[SGK Toán Lớp 10 Cánh Diều] Bài 2. Giải tam giác

Đề bài

Một người đi dọc bờ biển từ vị trí A đến vị trí B và quan sát một ngọn hải đăng. Góc nghiêng của phương quan sát từ các vị trí A, B tới ngọn hải đăng với đường đi của người quan sát là \({45^o}\) và \({75^o}\). Biết khoảng cách giữa hai vị trí A, B là 30 m (Hình 32). Ngọn hải đăng cách bờ biển bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Lời giải chi tiết

Gọi C là vị trí ngọn hải đăng và H là hình chiếu của C trên AB.

Khi đó CH là khoảng cách từ ngọn hải đăng tới bờ biển.

Ta có: \( \widehat {ACB} = \widehat {HBC} - \widehat {BAC} = {75^o} - {45^o} = {30^o}; \,  \widehat {ABC} = {180^o} - {75^o} = {105^o}\)

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

\(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}\)

\( \Rightarrow AC = \sin B.\frac{{AB}}{{\sin C}} = \sin {105^o}.\frac{{30}}{{\sin {{30}^o}}} \approx 58\)

Tam giác ACH vuông tại H nên ta có:

\(CH = \sin A.AC = \sin {45^o}.58 \approx 41\)

Vậy ngọn hải đăng cách bờ biển 41 m.

Đề bài

Để tính khoảng cách giữa hai địa điểm A và B mà ta không thể đi trực tiếp từ A đến B (hai địa điểm nằm ở hai bên bờ một hồ nước, một đầm lầy, …), người ta tiến hành như sau: Chọn một địa điểm C sao cho ta đo được các khoảng cách AC, CB và góc ACB. Sau khi đo, ta nhận được: AC = 1 km, CB = 800 m và \(\widehat {ACB} = {105^o}\) (Hình 31). Tính khoảng cách AB (làm tròn kết quả đến hàng phần mười đơn vị mét).

Lời giải chi tiết

Đổi: 1 km = 1000 m. Do đó AC = 1000 m.

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

\(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2.AC.BC.\cos C\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A{B^2} = {1000^2} + {800^2} - 2.1000.800.\cos {105^o}\\ \Rightarrow A{B^2} \approx 2054110,5\\ \Rightarrow AB \approx 1433,2\end{array}\)

Vậy khoảng cách AB là 1433,2 m.

Đề bài

Tính độ dài cạnh AB trong mỗi trường hợp sau:

Lời giải chi tiết

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

\(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}\)

\( \Rightarrow \sin B = \frac{{AC.\sin A}}{{BC}} = \frac{{5,2.\sin {{40}^o}}}{{3,6}} \approx 0,93\)

\( \Rightarrow \widehat B \approx 68,{2^o}\) hoặc \(\widehat B \approx 111,{8^o}\)

Trường hợp 1: (Hình 29) \(\widehat B \approx 68,{2^o}\)

Ta có: \(\widehat C = {180^o} - (\widehat A + \widehat B) = {180^o} - ({40^o} + 68,{2^o}) = 71,{8^o}\)

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

\(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}\)

\( \Rightarrow AB = \sin C.\frac{{BC}}{{\sin A}} = \sin 71,{8^o}.\frac{{3,6}}{{\sin {{40}^o}}} \approx 5,32\)

Trường hợp 2: (Hình 30)\(\widehat B \approx 111,{8^o}\)

Ta có: \(\widehat C = {180^o} - (\widehat A + \widehat B) = {180^o} - ({40^o} + 111,{8^o}) = 28,{2^o}\)

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

\(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}\)

\( \Rightarrow AB = \sin C.\frac{{BC}}{{\sin A}} = \sin 28,{2^o}.\frac{{3,6}}{{\sin {{40}^o}}} \approx 2,65\)

Vậy ở hình 29 thì AB = 5,32m; hình 30 thì AB = 2,65m.

