[SGK Toán Lớp 10 Cánh Diều] Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp
Hướng dẫn học bài: Bài 2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp - Môn Toán học Lớp 10 Lớp 10. Đây là sách giáo khoa nằm trong bộ sách 'SGK Toán Lớp 10 Cánh Diều Lớp 10' được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết các bé sẽ nắm bài học tốt hơn.
Đề bài
Một nhóm có 12 học sinh chuẩn bị cho hội diễn văn nghệ. Trong danh sách đăng kí tham gia tiết mục múa và tiết mục hát của nhóm đó, có 5 học sinh tham gia tiết mục múa, 3 học sinh tham gia cả hai tiết mục. Hỏi có bao nhiêu học sinh trong nhóm tham gia tiết mục hát? Biết có 4 học sinh của nhóm không tham gia tiết mục nào.
Lời giải chi tiết
Vì nhóm có 12 học sinh, trong đó có 4 học sinh không tham gia tiết mục nào nên tổng số học sinh tham gia hai tiết mục múa và hát là: 12 – 4 = 8 (học sinh)
Lại có: Trong 5 học sinh tham gia tiết mục múa, có 3 học sinh tham gia cả hai tiết mục
Vậy số học sinh chỉ tham gia tiết mục múa là: 5 – 3 = 2 (học sinh)
Do đó số học sinh tham gia tiết mục hát là: 8 – 2 = 6 (học sinh)
Vậy trong nhóm có 6 học sinh tham gia tiết mục hát.
Đề bài
Lớp 10B có 28 học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao và 19 học sinh tham gia câu lạc bộ âm nhạc. Biết rằng có 10 học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ trên.
a) Có bao nhiêu học sinh ở lớp 10B tham gia câu lạc bộ thể thao và không tham gia câu lạc bộ âm nhạc?
b) Có bao nhiêu học sinh ở lớp 10B tham gia ít nhất một trong hai câu lạc bộ trên?
c) Biết lớp 10B có 40 học sinh. Có bao nhiêu học sinh không tham gia câu lạc bộ thể thao? Có bao nhiêu học sinh không tham gia cả hai câu lạc bộ?
Lời giải chi tiết
a) Trong 28 học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao có 10 học sinh tham gia cả câu lạc bộ âm nhạc
Vậy có 28-10=18 học sinh chỉ tham gia câu lạc bộ thể thao và không tham gia câu lạc bộ âm nhạc
b) Số học sinh tham gia ít nhất một trong hai câu lạc bộ trên là: 28 + 19 – 10 = 37 (học sinh)
c) Cả lớp có 40 học sinh, trong đó có 28 học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao.
Do đó số học sinh không tham gia câu lạc bộ thể thao là: 40 – 28 = 12 (học sinh)
Cả lớp có 40 học sinh, trong đó có 37 học sinh tham gia ít nhất một trong hai câu lạc bộ.
Vậy số học sinh không tham gia cả hai câu lạc bộ là: 40 – 37 = 3 (học sinh)
Đề bài
Gọi A là tập nghiệm của đa thức P(x). Viết tập hợp các số thực x sao cho biểu thức \(\dfrac{1}{{P(x)}}\) xác định.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Điều kiện xác định của biểu thức \(\dfrac{1}{{P(x)}}\) là: \(P(x) \ne 0\)
Lời giải chi tiết
Ta có: A là tập nghiệm của đa thức P(x)
\( \Rightarrow A = \{ x \in \mathbb{R}|P(x) = 0\} \)
Để biểu thức \(\dfrac{1}{{P(x)}}\) xác định thì \(P(x) \ne 0\) hay \(x \notin A\).
Gọi B là tập hợp các số thực x sao cho biểu thức \(\dfrac{1}{{P(x)}}\) xác định.
\( \Rightarrow B =\{ x \in \mathbb{R}|P(x) \ne 0\}= \left\{ {x \in \mathbb{R}|x \notin A} \right\} = \mathbb{R}\,{\rm{\backslash }}\,A\)
Đề bài
Tìm \(D = E \cap G\) biết E và G lần lượt là tập nghiệm của hai bất phương trình trong mỗi trường hợp sau:
a) \(2x + 3 \ge 0\) và \( - x + 5 \ge 0\)
b) \(x + 2 > 0\) và \(2x - 9 < 0\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1: Giải hai bất phương trình, xác định hai tập hợp E và G.
