Đề thi giữa học kỳ 2 Toán 11 Chân trời sáng tạo giải chi tiết-Đề 2 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phuơng án.
Câu 1: Với $a$ là số thực dương tùy ý, $\sqrt[3]{{{a^2}}}$ bằng:
A. ${a^{\frac{1}{6}}}$. B. ${a^6}$. C. ${a^{\frac{2}{3}}}$. D. ${a^{\frac{3}{2}}}$.
Câu 2: Tập xác định của hàm số $y = {(x – 1)^{\sqrt 3 }}$ là
A. $\mathbb{R} \setminus \left\{ 1 \right\}$. B. $\mathbb{R}$. C. $\left( {1; + \infty } \right)$. D. $\left( { – 1; + \infty } \right)$.
Câu 3: Một khối lăng trụ có diện tích đáy bằng 6 và chiều cao bằng 5 . Thể tích của khối lăng trụ đó bằng
A. 15 . B. 90 . C. 10 . D. 30 .
Câu 4: Cho $a,b$ là các số thực dương, $a \ne 1$ thỏa mãn ${log_a}b = 3$. Tính ${log_{\sqrt a }}{a^2}{b^3}$ ?
A. 24 . B. 25 . C. 22 . D. 23 .
Câu 5: Đường cong trong hình bên là của đồ thị hàm số nào sau đây?
A. $y = {log_2}x$. B. $y = {(0,8)^x}$. C. $y = {log_{0,4}}x$. D. $y = {(\sqrt 2 )^x}$.
Câu 6: Nghiệm của phương trình ${3^{x + 2}} = 27$ là
A. $x = – 2$. B. $x = – 1$. C. $x = 2$. D. $x = 1$.
Câu 7: Tính thể tích của khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân, cạnh góc vuông là $a$, cạnh bên bằng $2a$.
A. $V = \frac{1}{2}{a^3}$. B. $V = 2{a^3}$. C. $V = {a^3}$. D. $V = 4{a^3}$.
Câu 8: Tập nghiệm của bất phương trình ${log_{\frac{1}{4}}}\left( {x – 1} \right) > – 1$ là
A. $\left( {\frac{5}{4}; + \infty } \right)$. B. $\left( {1;\frac{5}{4}} \right)$. C. $\left( { – \infty ;2} \right)$. D. $\left( {1;5} \right)$.
Câu 9: Cho hình lăng trụ $ABC \cdot A’B’C’$ có đường vuông góc chung của $AA’$ và $BC’$ là $AB$. Nhận xét nào dưới đây sai?
A. $\widehat {A’C’B’} = {90^ \circ }$. B. $\widehat {ABC} = {90^ \circ }$. C. $\widehat {A’B’B} = {90^ \circ }$. D. $\widehat {ABC’} = {90^ \circ }$.
Câu 10: Trong không gian cho hai đường thẳng phân biệt $a;b$ và mặt phẳng $\left( P \right)$, trong đó $a \bot \left( P \right)$. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu $b\parallel a$ thì $b \bot \left( P \right)$. B. Nếu $b \bot a$ thì $b\parallel \left( P \right)$.
C. Nếu $b\parallel \left( P \right)$ thì $b \bot a$. D. Nếu $b \bot \left( P \right)$ thì $b\parallel a$.
Câu 11: Cho tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc với nhau và $OA = OB = OC = a$. Khi đó thể tích của khối tứ diện $OABC$ là :
A. $\frac{{{a^3}}}{2}$. B. $\frac{{{a^3}}}{{12}}$. C. $\frac{{{a^3}}}{6}$. D. $\frac{{{a^3}}}{3}$.
Câu 12: Cho một khối chóp có chiều cao bằng $h$ và diện tích đáy bằng $B$. Nếu giữ nguyên chiều cao $h$, còn diện tích đáy tăng lên 3 lần thì ta được một khối chóp mới có thể tích là:
A. $V = Bh$. B. $V = \frac{1}{6}Bh$. C. $V = \frac{1}{2}Bh$. D. $V = \frac{1}{3}Bh$.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho phương trình ${9^{x + 1}} – 13 \cdot {6^x} + {4^{x + 1}} = 0$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
a) Nếu đặt ${\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} = t$ thì phương trình đã cho trở thành $9{t^2} – 13t + 4 = 0$.
