Đề kiểm tra giữa học kỳ 1 Toán 12 Kết nối tri thức giải chi tiết-Đề 1 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 6 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phuơng án.
Câu 1. Cho hàm số $f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left( { – \infty ; – 1} \right)\,$. B. $\left( {0;1} \right)$. C. $\left( { – 1;1} \right)\,$. D. $\left( { – 1;0} \right)\,$
Câu 2. Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau:
Hàm số $f(x)\,$đạt cực đại tại
A. $x = – 2\,$. B. $x = 3\,$. C. $x = 1\,$. D. $x = 2\,$.
Câu 3. Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đồ thị trên $\left[ { – 3;3} \right]$ như hình vẽ.
Giá trị lớn nhất $M$ và giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\left[ { – 3;3} \right]$ lần lượt là
A. $M = 3;m = – 1$. B. $M = 4;m = – 2$. C. $M = 3;m = – 3$. D. $M = – 1;m = 1$
Câu 4. Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ.
Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$ là:
A. $x = 1.$ B. $x = – 1.$ C. $y = 1.$ D. $y = – 1.$
Câu 5. Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ.
Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ là:
A. $x = – 1.$ B. $x = 2.$ C. $y = – 1.$ D. $y = 2.$
Câu 6: Cho hàm số $y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}},\;\;(am \ne 0)$ có đồ thị như hình vẽ. Đường thẳng nào sau đây là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho?
A. $y = 2x.$ B. $y = – x.$ C. $y = x.$ D. $y = – 2x.$
Câu 7. Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ là:
A.$I\left( { – 1;1} \right)$ B. $I\left( { – 1; – 1} \right)$ C. $I\left( {1;1} \right)$ D. $I\left( {1; – 1} \right)$
Câu 8. Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ.
Giá trị điểm cực đại của hàm số là
A. $ – 3$. B. $0$. C. $2$. D. $1$.
Câu 9. Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
A. $x = 0\,$. B. $x = – 4\,$. C. $x = – 1\,$. D. $x = 2\,$.
Câu 10. Cho hàm số $f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?
A.0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 11. Hàm số $y = \frac{{x + 5}}{{2x – 1}}$ có giá trị lớn nhất trên đoạn $\left[ {1;2} \right]$ bằng :
A.5 B. 6 C. $\frac{7}{3}$ D. 8
Câu 12. Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ.
Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ là:
A.$( – 1;2)$. B. $(2; – 1)$. C. $(0;2)$. D. $( – 1;0)$.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a, b, c, d ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1. Cho hàm số $y = \frac{{x – 2}}{{x + 1}}$.
a) Tập xác định của hàm số là $D = R\backslash \left\{ 2 \right\}$
b) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là đường thẳng $x = – 1$.
c) Đồ thị hàm số có tất cả hai đường tiệm cận.
d) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng nằm trên đường thẳng nằm trên đường thẳng $\left( \Delta \right):x + 2y – 3 = 0$.
Câu 2. Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} – 2x + 2}}{{x – 1}}$.
a) Tập xác định của hàm số là $D = R\backslash \left\{ 1 \right\}$
b) Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$
c) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = 2$
d) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho bằng $2\sqrt 5 $.
Câu 3. Cho hàm số $y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,,\,\,(a \ne 0)$ liên tục trên $\mathbb{R}$và có đồ thị như hình vẽ:
a) Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$.
b) Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$.
c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $\left[ { – 1;1} \right]$ bằng $ – 4$.
d) Tổng $a + b + c + d = 10$.
Câu 4. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $f’\left( x \right)$ như hình bên dưới.
a) Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $( – \infty ; – 1)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.
b) Hàm số đã cho có 1 điểm cực trị.
c) Giá trị nhỏ nhất trên đoạn $\left[ { – 3;1} \right]$ bằng $f( – 2)$
d) Giá trị $f’\left( 3 \right) = 20$.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Cho hàm số $y = \frac{{2{x^2} + x – 1}}{{x + 2}}$. Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có phương trình $y = ax + b$. Khi đó $a + b = ?$.
Câu 2. Khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao ( mét) của một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ điểm cách mặt đất 2 m với vận tốc ban đầu là $24,5m/s$ là $h\left( t \right) = 2 + 24,5t – 4,9{t^2}$ (theo vật lý đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam 2016). Tìm vận tốc của vật sau 2 giây.
Câu 3. Bác Hưng có một hàng rào thép dài 240 m và muốn rào cánh đồng thành một thửa ruộng hình chữ nhật giáp một con sông thẳng. Bác không cần rào phía cạnh con sông. Hỏi thửa ruộng có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?
