Đề thi giữa học kỳ 2 Toán 11 KNTT cấu trúc mới giải chi tiết-Đề 5 được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 4 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phưong án đúng nhất.
Câu 1. Với $a$ là số thực dương tùy ý, $\sqrt {{a^3}} $ bằng
A. ${a^6}$.
B. ${a^{\frac{3}{2}}}$.
C. ${a^{\frac{2}{3}}}$.
D. ${a^{\frac{1}{6}}}$.
Câu 2. Cho $a > 0,m,n \in \mathbb{R}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. ${a^m} + {a^n} = {a^{m + n}}$.
B. ${a^m} \cdot {a^n} = {a^{m – n}}$.
C. ${\left( {{a^m}} \right)^n} = {\left( {{a^n}} \right)^m}$.
D. $\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{n – m}}$.
Câu 3. Cho $a > 0$ và $a \ne 1$ khi đó ${log_a}\sqrt[3]{a}$ bằng
A. -3 .
B. $\frac{1}{3}$.
C. $ – \frac{1}{3}$.
D. 3 .
Câu 4. Cho $a,b$ là các số thực dương thỏa mãn $a \ne 1,a \ne \sqrt b $ và ${log_a}b = \sqrt 3 $. Tính $P = {log_{\frac{{\sqrt b }}{a}}}\sqrt {\frac{b}{a}} $.
A. $P = – 5 + 3\sqrt 3 $
B. $P = – 1 + \sqrt 3 $
C. $P = – 1 – \sqrt 3 $
D. $P = – 5 – 3\sqrt 3 $
Câu 5. Tập xác định của hàm số $y = {log_5}x$ là
A. $\left[ {0; + \infty } \right)$.
B. $\left( { – \infty ;0} \right)$.
C. $\left( {0; + \infty } \right)$.
D. $\left( { – \infty ; + \infty } \right)$.
Câu 6. Mệnh đề nào trong các mệnh đề dưới đây sai?
A. Hàm số $y = {\left( {\frac{{2024}}{\pi }} \right)^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
B. Hàm số $y =logx$ đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.
C. Hàm số $y =ln\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.
D. Hàm số $y = {2^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Câu 7. Nghiệm của phương trình ${log_2}\left( {5x} \right) = 3$ là:
A. $x = \frac{8}{5}$.
B. $x = \frac{9}{5}$.
C. $x = 8$.
D. $x = 9$.
Câu 8. Tập nghiệm của bất phương trình ${3^{4 – {x^2}}} \geqslant 27$ là
A. $\left[ { – 1;1} \right]$.
B. $\left( { – \infty ;1} \right]$.
C. $\left[ { – \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right]$.
D. $\left[ {1; + \infty } \right)$.
Câu 9. Trong không gian cho trước điểm $M$ và đường thẳng $\Delta $. Các đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $\Delta $ thì:
A. vuông góc với nhau.
B. song song với nhau.
C. cùng vuông góc với một mặt phẳng.
D. cùng thuộc một mặt phẳng.
Câu 10. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$. Góc giữa hai đường thẳng $BA’$ và $CD$ bằng:
A. ${45^ \circ }$.
B. ${60^ \circ }$.
C. ${30^ \circ }$.
D. ${90^ \circ }$.
Câu 11. Qua điểm $O$ cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng $\Delta $ cho trước?
A. Vô số.
B. 2 .
C. 3 .
D. 1 .
Câu 12. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm $I$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $SC,SD$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $AH \bot \left( {SCD} \right)$.