Bước 2: Xác định \(D = E \cap G = \{ x \in E|x \in G\} \)
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(2x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{{ - 3}}{2}\)
\( \Rightarrow \) Tập hợp E là: \(E = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x \ge \frac{{ - 3}}{2}} \right\}\)
và \( - x + 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \le 5\)
\( \Rightarrow \) Tập hợp G là \(G = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x \le 5} \right\}\)
\( \Rightarrow E \cap G = \){\(x \in \mathbb{R}|\)\(x \ge \frac{{ - 3}}{2}\) và \(x \le 5\)} \( = \left\{ {x \in \mathbb{R}|\frac{{ - 3}}{2} \le x \le 5} \right\}\)
Vậy tập hợp D \( = \left\{ {x \in \mathbb{R}|\frac{{ - 3}}{2} \le x \le 5} \right\} = [\frac{{ - 3}}{2}; 5]\)
b) Ta có: \(x + 2 > 0 \Leftrightarrow x>-2\)
\( \Rightarrow E = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x >-2 }\right\}\)
và \( 2x - 9 < 0 \Leftrightarrow x < \frac{9}{2}\)
\( \Rightarrow G = \left\{ {x \in \mathbb{R}|x < \frac{9}{2}} \right\}\)
\( \Rightarrow E \cap G = \){\(x \in \mathbb{R}|\)\(x > -2 \) và \(x < \frac{9}{2}\)} \( = \left\{ {x \in \mathbb{R}|-2<x< {9\over 2} } \right\}\)
Vậy \( D= \left\{ {x \in \mathbb{R}|-2<x< {9\over 2}} \right\}=(-2;{9\over 2})\)
Đề bài
Gọi A là tập nghiệm của phương trình \({x^2} + x - 2 = 0\),
B là tập nghiệm của phương trình \(2{x^2} + x - 6 = 0\)
Tìm \(C = A \cap B\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Liệt kê các phần tử của A và B.
\(A \cap B = \{ x \in A|x \in B\}\)
Lời giải chi tiết
Ta có: \({x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow A = \{ 1; - 2\} \)
Ta có: \(2{x^2} + x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2}\\x = - 2\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow B = \left\{ {\frac{3}{2}; - 2} \right\}\)
Vậy \(C = A \cap B = \{ - 2\} \).
Đề bài
Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số:
a) \([ - 3;7] \cap (2;5)\)
b) \(( - \infty ;0] \cup ( - 1;2)\)
c) \(\mathbb{R}\,{\rm{\backslash }}\,( - \infty ;3)\)
d) \(( - 3;2)\,{\rm{\backslash }}\,[1;3)\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Biểu diễn các tập hợp trên cùng 1 trục số.
Lời giải chi tiết
a) Đặt \(A = [ - 3;7] \cap (2;5)\)
Tập hợp A là khoảng (2; 5) và được biểu diễn là:
b) Đặt \(B = ( - \infty ;0] \cup ( - 1;2)\)
Tập hợp B là khoảng \(( - \infty ;2)\) và được biểu diễn là:
c) Đặt \(C = \mathbb{R}\,{\rm{\backslash }}\,( - \infty ;3)\)
Tập hợp C là nửa khoảng \([3; + \infty )\) và được biểu diễn là:
d) Đặt \(D = ( - 3;2)\,{\rm{\backslash }}\,[1;3)\)
Bỏ đi các điểm thuộc [1;3) trong khoảng (-3;2)
Tập hợp D là khoảng \(( - 3;1)\) và được biểu diễn là:
Đề bài
Sắp xếp các tập hợp sau theo quan hệ "\(\subset\)":
[2; 5], (2; 5), [2; 5), (1; 5].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
\([a;b] = \{ x \in \mathbb R \,|\,a \le x \le b\} \)
\((a;b] = \{ x \in \mathbb R \,|\,a < x \le b\} \)
Lời giải chi tiết
Ta có:
\([2;5] = \{ x \in \mathbb R \,|\,2 \le x \le 5\} \)
\((2;5) = \{ x \in \mathbb R \,|\,2<x< 5\} \)
\([2;5) = \{ x \in \mathbb R \,|\,2 \le x < 5\} \)
\((1;5] = \{ x \in \mathbb R \,|\,1 < x \le 5\} \)
Do đó: \(\left( {2;{\rm{ }}5} \right) \subset \left[ {2;{\rm{ }}5} \right) \subset \left[ {2;5} \right] \subset \left( {1;{\rm{ }}5} \right].\)
Đề bài
Cho tập hợp \(X = \{ a;b;c\} \). Viết tất cả các tập con của tập hợp X.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) tập hợp rỗng: \(\emptyset \)
+) Liệt kê các tập con chứa 1, 2 hoặc 3 phần tử của tập hợp X
Lời giải chi tiết
Các tập con của tập hợp X là:
+) tập hợp rỗng: \(\emptyset \)
+) Các tập con chỉ chứa 1 phần tử của tập hợp X: {a}, {b}, {c}.
