[SGK Toán Lớp 10 Cánh Diều] Bài 6. Tích vô hướng của hai vecto

Đề bài

Cho tam giác ABC có \(AB = 2,AC = 3,\widehat {BAC} = {60^o}.\) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Điểm D thỏa mãn \(\overrightarrow {AD}  = \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC} .\)

a) Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)

b) Biểu diễn \(\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {BD} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \)

c) Chứng minh \(AM \bot BD\).

Lời giải chi tiết

a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 2.3.\cos \widehat {BAC} = 6.\cos {60^o} = 3\)

b)

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {AM} \)(do M là trung điểm của BC)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)

+) \(\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB}  = \frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} \)

c) Ta có:

 \(\begin{array}{l}\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD}  = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right)\left( {\frac{7}{{12}}\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right)\\ = \frac{7}{{24}}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  - \frac{1}{2}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{7}{{24}}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \\ =  - \frac{1}{2}A{B^2} + \frac{7}{{24}}A{C^2} - \frac{5}{{24}}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \\ =  - \frac{1}{2}{.2^2} + \frac{7}{{24}}{.3^2} - \frac{5}{{24}}.3\\ = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow AM \bot BD\)

Đề bài

Một máy bay đang bay từ hướng đông sang hướng tây với tốc độ 700 km/h thì gặp luồng gió thổi từ hướng đông bắc sang hướng tây nam với tốc độ 40 km/h (Hình 68). Máy bay bị thay đổi vận tốc sau khi gặp gió thổi. Tìm tốc độ mới của máy bay (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm theo đơn vị km/h.)

Lời giải chi tiết

Vẽ vecto \(\overrightarrow {AB} \) là vecto vận tốc của máy bay, \(\overrightarrow {AD} \) là vecto vận tốc của gió.

Khi đó vecto vận tốc mới của máy bay là \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \)

Dựng hình bình hành ABCD. Ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:

 \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.\cos B\)

Mà AB = 700, BC = AD = 40, \(\widehat B = {135^o}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A{C^2} = {700^2} + {40^2} - 2.700.40.\cos {135^o} \approx 531197,98\\ \Leftrightarrow AC \approx 728,83\end{array}\)

Vậy tốc độ mới của máy bay là 728,83 km/h.

Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC, kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AH}  = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AH} \)

b) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC} \)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(AH \bot CB \Rightarrow (\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {CB} ) = {90^o} \Leftrightarrow \cos (\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {CB} ) = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {CB}  = 0\)

a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AH}  - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AH}  = (\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} ).\overrightarrow {AH}  = \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {AH}  = 0\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AH}  = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AH} \)

b)  \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC}  = (\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {HB} ).\overrightarrow {BC}  = (\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BH} ).\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC} \)

Đề bài

Cho tam giác ABC. Chứng minh: \(A{B^2} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CA}  = 0\)

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}A{B^2} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CA}  = {\overrightarrow {AB} ^2} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CA} \\ = \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CA} ) = \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CA} ) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow 0  = 0.\end{array}\)

Đề bài

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính các tích vô hướng sau:

a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)

b) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} \)

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = \sqrt {2{a^2}}  = a\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = a.a\sqrt 2 .\cos \widehat {BAC} = {a^2}\sqrt 2 \cos {45^o} = {a^2}.\)

b) Dễ thấy: \(AC \bot BD \Rightarrow (\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} ) = {90^o}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD}  = AC.BD.\cos {90^o} = AC.BD.0 = 0.\)

Đề bài

Tính \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 3,\;\left| {\overrightarrow b } \right| = 4,\;(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = {30^o}\)

b) \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 5,\;\left| {\overrightarrow b } \right| = 6,\;(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = {120^o}\)

c) \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 2,\;\left| {\overrightarrow b } \right| = 3,\;\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng.

d) \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 2,\;\left| {\overrightarrow b } \right| = 3,\;\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng

Lời giải chi tiết

a) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 3.4.\cos {30^o} = 12.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 6\sqrt 3 \)

b) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 5.6.\cos {120^o} = 30.\left( { - \frac{1}{2}} \right) =  - 15\)

c) \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng nên \((\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = {0^o}\)

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 2.3.\cos {0^o} = 6.1 = 6\)

d) \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng nên \((\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = {180^o}\)

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 2.3.\cos {180^o} = 6.( - 1) =  - 6\)

Đề bài

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \) và \((\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) < {90^o}\) thì \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  < 0\)

B. Nếu \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \) và \((\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) > {90^o}\) thì \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  > 0\)

C. Nếu \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \) và \((\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) < {90^o}\) thì \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  > 0\)

D. Nếu \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \) và \((\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) \ne {90^o}\) thì \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  < 0\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b )\)

+) \((\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) < {90^o} \Rightarrow \cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) > 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  > 0\)

Vậy A sai, C đúng, D sai.

