Đề thi, đề kiểm tra Toán Lớp 8 Kết nối tri thức

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[Đề thi, đề kiểm tra Toán Lớp 8 Kết nối tri thức] Đề thi giữa kì 2 Toán 8 - Đề số 8 - Kết nối tri thức

Đề thi giữa kì 2 Toán 8 - Đề số 8 - Kết nối tri thức 1. Tổng quan về bài học

Bài học này tập trung vào việc cung cấp đề thi giữa kì 2 môn Toán lớp 8, đề số 8, theo chương trình Kết nối tri thức. Mục tiêu chính là giúp học sinh ôn tập và đánh giá kiến thức đã học trong học kì 2, bao gồm các nội dung quan trọng như: phương trình bậc nhất một ẩn, hệ phương trình, bất đẳng thức, hình học phẳng, các dạng hình học trong không gian (nếu có). Đề thi bao gồm các dạng bài tập đa dạng, từ nhận biết đến vận dụng, giúp học sinh làm quen với cấu trúc và mức độ khó của đề thi chính thức.

2. Kiến thức và kỹ năng

Học sinh sẽ được ôn tập và củng cố các kiến thức và kỹ năng sau:

Giải phương trình bậc nhất một ẩn. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số. Xác định bất đẳng thức, bất đẳng thức tam giác. Áp dụng các định lý hình học phẳng, như tính chất đường trung bình, đường phân giác, đường cao. Tính diện tích các hình học phổ biến. Hiểu về hình học không gian cơ bản (nếu có). Phân tích đề bài, lựa chọn phương pháp giải thích hợp. Vận dụng kiến thức vào giải quyết các bài toán thực tế. Viết lời giải rõ ràng, chính xác và đầy đủ. 3. Phương pháp tiếp cận
Bài học được tổ chức theo phương pháp ôn tập tổng hợp. Đề thi được thiết kế với nhiều câu hỏi, bao gồm các câu hỏi trắc nghiệm và tự luận, giúp học sinh đánh giá kiến thức, kỹ năng của mình. Bài học cung cấp hướng dẫn giải chi tiết cho một số câu hỏi, giúp học sinh hiểu rõ hơn về các phương pháp giải.
4. Ứng dụng thực tế
Kiến thức được học trong bài học có nhiều ứng dụng thực tế trong cuộc sống:

Giải quyết các vấn đề liên quan đến việc tính toán, đo đạc.
Áp dụng trong thiết kế, xây dựng.
Giải quyết các vấn đề trong cuộc sống hàng ngày.

5. Kết nối với chương trình học

Đề thi này liên kết với các bài học trước trong chương trình học kì 2 môn Toán 8, bao gồm các bài học về:

Phương trình bậc nhất một ẩn. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Bất đẳng thức. Hình học phẳng. Hình học không gian (nếu có). 6. Hướng dẫn học tập

Đọc kỹ đề và phân tích các yêu cầu của từng bài toán.
Xem lại các công thức, định lý quan trọng.
Thử giải các bài tập trong đề thi một cách độc lập.
So sánh lời giải của mình với lời giải mẫu để nhận biết sai sót và rút kinh nghiệm.
Nhận biết và khắc phục những điểm yếu của bản thân.
Làm lại các bài tập khó hoặc chưa hiểu rõ.
Hỏi giáo viên hoặc bạn bè nếu gặp khó khăn.
* Đọc kỹ đề và phân tích các yêu cầu của từng bài toán.

Tiêu đề Meta (tối đa 60 ký tự):

Đề thi giữa kì 2 Toán 8 - Đề số 8

Mô tả Meta (khoảng 150-160 ký tự):

Đề thi giữa kì 2 Toán 8 - Đề số 8 theo chương trình Kết nối tri thức. Bao gồm các dạng bài tập đa dạng, từ nhận biết đến vận dụng, giúp học sinh ôn tập kiến thức và rèn kỹ năng giải toán. Download file đề thi chi tiết tại đây!

