[SGK Toán Lớp 10 Cánh Diều] Bài 4. Tổng và hiệu của hai vecto

Đề bài

Một dòng sông chảy từ phía bắc xuống phía nam với vận tốc là 10 km/h. Một chiếc ca nô chuyển động từ phía đông sang phía tây với vận tốc 40 km/h so với mặt nước. Tìm vận tốc của ca nô so với bờ sông.

Lời giải chi tiết

Gọi O là vị trí của ca nô.

Vẽ \(\overrightarrow {OA} \) là vận tốc dòng nước (chảy từ phía bắc xuống phía nam),

\(\overrightarrow {OB} \) là vận tốc riêng của ca nô (chuyển động từ phía đông sang phía tây)

Khi đó vecto vận tốc của ca nô so với bờ sông là vecto \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} \)

Gọi C là đỉnh thứ tư của hình bình hành OACB, ta có: \(\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} \)

Xét tam giác OBC vuông tại B ta có:

BO = 40; BC = OA = 10.

\( \Rightarrow OC = \sqrt {O{B^2} + B{C^2}}  = 10\sqrt {17} \)

Vậy vận tốc của ca nô so với bờ sông là \(10\sqrt {17} \) km/h.

Đề bài

Cho ba lực \(\overrightarrow {{F_1}}  = \overrightarrow {OA} ,\;\overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {OB} \) và \(\overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow {OC} \) cùng tác động vào một vật tại điểm O và vật đứng yên. Cho biết cường độ của \(\overrightarrow {{F_1}} ,\;\overrightarrow {{F_2}} \)đều là 120 N và \(\widehat {AOB} = {120^o}\). Tìm cường độ và hướng của lực \(\overrightarrow {{F_3}} .\)

Lời giải chi tiết

Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành OADB.

Khi đó ta có: \(\overrightarrow {{F_1}}  + \;\overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OD} \)

Ta có: OA = OB = 120 suy ra tứ giác OADB là hình thoi

\( \Rightarrow \widehat {AOD} = \widehat {BOD} = \frac{{{{120}^o}}}{2} = {60^o}\)

\( \Rightarrow \Delta AOD\) đều (do OA = AD và \(\widehat {AOD} = {60^o}\))

\( \Rightarrow OD = OA = 120\)

Mặt khác: Do vật đứng yên nên \(\overrightarrow {{F_1}}  + \;\overrightarrow {{F_2}}  + \;\overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \;\overrightarrow {{F_3}}  =  - (\overrightarrow {{F_1}}  + \;\overrightarrow {{F_2}} ) =  - \overrightarrow {OD} \)

Suy ra vecto \(\overrightarrow {OC} \) là vecto đối của vecto \(\overrightarrow {OD} \)

Lại có: \(\widehat {COA} = {180^o} - \widehat {AOD} = {120^o}\).Tương tự: \(\widehat {COB} = {120^o}\)

Vậy cường độ của lực \(\overrightarrow {{F_3}} \)là 120 N, tạo với lực\(\overrightarrow {{F_1}} ,\;\overrightarrow {{F_2}} \) góc \({120^o}\).

Đề bài

Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Tính độ dài các vecto sau:

a) \(\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DC} \)

b) \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} \)

c) \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} \) với O là giao điểm của AC và BD.

Lời giải chi tiết

a) Do ABCD cũng là một hình bình hành nên \(\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {DB} \)

\( \Rightarrow \;|\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DC} |\; = \;|\overrightarrow {DB} |\; = DB = a\sqrt 2 \)

b) Ta có: \(\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DB}  = \overrightarrow {AB} \) \( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {DB} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = DB = a\sqrt 2 \)

c) Ta có: \(\overrightarrow {DO}  = \overrightarrow {OB} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {DO}  = \overrightarrow {DO}  + \overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {DA} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {DA} } \right| = DA = a.\)

Đề bài

Cho ABCD là hình bình hành. Chứng minh \(\overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MD} \) với mỗi điểm M trong mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {AM}  =  - \overrightarrow {MA} ,\;\overrightarrow {DM}  =  - \overrightarrow {MD} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {AB} \)

Tương tự ta có: \(\overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MD}  = \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {DM}  = \overrightarrow {DM}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {DC} \)

Mà \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \)(do ABCD là hình bình hành)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MD} \) (đpcm)

Đề bài

Cho đường tròn tâm O. Giả sử A, B là hai điểm nằm trên đường tròn. Tìm điều kiện cần và đủ để hai vecto \(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow {OB} \) đối nhau.

Lời giải chi tiết

Hai vecto \(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow {OB} \) đối nhau \( \Leftrightarrow \) hai tia OA, OB đối nhau và OA = OB.

\( \Leftrightarrow \) O là trung điểm của AB hay AB là đường kính của đường tròn (O).

Vậy điều kiện cần và đủ để hai vecto \(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow {OB} \) đối nhau là AB là đường kính của đường tròn (O).