Câu 4. Một chiếc hộp dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông và có thể tích là $2000\;c{m^3}$. Lượng vật liệu dùng để sản xuất chiếc hộp là nhỏ nhất khi chiều cao của chiếc hộp bằng $\frac{a}{{\sqrt[3]{b}}},\,\,(a,b \in {N^*})$. Tính $T = a + 2b$?
Câu 5. Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy 1000 con vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng. Bằng thực nghiệm, người ta xác định được số lượng vi khuẩn thay đổi theo thời gian bởi công thức: $N(t) = 1000 + \frac{{100t}}{{100 + {t^2}}},$trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây $(t \geqslant 0)$ (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014). Taị thời điểm $t = a\,$( giây) số lượng vi khuẩn nhiều nhất. Giá trị của a bằng?
Câu 6. Thầy An tham dự giải “Đi bộ trực tuyến Ngành Giáo dục và Đào tạo Edu Run-HCMC” năm 2024. Quãng đường thầy An đi được biểu diễn bằng hàm số $s\left( t \right) = a{t^3} + b{t^2} + ct + d$ (với $a \ne 0$) có đồ thị như hình bên.
(trong đó t là thời gian tính bằng giờ, s là quãng đường tính bằng km).
Khi đó, vận tốc tối đa của thầy An đạt được là bao nhiêu $km/h$?
ĐẤP ÁN VÀ LỜI GIẢI
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.
| 1.D | 2.B | 3.B | 4.D | 5.B | 6.C |
| 7.B | 8.D | 9.A | 10.A | 11.B | 12.A |
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai.
Câu 1.
| a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
Câu 2.
| a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
Câu 3.
| a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Câu 4.
| a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng |
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
Câu 1. Cho hàm số $y = \frac{{2{x^2} + x – 1}}{{x + 2}}$. Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có phương trình $y = ax + b$. Khi đó $a + b = ?$.
Lời giải
Ta có: $y = \frac{{2{x^2} + x – 1}}{{x + 2}} = 2x – 3 + \frac{5}{{x + 2}}$
Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có phương trình $y = 2x – 3$.
Vậy $a + b = 2 – 3 = – 1$
Câu 2. Khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao ( mét) của một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ điểm cách mặt đất 2 m với vận tốc ban đầu là $24,5m/s$ là $h\left( t \right) = 2 + 24,5t – 4,9{t^2}$ (theo vật lý đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam 2016). Tìm vận tốc $v\left( {m/s} \right)$ của vật sau 1 giây.
Lời giải
Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm thì vận tốc của vật là: $v\left( t \right) = h’\left( t \right) = – 9,8t + 24,5\,$
Vậy vận tốc của vật sau 2 giây là $v\left( 2 \right) = – 9,8.1 + 24,5 = \,14,3$
Câu 3. Bác Hưng có một hàng rào thép dài 240 m và muốn rào cánh đồng thành một thửa ruộng hình chữ nhật giáp một con sông thẳng. Bác không cần rào phía cạnh con sông. Hỏi thửa ruộng có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?
Lời giải
Gọi $x,y(\;m)$ lần lượt là chiều dài hai cạnh của thửa ruộng hình chữ nhật.
Giả sử cạnh giáp sông của thửa ruộng có độ dài là $y(\;m)$.
Khi đó, theo đề bài ta có: $2x + y = 240$ hay $y = 240 – 2x$.
Do đó: $0 < x < 120;y > 0$.
Diện tích của thửa ruộng là $S = xy = x(240 – 2x) = 240x – 2{x^2},0 < x < 120.$
Ta có: $S’ = 240 – 4x;S’ = 0 \Leftrightarrow x = 60$ (với $0 < x < 120$). Khi đó $y = 240 – 2 \cdot 60 = 120$.
Lập bảng biến thiên:
Vậy thửa ruộng có diện tích lớn nhất là $S = 60 \cdot 120 = 7200\left( {\;{m^2}} \right)$ (khi cạnh giáp sông và cạnh đối diện có độ dài 120 m, hai cạnh kia có độ dài 60 m).
Chú ý: Nếu phải rào cả bốn cạnh của thửa ruộng thì dễ thấy thửa ruộng có diện tich lớn nhất khi nó là hình vuông, tức là bốn cạnh đều dài 60 m, và khi đó diện tích lớn nhất là $3600\;{m^2}$.