Keywords:

1. Đề thi giữa kì 2 Toán 8
2. Đề thi Toán 8
3. Kết nối tri thức
4. Toán 8
5. Phương trình bậc nhất một ẩn
6. Hệ phương trình
7. Bất đẳng thức
8. Hình học phẳng
9. Hình học không gian
10. Giải toán
11. Ôn tập
12. Kiểm tra
13. Đề thi giữa kì
14. Lớp 8
15. Chương trình Kết nối tri thức
16. Bài tập Toán
17. Ôn tập Toán
18. Giữa kì 2
19. Đề số 8
20. Câu hỏi trắc nghiệm
21. Câu hỏi tự luận
22. Hướng dẫn giải
23. Luyện tập Toán
24. Kỹ năng giải toán
25. Kiến thức Toán 8
26. Đề kiểm tra
27. Đáp án đề thi
28. Download đề thi
29. Phương pháp giải
30. Đề bài
31. Câu hỏi
32. Ứng dụng thực tế
33. Giải bài tập
34. Giải hệ phương trình
35. Hình học
36. Đường thẳng
37. Tam giác
38. Hình bình hành
39. Hình thoi
40. Hình vuông

Đề bài

I. Trắc nghiệm

Câu 1 :

Một tàu du lịch đi từ Hải Phòng đến Quảng Ninh với quang đường dài $50{\rm{\;km}}/{\rm{h}}$. Vận tốc của dòng nước là $3{\rm{\;km}}/{\rm{h}}$. Gọi vận tốc thực của tàu là $x{\rm{\;km}}/{\rm{h}}$. Hãy biểu diễn thời gian tàu đi ngược dòng từ Quảng Ninh tới Hải Phòng.

A.
$\frac{{50}}{{x - 3}}$
B.
$\frac{{50}}{{x + 3}}$
C.
$\frac{{50}}{x}$
D.
$\frac{{50}}{{x - 6}}$

Câu 2 :

Quan sát hình sau và chỉ ra một cặp tam giác đồng dạng:

A.
$\Delta ABC\backsim \Delta PRQ$
B.
$\Delta ABC\backsim \Delta RPQ$
C.
$\Delta ABC\backsim \Delta DEF$
D.
$\Delta ABC\backsim \Delta EDF$

Câu 3 :

Đáp án nào dưới đây không là phương trình bậc nhất một ẩn?

A.
$3x + \frac{3}{5} = 0$
B.
$\frac{2}{3}y - 7 = 0$
C.
$7 = 2t$
D.
${z^2} - 9 = 0$

Câu 4 :

Điều kiện xác định của phân thức $\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{{x^2} - 1}}$ là:

A.
$x \ne 1$
B.
$x \ne - 3$
C.
$x \ne 1,x \ne - 1$
D.
$x \ne - 3,x \ne 1$

Câu 5 :

Chọn khẳng định sai.

A.
Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng.
B.
Hai tam giác cân luôn đồng dạng với nhau.
C.
Hai tam giác đều luôn đồng dạng với nhau.
D.
Hai tam giác đồng dạng là hai tam giác có tất cả các cặp góc tương ứng bằng nhau và các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.

Câu 6 :

Hai tam giác nào không đồng dạng khi biết độ dài các cạnh của hai tam giác lần lượt là:

A.
$2{\rm{\;cm}},3{\rm{\;cm}},4{\rm{\;cm}}$ và $10{\rm{\;cm}},15{\rm{\;cm}},20{\rm{\;cm}}$
B.
$3{\rm{\;cm}},4{\rm{\;cm}},6{\rm{\;cm}}$ và $9{\rm{\;cm}},12{\rm{\;cm}},16{\rm{\;cm}}$
C.
$2{\rm{\;cm}},2{\rm{\;cm}},2{\rm{\;cm}}$ và $1{\rm{\;cm}},1{\rm{\;cm}},1{\rm{\;cm}}$
D.
$14{\rm{\;cm}},15{\rm{\;cm}},16{\rm{\;cm}}$ và $7{\rm{\;cm}},7,5{\rm{\;cm}},8{\rm{\;cm}}$

Câu 7 :

Kết quả của phép chia $\frac{{a - 2b}}{{16}}:\frac{{2a - 4b}}{{12}}$ bằng:

A.
$\frac{3}{8}$
B.
$\frac{6}{{a - 2b}}$
C.
$\frac{{a - 2b}}{8}$
D.
$\frac{3}{{4.\left( {a - 2b} \right)}}$

Câu 8 :

Nếu 2 tam giác ${\rm{ABC}}$ và ${\rm{DEF}}$ có $\widehat A = \widehat D,\widehat C = \widehat F$ thì:

A.
$\Delta ABC\backsim \Delta DEF$
B.
$\Delta CAB\backsim \Delta DEF$
C.
$\Delta ABC\backsim \Delta DFE$
D.
$\Delta CBA\backsim \Delta DFE$

Câu 9 :

Tổng các nghiệm của hai phương trình $ - 6\left( {1,5 - 2x} \right) = 3\left( { - 15 + 2x} \right);5x + 10 = 0$ bằng:

A.
-8
B.
7
C.
0
D.
-2

Câu 10 :

Cho biết một nửa đàn bò đang gặm cỏ trên cánh đồng, $\frac{1}{3}$ đàn bò đang nằm nghỉ gần đó, còn lại 4 con đang uống nước ở ao. Tính số bò hiện có trong đàn.

A.
21 con
B.
18 con
C.
24 con
D.
27 con

II. Tự luận

Câu 1 :

Cho biểu thức: $B = \frac{1}{{x + 1}} - \frac{{{x^3} - x}}{{{x^2} + 1}} \cdot \left( {\frac{1}{{{x^2} + 2x + 1}} - \frac{1}{{{x^2} - 1}}} \right)$ (ĐKXĐ: $\left. {x \ne \pm 1} \right)$

a) Rút gọn $B$

b) Tính giá trị của $B$ tại $x = - 2$

c) Với giá trị nào của $x$ thì $B = 1$

Câu 2 :

Giải các phương trình sau:
a) $\frac{{9x + 5}}{6} = 1 - \frac{{6 + 3x}}{8}$;
b) $\frac{{x + 1}}{4} = \frac{1}{2} + \frac{{2x + 1}}{5}$;
c) $\frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{3} = \frac{3}{2} - \frac{{1 - 2x}}{4}$.

Câu 3 :

Tổng số học sinh khối 8 và khối 9 của một trường là 580 em, trong đó có $256$ em là học sinh giỏi. Tính số học sinh của mỗi khối, biết rằng số học sinh giỏi khối 8 chiếm tỉ lệ $40{\rm{\% }}$ số học sinh khối 8, số học sinh giỏi khối 9 chiếm tỉ lệ 48% số học sinh khối 9.

Câu 4 :

Cho $\Delta ABC$ có các đường cao ${\rm{BD}}$ và ${\rm{CE}}$ cắt nhau tại ${\rm{H}}$. Chứng minh:
a) $\Delta HBE$ đồng dạng với $\Delta HCD$.
b) $\widehat {HDE} = \widehat {HAE}$.

Câu 5 :

Cho $\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} = 1$. Chứng minh $\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} = 0$

Lời giải và đáp án

I. Trắc nghiệm

Câu 1 :

A.
$\frac{{50}}{{x - 3}}$
B.
$\frac{{50}}{{x + 3}}$
C.
$\frac{{50}}{x}$
D.
$\frac{{50}}{{x - 6}}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức bài toán chuyển động dòng nước sau đó thiết lập biểu thức theo yêu cầu.

Lời giải chi tiết :

Vận tốc ngược dòng của tàu đi từ Quảng Ninh đến Hải Phòng là: $x - 3\left( {{\rm{\;km}}/{\rm{h}}} \right)$

Thời gian tàu đi ngược dòng từ Quảng Ninh đến Hải Phòng là: $\frac{{50}}{{x - 3}}$ (giờ)

Đáp án A.

Câu 2 :

Quan sát hình sau và chỉ ra một cặp tam giác đồng dạng:

A.
$\Delta ABC\backsim \Delta PRQ$
B.
$\Delta ABC\backsim \Delta RPQ$
C.
$\Delta ABC\backsim \Delta DEF$
D.
$\Delta ABC\backsim \Delta EDF$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

TH đồng dạng thứ hai (c-g-c): Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta EDF$ có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\widehat {ABC} = \widehat {EDF} = {{60}^0}}\\{\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{DE}}{{EF}} = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.$ suy ra $\Delta ABC\backsim \Delta EDF$ (c.g.c)

Đáp án D.