Đề bài

Cho tam giác ABC có \(AB = 12,AC = 15,BC = 20.\) Tính:

a) Số đo các góc A, B, C.

b) Diện tích tam giác ABC.

Lời giải chi tiết

Ta có: \(a = BC = 20;\;b = AC = 15;\;c = AB = 12.\)

a) Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:

 \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}};\;\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\)

\( \Rightarrow \cos A = \frac{{{{15}^2} + {{12}^2} - {{20}^2}}}{{2.15.12}};\;\cos B = \frac{{{{20}^2} + {{12}^2} - {{15}^2}}}{{2.20.12}}\)

\( \Rightarrow \cos A =  - \frac{{31}}{{360}};\;\cos B = \frac{{319}}{{480}}\)

\( \Rightarrow \widehat A = 94,{9^o};\;\widehat B = 48,{3^o}\)

\( \Rightarrow \widehat C = {180^o} - \left( {94,{9^o} + 48,{3^o}} \right) = 36,{8^o}\)

b)

Diện tích tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}.bc.\sin A = \frac{1}{2}.15.12.\sin 94,{9^o} \approx 89,7.\)

Đề bài

Cho tam giác ABC có \(AB = 100,\widehat B = {100^o},\widehat C = {45^o}.\) Tính:

a) Độ dài các cạnh AC, BC

b) Diện tích tam giác ABC.

Lời giải chi tiết

a)

Ta có: \(\widehat A = {180^o} - (\widehat B + \widehat C)\) \( \Rightarrow \widehat A = {180^o} - ({100^o} + {45^o}) = {35^o}\)

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

\(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{BC}}{{\sin A}}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = \sin B.\frac{{AB}}{{\sin C}}\\BC = \sin A.\frac{{AB}}{{\sin C}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = \sin {100^o}.\frac{{100}}{{\sin {{45}^o}}} \approx 139,3\\BC = \sin {35^o}.\frac{{100}}{{\sin {{45}^o}}} \approx 81,1\end{array} \right.\)

b)

Diện tích tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}.BC.AC.\sin C = \frac{1}{2}.81,1.139,3.\sin {45^o} \approx 3994,2.\)

Đề bài

Cho tam giác ABC có \(AB = 5,BC = 7,\widehat A = {120^o}.\) Tính độ dài cạnh AC.

Lời giải chi tiết

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

\(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{BC}}{{\sin A}}\)

\( \Rightarrow \sin C = \sin A.\frac{{AB}}{{BC}} = \sin {120^o}.\frac{5}{7} = \frac{{5\sqrt 3 }}{{14}}\)

\( \Rightarrow \widehat C \approx 38,{2^o}\) hoặc \(\widehat C \approx 141,{8^o}\) (Loại)

Ta có: \(\widehat A = {120^o},\widehat C = 38,{2^o}\)\( \Rightarrow \widehat B = {180^o} - \left( {{{120}^o} + 38,{2^o}} \right) = 21,{8^o}\)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

\(\begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.\cos B\\ \Leftrightarrow A{C^2} = {5^2} + {7^2} - 2.5.7.\cos 21,{8^o}\\ \Rightarrow A{C^2} \approx 9\\ \Rightarrow AC = 3\end{array}\)

Vậy độ dài cạnh AC là 3.

Đề bài

Cho tam giác ABC có \(BC = 12,CA = 15,\widehat C = {120^o}.\) Tính:

a) Độ dài cạnh AB.

b) Số đo các góc A, B.

c) Diện tích tam giác ABC.

