SGK Toán Lớp 10 Cánh Diều

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[SGK Toán Lớp 10 Cánh Diều] Bài 2. Hoán vị. Chỉnh hợp

Hướng dẫn học bài: Bài 2. Hoán vị. Chỉnh hợp - Môn Toán học Lớp 10 Lớp 10. Đây là sách giáo khoa nằm trong bộ sách 'SGK Toán Lớp 10 Cánh Diều Lớp 10' được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết các bé sẽ nắm bài học tốt hơn.

Đề bài

Một nhóm 22 bạn đi chụp ảnh kỉ yếu. Nhóm muốn trong bức ảnh có 7 bạn ngồi ở hàng đầu và 15 bạn đứng ở hàng sau. Có bao nhiêu cách xếp vị trí chụp ảnh như vậy?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

B1: Chọn 7 bạn từ 22 bạn rồi sắp xếp thứ tự vào hàng đẩu \( \Rightarrow \) sử dụng công thức chỉnh hợp.

B2: Sắp xếp 15 bạn còn lại vào hàng sau \( \Rightarrow \) Sử dụng công thức hoán vị.

B3: Áp dụng quy tắc nhân.

Lời giải chi tiết

Cách 1:

+) Số cách chọn 7 bạn ngồi ở hàng đầu là: \(A_{22}^7\) (cách).

+) Số cách sắp xếp 15 bạn còn lại vào hàng sau là: \({P_{15}} = 15!\) (cách).

+) Áp dụng quy tắc nhân, số cách xếp vị trí chụp ảnh là: \(A_{22}^7.15!\) (cách).

Cách 2:

Vì 22 bạn học sinh có vai trò như nhau và vị trí ngồi trên, đứng dưới có vai trò như nhau nên số cách xếp 22 bạn vào 22 vị trí khác nhau là 22! (cách)

Đề bài

Mỗi máy tính tham gia vào mạng phải có một địa chỉ duy nhất, gọi là địa chỉ IP, nhằm định danh máy tính đó trên Internet. Xét tập hợp A gồm các địa chỉ IP có dạng “192.168.abc.deg”, trong đó a, d là các chữ số khác nhau được chọn ra từ các chữ số 1, 2, còn b, c, e, g là các chữ số đôi một khác nhau được chọn ra từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi tập hợp A có bao nhiêu phần tử?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Số phần tử của tập A là số địa chỉ IP có thể tạo ra

+) Hai kí tự “a,d” được chọn từ các chữ số “1, 2” \( \Rightarrow \) sử dụng công thức hoán vị

+) Bốn kí tự “b,c,e,g” được chọn từ các chữ số “0,1,2,3,4,5” rồi sắp thự tự \( \Rightarrow \) sử dụng công thức chỉnh hợp

+) Sử dụng quy tắc nhân

Lời giải chi tiết

+) Số cách chọn hai kí tự “a,d” là: \({P_2} = 2!\) (cách)

+) Số cách chọn bốn kí tự “b,c,e,g” là: \(A_6^4\) (cách)

+) Áp dụng quy tắc nhân, số phần tử của tập A là: \(2!.A_6^4 = 720\) ( phần tử )

Đề bài

Bạn Việt chọn mật khẩu cho email của mình là một dãy gồm 8 kí tự đổi một khác nhau, trong đó có 3 kí tự đầu tiên là 3 chữ cái trong bảng gồm 26 chữ cái in thường và 5 kí tự tiếp theo là chữ số. Bạn Việt có bao nhiêu cách tạo ra mật khẩu?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

B1: Chọn 3 kí tự đầu tiên là 3 chữ cái trong bảng gồm 26 chữ cái in thường rồi sắp xếp thứ tự \( \Rightarrow \) sử dụng công thức chỉnh hợp

B2: Chọn 5 kí tự tiếp theo là chữ số và sắp xếp thứ tự \( \Rightarrow \) sử dụng công thức chỉnh hợp

B3: Áp dụng quy tắc nhân

Lời giải chi tiết

+) Số cách chọn 3 kí tự đầu tiên là 3 chữ cái trong bảng gồm 26 chữ cái in thường là: \(A_{26}^3\) (cách)

+) Số cách chọn 5 kí tự tiếp theo là chữ số là: \(A_{10}^5\) (cách)

+) Áp dụng quy tắc nhân, số mật khẩu Việt có thể tạo ra là: \(A_{26}^3.A_{10}^5\)(mật khẩu)

Đề bài

Trong chương trình ngoại khoá giáo dục truyền thống, 60 học sinh được trường tổ chức cho đi xem phim. Các ghế ở rạp được sắp thành các hàng. Mỗi hàng có 20 ghế.

a) Có bao nhiêu cách sắp xếp 20 bạn để ngồi vào hàng đầu tiên?

b) Sau khi sắp xếp xong hàng đầu tiên, có bao nhiêu cách sắp xếp 20 bạn để ngồi vào hàng thứ hai?