Câu 3 :

Đáp án nào dưới đây không là phương trình bậc nhất một ẩn?

A.
$3x + \frac{3}{5} = 0$
B.
$\frac{2}{3}y - 7 = 0$
C.
$7 = 2t$
D.
${z^2} - 9 = 0$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Phương trình dạng ${\rm{ax}} + {\rm{b}} = 0$, với ${\rm{a}}$ và ${\rm{b}}$ là hai số đã cho và ${\rm{a}} \ne 0$, được gọi là phương trình bậc nhất một ân.

Lời giải chi tiết :

Các phương trình $3x + \frac{3}{5} = 0,\frac{2}{3}y - 7 = 0,7 = 2t$ có dạng nên là phương trình bậc nhất một ẩn.

Phương trình ${z^2} - 9 = 0$ có bậc hai nên không là phương trình bậc nhất một ẩn

Đáp án D.

Câu 4 :

Điều kiện xác định của phân thức $\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{{x^2} - 1}}$ là:

A.
$x \ne 1$
B.
$x \ne - 3$
C.
$x \ne 1,x \ne - 1$
D.
$x \ne - 3,x \ne 1$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Điều kiện xác định của phân thức là mẫu thức khác 0 .

Lời giải chi tiết :

Điều kiện xác định của phân thức $\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{{x^2} - 1}}$ là: ${x^2} - 1 \ne 0$ hay $x \ne 1,x \ne - 1$

Đáp án C.

Câu 5 :

Chọn khẳng định sai.

A.
Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng.
B.
Hai tam giác cân luôn đồng dạng với nhau.
C.
Hai tam giác đều luôn đồng dạng với nhau.
D.
Hai tam giác đồng dạng là hai tam giác có tất cả các cặp góc tương ứng bằng nhau và các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Nhận biết hai tam giác đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Hai tam giác bằng nhau có các cặp góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng bằng nhau nên chúng đồng dạng theo tỉ số 1

Hai tam giác đều có các góc đều bằng ${60^0}$ và các cạnh tương ứng tỉ lệ nên chúng đồng dạng.

Hai tam giác cân chưa chắc đồng dạng nên ${\rm{B}}$ sai.

Đáp án B.

Câu 6 :

Hai tam giác nào không đồng dạng khi biết độ dài các cạnh của hai tam giác lần lượt là:

A.
$2{\rm{\;cm}},3{\rm{\;cm}},4{\rm{\;cm}}$ và $10{\rm{\;cm}},15{\rm{\;cm}},20{\rm{\;cm}}$
B.
$3{\rm{\;cm}},4{\rm{\;cm}},6{\rm{\;cm}}$ và $9{\rm{\;cm}},12{\rm{\;cm}},16{\rm{\;cm}}$
C.
$2{\rm{\;cm}},2{\rm{\;cm}},2{\rm{\;cm}}$ và $1{\rm{\;cm}},1{\rm{\;cm}},1{\rm{\;cm}}$
D.
$14{\rm{\;cm}},15{\rm{\;cm}},16{\rm{\;cm}}$ và $7{\rm{\;cm}},7,5{\rm{\;cm}},8{\rm{\;cm}}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Ta thấy:

$\frac{4}{{12}} = \frac{5}{{15}} = \frac{6}{{18}} = \frac{1}{3}$ nên $A$ đúng.

$\frac{3}{9} = \frac{4}{{12}} \ne \frac{6}{{16}}$ nên $B$ sai.

$\frac{2}{1} = \frac{2}{1} = \frac{2}{1}$ nên $C$ đúng.

$\frac{{14}}{7} = \frac{{15}}{{7,5}} = \frac{{16}}{8} = 2$ nên $D$ đúng

Đáp án B.

