[SGK Toán Lớp 10 Cánh Diều] Bài 4. Bất phương trình bậc hai một ẩn

Đề bài

Công ty An Bình thông báo giá tiền cho chuyến đi tham quan của một nhóm khách du lịch như sau:

10 khách đầu tiên có giá là 800 000 đồng/người. Nếu có nhiều hơn 10 người đăng kí thì cứ có thêm 1 người, giá vé sẽ giảm 10 000 đồng/người cho toàn bộ hành khách.

a) Gọi x là số lượng khách từ người thứ 11 trở lên của nhóm. Biểu thị doanh thu theo x.

b) Số người của nhóm khách du lịch nhiều nhất là bao nhiêu thì công ty không bị lỗ? Biết rằng chi phí thực sự cho chuyến đi là 700 000 đồng/người.

Lời giải chi tiết

a)

Gọi x là số lượng khách từ người thứ 11 trở lên của nhóm (x>0)

Giá vé khi có thêm x khách là: \(800{\rm{ }}000 - 10{\rm{ }}000.x\)(đồng/người)

Doanh thu khi thêm x khách là:

\(\left( {x + 10} \right).\left( {800000 - 10000x} \right)\)\( = 10000\left( {x + 10} \right)\left( {80 - x} \right)\) (đồng)

b)

Chi phí thực sau khi thêm x vị khách là: 700 000(x+10) (đồng)

Lợi nhuận khi thêm x vị khách là:

\(T = 10000\left( {x + 10} \right)\left( {80 - x} \right)\)\( - 700000\left( {x + 10} \right)\)

\(\begin{array}{l} = 10000\left( {x + 10} \right).\left[ {80 - x - 70} \right]\\ = 10000\left( {x + 10} \right)\left( {10 - x} \right)\end{array}\)

Để công ty không bị lỗ thì lợi nhuận lớn hơn hoặc bằng 0

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 10000\left( {x + 10} \right)\left( {10 - x} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow  - 10 \le x \le 10\end{array}\)

Khi đó số khách du lịch tối đa là \(x + 10 = 10 + 10 = 20\) người thì công ty không bị lỗ.

Đề bài

Xét hệ toạ độ Oth trên mặt phẳng, trong đó trục Ot biểu thị thời gian t (tính bằng giây) và trục Oh biểu thị độ cao h (tính bằng mét). Một quả bóng được đá lên từ điểm A(0; 0,2) và chuyển động theo quỹ đạo là một cung parabol. Quả bóng đạt độ cao 8,5 m sau 1 giây và đạt độ cao 6 m sau 2 giây.

a) Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị quỹ đạo chuyển động của quả bóng.

b) Trong khoảng thời gian nào thì quả bóng vẫn chưa chạm đất?

Lời giải chi tiết

a) Đặt phương trình parabol là \(\left( P \right):h = a{t^2} + bt + c\)

Ta có quả bóng được đá lên từ điểm A(0; 0,2) nên \(0,2 = c\)

Ta có quả bóng đạt độ cao 8,5 m sau 1 giây có nghĩa là tại t=1 thì h=8,5. Khi đó

\(8,5 = a + b+0,2 \Leftrightarrow  a+b = 8,3\)   (1)

Ta có quả bóng đạt độ cao 6 m sau 2 giây có nghĩa là tại t=2 thì h=6.

=> \(6 = a{.2^2} + b.2+0,2 \)\( \Leftrightarrow 2a + b = 2,9\)    (2)

Từ (1) và (2) ta được hệ \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 8,3\\2a + b = 2,9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 5,4\\b = 13,7 \end{array} \right.\)

Vậy \(\left( P \right):h =  - 5,4{t^2} + 13,7t+0,2\)

b) Để quả bóng không chạm đất thì \(h > 0\)

\(\Leftrightarrow  - 5,4{t^2} + 13,7t+0,2 > 0\)

PT \(- 5,4{t^2} + 13,7t+0,2 = 0\) có hai nghiệm xấp xỉ là \(t_1 = -0,0145\) và \(t_2 = 2,55\)

Sử dụng định lí về dấu, ta có \(h>0\) khi \(t_1 <t< t_2\) suy ra \(0<t<2,55\) (vì t>0) 

Vậy trong khoảng thời gian từ lúc đá đến thời gian \(t = 2,55\) thì quả bóng chưa chạm đất.

Đề bài

Tìm m để phương trình \(2{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + m - 8 = 0\) có nghiệm.