Đề bài

Cho hình hình hành ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Các khảng định sau đúng hay sai?

a)  \(|\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} |\; = \;|\overrightarrow {AC} |\)

b) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {CB} \)

c) \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD} \)

Lời giải chi tiết

a)  Theo quy tắc hình bình hành ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)

 \( \Rightarrow |\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} |\; = \;|\overrightarrow {AC} |\)

Vậy mệnh đề này đúng.

b) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC}  \ne \overrightarrow {CB} \)

Vậy mệnh đề này sai.

c) Ta có: \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OD}  + \overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OC} =  \overrightarrow {0} \Leftrightarrow \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {CB} =\overrightarrow {0}\Leftrightarrow 2\overrightarrow {CB} =\overrightarrow {0} \)

Vậy mệnh đề này sai.

Đề bài

Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh:

a) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB} \)

b) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow 0 \)

Lời giải chi tiết

a)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {CD} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DC} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AC} \end{array}\)

(luôn đúng)

b) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow 0 \)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DA}  = (\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} ) + (\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA} )\\ = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CA}  = \overrightarrow 0 \end{array}\)

Chú ý khi giải

+) Hiệu hai vecto chung gốc: \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB} \) (suy ra từ tổng \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB} \))

+) Với 4 điểm A, B, C, D bất kì ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {AA}  = \overrightarrow 0 \)

Đề bài

Cho ba điểm D, E, G. Vecto \(\overrightarrow v  = \overrightarrow {DE}  + ( - \overrightarrow {DG} )\) bằng vecto nào sau đây?

A. \(\overrightarrow {EG} \)

B. \(\overrightarrow {GE} \)

C. \(\overrightarrow {GD} \)

D. \(\overrightarrow {ED} \)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {GD}  =  - \overrightarrow {DG} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow v  = \overrightarrow {DE}  + ( - \overrightarrow {DG} ) = \overrightarrow {DE}  + \overrightarrow {GD} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow v  = \overrightarrow {GD}  + \overrightarrow {DE}  = \overrightarrow {GE} \) (tính chất giao hóan)

Chọn B.

Đề bài

Cho ba điểm M, N, P. Vecto \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {NP}  + \overrightarrow {MN} \) bằng vecto nào sau đây?

A. \(\overrightarrow {PN} \)

B. \(\overrightarrow {PM} \)

C. \(\overrightarrow {MP} \)

D. \(\overrightarrow {NM} \)

Lời giải chi tiết

Vận dụng tính chất giao hoán ta có: \[\overrightarrow u  = \overrightarrow {NP}  + \overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {NP}  = \overrightarrow {MP} \]

Chọn C.

A. Lý thuyết

1. Tổng của hai vecto

a) Định nghĩa

Phép lấy tổng của hai vecto còn được gọi là phép cộng vecto.

b) Quy tắc hình bình hành

c) Tính chất

Với ba vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) tùy ý ta có:

- Tính chất giao hoán: \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow b  + \overrightarrow a \)

- Tính chất kết hợp: \(\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c  = \overrightarrow a  + \left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)\)

2. Hiệu của hai vecto

a) Hai vecto đối nhau

Quy ước: Vecto đối của vecto \(\overrightarrow 0 \) là vecto \(\overrightarrow 0 \).

Nhận xét:

+) \(\overrightarrow a  + ( - \overrightarrow a ) = ( - \overrightarrow a ) + \overrightarrow a \).

+) Hai vecto \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) là hai vecto đối nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow 0 \).

+) Với hai điểm A, B, ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow 0 \).

Chú ý:

+) I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \).

b) Hiệu của hai vecto

Phép lấy hiệu của hai vecto được gọi là phép trừ vecto.

Nhận xét: Với ba điểm A, B, O bất kì, ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OA} \).

B. Bài tập

Bài 1: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {AM} \).

Giải:

Vì \(\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {BM} \) nên \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {AM} \).

Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD. Chứng minh \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC} } \right|\).

Giải:

Theo quy tắc hình bình hành, ta có:

\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \), \(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {BD} \).

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC\), \(\left| {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD\).

Do AC = BD nên \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC} } \right|\).

Bài 3: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AD} \).

Giải:

Ta có \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC} \)

\( = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD} \) (tính chất giao hoán)

\( = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow {CD} \) (tính chất kết hợp)

\( = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CD} \) (quy tắc ba điểm)

\( = \overrightarrow {AD} \) (quy tắc ba điểm).

Bài 4: Cho bốn điểm bất kì A, B, C, D. Chứng minh \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CD}  - \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow 0 \).

Giải:

Ta có \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CD}  - \overrightarrow {CB}  = \left( {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} } \right) + \left( {\overrightarrow {CD}  - \overrightarrow {CB} } \right) = \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {DD}  = \overrightarrow 0 \).