b) Phương trình đã cho có hai nghiệm, trong đó có một nghiệm nguyên âm.
c) Tổng tất cả các nghiệm của phương trình đã cho bằng 0 .
d) Phương trình đã cho có hai nghiệm và đều là nghiệm nguyên dương.
Câu 2: Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có cạnh $SA$ vuông góc với hình vuông đáy $ABCD$. Nhận xét sai là:
a) Tam giác $SBC$ vuông tại $B$.
b) Tam giác $SDC$ vuông tại $C$.
c) Mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$.
d) Mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$.
Câu 3: Giả sử $A,B$ là hai điểm phân biệt trên đồ thị của hàm số $y = {log_3}\left( {5x – 3} \right)$ sao cho $A$ là trung điểm của đoạn $OB$.
a) Hoành độ của điểm $B$ là một số nguyên.
b) Trung điểm của đoạn thẳng $OB$ có tọa độ $\left( {\frac{{12}}{5};1} \right)$.
c) Gọi $H$ là hình chiếu của điểm $B$ xuống trục hoành. Khi đó ${S_{\vartriangle OBH}} = \frac{{\sqrt {61} }}{{25}}$
d) Đoạn thẳng $AB$ có độ dài bằng $\frac{{\sqrt {61} }}{5}$.
Câu 4: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Biết $SA = a\sqrt 2 $ và $SA$ vuông góc với mặt đáy. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SM$.
a) Đường thẳng $AH$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$.
b) Đường thẳng $SH$ là hình chiếu của đường thẳng $SA$ lên mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$
c) Độ dài đoạn thẳng $AH$ bằng $\frac{{6a}}{{11}}$
d) Cosin góc tạo bởi đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ bằng $\frac{{\sqrt {11} }}{{33}}$
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1: Cho biết hai số thực dương $a$ và $b$ thỏa mãn $log_a^2\left( {ab} \right) = 4$; với $b > 1 > a > 0$. Hỏi giá trị của biểu thức $log_a^3\left( {a{b^2}} \right)$ tương ứng bằng bao nhiêu?
Câu 2: Tính tổng các giá trị nguyên của tham số $m \in \left[ {0;5} \right]$ để bất phương trình ${log_2}\left( {{5^x} – 1} \right) \leqslant m$ có nghiệm $x \geqslant 1$.
Câu 3: Một người gửi ngân hàng 200 triệu đồng với kì hạn 1 tháng theo hình thức lãi kép, lãi suất $0,58\% $ một tháng (kể từ tháng thứ hai trở đi, tiền lãi được tính theo phần trăm của tổng tiền gốc và tiền lãi tháng trước đó). Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng thì người đó có tối thiểu 225 triệu đồng trong tài khoản tiết kiệm, biết rằng ngân hàng chỉ tính lãi khi đến kì hạn?
Câu 4: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $E$ là điểm đối xứng của $D$ qua trung điểm $SA$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AE$ và $BC$. Gọi $\alpha $ là góc giữa hai đường thẳng $MN$ và $BD$. Tính $sin\alpha $
Câu 5: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB = 1,AD = 2\sqrt 3 $. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, biết tam giác $SAD$ có diện tích $S = 3$. Tính khoảng cách từ $C$ đến $\left( {SBD} \right)$ (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 6: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB = 1,AD = \sqrt 3 $, tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, khoảng cách giữa $AB$ và $SC$ bằng $\frac{3}{2}$. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$ (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12 . Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phuơng án.