+) Các tập con chứa 2 phần tử của tập hợp X: {a; b}, {b; c}, {c; a}
+) Tập con chứa 3 phần tử của tập hợp X: là tập hợp X = {a; b; c}
Chú ý
+) Mọi tập hợp X đều có 2 tập con là: \(\emptyset \) và X.
Hoạt động 8
Gọi \(\mathbb{R}\) là tập hợp các số thực, I là tập hợp các số vô tỉ. Khi đó \(I \subset \mathbb{R}\). Tìm tập hợp những số thực không phải là số vô tỉ.
Lời giải chi tiết:
Tập hợp các số thực không phải là số vô tỉ chính là tập hợp \(\mathbb{Q}\) các số hữu tỉ.
Hoạt động 9
Cho hai tập hợp: A = {2; 3; 5; 7; 14}, B = {3; 5; 7; 9; 11}.
Liệt kê các phần tử thuộc tập hợp A nhưng không thuộc tập hợp B.
Phương pháp giải:
Lần lượt kiểm tra mỗi phần tử của A xem phần tử đó có thuộc B hay không. Ghi lại các phần tử không thuộc tập hợp B.
Lời giải chi tiết:
Các phần tử thuộc tập hợp A nhưng không thuộc tập hợp B là: 2; 14.
Luyện tập – vận dụng 5
Cho hai tập hợp:
\(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}| - 2 \le x \le 3} \right\}\)
\(B = \{ x \in \mathbb{R}|{x^2} - x - 6 = 0\} \)
Tìm \(A\,{\rm{\backslash }}\,B\) và \(B\,{\rm{\backslash }}\,A\).
Phương pháp giải:
Viết lại hai tập hợp dưới dạng liệt kê các phần tử.
Xác định \(A\,{\rm{\backslash }}\,B = \{ x \in A|x \notin B\} \) và \(B\,{\rm{\backslash }}\,A = \{ x \in B|x \notin A\} \)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}| - 2 \le x \le 3} \right\} = \{ - 2; - 1;0;1;2;3\} \)
Và \(B = \{ x \in \mathbb{R}|{x^2} - x - 6 = 0\} = \{ - 2;3\} \)
Khi đó:
Tập hợp \(A\,{\rm{\backslash }}\,B\) gồm các phần tử thuộc A mà không thuộc B. Vậy\(A\,{\rm{\backslash }}\,B = \{ - 1;0;1;2\} \).
Tập hợp \(B\,{\rm{\backslash }}\,A\) gồm các phần tử thuộc B mà không thuộc A. Vậy \(B\,{\rm{\backslash }}\,A = \emptyset \)
Hoạt động 7
Hai trường dự định tổ chức giải thi đấu thể thao cho học sinh lớp 10. Trường thứ nhất đề xuất ba môn thi đấu là: Bóng bàn, Bóng đá, Bóng rổ. Trường thứ hai đề xuất ba môn thi đấu là: Bóng đá, Bóng rổ, Cầu lông. Lập danh sách những môn thi đấu mà cả hai trường đã đề xuất.
Lời giải chi tiết:
Danh sách những môn thi đấu mà cả hai trường đã đề xuất là: Bóng bàn, Bóng đá, Bóng rổ, Cầu lông.
Luyện tập – vận dụng 4
Cho hai tập hợp:
\(\begin{array}{l}A = \{ x \in \mathbb{R}|x \le 0\} ,\\B = \{ x \in \mathbb{R}|x \ge 0\} .\end{array}\)
Tìm \(A \cap B,A \cup B.\)
Phương pháp giải:
\(\begin{array}{l}A \cap B = \{ x \in A|x \in B\} \\A \cup B = \{ x \in A\; \text{hoặc }x \in B\} \end{array}\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}A \cap B = \{ 0\} \\A \cup B = \mathbb{R}\end{array}\)
Đề bài
Hoạt động 6 trang 7 Sách giáo khoa Toán 10 tập 1 – Cánh diều
Lớp trưởng lập hai danh sách các bạn đăng kí tham gia câu lạc bộ thể thao như sau (biết trong lớp không có hai bạn nào cùng tên):
- Bóng đá gồm: An, Bình, Chung, Dũng, Minh, Nam, Phương.
- Bóng rổ gồm: An, Chung, Khang, Phong, Quang, Tuấn.
