ thị:

+) Trên khoảng \((a;b)\)

- Hàm số đồng biến (tăng) thì đồ thị có dạng đi lên từ trái sang phải.

- Hàm số nghịch biến (giảm) thì đồ thị có dạng đi xuồng từ trái sang phải.