[Chuyên đề học tập Toán Lớp 11 Chân trời sáng tạo] Giải mục 2 trang 39, 40 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Hướng dẫn học bài: Giải mục 2 trang 39, 40 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo - Môn Toán học Lớp 11 Lớp 11. Đây là sách giáo khoa nằm trong bộ sách 'Chuyên đề học tập Toán Lớp 11 Chân trời sáng tạo Lớp 11' được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết các bé sẽ nắm bài học tốt hơn.
thực hành 2
cho hai hình vuông tùy ý abcd và a’b’c’d’ có giao điểm hai đường chéo lần lượt là o và o’ (hình 4).
a) gọi \({a_1}{b_1}{c_1}{đ_1}\) là ảnh của hình vuông abcd qua phép tịnh tiến theo vectơ . gọi φ là góc lượng giác (o’a1, o’a’). tìm ảnh \({a_2}{b_2}{c_2}{đ_2}\) của hình vuông a1b1c1d1 qua phép quay \({q_{\left( {o',{\rm{ }}\varphi } \right)}}.\)
b) cho biết \(\overrightarrow {oa'} = k\overrightarrow {o{a_2}} \). tìm ảnh của hình vuông \({a_2}{b_2}{c_2}{đ_2}\) qua phép vị tự \({v_{\left( {o',{\rm{ }}k} \right)}}.\)
c) từ kết quả của câu a) và b), hãy cho biết ta có thể kết luận là hai hình vuông tùy ý luôn đồng dạng với nhau được không. giải thích.
phương pháp giải:
để tìm ảnh của một hình qua một phép biến hình ta tìm ảnh của các điểm thuộc hình đó qua phép biến hình. sau đó nối chúng lại với nhau.
lời giải chi tiết:
a) do phép quay là phép dời hình nên ảnh a2b2c2d2 của hình vuông a1b1c1d1 cũng là hình vuông có kích thước bằng hình vuông a1b1c1d1.
theo đề, ta có a1b1c1d1 là ảnh của hình vuông abcd qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow {{\rm{oo}}'} \).
mà o là tâm của hình vuông abcd.
nên ta có o’ là tâm của hình vuông a1b1c1d1.
mà a2b2c2d2 là ảnh của hình vuông a1b1c1d1 qua \({q_{(o',\;\varphi )}}\;\) (giả thiết).
suy ra o’ cũng là tâm của hình vuông a2b2c2d2.
do đó o’a2 = o’b2 = o’c2 = o’d2.
để tìm ảnh a2b2c2d2 của hình vuông a1b1c1d1 qua ta tìm vị trí các điểm a2, b2, c2, d2 theo thứ tự là ảnh của các điểm a1, b1, c1, d1 qua \({q_{(o',\;\varphi )}}.\)
ta có \({a_2}\; = {\rm{ }}{q_{(o',\;\varphi )}}({a_1}).\)
suy ra \(o'{a_2}\; = {\rm{ }}o'{a_1}\;,{\rm{ }}(o'{a_1},{\rm{ }}o'{a_2}){\rm{ }} = {\rm{ }}\varphi .\)
mà \(\varphi {\rm{ }} = {\rm{ }}(o'{a_1},{\rm{ }}o'a')\) (giả thiết).
do đó a2 nằm trên đường thẳng o’a’.
vì vậy a2 là một điểm nằm trên đường thẳng o’a’ thỏa mãn o’a2 = o’a1.
ta có \({b_2}\; = {\rm{ }}{q_{(o',\;\varphi )}}({b_1}).\)
suy ra \(o'{b_2}\; = {\rm{ }}o'{b_1},(o'{b_1},{\rm{ }}o'{b_2}){\rm{ }} = {\rm{ }}\varphi .\)
ta có o’ là tâm của hình vuông a2b2c2d2 và hình vuông a’b’c’d’.
khi đó \(\widehat {{a_1}o'b} = {90^o} - \widehat {{a_2}o'{a_1}}\) và \(\widehat {{a_1}o'b'} = {90^o} - \widehat {a'o'{a_1}}\)
suy ra \(\widehat {{a_1}o'{b_2}} = \widehat {{a_1}o'b'}\)
do đó b2 nằm trên đường thẳng o’b’.
vì vậy b2 là một điểm nằm trên đường thẳng o’b’ thỏa mãn \(o'{b_2}\; = {\rm{ }}o'{b_1}.\)
chứng minh tương tự, ta được:
⦁ c2 nằm trên đường thẳng o’c’ thỏa mãn o’c2 = o’c1;
⦁ d2 nằm trên đường thẳng o’d’ thỏa mãn o’d2 = o’d1.
vậy ảnh của hình vuông a1b1c1d1 qua q(o’, φ) là hình vuông a2b2c2d2 thỏa mãn a2, b2, c2, d2 lần lượt nằm trên o’a’, o’b’, o’c’, o’d’ và o’b2 = o’c2 = o’d2 = o’a2 = o’a1.