Hãy liệt kê danh sách các bạn đăng kí tham gia cả hai câu lạc bộ.
Lời giải chi tiết
Danh sách các bạn đăng kí tham gia cả hai câu lạc bộ là: An, Chung.
Hoạt động 4
Cho hai tập hợp:
\(A = \{ x \in \mathbb{Z}| - 3 < x < 3\} ,\)\(B = \{ x \in \mathbb{Z}| - 3 \le x \le 3\} \)
a) Viết tập hợp A, B bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp.
b) Mỗi phần tử của tập hợp A có thuộc tập hợp B không?
Lời giải chi tiết:
a) \(A = \{ - 2; - 1;0;1;2\} \)
\(B = \{ - 3; - 2; - 1;0;1;2;3\} \)
b) Mỗi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B.
Luyện tập – Vận dụng 2
Cho hai tập hợp:
\(A = \{ n \in N|n\)chia hết cho 3},
\(B = \{ n \in N|n\)chia hết cho 9}.
Chứng tỏ rằng \(B \subset A.\)
Phương pháp giải:
Lấy một phần tử bất kì của tập hợp B, chứng minh phần tử đó thuộc A.
Lời giải chi tiết:
Lấy n bất kì thuộc tập hợp B.
Ta có: n chia hết cho 9 \( \Rightarrow n = 9k\;\;(k \in \mathbb{N})\)
\( \Rightarrow n = 3.(3k)\;\; \vdots \;3\;\;(k \in \mathbb{N})\)
\( \Rightarrow n \in A\)
Như vậy, mọi phần tử của tập hợp B đều là phần tử của tập hợp A hay \(B \subset A.\)
Hoạt động 5
Cho hai tập hợp:
\(A = \{ 0;6;12;18\},\)
\(B = \{ n \in N|\, n \le 18\) và n là bội của 6}.
Các mệnh đề sau có đúng không?
a) \(A \subset B.\)
b) \(B \subset A.\)
Phương pháp giải:
a) Các số 0;6;12;18 đều là các số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng 18 và là bội của 6. Do đó \(A \subset B\) đúng.
b) Các số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng 18 và là bội của 6 là: 0; 6; 12; 18 (đều thuộc tập A). Do đó \(B \subset A\) đúng.
Lời giải chi tiết:
a) Nếu n là bội chung của 2 và 3 thì n là bội của 6, hay \(n \in B\)
Vậy mệnh đề \(A \subset B\) đúng.
b) Nếu n là bội 6 thì n vừa là bội của 2 vừa là bội của 3.
Do đó n là bội chung của 2 và 3 hay \(n \in A\).
Vậy mệnh đề \(A \subset B\) đúng.
Luyện tập – vận dụng 3
Cho hai tập hợp:
\(E = \{ n \in N|n\) chia hết cho 3 và 4}, và \(G = \{ n \in N|n\) chia hết cho 12}.
Chứng tỏ rằng E = G.
Phương pháp giải:
Ta chứng minh \(E \subset G\) và \(G \subset E\).
Chỉ ra mọi phần tử của tập hợp E đều là phần tử của tập hợp G và ngược lại.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
n chia hết cho 3 và 4 \( \Leftrightarrow \)n chia hết cho 12 (do (3,4) =1)
Do đó: nếu n là phần tử của tập hợp A thì n cũng là phần tử của tập hợp B và ngược lại.
Hay mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B và ngược lại.
Vậy \(E \subset G\) và \(G \subset E\) hay E = G.
Hoạt động 1
Ở lớp 6, ta đã làm quen với khái niệm tập hợp, kí hiệu và cách viết tập hợp, phần tử thuộc tập hợp. Hãy nêu cách cho một tập hợp.
Lời giải chi tiết:
Có hai cách cho một tập hợp:
+) Liệt kê các phần tử của tập hợp.
Chẳng hạn: A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}
+) Chỉ ra tính chất đặc trưng của tập hợp đó.
Chẳng hạn: A = {\(x \in \mathbb{N}|0 \le x \le 5\)}
Hoạt động 2
Người ta còn minh họa tập hợp bằng một vòng kín, mỗi phần tử của tập hợp được biểu diễn bởi một chấm bên trong vòng kín, còn phần tử không thuộc tập hợp đó được biểu diễn bởi một chấm bên ngoài vòng kín (Hình 1). Cách minh họa tập hợp như vậy được gọi là biểu đồ Ven.
a) Viết tập hợp A trong Hình 1 bằng cách liệt kê các phần tử của các tập hợp đó.
b) Nêu phần tử không thuộc tập hợp A
Phương pháp giải:
a) Liệt kê các phần tử biểu thị bởi chấm bên trong vòng kín.
b) Xác định các phần tử không thuộc A (các chấm bên ngoài vòng kín)
Lời giải chi tiết:
a) Tập hợp A là: A = {a; b; c}
b) Phần tử không thuộc tập hợp A là: d.