Câu 4. Một chiếc hộp dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông và có thể tích là $2000\;c{m^3}$. Lượng vật liệu dùng để sản xuất chiếc hộp là nhỏ nhất khi chiều cao của chiếc hộp bằng $\frac{a}{{\sqrt[3]{b}}},\,\,(a,b \in {N^*})$. Tính $T = a + 2b$?
Lời giải
Gọi $x(\;cm)$ là cạnh đáy của chiếc hộp. Khi đó, ta có chiều cao của chiếc hộp là $\frac{{2000}}{{{x^2}}}(\;cm)$.
Suy ra, tổng diện tích bề mặt của chiếc hộp là $S = 2{x^2} + 4x \cdot \frac{{2000}}{{{x^2}}} = 2{x^2} + \frac{{8000}}{x},x > 0.$
Ta có: $S’ = 4x – \frac{{8000}}{{{x^2}}} = \frac{{4{x^3} – 8000}}{{{x^2}}}$; $S’ = 0 \Leftrightarrow x = 10\sqrt[3]{2}$
Bằng cách lập bảng biến thiên, dễ thấy lượng vật liệu dùng để sản xuất là nhỏ nhất (tức là tổng diện tích bề mặt hộp nhỏ nhất) khi cạnh đáy của hộp là $10\sqrt[3]{2}\;cm$ và chiều cao của hộp là $\frac{{20}}{{\sqrt[3]{4}}}\;cm$.
$T = 20 + 2.4 = 28$
Câu 5. Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy 1000 con vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng. Bằng thực nghiệm, người ta xác định được số lượng vi khuẩn thay đổi theo thời gian bởi công thức: $N(t) = 1000 + \frac{{100t}}{{100 + {t^2}}},$trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây $(t \geqslant 0)$ (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014). Taị thời điểm $t = a\,$( giây) số lượng vi khuẩn nhiều nhất. Giá trị của a bằng?
Lời giải
Ta có: $N'(t) = \frac{{100 \cdot \left( {100 + {t^2}} \right) – 100t \cdot 2t}}{{{{\left( {100 + {t^2}} \right)}^2}}}$$ = \frac{{100 \cdot \left( {100 – {t^2}} \right)}}{{{{\left( {100 + {t^2}} \right)}^2}}}$và $N'(t) = 0$ khi $t = 10$.
Bảng xét dấu của $N'(t)$:
$a = 10$
Câu 6. Thầy An tham dự giải “Đi bộ trực tuyến Ngành Giáo dục và Đào tạo Edu Run-HCMC” năm 2024. Quãng đường thầy An đi được biểu diễn bằng hàm số $s\left( t \right) = a{t^3} + b{t^2} + ct + d$(với $a \ne 0$) có đồ thị như hình bên.
(trong đó t l à thời gian tính bằng giờ, s là quãng đường tính bằng km).
Khi đó, vận tốc tối đa của thầy An đạt được là bao nhiêu?
Lời giải
Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số đi qua các điểm:$O\left( {0;0} \right),A\left( {2;12} \right),B\left( {4;24} \right)$ và điểm $B\left( {4;24} \right)$là 1 điểm cực trị của đồ thị hàm số
Ta có: $s\left( t \right) = a{t^3} + b{t^2} + ct + d \Rightarrow s’\left( t \right) = 3a{t^2} + 2bt + c$
Khi đó ta có hệ sau: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{s\left( 0 \right) = 0} \\
{s\left( 2 \right) = 12} \\
{s\left( 4 \right) = 24} \\
{s’\left( 4 \right) = 0}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{d = 0} \\
{8a + 4b + 2c + d = 12} \\
{64a + 16b + 4c + d = 24} \\
{48a + 8b + c = 0}
\end{array}} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = – \frac{3}{4}} \\
{b = \frac{9}{2}} \\
{c = 0} \\
{d = 0}
\end{array}} \right.$
Nên: $s\left( t \right) = – \frac{3}{4}{t^3} + \frac{9}{2}{t^2} \Rightarrow v\left( t \right) = s’\left( t \right) = – \frac{9}{4}{t^2} + 9t$.
Thầy An dừng đi bộ khi: $v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow – \frac{9}{4}{t^2} + 9t = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0} \\
{t = 4}
\end{array}} \right.$
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của $v\left( t \right)$ trên $\left[ {0;4} \right]$.
Ta có: $v’\left( t \right) = – \frac{9}{2}t + 9 \Rightarrow v’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 2$.
Khi đó: $v\left( 0 \right) = 0,v\left( 2 \right) = 9,v\left( 4 \right) = 0$
Vậy vận tốc lớn nhất mà thầy An đạt được là $9\;km/h$ tại thời điểm $t = 2$.