Câu 1: Với $a$ là số thực dương tùy ý, $\sqrt[3]{{{a^2}}}$ bằng:
A. ${a^{\frac{1}{6}}}$.
B. ${a^6}$.
C. ${a^{\frac{2}{3}}}$.
D. ${a^{\frac{3}{2}}}$.
Lời giải
Với mọi số thực dương $a$ ta có: $\sqrt[3]{{{a^2}}} = {a^{\frac{2}{3}}}$.
Câu 2: Tập xác định của hàm số $y = {(x – 1)^{\sqrt 3 }}$ là
A. $\mathbb{R} \setminus \left\{ 1 \right\}$.
B. $\mathbb{R}$.
C. $\left( {1; + \infty } \right)$.
D. $\left( { – 1; + \infty } \right)$.
Lời giải
Điều kiện: $x – 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1$. Vậy tập xác định của hàm số $y = {(x – 1)^{\sqrt 3 }}$ là $\left( {1; + \infty } \right)$.
Câu 3: Một khối lăng trụ có diện tích đáy bằng 6 và chiều cao bằng 5 . Thể tích của khối lăng trụ đó bằng
A. 15 .
B. 90 .
C. 10
D. 30 .
Ta có $V = 6.5 = 30$.
Lời giải
Câu 4: Cho $a,b$ là các số thực dương, $a \ne 1$ thỏa mãn ${log_a}b = 3$. Tính ${log_{\sqrt a }}{a^2}{b^3}$ ?
A. 24 .
B. 25 .
C. 22 .
D. 23 .
Lời giải
Ta có ${log_{\sqrt a }}{a^2}{b^3} = 2{log_a}\left( {{a^2}{b^3}} \right) = 2\left( {2 + 3{log_a}b} \right) = 2\left( {2 + 9} \right) = 22$.
Câu 5: Đường cong trong hình bên là của đồ thị hàm số nào sau đây?
A. $y = {log_2}x$.
B. $y = {(0,8)^x}$.
C. $y = {log_{0,4}}x$.
D. $y = {(\sqrt 2 )^x}$.
Lời giải
Dựa vào đồ thị, ta có hàm số có tập xác định $\mathbb{R}$ và hàm số nghịch biến suy ra $y = {(0,8)^x}$.
Câu 6: Nghiệm của phương trình ${3^{x + 2}} = 27$ là
A. $x = – 2$.
B. $x = – 1$.
C. $x = 2$.
D. $x = 1$.
Lời giải
Ta có: ${3^{x + 2}} = 27 \Leftrightarrow {3^{x + 2}} = {3^3} \Leftrightarrow x + 2 = 3 \Leftrightarrow x = 1$.
Câu 7: Tính thể tích của khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân, cạnh góc vuông là $a$, cạnh bên bằng $2a$.
A. $V = \frac{1}{2}{a^3}$.
B. $V = 2{a^3}$.
C. $V = {a^3}$.
D. $V = 4{a^3}$.
Lời giải
Thể tích của khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân, cạnh góc vuông là $a$, cạnh bên bằng $2a$ là: $V = Bh = \frac{1}{2}{a^2} \cdot 2a = {a^3}$.
Câu 8: Tập nghiệm của bất phương trình ${log_{\frac{1}{4}}}\left( {x – 1} \right) > – 1$ là
A. $\left( {\frac{5}{4}; + \infty } \right)$.
B. $\left( {1;\frac{5}{4}} \right)$.
C. $\left( { – \infty ;2} \right)$.
D. $\left( {1;5} \right)$.
Lời giải
Ta có: ${log_{\frac{1}{4}}}\left( {x – 1} \right) > – 1 \Leftrightarrow 0 < x – 1 < {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{ – 1}}$
$ \Leftrightarrow 0 < x – 1 < 4 \Leftrightarrow 1 < x < 5$.
Tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( {1;5} \right)$.
