Chuyên đề học tập Toán Lớp 10 Cánh diều

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[Chuyên đề học tập Toán Lớp 10 Cánh diều] Giải mục 4 trang 53 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều

Hướng dẫn học bài: Giải mục 4 trang 53 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều - Môn Toán học Lớp 10 Lớp 10. Đây là sách giáo khoa nằm trong bộ sách 'Chuyên đề học tập Toán Lớp 10 Cánh diều Lớp 10' được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết các bé sẽ nắm bài học tốt hơn.

hđ 5

trong mặt phẳng, xét đường hypebol (h) là tập hợp các điểm m sao cho \(\left| {m{f_1} - m{f_2}} \right| = 2a\), ở đó \({f_1}{f_2} = 2c\) với \(c > a > 0\). ta chọn hệ trục tọa độ \(oxy\) có gốc là trung điểm của đoạn thẳng \({f_1}{f_2}\). trục \(oy\) là đường trung trực của \({f_1}{f_2}\) và \({f_2}\) nằm trên tia \(ox\) (hình 16). khi đó \({f_1}( - c;0),{f_2}(c;0)\) là các tiêu diểm của hypebol (h)

giả sử điểm \(m\left( {x;y} \right)\) thuộc hypebol (h), chứng minh:

a) \(m{f_1}^2 = {x^2} + 2cx + {c^2} + {y^2}\)

b) \(m{f_2}^2 = {x^2} - 2cx + {c^2} + {y^2}\)

c) \(m{f_1}^2 - m{f_2}^2 = 4cx\)

lời giải chi tiết:

a) ta có: \(\overrightarrow {m{f_1}} = \left( { - c - x; - y} \right) \rightarrow m{f_1}^2 = {\left( { - c - x} \right)^2} + {y^2} = {x^2} + 2cx + {c^2} + {y^2}\)

b) ta có: \(\overrightarrow {m{f_2}} = \left( {c - x; - y} \right) \rightarrow m{f_2}^2 = {\left( {c - x} \right)^2} + {y^2} = {x^2} - 2cx + {c^2} + {y^2}\)

c) \(m{f_1}^2 - m{f_2}^2 = \left( {{x^2} + 2cx + {c^2} + {y^2}} \right) - \left( {{x^2} - 2cx + {c^2} + {y^2}} \right) = 4cx\)

hđ 6

với mỗi điểm m thuộc hypebol (h), từ hai đẳng thức \(m{f_1}^2 - m{f_2}^2 = 4cx\) và \(\left| {m{f_1} - m{f_2}} \right| = 2a\), chứng minh \(m{f_1} = \left| {a + \frac{c}{a}x} \right| = \left| {a + ex} \right|\) và \(m{f_2} = \left| {a - \frac{c}{a}x} \right| = \left| {a - ex} \right|\)

lời giải chi tiết:

+ ta có: \(m{f_1}^2 - m{f_2}^2 = \left( {m{f_1} - m{f_2}} \right)\left( {m{f_1} + m{f_2}} \right) = \left( {m{f_1} - m{f_2}} \right).\left| {2a} \right| = 4cx\)

\( \rightarrow m{f_1} - m{f_2} = \frac{{2c}}{{\left| a \right|}}x\)

+ ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}m{f_1} + m{f_2} = \left| {2a} \right|\quad \left( 1 \right)\\m{f_1} - m{f_2} = \frac{{2c}}{{\left| a \right|}}x\quad \left( 2 \right)\end{array} \right.\)

từ (1) và (2) suy ra:

\(2m{f_1} = \left| {2a} \right| + \frac{{2c}}{{\left| a \right|}}x \rightarrow m{f_1} = \left| a \right| + \frac{c}{{\left| a \right|}}x = \left| {a + \frac{c}{a}x} \right| = \left| {a + ex} \right|\)

\(m{f_2} = 2\left| a \right| - m{f_1} = 2\left| a \right| - \left( {\left| a \right| + \frac{c}{{\left| a \right|}}x} \right) = \left| a \right| - \frac{c}{{\left| a \right|}}x\)\( = \left| {a - \frac{c}{a}x} \right| = \left| {a - ex} \right|\)

luyện tập - vận dụng 3

cho hypebol (h) có phương trình chính tắc: \(\frac{{{x^2}}}{{144}} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\). giả sử điểm m là diderm chuẩn thuộc hypebol có hoành độ là 15. tìm độ dài các bán kính qua tiêu của điểm m.

phương pháp giải:

phương trình của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\). khi đó ta có:

+ độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm \(m(x;y)\) là: \(m{f_1} = \left| {a + \frac{c}{a}x} \right|;m{f_2} = \left| {a - \frac{c}{a}x} \right|\)

lời giải chi tiết:

ta có \(a = 12,b = 3,c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {144 + 9} = 3\sqrt {17} \).

do đó \(e = \frac{{3\sqrt {17} }}{{12}} = \frac{{\sqrt {17} }}{4}\).

vậy độ dài các bán kính qua tiêu của điểm m là:

\(m{f_1} = \left| {12 + \frac{{\sqrt {17} }}{4}.15} \right|;m{f_2} = \left| {12 - \frac{{\sqrt {17} }}{4}.15} \right|\)