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

\(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2.AC.BC.\cos C\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow A{B^2} = {15^2} + {12^2} - 2.15.12.\cos {120^o}\\ \Leftrightarrow A{B^2} = 549\\ \Leftrightarrow AB \approx 23,43\end{array}\)

b) Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

\(\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}\)

\( \Rightarrow \sin A = \frac{{BC}}{{AB}}.\sin C = \frac{{12}}{{23,43}}.\sin {120^o} \approx 0,44\)

\( \Rightarrow \widehat A \approx {26^o}\) hoặc \(\widehat A \approx {154^o}\) (Loại)

Khi đó: \(\widehat B = {180^o} - ({26^o} + {120^o}) = {34^o}\)

c)

Diện tích tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}CA.CB.\sin C = \frac{1}{2}.15.12.\sin {120^o} = 45\sqrt 3 \)

Đề bài

Luyện tập – vận dụng 2 trang 76 SGK Toán 10 tập 1 – Cánh Diều

Từ trên nóc của một tòa nhà cao 18,5 m, bạn Nam quan sát một cái cây cách tòa nhà 30 m và dùng giác kế đo được góc lệch giữa phương quan sát gốc cây và phương nằm ngang là \({34^o}\), góc lệch giữa phương quan sát ngọn cây và phương nằm ngang là \({24^o}\). Biết chiều cao của chân giác kế là 1,5 m. Chiều cao của cái cây là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Lời giải chi tiết

Gọi A là vị trí đứng của Nam, B là điểm cao nhất của cây, C là vị trí gốc cây.

Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Ta có hình vẽ:

TH1: Cây cao hơn tòa nhà

Ta có: \(\tan {24^ \circ } = \frac{{BH}}{{AH}} \Rightarrow BH = 30.\tan {24^ \circ } \approx 13,357\)

\( \Rightarrow BC = BH + HC \approx 13,357 + 1,5 + 18,5 = 33,357(m)\)

TH2: Cây thấp hơn tòa nhà

Ta có: \(\tan {24^ \circ } = \frac{{BH}}{{AH}} \Rightarrow BH = 30.\tan {24^ \circ } \approx 13,357\)

\( \Rightarrow BC = HC -HB  \approx  1,5 + 18,5 - 13,357= 6,643(m)\)

Đề bài

Từ xa xưa, con người đã cần đo đạc các khoảng cách mà không thể trực tiếp đo được. Chẳng hạn, để đo khoảng cách từ vị trí A trên bờ biển tới một hòn đảo (hay con tàu,...) trên biển, người xưa đã tìm ra một cách đo khoảng cách đó như sau: Từ vị trí A, đo góc nghiêng \(\alpha\) so với bờ biển tới một vị trí C quan sát được trên đảo. Sau đó di chuyển dọc bờ biển đến vị trí B cách A một khoảng d và tiếp tục đo góc nghiêng \(\beta\) so với bờ biển tới vị trí C đã chọn (Hình 18).Bằng cách giải tam giác ABC,họ tính được khoảng cách AC.

Giải tam giác được hiểu như thế nào?

Lời giải chi tiết

Giải tam giác là việc đi tìm một số yếu tố của tam giác khi đã biết các yếu tố khác của tam giác đó.

Trong trường hợp này, giải tam giác ABC được hiểu là tìm cạnh AC khi biết cạnh AB, góc A và góc B.

Áp dụng định lí sin ta có:

\(\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}\)

Mà \(AB=d, \hat {B} =\beta; \hat {C} =180^o-\alpha -\beta \)

\(\Rightarrow AC = \sin \beta \frac{d}{{\sin \left( {{{180}^o} - \alpha  - \beta } \right)}}\)

A. Lý thuyết

1. Giải tam giác

Một tam giác hoàn toàn xác định nếu biết một trong các dữ kiện:

- Biết độ dài hai cạnh và độ lớn góc xen giữa hai cạnh đó.

- Biết độ dài ba cạnh.

- Biết độ dài một cạnh và hai góc kề cạnh đó.

2. Tính diện tích tam giác

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c, \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\). Khi đó, diện tích tam giác ABC có thể tính bằng các công thức:

\(S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ca\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C\)

\(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \) (công thức Heron)

3. Áp dụng vào bài toán thực tiễn

Sử dụng các hệ thức lượng đã học, định lí sin, côsin, công thức tính diện tích tam giác để áp dụng vào các bài toán thực tiễn.