b) để tìm ảnh của hình vuông a2b2c2d2 qua v(o’, k), ta tìm ảnh của các điểm a2, b2, c2, d2 qua v(o’, k).
theo đề, ta có \(\overrightarrow {o'a'} = k\overrightarrow {o'{a_2}} \) .
suy ra \({v_{\left( {o',{\rm{ }}k} \right)}}({a_2}){\rm{ }} = {\rm{ }}a',{\rm{ }}o'a'{\rm{ }} = {\rm{ }}\left| k \right|.o'{a_2}.\)
ta có o’a2 = o’b2 (chứng minh trên) và o’a’ = o’b’ (o’ là tâm của hình vuông a’b’c’d’).
suy ra \(\frac{{o'{b_2}}}{{o'b'}} = \frac{{o'{a_2}}}{{o'a'}} = \frac{1}{{\left| k \right|}}\)
do đó o’b’ = |k|.o’b2.
mà \(\overrightarrow {o'b'} ,\overrightarrow {o'{b_2}} \) cùng phương (b2 là một điểm nằm trên đường thẳng o’b’).
suy ra \(\overrightarrow {o'b'} = k.\overrightarrow {o'{b_2}} \)
do đó \({v_{\left( {o',{\rm{ }}k} \right)}}({b_2}){\rm{ }} = {\rm{ }}b'.\)
chứng minh tương tự, ta được \({v_{\left( {o',{\rm{ }}k} \right)}}({c_2}){\rm{ }} = {\rm{ }}c',{\rm{ }}{v_{\left( {o',{\rm{ }}k} \right)}}({đ_2}){\rm{ }} = {\rm{ }}d'.\)
vậy ảnh của hình vuông a2b2c2d2 qua \({v_{\left( {o',{\rm{ }}k} \right)}}\;\) là hình vuông a’b’c’d’.
c) từ kết quả của câu a) và b), ta thấy phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm o’, góc quay φ = (o’a1, o’a’) và phép vị tự tâm o, tỉ số k biến hình vuông abcd thành hình vuông a’b’c’d’.
do đó hai hình vuông abcd và a’b’c’d’ đồng dạng với nhau.
vậy hai hình vuông tùy ý luôn đồng dạng với nhau.
vận dụng 2
tìm các cặp hình đồng dạng với nhau có trong hình 5.
phương pháp giải:
quan sát hình 5 để tìm các cặp hình đồng dạng
lời giải chi tiết:
⦁ xét cặp hình (a) và (b):
ta có \(o{a_1}\; = {\rm{ }}2oa\) và \(\overrightarrow {o{a_1}} \;,\,\overrightarrow {oa} \) cùng phương.
suy ra \(\overrightarrow {o{a_1}} = 2\,\overrightarrow {oa} \)
do đó \({v_{\left( {o,{\rm{ }}2} \right)}}\left( a \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{a_1}.\)
chứng minh tương tự, ta được \({v_{\left( {o,{\rm{ }}2} \right)}}\left( b \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{b_1}.\)
vì vậy \({v_{\left( {o,{\rm{ }}2} \right)}}\left( {ab} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{a_1}{b_1}.\)
khi đó \({v_{\left( {o,{\rm{ }}2} \right)}}\;\) biến hình (a) thành hình (b).
vì vậy phép đồng dạng tỉ số 2 biến hình (a) thành hình (b).
do đó hình (a) và hình (b) đồng dạng với nhau.
⦁ ta xét hình (b) và hình (c):
ta có m là trung điểm b1b’.
suy ra \(b'{\rm{ }} = {\rm{ }}{đ_m}({b_1}).\)
chứng minh tương tự, ta được \(a'{\rm{ }} = {\rm{ }}{đ_m}({a_1}).\)
do đó
khi đó \({đ_m}\) biến hình (b) thành hình (c).
vì vậy phép đồng dạng tỉ số 1 biến hình (b) thành hình (c).
do đó hình (b) và hình (c) đồng dạng với nhau.
⦁ ta xét hình (a) và hình (c):
ta có phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp \({v_{\left( {o,{\rm{ }}2} \right)}}\;\) và \({đ_m}\) biến hình (a) thành hình (c).
do đó hình (a) và hình (c) đồng dạng với nhau.
vậy các cặp hình đồng dạng với nhau có trong hình 5 là: cặp hình (a) và (b); cặp hình (b) và (c); cặp hình (c) và (a).
Giải bài tập những môn khác
Môn Ngữ văn Lớp 11
Môn Toán học Lớp 11
Môn Vật lí Lớp 11
Môn Tiếng Anh Lớp 11
Môn Hóa học Lớp 11
Môn Sinh học Lớp 11
Môn GD kinh tế và pháp luật Lớp 11
Lời giải và bài tập Lớp 11 đang được quan tâm