B. $BD \bot \left( {SAC} \right)$.
C. $AK \bot \left( {SCD} \right)$.
D. $BC \bot \left( {SAC} \right)$.
Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai
Câu 1. Cho các biểu thức sau: $A = {log_{{2^{2030}}}}4 – \frac{1}{{1015}} +ln{e^{2035}};B = {log_5}3 \cdot {log_2}5 – \frac{{ln9}}{{ln4}}$
a) $A$ chia hết cho 5
b) $A – B = 2036$
c) $A + 2024B = 2035$
d) $A – 2024B = 2035$
Câu 2. Cho phương trình ${\left( {\frac{3}{2}} \right)^{x – 5}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{x + 3}}$. Biết phương trình có 1 nghiệm là $x = a$. Khi đó:
a) $a > 0$
b) Ba số $a,2,3$ tạo thành cấp số cộng với công sai bằng $d = 1$
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} ({x^2} + 2x + 5) = 7$
d) Phương trình ${x^2} + x + a = 0$ vô nghiệm
Câu 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi. Gọi $M,N$ theo thứ tự là trung điểm của đoạn $SB,SD$. Khi đó:
a) $MN//BD$.
b) $MN$ và $AC$ là hai đường thẳng chéo nhau.
c) $AC \bot BD$
d) $\left( {MN,AC} \right) = {90^ \circ }$
Câu 4. Cho tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi $OK$ là đường cao của tam giác $OBC$ và $OH$ là đường cao của tam giác $OAK$. Khi đó:
a) $OA \bot \left( {OBC} \right)$.
b) $OB \bot \left( {OAC} \right)$.
c) Các cạnh đối nhau trong tứ diện $OABC$ thì vuông góc với nhau.
d) $OH$ không vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.
Phần 3. Câu trả lời ngắn. Thí sinh trả lời đáp án từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Một khu rừng có trữ lượng gỗ là $4 \cdot {10^5}\;{m^3}$. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây lấy gỗ trong khu rừng này là $4\% $ mỗi năm. Hỏi sau 5 năm không khai thác, khu rừng sẽ có số mét khối gỗ là bao nhiêu?
Câu 2. Cho ${log_a}b = 2$ và ${log_a}c = 3$. Tính $Q = {log_a}\left( {{b^2}{c^3}} \right)$.
Câu 3. Tìm $m$ để hàm số $y = {log_{0,5}}\left( {m{x^2} – mx + 1} \right)$ xác định với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$.
Câu 4. Anh Hưng gửi tiết kiệm khoản tiền 700 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất $7\% $ / năm theo hình thức lãi kép kì hạn 12 tháng. Tính thời gian tối thiểu gửi tiết kiệm để anh Hưng thu được ít nhất 1 tỉ đồng (cả vốn lẫn lãi). Cho biết công thức lãi kép là $T = A \cdot {(1 + r)^n}$, trong đó $A$ là tiền vốn, $T$ là tiền vốn và lãi nhận được sau $n$ năm, $r$ là lãi suất/năm.
Câu 5. Cho tứ diện $ABCD$ có $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc với nhau, biết $AB = AC = AD = 1$.
Tìm số đo của góc $\left( {AB,CD} \right)$.
Câu 6. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ và đáy $ABCD$ là hình vuông. Từ $A$ kẻ $AM \bot SB$.
Tìm số đo của góc $\left( {AM,\left( {SBC} \right)} \right)$.
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.
Câu 1. Với $a$ là số thực dương tùy ý, $\sqrt {{a^3}} $ bằng
A. ${a^6}$.
B. ${a^{\frac{3}{2}}}$.
C. ${a^{\frac{2}{3}}}$.
D. ${a^{\frac{1}{6}}}$.
Lời giải
Chọn B
Với $a > 0$ ta có $\sqrt {{a^3}} = {a^{\frac{3}{2}}}$.
Câu 2. Cho $a > 0,m,n \in \mathbb{R}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. ${a^m} + {a^n} = {a^{m + n}}$.
B. ${a^m} \cdot {a^n} = {a^{m – n}}$.
C. ${\left( {{a^m}} \right)^n} = {\left( {{a^n}} \right)^m}$.
D. $\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{n – m}}$.
Lời giải
Chọn C.