Hoạt động 3
Nêu số phần tử của mỗi tập hợp sau:
\(C = \{ x \in \mathbb{R}|{x^2} < 0\} ,\) \(D = \{ a\} ,E = \{ b;c;d\} ,\)\(\mathbb{N} = \left\{ {0;1;2;..} \right\}\)
Phương pháp giải:
Viết lại tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử, đếm số phần tử của tập hợp đó.
Lời giải chi tiết:
\(C = \{ x \in \mathbb{R}|{x^2} < 0\} \). Tập hợp C không chứa phần tử nào vì bình phương mọi số thực đều không âm.
\(D = \{ a\} ,\) tập hợp D có duy nhất 1 phần tử là a.
\(E = \{ b;c;d\} ,\) tập hợp E có 3 phần tử.
\(\mathbb{N} = \left\{ {0;1;2;..} \right\}\): tập hợp N có vô số phần tử.
Luyện tập – vận dụng 1
Nêu số phần tử của mỗi tập hợp sau:
\(G = \{ x \in \mathbb{Z}|{x^2} -2 = 0\} ,\) \(\mathbb{N}* = \left\{ {1;2;3;..} \right\}.\)
Phương pháp giải:
Viết lại tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử, đếm số phần tử của tập hợp đó.
Lời giải chi tiết:
\(G = \{ x \in \mathbb{Z}|{x^2} -2 = 0\} \). Tập hợp G không chứa phần tử nào vì \({x^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 \notin \mathbb{Z}\)
\(\mathbb{N}* = \left\{ {1;2;3;..} \right\}.\): tập hợp N* có vô số phần tử.
Đề bài
Khái niệm tập hợp thường gặp trong toán học và đời sống. Chẳng hạn:
- Tập hợp A các học sinh của lớp 10D.
- Tập hợp B các học sinh tổ I của lớp đó.
Làm thế nào để diễn tả mối quan hệ giữa tập hợp A và tập hợp B?
Lời giải chi tiết
Vì các học sinh tổ I đều là các học sinh lớp 10D nên tập hợp B là tập con của tập hợp A.
Kí hiệu: \(B \subset A\)
I. TẬP HỢP
+) Tập hợp không chứa phần tử nào được gọi là tập hợp rỗng (viết là \(\emptyset \))
+) Một tập hợp có thể không có phần tử nào, cũng có thể có một phần tử, có nhiều phần tử, có vô số phần tử
II. TẬP CON VÀ TẬP HỢP BẰNG NHAU
1. Tập con
\(A \subset B \Leftrightarrow (\forall x,x \in A \Rightarrow x \in B)\)
+) Khi \(A \subset B\), ta cũng viết \(B \supset A\)
+) Nếu A không phải là tập con của B, ta viết \(A\not{ \subset }B\)
* Nhận xét:
+) \(A \subset A\;\forall A\)
+) \(A \subset B,B \subset C \Rightarrow A \subset C\)
2. Tập hợp bằng nhau
\(A = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A \subset B\\B \subset A\end{array} \right.\)
III. GIAO CỦA HAI TẬP HỢP
\(A \cap B = \{ x|x \in A\) và \(x \in B\} \)
IV. HỢP CỦA HAI TẬP HỢP
\(A \cup B = \{ x|x \in A\) hoặc \(x \in B\} \)
V. PHẦN BÙ. HIỆU CỦA HAI TẬP HỢP
\(A{\rm{\backslash }}B = \{ x|x \in A\) và \(x \notin B\} \) (Hiệu của A và B)
\(A \subset B\), kí hiệu: \({C_B}A = B{\rm{\backslash }}A\) (Phần bù của A trong B)
VI. CÁC TẬP HỢP SỐ
\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)
Một số tập con thường dùng
Giải bài tập những môn khác
Môn Ngữ văn Lớp 10
Môn Vật lí Lớp 10
Môn Tiếng Anh Lớp 10
Môn Hóa học Lớp 10
Môn Sinh học Lớp 10
Môn Lịch sử Lớp 10
Môn Địa lí Lớp 10
Môn Toán học Lớp 10
Môn GD kinh tế và pháp luật Lớp 10
Lời giải và bài tập Lớp 10 đang được quan tâm