Câu 7 :

Kết quả của phép chia $\frac{{a - 2b}}{{16}}:\frac{{2a - 4b}}{{12}}$ bằng:

A.
$\frac{3}{8}$
B.
$\frac{6}{{a - 2b}}$
C.
$\frac{{a - 2b}}{8}$
D.
$\frac{3}{{4.\left( {a - 2b} \right)}}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Muốn chia phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$ khác 0 , ta nhân $\frac{A}{B}$ với phân thức nghịch đảo của $\frac{C}{D}$

$\frac{A}{B}:\frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}$

Lời giải chi tiết :

$\frac{{a - 2b}}{{16}}:\frac{{2a - 4b}}{{12}} = \frac{{a - 2b}}{{16}} \cdot \frac{{12}}{{2a - 4b}} = \frac{{\left( {a - 2b} \right) \cdot 12}}{{16 \cdot \left( {2a - 4b} \right)}} = \frac{{\left( {a - 2b} \right) \cdot 12}}{{32 \cdot \left( {a - 2b} \right)}} = \frac{3}{8}$

Đáp án A.

Câu 8 :

Nếu 2 tam giác ${\rm{ABC}}$ và ${\rm{DEF}}$ có $\widehat A = \widehat D,\widehat C = \widehat F$ thì:

A.
$\Delta ABC\backsim \Delta DEF$
B.
$\Delta CAB\backsim \Delta DEF$
C.
$\Delta ABC\backsim \Delta DFE$
D.
$\Delta CBA\backsim \Delta DFE$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

TH đồng dạng g-g: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết :

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta DEF$ có: $\widehat A = \widehat D\left( {{\rm{gt}}} \right);\widehat C = \widehat F\left( {{\rm{gt}}} \right)$

Suy ra $\Delta ABC\backsim \Delta DEF\left( g-g \right)$

Đáp án A.

Câu 9 :

Tổng các nghiệm của hai phương trình $ - 6\left( {1,5 - 2x} \right) = 3\left( { - 15 + 2x} \right);5x + 10 = 0$ bằng:

A.
-8
B.
7
C.
0
D.
-2

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Giải lần lượt từng phương trình:

Chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó (Quy tắc chuyển vế);
Nhân cả hai vế với cùng một số khác 0 (Quy tắc nhân với một số);
Chia hai vế cho cùng một số khác 0 (Quy tắc chia cho một số).

Sau đó cộng các nghiệm lại theo yêu cầu.

Lời giải chi tiết :

PT1: $ - 6\left( {1,5 - 2x} \right) = 3\left( { - 15 + 2x} \right)$

$ - 2\left( {1,5 - 2x} \right) = - 15 + 2x$

$ - 3 + 4x = - 15 + 2x$

$4x - 2x = - 15 + 3$

$2x = - 12$

$x = - 6$

PT2: $5x + 10 = 0$

$5x = - 10$

$x = - 2$

Ta có tổng các nghiệm của hai phương trình trên là $ - 6 + \left( { - 2} \right) = - 8$

Đáp án A.

Câu 10 :

A.
21 con
B.
18 con
C.
24 con
D.
27 con

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1. Lập phương trình.

Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và theo các đại lượng đã biết.
Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2. Giải phương trình.

Bước 3. Trả lời.

Lời giải chi tiết :

Gọi số bò có trong đàn là ${\rm{x}}$ (con). Điều kiện: ${\rm{x}} \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}$.

Vì một nửa đàn bò đang gặm cỏ trên cánh đồng, $\frac{1}{3}$ đàn bò đang nằm nghỉ gần đó, còn lại 4 con đang uống nước ở ao nên ta có ${\rm{PT}}$:

$\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}x + 4 = x$

$x - \frac{1}{2}x - \frac{1}{3}x = 4$

$\frac{1}{6}x = 4$

$x = 24\left( {TM} \right)$

Vậy đàn bò có 24 con.

Đáp án C.

II. Tự luận

Câu 1 :

Cho biểu thức: $B = \frac{1}{{x + 1}} - \frac{{{x^3} - x}}{{{x^2} + 1}} \cdot \left( {\frac{1}{{{x^2} + 2x + 1}} - \frac{1}{{{x^2} - 1}}} \right)$ (ĐKXĐ: $\left. {x \ne \pm 1} \right)$

a) Rút gọn $B$

b) Tính giá trị của $B$ tại $x = - 2$

c) Với giá trị nào của $x$ thì $B = 1$

Phương pháp giải :

Rút gọn biểu thức bằng cách thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia phân thức.