Tính chất lũy thừa
Câu 3. Cho $a > 0$ và $a \ne 1$ khi đó ${log_a}\sqrt[3]{a}$ bằng
A. -3 .
B. $\frac{1}{3}$.
C. $ – \frac{1}{3}$.
D. 3 .
Lời giải
Chọn B
${log_a}\sqrt[3]{a} = \frac{1}{3}{log_a}a = \frac{1}{3}$.
Câu 4. Cho $a,b$ là các số thực dương thỏa mãn $a \ne 1,a \ne \sqrt b $ và ${log_a}b = \sqrt 3 $. Tính $P = {log_{\frac{{\sqrt b }}{a}}}\sqrt {\frac{b}{a}} $.
A. $P = – 5 + 3\sqrt 3 $
B. $P = – 1 + \sqrt 3 $
C. $P = – 1 – \sqrt 3 $
D. $P = – 5 – 3\sqrt 3 $
Lời giải
Chọn C
Cách 1: Phương pháp tự luận.
$P = \frac{{{log_a}\sqrt {\frac{b}{a}} }}{{{log_a}\frac{{\sqrt b }}{a}}} = \frac{{\frac{1}{2}\left( {{log_a}b – 1} \right)}}{{{log_a}\sqrt b – 1}}$
$ = \frac{{\frac{1}{2}\left( {\sqrt 3 – 1} \right)}}{{\frac{1}{2}{log_a}b – 1}} = \frac{{\sqrt 3 – 1}}{{\sqrt 3 – 2}} = – 1 – \sqrt 3 $
Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm.
Chọn $a = 2,b = {2^{\sqrt 3 }}$. Bấm máy tính ta được $P = – 1 – \sqrt 3 $.
Câu 5. Tập xác định của hàm số $y = {log_5}x$ là
A. $\left[ {0; + \infty } \right)$.
B. $\left( { – \infty ;0} \right)$.
C. $\left( {0; + \infty } \right)$.
D. $\left( { – \infty ; + \infty } \right)$.
Chọn C
Lời giải
Điều kiện: $x > 0$.
Tập xác định: $D = \left( {0; + \infty } \right)$.
Câu 6. Mệnh đề nào trong các mệnh đề dưới đây sai?
A. Hàm số $y = {\left( {\frac{{2024}}{\pi }} \right)^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
B. Hàm số $y =logx$ đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.
C. Hàm số $y =ln\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.
D. Hàm số $y = {2^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Lời giải
Chọn C
Hàm số $y =ln\left( { x} \right)$ TXĐ $D = \left( {0; + \infty } \right)$$
Cơ số $a = e > 1$ do đó hàm số đồng biết trên $\left( {0; + \infty } \right)$
Câu 7. Nghiệm của phương trình ${log_2}\left( {5x} \right) = 3$ là:
A. $x = \frac{8}{5}$.
B. $x = \frac{9}{5}$.
C. $x = 8$.
D. $x = 9$.
Lời giải
Chọn A
Điều kiện $x > 0$
${log_2}\left( {5x} \right) = 3 \Leftrightarrow 5x = {2^3} \Leftrightarrow 5x = 8 \Leftrightarrow x = \frac{8}{5}$ (nhận).
Câu 8. Tập nghiệm của bất phương trình ${3^{4 – {x^2}}} \geqslant 27$ là
A. $\left[ { – 1;1} \right]$.
B. $\left( { – \infty ;1} \right]$.
C. $\left[ { – \sqrt 7 ;\sqrt 7 } \right]$.
D. $\left[ {1; + \infty } \right)$.
Lời giải
Chọn A
Ta có: ${3^{4 – {x^2}}} \geqslant 27 \Leftrightarrow 4 – {x^2} \geqslant 3 \Leftrightarrow – 1 \leqslant x \leqslant 1$.
Câu 9. Trong không gian cho trước điểm $M$ và đường thẳng $\Delta $. Các đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $\Delta $ thì:
A. vuông góc với nhau.
B. song song với nhau.
C. cùng vuông góc với một mặt phẳng.
D. cùng thuộc một mặt phẳng.
Lời giải
Chọn D
Suy ra từ tính chất 1 theo SGK hình học 11 trang 100 .