Lời giải chi tiết

Ta có \(a = 2 > 0\),

\(\Delta  = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4.2.\left( {m - 8} \right)\)\( = {m^2} + 2m + 1 - 8m + 64\)\( = {m^2} - 6m + 65\)

Phương trình \(2{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + m - 8 = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta  \ge 0\)

 Vậy phương trình \(2{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + m - 8 = 0\) có nghiệm với mọi số thực m.

Đề bài

Giải các bất phương trình bậc hai sau:

a) \(2{x^2} - 5x + 3 > 0\)

b) \( - {x^2} - 2x + 8 \le 0\)

c) \(4{x^2} - 12x + 9 < 0\)

d) \( - 3{x^2} + 7x - 4 \ge 0\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(a = 2 > 0\) và \(\Delta  = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.2.3 = 1 > 0\)

=> \(2{x^2} - 5x + 3 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} = 1,{x_2} = \frac{3}{2}\).

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho \(2{x^2} - 5x + 3\) mang dấu “+” là \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(2{x^2} - 5x + 3 > 0\) là \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\)

b) Ta có \(a =  - 1 < 0\) và \(\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - \left( { - 1} \right).8 = 9 > 0\)

=> \( - {x^2} - 2x + 8 = 0\)có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} =  - 4,{x_2} = 2\).

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho \( - {x^2} - 2x + 8\) mang dấu “-” là \(\left( { - \infty ; - 4} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \( - {x^2} - 2x + 8 \le 0\) là \(\left( { - \infty ; - 4} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)

c)

Ta có \(a = 4 > 0\) và \(\Delta ' = {\left( { - 6} \right)^2} - 4.9 = 0\)

=> \(4{x^2} - 12x + 9 = 0\) có nghiệm duy nhất \(x = \frac{3}{2}\).

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho \(4{x^2} - 12x + 9\) mang dấu “-” là \(\emptyset \)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(4{x^2} - 12x + 9 < 0\) là \(\emptyset \)

d) \( - 3{x^2} + 7x - 4 \ge 0\)

Ta có \(a =  - 3 < 0\) và \(\Delta  = {7^2} - 4.\left( { - 3} \right).\left( { - 4} \right) = 1 > 0\)

=> \( - 3{x^2} + 7x - 4 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} = 1;{x_2} = \frac{4}{3}\).

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho \( - 3{x^2} + 7x - 4\) mang dấu “+” là \(\left[ {1;\frac{4}{3}} \right]\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình \( - 3{x^2} + 7x - 4 \ge 0\) là \(\left[ {1;\frac{4}{3}} \right]\)

Đề bài

Dựa vào đồ thị hàm số bậc hai \(y = f\left( x \right)\) trong mỗi Hình 30a, 30b, 30c, hãy viết tập nghiệm của mỗi bất phương trình sau: \(f\left( x \right) > 0;f\left( x \right) < 0;\)\(f\left( x \right) \ge 0;f\left( x \right) \le 0\).

Lời giải chi tiết

Hình 30a:

\(f\left( x \right) > 0\) có tập nghiệm là \(S = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\)

\(f\left( x \right) < 0\) có tập nghiệm là \(S = \left( {1;4} \right)\)

\(f\left( x \right) \ge 0\) có tập nghiệm là \(S = \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right)\)

\(f\left( x \right) \le 0\) có tập nghiệm là \(S = \left[ {1;4} \right]\)

Hình 30b:

\(f\left( x \right) > 0\) có tập nghiệm là \(S = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\)

\(f\left( x \right) < 0\) có tập nghiệm là \(S = \emptyset \)

\(f\left( x \right) \ge 0\) có tập nghiệm là \(S = \mathbb{R}\)

\(f\left( x \right) \le 0\) có tập nghiệm là \(S = \left\{ 2 \right\}\)

Hình 30c:

\(f\left( x \right) > 0\) có tập nghiệm là \(S = \mathbb{R}\)

\(f\left( x \right) < 0\) có tập nghiệm là \(S = \emptyset \)

\(f\left( x \right) \ge 0\) có tập nghiệm là \(S = \mathbb{R}\)

\(f\left( x \right) \le 0\) có tập nghiệm là \(S = \emptyset \)

Đề bài

Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc hai một ẩn? Vì sao?

a) \( - 2x + 2 < 0\)

b) \(\frac{1}{2}{y^2} - \sqrt 2 \left( {y + 1} \right) \le 0\)

c) \({y^2} + {x^2} - 2x \ge 0\)

Lời giải chi tiết

a) \( - 2x + 2 < 0\) không là bất phương trình bậc hai một ẩn vì bậc của bất phương trình này là bậc 1.

b) \(\frac{1}{2}{y^2} - \sqrt 2 \left( {y + 1} \right) \le 0\) là bất phương trình bậc hai một ẩn vì bậc của bất phương trình này là bậc 2 và có đúng 1 ẩn là y.

c) \({y^2} + {x^2} - 2x \ge 0\) không là bất phương trình bậc hai một ẩn vì có 2 ẩn là x và y.