Tính giá trị của biểu thức tại giá trị của biến cho trước.

Tìm giá trị của biến tại giá trị của biểu thức cho trước.

Lời giải chi tiết :

a) $B = \frac{1}{{x + 1}} - \frac{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}} \cdot \frac{{\left( {x - 1} \right) - \left( {x + 1} \right)}}{{{{(x + 1)}^2}\left( {x - 1} \right)}}($ ĐКXĐ: $x \ne \pm 1)$

$B = \frac{1}{{x + 1}} - \frac{{ - 2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$B = \frac{{{x^2} + 1 + 2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$B = \frac{{{{(x + 1)}^2}}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$B = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 1}}$

Vậy $B = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 1}}$ với $x \ne \pm 1$

b) Thay $x = - 2$ (TM) ta có: $B = \frac{{ - 2 + 1}}{{{{( - 2)}^2} + 1}} = \frac{{ - 1}}{5}$
c) $B = 1 \Rightarrow \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 1}} = 1 \Leftrightarrow x + 1 = {x^2} + 1 \Leftrightarrow x - {x^2} = 0 \Leftrightarrow x\left( {1 - x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0\left( {TM} \right)}\\{x = 1\left( {{\rm{\;KTM\;}}} \right)}\end{array}} \right.$

Vậy khi $x = 0$ thì $B = 1$

Câu 2 :

Phương pháp giải :

- Chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó (Quy tấc chuyển vế);

- Nhân cả hai vế với cùng một số khác 0 (Quy tắc nhân với một số);

- Chia hai vế cho cùng một số khác 0 (Quy tắc chia cho một số).

Lời giải chi tiết :

a) $\frac{{9x + 5}}{6} = 1 - \frac{{6 + 3x}}{8}$

$\frac{{4\left( {9x + 5} \right)}}{{24}} = \frac{{24}}{{24}} - \frac{{3\left( {6 + 3x} \right)}}{{24}}$

$36x + 20 = 24 - 18 - 9x$

$36x + 9x = 6 - 20$

$45x = - 14$
$x = \frac{{ - 14}}{{45}}$

Vậy $x = \frac{{ - 14}}{{45}}$
b) $\frac{{x + 1}}{4} = \frac{1}{2} + \frac{{2x + 1}}{5}$

$\frac{{5(x + 1)}}{20} = \frac{10}{20} + \frac{{4(2x + 1)}}{5}$

$5x + 5 = 10 + 8x + 4$
$5x - 8x = 14 - 5$

$ - 3x = 9$

$x = - 3$

Vậy $x = - 3$
c) $\frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{3} = \frac{3}{2} - \frac{{1 - 2x}}{4}$
$\frac{{8\left( {x + 1} \right)}}{{12}} = \frac{{18}}{{12}} - \frac{{3\left( {1 - 2x} \right)}}{{12}}$
$8x + 8 = 18 - 3 + 6x$
$8x - 6x = 15 - 8$
$2x = 7$
$x = \frac{7}{2}$
Vậy $x = \frac{7}{2}$

Câu 3 :

Phương pháp giải :

Bước 1. Lập phương trình.

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và theo các đại lượng đã biết.

- Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2. Giải phương trình.

Bước 3. Trả lời.

- Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không.

- Kết luận.

Lời giải chi tiết :

Gọi số học sinh khối 8 là $x$. (học sinh). Điều kiện: $x \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}};x < 580$.

Số học sinh khối 9 là: $580 - x$ (học sinh).

học sinh giỏi khối 8 là: $40{\rm{\% }}x = 0,4x$ (học sinh)

Số học sinh giỏi khối 9 là: $48%.\left( 580-x \right)=0,48.\left( 580-x \right)$ (học sinh)

Vì cả hai khối có tổng cả 256 học sinh giỏi nên ta có phương trình:

$0,4x + 0,48\left( {560 - x} \right) = 256$

$0,4x + 268,8 - 0,48x = 256$

$0,4x - 0,48x = 256 - 268,8$

$ - 0,08x = - 12,8$

$x = \left( { - 12,8} \right):\left( { - 0,08} \right)$

$x = 160\left( {{\rm{tm}}} \right)$

Khi đó, số học sinh khối 9 là: $580 - 160 = 420$ (học sinh)

Vậy khối 8 có 160 học sinh và khối 9 có 420 học sinh.