Câu 9: Cho hình lăng trụ $ABC \cdot A’B’C’$ có đường vuông góc chung của $AA’$ và $BC’$ là $AB$. Nhận xét nào dưới đây sai?
A. $\widehat {A’C’B’} = {90^ \circ }$.
B. $\widehat {ABC} = {90^ \circ }$.
C. $\widehat {A’B’B} = {90^ \circ }$.
D. $\widehat {ABC’} = {90^ \circ }$.
Vì $AB$ là đường vuông góc chung của $AA’$ và $BC’$ nên $AB \bot BC \Rightarrow \widehat {ABC} = {90^ \circ }$
Vậy nên $\widehat {A’C’B’} = {90^ \circ }$ là sai.
Câu 10: Trong không gian cho hai đường thẳng phân biệt $a;b$ và mặt phẳng $\left( P \right)$, trong đó $a \bot \left( P \right)$. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu $b\parallel a$ thì $b \bot \left( P \right)$.
B. Nếu $b \bot a$ thì $b\parallel \left( P \right)$.
C. Nếu $b\parallel \left( P \right)$ thì $b \bot a$.
D. Nếu $b \bot \left( P \right)$ thì $b\parallel a$.
Lời giải
Mệnh đề sai là: Nếu $b \bot a$ thì $b\parallel \left( P \right)$.
Câu 11: Cho tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc với nhau và $OA = OB = OC = a$. Khi đó thể tích của khối tứ diện $OABC$ là :
A. $\frac{{{a^3}}}{2}$.
B. $\frac{{{a^3}}}{{12}}$.
C. $\frac{{{a^3}}}{6}$.
D. $\frac{{{a^3}}}{3}$.
Lời giải
Thể tích khối tứ diện $OABC$ là $V = \frac{1}{6} \cdot OA \cdot OB \cdot OC = \frac{{{a^3}}}{6}$.
Câu 12: Cho một khối chóp có chiều cao bằng $h$ và diện tích đáy bằng $B$. Nếu giữ nguyên chiều cao $h$, còn diện tích đáy tăng lên 3 lần thì ta được một khối chóp mới có thể tích là:
A. $V = Bh$.
B. $V = \frac{1}{6}Bh$.
C. $V = \frac{1}{2}Bh$.
D. $V = \frac{1}{3}Bh$.
Lời giải
Ta có $B’ = 3B$ nên thể tích khối chóp mới là $V = \frac{1}{3}B’h = \frac{1}{3} \cdot 3Bh = Bh$.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho phương trình ${9^{x + 1}} – 13 \cdot {6^x} + {4^{x + 1}} = 0$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau
a) Nếu đặt ${\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} = t$ thì phương trình đã cho trở thành $9{t^2} – 13t + 4 = 0$
b) Phương trình đã cho có hai nghiệm, trong đó có một nghiệm nguyên âm.
c) Tổng tất cả các nghiệm của phương trình đã cho bằng 0 .
d) Phương trình đã cho có hai nghiệm và đều là nghiệm nguyên dương.
Lời giải
Ta có: ${9^{x + 1}} – {13.6^x} + {4^{x + 1}} = 0 \Leftrightarrow 9 \cdot {9^x} – 13 \cdot {6^x} + {4.4^x} = 0$$ \Leftrightarrow 9 \cdot \frac{{{9^x}}}{{{4^x}}} – 13 \cdot \frac{{{6^x}}}{{{4^x}}} + 4 = 0$
$ \Leftrightarrow 9.{\left( {\frac{3}{2}} \right)^{2x}} – 13.{\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} + 4 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x} = 1} \\
{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x} = \frac{4}{9}}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0} \\
{x = – 2}
\end{array}} \right.} \right.$.
a) Đúng: Nếu đặt ${\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} = t$ thì phương trình đã cho trở thành $9{t^2} – 13t + 4 = 0$.
b) Đúng: Phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên, trong đó có một nghiệm nguyên âm.
c) Sai: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình đã cho bằng -2 .
d) Sai: Phương trình đã cho có hai nghiệm và chỉ có một nghiệm nguyên dương.