Đề bài

Luyện tập – vận dụng 4 trang 53 SGK Toán 10 tập 1 – Cánh diều

Tổng chi phí T (đơn vị tính: nghìn đồng) để sản xuất Q sản phẩm được cho bởi biểu thức \(T = {Q^2} + 30Q + 3300\); giá bán của 1 sản phẩm là 170 nghìn đồng. Số sản phẩm được sản xuất trong khoảng nào để đảm bảo không bị lỗ (giả thiết các sản phẩm được bán hết)? 

Lời giải chi tiết

Doanh thu khi bán Q sản phẩm là 170Q nghìn đồng.

Lợi nhuận khi bán Q sản phẩm là \(170Q - \left( {{Q^2} + 30Q + 3300} \right)\)\( =  - {Q^2} + 140Q - 3300\) (nghìn đồng)

Để không bị lỗ thì \( - {Q^2} + 140Q - 3300 \ge 0\left( 1 \right)\)

\(a =  - 1 < 0;\Delta ' = 1600\)

\( - {Q^2} + 140Q - 3300 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} = 30,{x_2} = 110\)

(1) \( \Leftrightarrow \) \(30 \le x \le 110\)

Vậy để không bị lỗ thì số sản phẩm được sản suất phải nằm trong khoảng từ 30 đến 110 sản phẩm.

Đề bài

Bác Dũng muốn uốn tấm tôn phẳng có dạng hình chữ nhật với bề ngang 32 cm thành một rãnh dẫn nước bằng cách chia tấm tôn đó thành ba phần rồi gấp hai bên lại theo một góc vuông (Hình 25). Để đảm bảo kī thuật, diện tích mặt cắt ngang của rānh dẫn nước phải lớn hơn hoặc bằng 120 \(cm^2\). Rãnh dẫn nước phải có độ cao ít nhất là bao nhiêu xǎng-ti-mét?

Lời giải chi tiết

Mặt cắt ngang là hình chữ nhật với chiều dài là 32 - 2x và chiều rộng là x (cm).

Diện tích mặt cắt là: \(x.(32-2x)\)

Để đảm bảo yêu cầu kĩ thuật thì :\(x.(32 - 2x) \ge 120 \)\(\Leftrightarrow 2{x^2} - 32x + 120 \le 0\)

Tam thức bậc hai \(2{x^2} - 32x + 120\) có hai nghiệm là \({x_1} = 6;{x_2} = 10\) và có hệ số \(a=2>0\)

Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho tam thức \(2{x^2} - 32x + 120\) mang dấu "-" là \(\left( { 6;10} \right) \)

Tức là rãnh nước phải có độ cao lớn hơn 6cm và nhỏ hơn 10cm.

I. Bất phương trình bậc hai một ẩn

+) Bất phương trình bậc hai một ẩn có dạng \(a{x^2} + bx + c < 0;a{x^2} + bx + c \le 0;a{x^2} + bx + c > 0;a{x^2} + bx + c \ge 0\) (\(a,b,c \in \mathbb{R};a \ne 0\))

+) Số \({x_0} \in \mathbb{R}\) thỏa mãn BPT được gọi là nghiệm.

II. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

1. Giải bằng cách xét dấu tam thức bậc hai

Bước 1: Xác định dấu của a và tìm nghiệm của f(x) (nếu có)

Bước 2: Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để tìm tập hợp những giá trị x sao cho f(x) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

+ \(\Delta  < 0\): f(x) cùng dấu với a, \(\forall x \in \mathbb{R}\)

+ \(\Delta  = 0\): f(x) cùng dấu với a, \(\forall x \in \mathbb{R}{\rm{\backslash }}\left\{ {\frac{{ - b}}{{2a}}} \right\}\)

+ \(\Delta  > 0\): f(x) có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}({x_1} < {x_2})\)

2. Giải bằng cách sử dụng đồ thị

+) Nghiệm của BPT \(a{x^2} + bx + c > 0\) là tập hợp x ứng với phần Parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) nằm phía trên trục hoành.

+) Nghiệm của BPT \(a{x^2} + bx + c < 0\) là tập hợp x ứng với phần Parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) nằm phía dưới trục hoành.