c) Sau khi sắp xếp xong hai hàng đầu, có bao nhiêu cách sắp xếp 20 bạn để ngồi vào hàng thứ ba?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a, Chọn 20 bạn từ 60 bạn rồi sắp xếp vào hàng ghế đầu tiên \( \Rightarrow \) sử dụng công thức chỉnh hợp

b, Chọn 20 bạn từ 40 bạn còn lại rồi sắp xếp vào hàng ghế thứ hai \( \Rightarrow \) sử dụng công thức chỉnh hợp

c, Sắp xếp 20 bạn còn lại vào hàng ghế thứ ba \( \Rightarrow \) sử dụng công thức hoán vị

Lời giải chi tiết

a, Số cách sắp xếp 20 bạn để ngồi vào hàng đầu tiên là: \(A_{60}^{20}\) (cách)

b, Sau khi sắp xếp xong hàng đầu tiên, số cách sắp xếp 20 bạn để ngồi vào hàng thứ hai là: \(A_{40}^{20}\) (cách)

c, Sau khi sắp xếp xong hai hàng đầu, số cách sắp xếp 20 bạn để ngồi vào hàng thứ ba là: \({P_{20}} = 20!\) (cách)

Đề bài

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ta lập được bao nhiêu số tự nhiên:

a) Gồm 8 chữ số đội một khác nhau?

b) Gồm 6 chữ số đội một khác nhau?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a, Sắp xếp 8 chữ số theo một thứ tự nào đó \( \Rightarrow \) sử dụng công thức hoán vị

b, Chọn 6 chữ số từ 8 chữ số rồi sắp xếp theo một thứ tự nào đó \( \Rightarrow \) sử dụng công thức chỉnh hợp

Lời giải chi tiết

a, Số các số tự nhiên gồm 8 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 là: \({P_8} = 8! = 40320\)( số )

b, Số các số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 là: \(P_8^6 = 20160\)( số )

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Hoạt động 3 Hoạt động 4 Hoạt động 5 Luyện tập – vận dụng 2

Hoạt động 3

Cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng. Liệt kê các vectơ (khác 0) có điểm đầu và điểm cuối là 2 trong 3 điểm đã cho.

Lời giải chi tiết:

Có thể tạo được 6 vecto theo yêu cầu đó là: \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {BC,} \overrightarrow {CB} \)

Hoạt động 4

Một lớp có 4 nhóm học tập được đặt tên là A, B, C, D. Giáo viên thực hiện hành động sau: chọn 2 nhóm trong 4 nhóm, sau đó sắp xếp thứ tự trình bày của 2 nhóm đã được chọn ra. Nêu 4 kết quả thực hiện hành động của giáo viên.

Lời giải chi tiết:

- Kết quả 1: Chọn 2 nhóm: A và B rồi sắp xếp thứ tự “ A trình bày trước, B trình bày sau” hoặc “ B trình bày trước, A trình bày sau”. - Kết quả 2: Chọn 2 nhóm: A và C rồi sắp xếp thứ tự “ A trình bày trước, C trình bày sau” hoặc “ C trình bày trước, A trình bày sau”.

- Kết quả 3: Chọn 2 nhóm: A và D rồi sắp xếp thứ tự “ A trình bày trước, D trình bày sau” hoặc “ D trình bày trước, A trình bày sau”.

- Kết quả 4: Chọn 2 nhóm: B trình bày và C trình bày rồi sắp xếp thứ tự “ B trình bày trước, C trình bày sau” hoặc “ C trình bày trước, B trình bày sau”.

Hoạt động 5

Một lớp được chia thành 5 nhóm A, B, C, D, E để tham gia hoạt động thực hành trải nghiệm Sau khi các nhóm thực hiện xong hoạt động, giáo viên chọn 3 nhóm trong xếp thứ tự trình bày kết quả hoạt động của 3 nhóm đã được chọn ra. a) Có bao nhiêu cách chọn nhóm trình bày thứ nhất? b) Sau khi đã chọn nhóm trình bày thứ nhất, có bao nhiêu cách chọn nhóm trình bày thứ hai? c) Sau khi đã chọn 2 nhóm trình bày thứ nhất và thứ hai, có bao nhiêu cách chọn nhóm trình bày thứ ba? d) Với mỗi cách chọn 3 nhóm như trên, giáo viên tạo ra một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử. Tính số các chỉnh hợp được tạo ra.

Lời giải chi tiết:

a, Có 5 cách chọn nhóm trình bày thứ nhất.

b, Sau khi đã chọn nhóm trình bày thứ nhất, có 4 cách để chọn nhóm trình bày thứ hai.

c, Sau khi đã chọn 2 nhóm trình bày thứ nhất và thứ hai, có 3 cách để chọn nhóm trình bày thứ ba.

d, Theo quy tắc nhân, ta có số chỉnh hợp được tạo ra là: \(5.4.3 = 60\)

Luyện tập – vận dụng 2

Trong vòng đấu loại trực tiếp của một giải bóng đá, nếu sau khi kết thúc 90 phút thi đấu và cả hai hiệp phụ của trận đấu mà kết quả vẫn hoà thì loạt đá luân lưu 11m sẽ được thực hiện. Tính số cách chọn ra và xếp thứ tự 5 cầu thủ đá luân lưu từ đội bóng có 11 cầu thủ.