Câu 2: Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có cạnh $SA$ vuông góc với hình vuông đáy $ABCD$.
a) Tam giác $SBC$ vuông tại $B$.
b) Tam giác $SDC$ vuông tại $C$.
c) Mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$
d) Mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$.
Lời giải
a) Đúng: Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{BC \bot AB} \\
{BC \bot SA}
\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB \Rightarrow } \right.$ Tam giác $SBC$ vuông tại B.
b) Sai: Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{CD \bot AD} \\
{CD \bot SA}
\end{array} \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot SD \Rightarrow } \right.$ tam giác $SCD$ vuông tại D.
c) Đúng: Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{BC \bot AB} \\
{BC \bot SA}
\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)} \right.$.
d) Đúng: Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{CD \bot AD} \\
{CD \bot SA}
\end{array} \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow \left( {SCD} \right) \bot \left( {SAD} \right)} \right.$.
Câu 3: Giả sử $A,B$ là hai điểm phân biệt trên đồ thị của hàm số $y = {log_3}\left( {5x – 3} \right)$ sao cho $A$ là trung điểm của đoạn $OB$.
a) Hoành độ của điểm $B$ là một số nguyên.
b) Trung điểm của đoạn thẳng $OB$ có tọa độ $\left( {\frac{{12}}{5};1} \right)$.
c) Gọi $H$ là hình chiếu của điểm $B$ xuống trục hoành. Khi đó ${S_{\vartriangle OBH}} = \frac{{\sqrt {61} }}{{25}}$
d) Đoạn thẳng $AB$ có độ dài bằng $\frac{{\sqrt {61} }}{5}$.
Lời giải
Gọi $A\left( {{x_1},{log_3}\left( {5{x_1} – 3} \right)} \right)$. Vì $A$ là trung điểm $OB$ nên $B\left( {2{x_1};2{log_3}\left( {5{x_1} – 3} \right)} \right)$.
Vì $B$ thuộc đồ thị của hàm số $y = {log_3}\left( {5x – 3} \right)$ nên
$2{log_3}\left( {5{x_1} – 3} \right) = {log_3}\left( {10{x_1} – 3} \right)$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{5{x_1} – 3 > 0} \\
{10{x_1} – 3 > 0} \\
{{{\left( {5{x_1} – 3} \right)}^2} = 10{x_1} – 3}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{5{x_1} – 3 > 0} \\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{6}{5}} \\
{x = \frac{2}{5}}
\end{array}} \right.}
\end{array} \Leftrightarrow {x_1} = \frac{6}{5}} \right.$.
Vì thế $A\left( {\frac{6}{5};1} \right),B\left( {\frac{{12}}{5};2} \right) \Rightarrow AB = \frac{{\sqrt {61} }}{5}$.
Hình chiếu điểm $B$ xuống trục hoành là $H\left( {\frac{{12}}{5};0} \right) \Rightarrow BH = 2$ và $OH = \frac{{12}}{5} \Rightarrow {S_{\vartriangle OBH}} = \frac{{12}}{5}$
a) Đúng: Hoành độ của điểm $B$ là một số nguyên.
b) Sai: Trung điểm của đoạn thẳng $OB$ là điểm $A$ có tọa độ $\left( {\frac{6}{5};1} \right)$.
c) Sai: Gọi $H$ là hình chiếu của điểm $B$ xuống trục hoành. Khi đó ${S_{\vartriangle OBH}} = \frac{{12}}{5}$
d) Đúng: Đoạn thẳng $AB$ có độ dài bằng $\frac{{\sqrt {61} }}{5}$.