+) \((\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) > {90^o} \Rightarrow \cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) < 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  < 0\)

Vậy B sai.

Chọn C.

Đề bài

Nếu hai điểm M, N thỏa mãn \(\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {NM}  =  - 4\) thì độ dài đoạn thẳng MN bằng bao nhiêu?

A. MN = 4

B. MN = 2

C. MN = 16

D. MN = 256

Lời giải chi tiết

\(\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {NM}  = \left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\left| {\overrightarrow {NM} } \right|.\cos (\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {NM} ) = M{N^2}.\cos {180^o} =  - M{N^2}\)

Do đó: \( - M{N^2} =  - 4 \Leftrightarrow MN = 2.\)

Đề bài

Luyện tập – vận dụng 4 trang 96 SGK Toán 10 – Cánh Diều

Sử dụng tích vô hướng, chứng minh định lí Pythagore: Tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\).

Lời giải chi tiết

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos A\)

Ta có: \(\widehat A = {90^o}\) (tam giác ABC vuông tại A) \( \Leftrightarrow \cos A = \cos {90^o} = 0\)

\( \Leftrightarrow B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) (đpcm)

Đề bài

Luyện tập – vận dụng 3 trang 96 SGK Toán 10 – Cánh Diều

Chứng minh rằng với hai vecto bất kì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \), ta có:

\(\begin{array}{l}{(\overrightarrow a  + \overrightarrow b )^2} = {\overrightarrow a ^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  + {\overrightarrow b ^2}\\{(\overrightarrow a  - \overrightarrow b )^2} = {\overrightarrow a ^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  + {\overrightarrow b ^2}\\(\overrightarrow a  - \overrightarrow b )(\overrightarrow a  + \overrightarrow b ) = {\overrightarrow a ^2} - {\overrightarrow b ^2}\end{array}\)

Lời giải chi tiết

+) \({(\vec a{\rm{\;}} + \vec b)^2} = (\vec a{\rm{\;}} + \vec b)(\vec a{\rm{\;}} + \vec b)\)

\( = \vec a.(\vec a{\rm{\;}} + \vec b) + \vec b.(\vec a{\rm{\;}} + \vec b)\)

\( = {\vec a^2} + \vec a.\vec b{\rm{\;}} + \vec b.\vec a{\rm{\;}} + {\vec b^2}\)

\( = {\vec a^2} + 2\vec a.\vec b{\rm{\;}} + {\vec b^2}.\)

+) \({(\vec a{\rm{\;}} - \vec b)^2}\)

\( = (\vec a{\rm{\;}} - \vec b)(\vec a{\rm{\;}} - \vec b)\)

\( = \vec a.(\vec a{\rm{\;}} - \vec b) - \vec b.(\vec a{\rm{\;}} - \vec b)\)

\( = {\vec a^2} - \vec a.\vec b{\rm{\;}} - \vec b.\vec a{\rm{\;}} + {\vec b^2}\)

\( = {\vec a^2} - 2\vec a.\vec b{\rm{\;}} + {\vec b^2}.\)

+) \((\vec a{\rm{\;}} - \vec b)(\vec a{\rm{\;}} + \vec b)\)

\( = \vec a.(\vec a{\rm{\;}} - \vec b) + \vec b.(\vec a{\rm{\;}} - \vec b)\)

\( = {\vec a^2} - \vec a.\vec b{\rm{\;}} + \vec b.\vec a{\rm{\;}} - {\vec b^2}\)

\( = {\vec a^2} - {\vec b^2}.\)

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa

a) Tích vô hướng của hai vecto có cùng điểm đầu

Góc giữa hai vecto \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} \) là góc giữa hai tia OA, OB và được kí hiệu là \(\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right)\).

b) Tích vô hướng  của hai vecto tùy ý

Cho hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \), kí hiệu là \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\). Lấy một điểm O và vẽ vecto \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a \), \(\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow b \).

Góc giữa hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \), kí hiệu là \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\), là góc giữa hai vecto \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} \).

Quy ước: Tích vô hướng của một vecto bất kì vói vecto \(\overrightarrow 0 \) là số 0.

Chú ý:

+) \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \left( {\overrightarrow b ,\overrightarrow a } \right)\).

+) Nếu \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {90^o}\) thì ta nói hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) vuông góc với nhau, kí hiệu \(\vec a \bot \vec b\) hoặc \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b \). Khi đó \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos {90^o} = 0\).

+) Tích vô hướng của hai vectơ cùng hướng bằng tích hai độ dài của chúng.

+) Tích vô hướng của hai vectơ ngược hướng bằng số đối của tích hai độ dài của chúng.