* Tìm hiểu thêm

Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a. Gọi R, r, p và S lần lượt là bán kính đường tròn ngoài tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp, nửa chu vi và diện tích của tam giác ABC.

a) Công thức độ dài đường trung tuyến

Gọi \({m_a},{m_b},{m_c}\) là độ dài các đường trung tuyến lần lượt xuất phát từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC. Ta có:

b) Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

B. Bài tập

Bài 1: Cho tam giác ABC có:

a) AB = 15, AC = 35, \(\widehat A = {60^o}\). Tính cạnh BC.

Giải:

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC\cos A = {15^2} + {35^2} - 2.15.35.\cos {60^o} = 925\).

Do đó \(BC = \sqrt {925}  \approx 30,4\).

b) AB = 6, AC = 10, BC = 14. Tính góc A.

Giải:

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:

\(\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}} = \frac{{{6^2} + {{10}^2} - {{14}^2}}}{{2.6.10}} =  - 0,5\).

Do đó \(\widehat A = {120^o}\).

c) BC = 100, \(\widehat B = {60^o}\), \(\widehat C = {40^o}\). Tính góc A và các cạnh AB, AC (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Giải:

Ta có \(\widehat A = {180^o} - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = {180^o} - \left( {{{60}^o} + {{40}^o}} \right) = {80^o}\).

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có: \(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{CA}}{{\sin B}}\).

Do đó:

\(AB = \frac{{BC\sin C}}{{\sin A}} = \frac{{100\sin {{40}^o}}}{{\sin {{80}^o}}} \approx 65,3\).

\(AC = \frac{{BC\sin B}}{{\sin A}} = \frac{{100\sin {{60}^o}}}{{\sin {{80}^o}}} \approx 87,9\).

Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 7,5, AC = 15,5, \(\widehat A = {75^o}\). Tính diện tích S của tam giác ABC (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Giải:

Ta có \(S = \frac{1}{2}AB.AC\sin A = \frac{1}{2}.7,5.15,5.\sin {75^o} \approx 56,1\).

Bài 3: Mảnh vườn hình tam giác gia đình bạn Nam có chiều dài các cạnh là MN = 20 m, NP = 28 m, MP = 32 m. Hỏi diện tích mảnh vườn của gia đình bạn Nam là bao nhiêu mét vuông (làm tròn đến hàng phần mười)?

Giải:

Ta có \(p = \frac{{20 + 28 + 32}}{2} = 40\) (m).

Diện tích mảnh vườn là: \(S = \sqrt {40(40 - 20)(40 - 28)(40 - 32)}  \approx 277,1\) \(({m^2})\).

Bài 4: Đứng ở vị trí A trên bờ biển, bạn Minh đo được góc nghiêng so với bờ biển tới một vị trí C trên đảo là 30°. Sau đó đi chuyển dọc bờ biển đến vị trí B cách A một khoảng 100 m và đo được góc nghiêng so với bờ biển tới vị trí C đã chọn là 40°. Tính khoảng cách từ vị trí C trên đảo tới bờ biển theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Giải:

Xét tam giác ABC, có \(\widehat C = {180^o} - \left( {\widehat B + \widehat A} \right) = {180^o} - \left( {{{40}^o} + {{30}^o}} \right) = {110^o}\).

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC: \(\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}\).

Do đó \(AC = \frac{{AB\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{100\sin {{40}^o}}}{{\sin {{110}^o}}} \approx 68,4\) (m).

Xét tam giác vuông AHC có \(CH = AC\sin {30^o} \approx 68,4.0,5 \approx 34,2\) (m).

Vậy khoảng cách từ vị trí C trên đảo tới bờ biển xấp xỉ 34,2 m.