SGK Toán Lớp 11 Kết nối tri thức

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[SGK Toán Lớp 11 Kết nối tri thức] Giải mục 2 trang 6, 7 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Hướng dẫn học bài: Giải mục 2 trang 6, 7 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức - Môn Toán học Lớp 11 Lớp 11. Đây là sách giáo khoa nằm trong bộ sách 'SGK Toán Lớp 11 Kết nối tri thức Lớp 11' được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết các bé sẽ nắm bài học tốt hơn.

HĐ 2

Video hướng dẫn giải

a) Tìm tất cả các số thực x sao cho x² = 4.

b) Tìm tất cả các số thực x sao cho x³ = - 8.

Câu hỏi: Số âm có căn bậc chẵn không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Đưa 2 vế về cùng số mũ thì cơ số bằng nhau.

Câu hỏi: dựa vào khái niệm căn bậc chẵn của một số.

Lời giải chi tiết:

a) ${x^2} = 4 = {2^2} = {\left( { - 2} \right)^2} \Leftrightarrow x = \pm 2$

b) ${x^3} = - 8 = {\left( { - 2} \right)^3} \Leftrightarrow x = - 2.$

Câu hỏi:

Trong toán học, căn bậc chẵn của một số là một số lớn hơn 0. Do đó số âm không có căn bậc chẵn.

LT 2

Video hướng dẫn giải

Tính:

a) $\sqrt[3]{{ - 125}}$;

b) $\sqrt[4]{{\frac{1}{{81}}}}.$

Phương pháp giải:

Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu bⁿ = a.

Lời giải chi tiết:

a) $\sqrt[3]{{ - 125}} = \sqrt[3]{{{{\left( { - 5} \right)}^3}}} = - 5.$

b) $\sqrt[4]{{\frac{1}{{81}}}} = \sqrt[4]{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^4}}} = \frac{1}{3}.$

HĐ 3

Video hướng dẫn giải

a) Tính và so sánh: $\sqrt[3]{{ - 8}}.\sqrt[3]{{27}}$ và $\sqrt[3]{{\left( { - 8} \right).27}}.$

b) Tính và so sánh: $\frac{{\sqrt[3]{{ - 8}}}}{{\sqrt[3]{{27}}}}$ và $\sqrt[3]{{\frac{{ - 8}}{{27}}}}.$

Phương pháp giải:

Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu bⁿ = a.

Lời giải chi tiết:

a) $\sqrt[3]{{ - 8}}.\sqrt[3]{{27}} = \sqrt[3]{{{{\left( { - 2} \right)}^3}}}.\sqrt[3]{{{3^3}}} = - 2.3 = - 6$

$\begin{array}{l}\sqrt[3]{{\left( { - 8} \right).27}} = \sqrt[3]{{ - 216}} = \sqrt[3]{{{{\left( { - 6} \right)}^3}}} = - 6\\ \Rightarrow \sqrt[3]{{ - 8}}.\sqrt[3]{{27}} = \sqrt[3]{{\left( { - 8} \right).27}}\end{array}$

b) $\frac{{\sqrt[3]{{ - 8}}}}{{\sqrt[3]{{27}}}} = \frac{{\sqrt[3]{{{{\left( { - 2} \right)}^3}}}}}{{\sqrt[3]{{{3^3}}}}} = \frac{{ - 2}}{3}$

$\begin{array}{l}\sqrt[3]{{\frac{{ - 8}}{{27}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {\frac{{ - 2}}{3}} \right)}^3}}} = \frac{{ - 2}}{3}\\ \Rightarrow \frac{{\sqrt[3]{{ - 8}}}}{{\sqrt[3]{{27}}}} = \sqrt[3]{{\frac{{ - 8}}{{27}}}}.\end{array}$

LT 3

Video hướng dẫn giải

Tính:

a) $\sqrt[3]{5}:\sqrt[3]{{625}};$

b) $\sqrt[5]{{ - 25\sqrt 5 }}.$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $\frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}} = \sqrt[n]{{\frac{a}{b}}};{\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^n} = a$

Lời giải chi tiết:

a) $\sqrt[3]{5}:\sqrt[3]{{625}} = \sqrt[3]{{\frac{5}{{625}}}} = \sqrt[3]{{\frac{1}{{125}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^3}}} = \frac{1}{5}.$

b) $\sqrt[5]{{ - 25\sqrt 5 }} = \sqrt[5]{{{{\left( { - \sqrt 5 } \right)}^5}}} = - \sqrt 5 $

HĐ 4

Video hướng dẫn giải

Cho a là một số thực dương.

a) Với n là số nguyên dương, hãy thử định nghĩa ${a^{\frac{1}{n}}}$ sao cho ${\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^n} = a.$

b) Từ kết quả của câu a, hãy thử định nghĩa ${a^{\frac{m}{n}}},$ với m là số nguyên và n là số nguyên dương, sao cho ${a^{\frac{m}{n}}} = {\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^m}.$

Câu hỏi: Vì sao trong định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ lại cần điều kiện cơ số a > 0?

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức ${\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^n} = a$

Câu hỏi: Lấy ví dụ để chứng minh nếu $ a \le 0$ dẫn đến mâu thuẫn.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: ${\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^n} = a$ mà ${\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^n} = a$ nên ${\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^n} = \sqrt[n]{a} \Rightarrow {a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}$

b) Theo câu a ta có ${a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}$ mà ${a^{\frac{m}{n}}} = {\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^m}$ nên ${a^{\frac{m}{n}}} = {\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^m} = \sqrt[n]{{{a^m}}}$

Câu hỏi:

+ Giả sử định nghĩa lũy thừa với số mũ r là đúng với a < 0.

Xét lũy thừa $(-1)^{\frac{1}{3}}$. Theo định nghĩa ta có $(-1)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{(-1)^1}=-1$

Mặt khác, do $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$ nên $(-1)^{\frac{1}{3}}=(-1)^{\frac{2}{6}}$. Áp dụng định nghĩa ta lại có $(-1)^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{(-1)^2}=1$.

Như vậy, từ định nghĩa ta chứng minh được $-1=1$
$ -1=\sqrt[3]{-1}=(-1)^{\frac{1}{3}}=(-1)^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{(-1)^2}=1 $

Có thể nói, trong tình huống này định nghĩa với cơ số âm đã tự mâu thuẫn.

+ Lũy thừa có số mũ hữu tỉ với cơ số a = 0 thì dẫn đến vô nghĩa nếu mũ âm. Ví dụ $0^{\frac{-1}{2}}= \sqrt{0^{-1}} = \sqrt{\frac{1}{0}}$

Như vậy trong định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ cần điều kiện cơ số a > 0

LT 4

Video hướng dẫn giải

Rút gọn biểu thức: $A = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}y + x{y^{\frac{3}{2}}}}}{{\sqrt x + \sqrt y }}\,\,\,\left( {x,y > 0} \right).$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức ${a^{\frac{1}{n}}} = \sqrt[n]{a}$

Lời giải chi tiết:

$A = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}y + x{y^{\frac{3}{2}}}}}{{\sqrt x + \sqrt y }} = \frac{{xy\left( {{x^{\frac{1}{2}}} + {y^{\frac{1}{2}}}} \right)}}{{{x^{\frac{1}{2}}} + {y^{\frac{1}{2}}}}} = xy.$