Câu 4: Cho hình chóp $S \cdot ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Biết $SA = a\sqrt 2 $ và $SA$ vuông góc với mặt đáy. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SM$.
a) Đường thẳng $AH$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$.
b) Đường thẳng $SH$ là hình chiếu của đường thẳng $SA$ lên mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$
c) Độ dài đoạn thẳng $AH$ bằng $\frac{{6a}}{{11}}$
d) Cosin góc tạo bởi đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ bằng $\frac{{\sqrt {11} }}{{33}}$
Lời giải
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SM$.
Ta có: $AH \bot SM$.
Mặt khác $BC \bot \left( {SAM} \right)$ nên $BC \bot AH$. Ta suy ra $AH \bot \left( {SBC} \right)$.
Nên $SH$ là hình chiếu của $SA$ lên mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$.
Ta suy ra góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ là góc $\alpha = \widehat {ASH}$.
Xét tam giác $SAM$ vuông tại $A$ ta có: $\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{{{(a\sqrt 2 )}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{{11}}{{6{a^2}}}$
$ \Rightarrow A{H^2} = \frac{{6{a^2}}}{{11}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}$.
Xét tam giác $SAH$ vuông tại $H$ ta có: $sin\widehat {ASH} = \frac{{AH}}{{SA}} = \frac{{\frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}}}{{a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt {33} }}{{11}}$.
a) Đúng: Đường thẳng $AH$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$.
b) Đúng: Đường thẳng $SH$ là hình chiếu của đường thẳng $SA$ lên mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$
c) Sai: Độ dài đoạn thẳng $AH$ bằng $\frac{{6a}}{{11}}$
d) Sai: Cosin góc tạo bởi đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ bằng $\frac{{\sqrt {33} }}{{11}}$.
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1: Cho biết hai số thực dương $a$ và $b$ thỏa mãn $log_a^2\left( {ab} \right) = 4$; với $b > 1 > a > 0$. Hỏi giá trị của biểu thức $log_a^3\left( {a{b^2}} \right)$ tương ứng bằng bao nhiêu?
Lời giải
Với $b > 1 > a > 0$ ta có :
$log_a^2\left( {ab} \right) = 4 \Leftrightarrow {\left( {{log_a}a + {log_a}b} \right)^2} = 4$
$ \Leftrightarrow {\left( {1 + {log_a}b} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 + {log_a}b = 2} \\
{1 + {log_a}b = – 2}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{log_a}b = 1} \\
{{log_a}b = – 3}
\end{array}} \right.} \right.$
Vì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{0 < a < 1} \\
{b > 1}
\end{array}} \right.$ nên ${log_a}b = – 3$.
Khi đó : $log_a^3\left( {a{b^2}} \right) = {\left( {{log_a}a + 2{log_a}b} \right)^3} = {(1 + 2 \cdot \left( { – 3} \right))^3} = – 125$
Câu 2: Tính tổng các giá trị nguyên của tham số $m \in \left[ {0;5} \right]$ để bất phương trình ${log_2}\left( {{5^x} – 1} \right) \leqslant m$ có nghiệm $x \geqslant 1$.
Lời giải
Điều kiện ${5^x} – 1 > 0 \Leftrightarrow x > 0$.
Ta có ${log_2}\left( {{5^x} – 1} \right) \leqslant m \Leftrightarrow {5^x} – 1 \leqslant {2^m}$.
Ta có ${5^x} – 1 \geqslant 4$ với mọi $x \geqslant 1$.
Để bất phương trình có nghiệm $x \geqslant 1$ thì ${2^m} \geqslant 4 \Leftrightarrow m \geqslant 2\mathop \to \limits^{m \in \left[ {0;5} \right]} m = \left\{ {2;3;4;5} \right\}$ nên tổng các giá trị của tham số $m$ bằng 14 .
Câu 3: Một người gửi ngân hàng 200 triệu đồng với kì hạn 1 tháng theo hình thức lãi kép, lãi suất $0,58\% $ một tháng (kể từ tháng thứ hai trở đi, tiền lãi được tính theo phần trăm của tổng tiền gốc và tiền lãi tháng trước đó). Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng thì người đó có tối thiểu 225 triệu đồng trong tài khoản tiết kiệm, biết rằng ngân hàng chỉ tính lãi khi đến kì hạn?