Câu 10. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$. Góc giữa hai đường thẳng $BA’$ và $CD$ bằng:
A. ${45^ \circ }$.
B. ${60^ \circ }$.
C. ${30^ \circ }$.
D. ${90^ \circ }$.
Lời giải
Có $CD//AB \Rightarrow \left( {BA’,CD} \right) = \left( {BA’,BA} \right) = \widehat {ABA’} = {45^ \circ }$ (do $ABB’A’$ là hình vuông).
Câu 11. Qua điểm $O$ cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng $\Delta $ cho trước?
A. Vô số.
B. 2 .
C. 3 .
D. 1 .
Lời giải
Theo tính chất 1 SGK Hình học 11 trang 100 .
Câu 12. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm $I$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $SC,SD$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $AH \bot \left( {SCD} \right)$.
B. $BD \bot \left( {SAC} \right)$.
C. $AK \bot \left( {SCD} \right)$.
D. $BC \bot \left( {SAC} \right)$.
Lời giải
Ta có $\left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{CD \bot SA} \\
{CD \bot AD}
\end{array}} \right\} \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AK$
Ta có $\left. {\begin{array}{*{20}{c}}
{AK \bot SD} \\
{AK \bot CD}
\end{array}} \right\} \Rightarrow AK \bot \left( {SCD} \right).$
Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai.
Thi sinh trả lời tù câu 1 đến câu 4. Trong mối ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai
Câu 1. Cho các biểu thức sau: $A = {log_{{2^{2030}}}}4 – \frac{1}{{1015}} +ln{e^{2035}};$$B = {log_5}3 \cdot {log_2}5 – \frac{{ln9}}{{ln4}}$
a) $A$ chia hết cho 5
b) $A – B = 2036$
c) $A + 2024B = 2035$
d) $A – 2024B = 2035$
a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Đúng
Ta có: $A = {log_{{2^{2030}}}}4 – \frac{1}{{1015}} +ln{e^{2035}}$$ = {log_{{2^{2030}}}}{2^2} – \frac{1}{{1015}} + 2035$
$ = \frac{2}{{2030}} – \frac{1}{{1015}} + 2035 = 2035$.
Ta có: $B = {log_5}3.{log_2}5 – \frac{{ln9}}{{ln4}} = {log_2}5.{log_5}3 – {log_4}9$
$ = {log_2}3 – {log_{{2^2}}}{3^2} = {log_2}3 – {log_2}3 = 0$.
Câu 2. Cho phương trình ${\left( {\frac{3}{2}} \right)^{x – 5}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{x + 3}}$. Biết phương trình có 1 nghiệm là $x = a$. Khi đó:
a) $a > 0$
b) Ba số $a,2,3$ tạo thành cấp số cộng với công sai bằng $d = 1$
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} ({x^2} + 2x + 5) = 7$
d) Phương trình ${x^2} + x + a = 0$ vô nghiệm
Lời giải
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Đúng
a) ${\left( {\frac{3}{2}} \right)^{x – 5}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{x + 3}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{x – 5}} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{ – x – 3}} \Leftrightarrow x – 5 = – x – 3 \Leftrightarrow x = 1$.
Vậy phương trình có nghiệm là $x = 1$.
b) Ba số $a,2,3$ tạo thành cấp số cộng với công sai bằng $d = 1$
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} ({x^2} + 2x + 5) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} ({x^2} + 2x + 5) = 8$
d) ${x^2} + x + 1 > 0,\forall x$
Câu 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi. Gọi $M,N$ theo thứ tự là trung điểm của đoạn $SB,SD$. Khi đó:
a) $MN//BD$.
b) $MN$ và $AC$ là hai đường thẳng chéo nhau.
c) $AC \bot BD$
d) $\left( {MN,AC} \right) = {90^ \circ }$
Lời giải
a) Đúng
b) Đúng
c) Đúng
d) Đúng
Xét tam giác $SBD$ có $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN//BD$. (1)
Mặt khác: $AC \bot BD$ (hai đường chéo trong hình thoi). (2)
Từ (1) và (2) suy ra $AC \bot MN$ hay $\left( {MN,AC} \right) = {90^ \circ }$.