2. Tính chất

Với hai vecto bất kì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) và số thực k tùy ý, ta có:

+) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \overrightarrow b .\overrightarrow a \) (tính chất giao hoán).

+) \(\overrightarrow a .\left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow a .\overrightarrow b  + \overrightarrow a .\overrightarrow c \) (tính chất phân phối).

+) \(\left( {k\overrightarrow a } \right).\overrightarrow b  = k\left( {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right) = \overrightarrow a .\left( {k\overrightarrow b } \right)\).

+) \({\overrightarrow a ^2} \ge 0\), \({\overrightarrow a ^2} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a  = \overrightarrow 0 \).

Trong đó, kí hiệu \(\overrightarrow a .\overrightarrow a  = {\overrightarrow a ^2}\) và biểu thức này được gọi là bình phương vô hướng của vecto \(\overrightarrow a \).

3. Một số ứng dụng

a) Tính độ dài của đoạn thẳng

Nhận xét: Với hai điểm A, B phân biệt, ta có \({\overrightarrow {AB} ^2} = {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2}\). Do đó, độ dài đoạn thẳng AB được tính như sau: \(AB = \sqrt {{{\overrightarrow {AB} }^2}} \).

b) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Nhận xét: Cho hai vecto bất kì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) khác \(\overrightarrow 0 \). Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a  \bot \overrightarrow b \).

B. Bài tập

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và AB = 4 cm.

a) Tính độ dài cạnh huyền BC.

b) Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \); \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \).

Giải:

a) \(BC = AB\sqrt 2  = 4\sqrt 2 \) (cm).

b) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)

\( = 4.4.\cos \widehat {BAC} = 16.\cos {90^o} = 16.0 = 0\).

\(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = \left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right)\)

\( = 4.4\sqrt 2 .\cos \widehat {ABC} = 16\sqrt 2 .\cos {45^o} = 16\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = 16\).

Bài 2: Cho hình vuông ABCD tâm O có độ dài cạnh bằng a. Tính:

a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {OC} \).

b) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD} \).

c) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {OD} \).

Giải:

a) Ta có: \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {OC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AO} } \right) = \widehat {BAO} = {45^o}\).

Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {OC}  = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {OC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {OC} } \right) = a.\frac{a}{{\sqrt 2 }}.\cos {45^o} = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt 2 }}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^2}}}{2}\).

b) Vẽ vecto \(\overrightarrow {BE}  = \overrightarrow {AB} \). Ta có:

\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \left( {\overrightarrow {BE} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \widehat {EBD} = {135^o}\).

Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BD}  = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {BD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = a.a\sqrt 2 .\cos {135^o} = {a^2}\sqrt 2 .\frac{{ - \sqrt 2 }}{2} =  - {a^2}\).

c) Vì \(\overrightarrow {BE}  = \overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {BO}  = \overrightarrow {OD} \) nên \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {OD} } \right) = \left( {\overrightarrow {BE} ,\overrightarrow {BO} } \right) = \widehat {EBO} = {135^o}\).

Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {OD}  = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {OD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {OD} } \right) = a.\frac{a}{{\sqrt 2 }}.\cos {135^o} = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt 2 }}.\frac{{ - \sqrt 2 }}{2} = \frac{{ - {a^2}}}{2}\).

Bài 3: Cho đoạn thẳng AB và I là trung điểm của AB. Chứng minh rằng với mỗi điểm O, ta có:

a) \(\overrightarrow {OI} .\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {OI} .\overrightarrow {IB}  = 0\).

b) \(\overrightarrow {OI} .\overrightarrow {AB}  = \frac{1}{2}\left( {{{\overrightarrow {OB} }^2} - {{\overrightarrow {OA} }^2}} \right)\).

Giải:

a) Vì I là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \).

Vậy \(\overrightarrow {OI} .\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {OI} .\overrightarrow {IB}  = \overrightarrow {OI} .\left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right) = \overrightarrow {OI} .\overrightarrow 0  = 0\).

b) Vì I là trung điểm AB nên \(2\overrightarrow {OI}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OA}  \Leftrightarrow \overrightarrow {OI}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OA} } \right)\).

Vậy \(\overrightarrow {OI} .\overrightarrow {AB}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OA} } \right).\left( {\overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OA} } \right) = \frac{1}{2}.\left( {{{\overrightarrow {OB} }^2} - {{\overrightarrow {OA} }^2}} \right)\).

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \).

Giải:

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0\) (do \(\overrightarrow {AB} \) vuông góc với \(\overrightarrow {AC} \)).

Bài 5: Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A\) (định lí cosin trong tam giác).

Giải:

Ta có \({\overrightarrow {BC} ^2} = {\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right)^2} = {\overrightarrow {AC} ^2} + {\overrightarrow {AB} ^2} - 2.\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \).

Suy ra \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)

\( = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A\).