Câu 4 :

Phương pháp giải :

Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng, từ đó rút ra dữ kiện cần thiết để chứng minh yêu cầu của bài toán.

Lời giải chi tiết :

a) Xét $\Delta HBE$ và $\Delta HCD$ có:

$\widehat {BDC} = \widehat {CEB} = {90^0}$

$\widehat {EHB} = \widehat {DHC}$ (2 góc đối đỉnh)

Suy ra $\Delta HBE\backsim \Delta HCD\left( g-g \right)$ (điều phải chứng minh)

b) Theo câu a) ta có: $\Delta HBE\backsim \Delta HCD$ suy ra $\frac{{HE}}{{HD}} = \frac{{HB}}{{HC}}$ hay $\frac{{HE}}{{HB}} = \frac{{HD}}{{HC}}$

Xét $\Delta HED$ và $\Delta HBC$ ta có:

$\frac{{HE}}{{HB}} = \frac{{HD}}{{HC}}$ (cmt)

$\widehat {EHD} = \widehat {BHC}$ (hai góc đối đỉnh)

$\widehat {HDE} = \widehat {HAE}$

Suy ra $\Delta HED\backsim \Delta HBC\left( c-g-c \right).$

Mà đường cao ${\rm{BD}}$ và ${\rm{CE}}$ cắt nhau tại ${\rm{H}}$ (theo giả thiết)

Suy ra H là trực tâm của $\Delta ABC$ hay $AH \bot BC$ tại M suy ra $\widehat {AMB} = {90^ \circ }$.

Xét $\Delta AMB$ và $\Delta CEB$ có:

$\widehat {CEB} = \widehat {AMB} = {90^0}$

$\widehat B$ chung

Suy ra $\Delta AMB\backsim \Delta CEB\left( g-g \right)$

Suy ra $\widehat {MAB} = \widehat {ECB}$ hay $\widehat {HAE} = \widehat {HCB}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\widehat {HDE} = \widehat {HAE}$ (điều phải chứng minh)

Câu 5 :

Cho $\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} = 1$. Chứng minh $\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} = 0$

Phương pháp giải :

Nhân cả 2 vế của $\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} = 1$ với $a + b + c$ rồi thu gọn được điều phải chứng minh

Lời giải chi tiết :

Nhân cả 2 vế của $\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{a}{{a + b}} = 1$ với $a + b + c$ ta được

$\frac{{{\rm{a}}\left( {{\rm{a}} + {\rm{b}} + {\rm{c}}} \right)}}{{{\rm{b}} + {\rm{c}}}} + \frac{{{\rm{b}}\left( {{\rm{a}} + {\rm{b}} + {\rm{c}}} \right)}}{{{\rm{c}} + {\rm{a}}}} + \frac{{{\rm{c}}\left( {{\rm{a}} + {\rm{b}} + {\rm{c}}} \right)}}{{{\rm{a}} + {\rm{b}}}} = {\rm{a}} + {\rm{b}} + {\rm{c}}$

$\frac{{{a^2} + a\left( {b + c} \right)}}{{b + c}} + \frac{{{b^2} + b\left( {c + a} \right)}}{{c + a}} + \frac{{{c^2} + c\left( {a + b} \right)}}{{a + b}} = a + b + c$

$\frac{{{a^2}}}{{b + c}} + a + \frac{{{b^2}}}{{c + a}} + b + \frac{{{c^2}}}{{a + b}} + c = a + b + c$

$\frac{{{{\rm{a}}^2}}}{{{\rm{\;b}} + {\rm{c}}}} + \frac{{{{\rm{b}}^2}}}{{{\rm{c}} + {\rm{a}}}} + \frac{{{{\rm{c}}^2}}}{{{\rm{a}} + {\rm{b}}}} = 0\left( {{\rm{dpcm}}} \right)$