Câu 4. Cho tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi $OK$ là đường cao của tam giác $OBC$ và $OH$ là đường cao của tam giác $OAK$. Khi đó:
a) $OA \bot \left( {OBC} \right)$.
b) $OB \bot \left( {OAC} \right)$.
c) Các cạnh đối nhau trong tứ diện $OABC$ thì vuông góc với nhau.
d) $OH$ không vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.
Lời giải
a) Đúng
b) Đúng
c) Đúng
d) Sai
Ta có:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{OA \bot OB} \\
{OA \bot OC}
\end{array} \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right);} \right.$
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{OB \bot OA} \\
{OB \bot OC}
\end{array} \Rightarrow OB \bot \left( {OAC} \right);} \right.$
Vì $OA \bot \left( {OBC} \right)$ mà $BC \subset \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot BC$.
Vì $OB \bot \left( {OAC} \right)$ mà $AC \subset \left( {OAC} \right) \Rightarrow OB \bot AC$.
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{OC \bot OA} \\
{OC \bot OB}
\end{array} \Rightarrow OC \bot \left( {OAB} \right)} \right.$, mà $AB \subset \left( {OAB} \right) \Rightarrow OC \bot AB$.
Vậy các cặp cạnh đối nhau của tứ diện $OABC$ vuông góc với nhau.
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{BC \bot OK} \\
{BC \bot OA\left( {\;do\;OA \bot \left( {OBC} \right)} \right)}
\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {OAK} \right);} \right.$
mà $OH \subset \left( {OAK} \right) \Rightarrow OH \bot BC$.
Khi đó:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{OH \bot AK} \\
{OH \bot BC} \\
{AK \cap BC = K\; \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right)\;} \\
{AK,BC \subset \left( {ABC} \right)}
\end{array}} \right.$
Phần 3. Câu trả lời ngắn. Thí sinh trả lời đáp án từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Một khu rừng có trữ lượng gỗ là $4 \cdot {10^5}\;{m^3}$. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây lấy gỗ trong khu rừng này là $4\% $ mỗi năm. Hỏi sau 5 năm không khai thác, khu rừng sẽ có số mét khối gỗ là bao nhiêu?
Lời giải
Nếu trữ lượng gỗ của khu rừng ban đầu là $A$ thì sau năm thứ nhất, lượng gỗ có được là $A + Ar = A\left( {1 + r} \right)$ với $r$ là tốc độ tăng trưởng mỗi năm.
Sau năm thứ hai, lượng gỗ có được là $A\left( {1 + r} \right) + A\left( {1 + r} \right) \cdot r = A{(1 + r)^2}$.
Theo phương pháp quy nạp, ta chứng minh được công thức tính lượng gỗ trong khu rừng là ${T_n} = A{(1 + r)^n}$ với $A$ là lượng gỗ ban đầu, $r$ là tốc độ tăng trưởng mỗi năm và $n$ là số năm tăng trưởng của rừng.
Vậy sau 5 năm, lượng gỗ trong khu rừng là:
${T_5} = 4 \cdot {10^5}{\left( {1 + \frac{4}{{100}}} \right)^5} = 486661,161\left( {\;{m^3}} \right)$
Câu 2. Cho ${log_a}b = 2$ và ${log_a}c = 3$. Tính $Q = {log_a}\left( {{b^2}{c^3}} \right)$.
Lời giải
Ta có: $Q = {log_a}\left( {{b^2}{c^3}} \right) = {log_a}{b^2} + {log_a}{c^3}$ $ = 2{log_a}b + 3{log_a}c = 2.2 + 3.3 = 13$.