Lời giải chi tiết:

Mỗi cách chọn ra và xếp thứ tự 5 cầu thủ đá luân lưu từ đội bóng có 11 cầu thủ là một chỉnh hợp chập 5 của 11.

Vậy ta có \(A_{11}^5 = 55440\) (cách chọn ra và xếp thứ tự 5 cầu thủ đá luân lưu từ đội bóng có 11 cầu thủ)

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Câu hỏi khởi động Hoạt động 1 Hoạt động 2 Luyện tập – vận dụng 1

Câu hỏi khởi động

Lời giải chi tiết:

Trong toán học, mỗi cách xếp thứ tự đá luân lưu của 5 cầu thủ được gọi là hoán vị.

Hoạt động 1

Huấn luyện viên chọn 5 cầu thủ An, Bình, Cường, Dũng, Hải đá luân lưu 11 m. Nêu ba cách xếp thứ tự đá luân lưu 11 m của 5 cầu thủ trên.

Lời giải chi tiết:

3 cách xếp thứ tự đá luân lưu 11m của 5 cầu thủ trên là:

- Cách 1: An, Bình, Cường, Dũng, Hải.

- Cách 2: An, Bình, Cường, Hải, Dũng.

- Cách 3: An, Bình, Hải, Cường, Dũng.

Hoạt động 2

Một lớp được chia thành 3 nhóm A, B, C để tham gia hoạt động thực hành trải nghiệm. Sau khi các nhóm thực hiện xong hoạt động, giáo viên sắp xếp thứ tự trình bày của 3 nhóm.

a) Có bao nhiêu cách chọn nhóm trình bày thứ nhất?

b) Sau khi đã chọn nhóm trình bày thứ nhất, có bao nhiêu cách chọn nhóm trình bày thứ hai?

c) Sau khi đã chọn 2 nhóm trình bày thứ nhất và thứ hai, có bao nhiêu cách chọn nhóm trình bày thứ ba?

d) Với mỗi cách chọn 3 nhóm như trên, giáo viên tạo ra một hoán vị của 3 phần tử. Tính số các hoán vị được tạo ra.

Lời giải chi tiết:

a, Có 3 cách để chọn nhóm trình bày thứ nhất.

b, Sau khi đã chọn nhóm trình bày thứ nhất thì còn lại 2 nhóm, vì vậy có 2 cách để chọn nhóm trình bày thứ 2.

c, Sau khi đã chọn nhóm trình bày thứ nhất và thứ hai thì còn lại một nhóm duy nhất nên ta có 1 cách chọn nhóm trình bày thứ 3.

d, Áp dụng quy tắc nhân, số hoán vị được tạo ra là: 3.2.1 = 6 (hoán vị).

Luyện tập – vận dụng 1

Có bao nhiêu số gồm sáu chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 ?

Lời giải chi tiết:

Một số có 6 chữ số đôi một khác nhau được tạo ra từ sáu chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 là một hoán vị của sáu chữ số này.

Vậy số các số phải tìm là: \({P_6} = 6! = 720\)( số )

A. Lý thuyết

1. Hoán vị

a) Định nghĩa

Cho tập hợp A gồm n phần tử \(\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

b) Số các hoán vị

Kí hiệu \({P_n}\) là số các hoán vị của n phần tử. Ta có \({P_n} = n(n - 1)...2.1\).

2. Chỉnh hợp

a) Định nghĩa

Trong thực tiễn, bên cạnh việc chọn ra một số đối tượng từ những đối tượng cho trước, ta còn cần sắp xếp thứ tự của những đối tượng được chọn ra.

Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với \(1 \le k \le n\).

Mỗi kết quả của việc lấy k phần tử từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

b) Số các chỉnh hợp

Kí hiệu \(A_n^k\) là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử \((1 \le k \le n)\).

Ta có: \(A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}} = n(n - 1)...(n - k + 1)\).

Nhận xét: \(A_n^n = {P_n}\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

B. Bài tập

Bài 1: Hãy liệt kê các số gồm ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3.

Giải:

Các số gồm ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3 là: 123, 132, 213, 231, 312, 321.

Bài 2: Tính số cách xếp thứ tự đã luân lưu 11 m của 5 cầu thủ.

Giải:

Mỗi cách xếp thứ tự đã luận lưu 11 m của 5 cầu thủ là một hoán vị của 5 cầu thủ.

Vậy số cách sắp xếp là: \({P_5} = 5.4.3.2.1 = 120\).

Bài 3: Hãy liệt kê các số gồm hai chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5.

Giải:

Các số gồm hai chữ số khác nhau được lấy từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 là: 12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54.

Bài 4: Ở các căn hộ chung cư, người ta thường dùng các chữ số để tạo mật mã cửa. Gia đình bạn Linh đặt mật mã của là một dãy số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau. Hỏi gia đình bạn Linh có bao nhiêu cách để tạo mật mã?

Giải:

Mỗi mật mã của gia đình bạn Linh là một chỉnh hợp chập 6 của 10 chữ số.

Vậy có \(A_{10}^6 = 10.9.8.7.6.5 = 151200\) (cách để tạo mật mã).