Chuyên đề học tập Toán Lớp 10 Cánh diều

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[Chuyên đề học tập Toán Lớp 10 Cánh diều] Giải mục 1 trang 23, 24, 25 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều

Hướng dẫn học bài: Giải mục 1 trang 23, 24, 25 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều - Môn Toán học Lớp 10 Lớp 10. Đây là sách giáo khoa nằm trong bộ sách 'Chuyên đề học tập Toán Lớp 10 Cánh diều Lớp 10' được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết các bé sẽ nắm bài học tốt hơn.

câu hỏi khởi động

chia hình vuông cạnh 1 thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau, lấy ra hình vuông nhỏ thứ nhất (ở góc dưới bên trái, màu đỏ), cạnh của hình vuông đó bằng \(\frac{1}{2}.\)

chia hình vuông nhỏ ở góc trên bên phải thành bốn hình vuông bằng nhau, lấy ra hình vuông nhỏ thứ hai (màu đỏ), cạnh của hình vuông đó bằng \(\frac{1}{4}.\)

tiếp tục quá trình trên ta được dãy các hình vuông nhỏ (màu đỏ) ở hình 1.

cạnh của hình vuông nhỏ thứ n (màu đỏ) bằng bao nhiêu? vì sao?

lời giải chi tiết:

nhận xét:

chia hình vuông cạnh a thành 4 hình vuông, lấy ra hình vuông nhỏ thứ nhất (như cách lấy ở trên) thì cạnh của hình vuông đó bằng \(\frac{a}{2}\).

=> sau mỗi lần lấy, độ lớn của cạnh hình vuông giảm đi 2 lần

=> sau n lần, cạnh hình vuông nhỏ thứ n giảm đi \({2^n}\) so với hình ban đầu.

=> cạnh của hình vuông nhỏ thứ n là \(\frac{1}{{{2^n}}}\)

hoạt động

xét mệnh đề chứa biến p(n): “\(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = {n^2}\)” với n là số nguyên dương.

a) chứng tỏ rằng p(1) là mệnh đề đúng.

b) với k là một số nguyên dương tùy ý mà p(k) là mệnh đề đúng, cho biết \(1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1)\) bằng bao nhiêu.

c) với k là một số nguyên dương tùy ý mà p(k) là mệnh đề đúng, chứng tỏ rằng p(k+1) cũng là mệnh đề đúng bằng cách chỉ ra \({k^2} + [2(k + 1) - 1] = {(k + 1)^2}\).

lời giải chi tiết:

a) mệnh đề p(1) là: “\(1 = {1^2}\)”, rõ ràng mệnh đề này đúng.

b) mệnh đề p(k) là: “\(1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = {k^2}\)”

mệnh đề p(k) đúng thì \(1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1)\) bằng \({k^2}\)

c) mệnh đề p(k+1) là: “\(1 + 3 + 5 + ... + [2(k + 1) - 1] = {(k + 1)^2}\)”

mệnh đề p(k) đúng nên ta có \(1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = {k^2}\)

\(\begin{array}{l} \rightarrow 1 + 3 + 5 + ... + [2(k + 1) - 1] = 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + [2(k + 1) - 1]\\ = {k^2} + [2(k + 1) - 1] = {k^2} + 2k + 1 = {(k + 1)^2}\end{array}\)

vậy mệnh đề p(k+1) cũng đúng.

luyện tập – vận dụng 1

chứng minh:

a) \(\frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt n + \sqrt {n + 1} }} = \sqrt {n + 1} - 1\) với mọi \(n \in \mathbb{n}*\)

b) \(\frac{{{2^3} - 1}}{{{2^3} + 1}}.\frac{{{3^3} - 1}}{{{3^3} + 1}}.\frac{{{4^3} - 1}}{{{4^3} + 1}}...\frac{{{n^3} - 1}}{{{n^3} + 1}} = \frac{{2({n^2} + n + 1)}}{{3n(n + 1)}}\) với mọi \(n \in \mathbb{n}*,n \ge 2\)

phương pháp giải:

chứng minh mệnh đề p(n) đúng với \(n \ge p\) thì:

bước 1: chứng tỏ mệnh đề đúng với \(n = p\)

bước 2: với k là một số nguyên dương tùy ý mà p(k) là mệnh đề đúng, ta chứng tỏ p(k+1) cũng là mệnh đề đúng.

lời giải chi tiết:

a) ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

bước 1: khi \(n = 1\) ta có \(\frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} = \sqrt 2 - 1\), đúng

vì \(\left( {\sqrt 2 + \sqrt 1 } \right)\left( {\sqrt 2 - \sqrt 1 } \right) = 2 - 1 = 1 \rightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 1 }} = \sqrt 2 - \sqrt 1 = \sqrt 2 - 1\)

như vậy đẳng thức đúng với \(n = 1\)

bước 2: với k là một số nguyên dương tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:

\(\frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {k + 1} + \sqrt {k + 2} }} = \sqrt {k + 2} - 1\)

thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

\(\frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt k + \sqrt {k + 1} }} = \sqrt {k + 1} - 1\)

suy ra

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {k + 1} + \sqrt {k + 2} }}\\ = \sqrt {k + 1} - 1 + \frac{1}{{\sqrt {k + 1} + \sqrt {k + 2} }}\\ = \frac{{{{\left( {\sqrt {k + 1} } \right)}^2} + \sqrt {k + 1} .\sqrt {k + 2} + 1}}{{\sqrt {k + 1} + \sqrt {k + 2} }} - 1\\ = \frac{{k + 2 + \sqrt {k + 1} .\sqrt {k + 2} }}{{\sqrt {k + 1} + \sqrt {k + 2} }} - 1\\ = \frac{{\sqrt {k + 2} \left( {\sqrt {k + 2} + \sqrt {k + 1} } \right)}}{{\sqrt {k + 1} + \sqrt {k + 2} }} - 1\\ = \sqrt {k + 2} - 1\end{array}\)

vậy đẳng thức đúng với k+1. do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{n}*\). tức là:

\(\frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt n + \sqrt {n + 1} }} = \sqrt {n + 1} - 1\) với mọi \(n \in \mathbb{n}*\)

b) ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

bước 1: khi \(n = 2\) ta có \(\frac{{{2^3} - 1}}{{{2^3} + 1}} = \frac{{2({2^2} + 2 + 1)}}{{3.2(2 + 1)}}\), đúng

vì \(\frac{{{2^3} - 1}}{{{2^3} + 1}} = \frac{7}{9};\frac{{2({2^2} + 2 + 1)}}{{3.2(2 + 1)}} = \frac{{2.7}}{{3.2.3}} = \frac{7}{9}\)

như vậy đẳng thức đúng với \(n = 2\)

bước 2: với k là một số nguyên dương lớn hơn 2 tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:

\(\frac{{{2^3} - 1}}{{{2^3} + 1}}.\frac{{{3^3} - 1}}{{{3^3} + 1}}.\frac{{{4^3} - 1}}{{{4^3} + 1}}...\frac{{{{(k + 1)}^3} - 1}}{{{{(k + 1)}^3} + 1}} = \frac{{2({{(k + 1)}^2} + (k + 1) + 1)}}{{3(k + 1)(k + 2)}}\)

thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

suy ra

\(\begin{array}{l}\frac{{{2^3} - 1}}{{{2^3} + 1}}.\frac{{{3^3} - 1}}{{{3^3} + 1}}.\frac{{{4^3} - 1}}{{{4^3} + 1}}...\frac{{{{(k + 1)}^3} - 1}}{{{{(k + 1)}^3} + 1}}\\ = \frac{{2({k^2} + k + 1)}}{{3k(k + 1)}}.\frac{{{{(k + 1)}^3} - 1}}{{{{(k + 1)}^3} + 1}}\\ = \frac{{2({k^2} + k + 1)}}{{3k(k + 1)}}.\frac{{[(k + 1) - 1][{{(k + 1)}^2} + (k + 1) + 1]}}{{[(k + 1) + 1][{{(k + 1)}^2} - (k + 1) + 1]}}\\ = \frac{{2({k^2} + k + 1)}}{{3k(k + 1)}}.\frac{{k[{{(k + 1)}^2} + (k + 1) + 1]}}{{(k + 2)({k^2} + 2k + 1 - k - 1 + 1)}}\\ = \frac{{2({k^2} + k + 1)}}{{3k(k + 1)}}.\frac{{k[{{(k + 1)}^2} + (k + 1) + 1]}}{{(k + 2)({k^2} + k + 1)}}\\ = \frac{{2[{{(k + 1)}^2} + (k + 1) + 1]}}{{3(k + 1)(k + 2)}}\end{array}\)

vậy đẳng thức đúng với k+1. do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{n}*,n \ge 2\). tức là:

\(\frac{{{2^3} - 1}}{{{2^3} + 1}}.\frac{{{3^3} - 1}}{{{3^3} + 1}}.\frac{{{4^3} - 1}}{{{4^3} + 1}}...\frac{{{n^3} - 1}}{{{n^3} + 1}} = \frac{{2({n^2} + n + 1)}}{{3n(n + 1)}}\) với mọi \(n \in \mathbb{n}*,n \ge 2\)