Câu 3. Tìm $m$ để hàm số $y = {log_{0,5}}\left( {m{x^2} – mx + 1} \right)$ xác định với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$.
Lời giải
Hàm số xác định với mọi $x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow m{x^2} – mx + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\left( * \right)$.
Trường hợp $1:m = 0$.
(*) trở thành $1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$ (đúng) nên $m = 0$ thoả mãn.
Trường hợp 2: $m \ne 0$.
(*) tương đương với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m > 0} \\
{\Delta = {m^2} – 4m < 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m > 0} \\
{0 < m < 4}
\end{array} \Leftrightarrow 0 < m < 4} \right.} \right.$.
Vậy $0 \leqslant m < 4$ thoả mãn đề bài.
Câu 4. Anh Hưng gửi tiết kiệm khoản tiền 700 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất $7\% $ / năm theo hình thức lãi kép kì hạn 12 tháng. Tính thời gian tối thiểu gửi tiết kiệm để anh Hưng thu được ít nhất 1 tỉ đồng (cả vốn lẫn lãi). Cho biết công thức lãi kép là $T = A \cdot {(1 + r)^n}$, trong đó $A$ là tiền vốn, $T$ là tiền vốn và lãi nhận được sau $n$ năm, $r$ là lãi suất/năm.
Lời giải
Ta có: $T \geqslant 1000 \Leftrightarrow 700{(1 + 7\% )^n} \geqslant 1000 \Leftrightarrow 1,{07^n} \geqslant \frac{{10}}{7}$
$ \Leftrightarrow n \geqslant {log_{1,07}}\left( {\frac{{10}}{7}} \right) \approx 5,27$ (do $1,07 > 1$ ).
Vậy thời gian gửi tiết kiệm phải ít nhất 6 năm thì anh Hưng mới thu được ít nhât 1 tỉ đồng.
Câu 5. Cho tứ diện $ABCD$ có $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc với nhau, biết $AB = AC = AD = 1$.
Tìm số đo của góc $\left( {AB,CD} \right)$.
Lời giải
Theo định lí Pythagore, ta tính được $BC = CD = BD = \sqrt 2 $.
Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,AC,AD$.
Tam giác $ABC$ có $MN$ là đường trung bình nên
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{MN//AB} \\
{MN = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.$
Tam giác $ACD$ có $NP$ là đường trung bình nên
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{NP//CD} \\
{NP = \frac{1}{2}CD = \frac{{\sqrt 2 }}{2}}
\end{array}} \right.$
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường trung tuyến $AM = \frac{{BC}}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.
Tam giác $AMP$ vuông tại $A$ có:
$MP = \sqrt {A{M^2} + A{P^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$
Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{MN//AB} \\
{NP//CD}
\end{array} \Rightarrow \left( {AB,CD} \right) = \left( {MN,NP} \right)} \right.$.
Tam giác $MNP$ có: $M{N^2} = \frac{1}{4},N{P^2} = \frac{1}{2},M{P^2} = \frac{3}{4}$ hay $M{N^2} + N{P^2} = M{P^2}$.
Suy ra tam giác $MNP$ vuông tại $N$.
Vậy $\left( {AB,CD} \right) = \left( {MN,NP} \right) = {90^ \circ }$ hay $AB \bot CD$.
Câu 6. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ và đáy $ABCD$ là hình vuông. Từ $A$ kẻ $AM \bot SB$. Tìm số đo của góc $\left( {AM,\left( {SBC} \right)} \right)$.
Lời giải
Do $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC$ (1).
Do $ABCD$ là hình vuông nên $BC \bot AB$ (2).
Từ (1), (2) $ \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AM\left( 3 \right)$.
Theo giả thiết, ta có $AM \bot SB$ (4).
Từ (3), (4) $ \Rightarrow AM \bot \left( {SBC} \right)$.