Lời giải
Theo hình thức lãi kép, tổng số tiền cả gốc lẫn lãi trong tài khoản của người đó sau $n$ tháng là: $A = 200{(1 + 0,58\% )^n} = 200 \cdot 1,{0058^n}$ (triệu đồng).
Theo đề bài $A \geqslant 225 \Rightarrow 200.1,{0058^n} \geqslant 225$
$ \Leftrightarrow 1,{0058^n} \geqslant \frac{9}{8} \Leftrightarrow n \geqslant {log_{1,0058}}\frac{9}{8} \approx 20,37$.
Vì ngân hàng chỉ tính lãi khi đến kì hạn nên phải sau ít nhất 21 tháng người đó mới có tối thiểu 225 triệu đồng trong tài khoản.
Câu 4: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $E$ là điểm đối xứng của $D$ qua trung điểm $SA$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AE$ và $BC$. Gọi $\alpha $ là góc giữa hai đường thẳng $MN$ và $BD$. Tính $sin\alpha $
Lời giải
Gọi $I$ là trung điểm $SA$ thì $IMNC$ là hình bình hành nên $MN//IC$.
Ta có $BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot IC$ mà $MN//IC \Rightarrow BD \bot MN$ nên góc giữa hai đường thẳng $MN$ và $BD$ bằng ${90^ \circ }$ hay $\alpha = {90^ \circ } \Rightarrow sin\alpha = 1$
Vậy $sin\alpha = 1$.
Câu 5: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB = 1,AD = 2\sqrt 3 $. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, biết tam giác $SAD$ có diện tích $S = 3$. Tính khoảng cách từ $C$ đến $\left( {SBD} \right)$ (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Lời giải
Do ${S_{SAD}} = 3 = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AD \Rightarrow SA = \frac{6}{{2\sqrt 3 }} = \sqrt 3 $.
Mặt khác ta có $d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)$.
Kẻ $AH \bot BD$ tại $H,,AK \bot SH$ tại $K \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = AK$.
$BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {13} $
$ \Rightarrow AH = \frac{{AB \cdot AD}}{{BD}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt {13} }} = \frac{{2\sqrt {39} }}{{13}}$.
$ \Rightarrow AK = \frac{{SA \cdot AH}}{{\sqrt {S{A^2} + A{H^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 \cdot \frac{{2\sqrt {39} }}{{13}}}}{{\sqrt {{{(\sqrt 3 )}^2} + {{\left( {\frac{{2\sqrt {39} }}{{13}}} \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt {51} }}{{17}}$.
Vậy $d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{2\sqrt {51} }}{{17}} \approx 0,84$.
Câu 6: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB = 1,AD = \sqrt 3 $, tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, khoảng cách giữa $AB$ và $SC$ bằng $\frac{3}{2}$. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$ (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Lời giải
Gọi $H,I$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$, kẻ $HK \bot SI$.
Vì tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Suy ra $SH \bot \left( {ABCD} \right)$.
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{CD \bot HI} \\
{CD \bot SH}
\end{array} \Rightarrow CD \bot \left( {SIH} \right) \Rightarrow CD \bot HK \Rightarrow HK \bot \left( {SCD} \right)} \right.$
$CD//AB \Rightarrow d\left( {AB,SC} \right) = d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = HK$
Suy ra $HK = \frac{3}{2};HI = AD = \sqrt 3 $
Trong tam giác vuông $SHI$ ta có $SH = \sqrt {\frac{{H{I^2} \cdot H{K^2}}}{{H{I^2} – H{K^2}}}} = 3$
Vậy ${V_{S \cdot ABCD}} = \frac{1}{3}SH \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \sqrt 3 = \sqrt 3 \approx 1,73$.
