SGK Toán Lớp 11 Cánh diều

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[SGK Toán Lớp 11 Cánh diều] Giải mục 1 trang 16, 17 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Hướng dẫn học bài: Giải mục 1 trang 16, 17 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều - Môn Toán học Lớp 11 Lớp 11. Đây là sách giáo khoa nằm trong bộ sách 'SGK Toán Lớp 11 Cánh diều Lớp 11' được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết các bé sẽ nắm bài học tốt hơn.

HĐ 1

a) Cho \(a = \frac{\pi}{6}, b = \frac{\pi}{3}\). Hãy tính sina, cosa, sinb, cosb và sin(a + b). Từ đó rút ra đẳng thức sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb (*).

b) Tính sin(a – b) bằng cách biến đổi sin(a – b) = sin[a + (‒b)] và sử dụng công thức (*).

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức sin, cos đã học để xác định

Lời giải chi tiết:

a) Với \(a = \frac{\pi}{6}\) ta có \(sin a = sin\frac{\pi}{6} =\frac{1}{2}\); \(cos a = cos\frac{\pi}{6} =\frac{\sqrt 3}{2}\)

Với \( b = \frac{\pi}{3}\) ta có \(sin b = sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt 3}{2}\); \(cosb = cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\)

Ta có \(sin(a+b) = sin(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3})=sin \frac{\pi}{2}=1\)

\( sinacosb + cosasinb = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{2}.\frac{\sqrt 3}{2}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1\)

Do đó sin(a+b) = sina.cosb +cosa.sinb (vì cùng bằng 1)

b) Ta có sin(a – b) = sin[a + (‒b)]

= sina cos(‒b) + cosa sin(‒b)

= sina cosb + cosa (‒sinb)

= sina cosb ‒ cosa sinb

LT - VD 1

Tính \(\sin \frac{\pi }{{12}}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức cộng đối với sin

Lời giải chi tiết:

Áp dụng công thức cộng, ta có:

\(\begin{array}{l}\sin \frac{\pi }{{12}} = \sin \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}.\cos \frac{\pi }{6} - \cos \frac{\pi }{4}.\sin \frac{\pi }{6}\\ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 }}{4}\end{array}\)

HĐ 2

a) Tính \(\cos \left( {a + b} \right)\) bằng cách biến đổi \(\cos \left( {a + b} \right) = \sin \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {a + b} \right)} \right] = \sin \left[ {\left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) - b} \right]\) và sử dụng công thức cộng đối với sin

b) Tính \(\cos \left( {a - b} \right)\) bằng cách biến đổi \(\cos \left( {a - b} \right) = \cos \left[ {a + \left( { - b} \right)} \right]\) và sử dụng công thức \(\cos \left( {a + b} \right)\) có được ở câu a

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức cộng sin đã chứng minh ở bên trên để tính

Lời giải chi tiết:

a) \(\cos \left( {a + b} \right) = \sin \left[ {\left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) - b} \right] = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right).\cos b - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - a} \right).\sin b = \cos a.\cos b - \sin a.\sin b\)

b) \(\cos \left( {a - b} \right) = \cos \left[ {a + \left( { - b} \right)} \right] = \cos a.\cos \left( { - b} \right) - \sin a.\sin \left( { - b} \right) = \sin a.\sin b + \cos a.\cos b\)

LT - VD 2

Tính \(\cos {15^ \circ }\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức cộng dối với cosin

Lời giải chi tiết:

Áp dụng công thức cộng, ta có:

\(\begin{array}{l}\cos {15^ \circ } = \cos ({45^ \circ } - {30^ \circ }) = \cos {45^ \circ }\cos {30^ \circ } + \sin {45^ \circ }\sin {30^ \circ }\\ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4}\end{array}\)

HĐ 3

a) Sử dụng công thức cộng đối với sin và côsin, hãy tính \(\tan \left( {a + b} \right)\) theo tan a và tan b khi các biểu thức đều có nghĩa

b) Khi các biểu thức đều có nghĩa, hãy tính \(\tan \left( {a - b} \right)\) bằng cách biến đổi \(\tan \left( {a - b} \right) = \tan \left[ {a + \left( { - b} \right)} \right]\) và sử dụng công thức \(\tan \left( {a + b} \right)\) có được ở câu a.

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức cộng sin, cos đã chứng minh ở bên trên để tính

Lời giải chi tiết:

a) \(\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\sin \left( {a + b} \right)}}{{\cos \left( {a + b} \right)}} = \frac{{\sin a.\cos b + \cos a.\sin b}}{{\cos a.\cos b - \sin a.\sin b}}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{\sin a.\cos b + \cos a.\cos b}}{{\cos a.\cos b - \sin a.\sin b}} = \frac{{\sin a.\cos b}}{{\cos a.\cos b - \sin a.\sin b}} + \frac{{\cos a.\sin b}}{{\cos a.\cos b - \sin a.\sin b}}\\ = \frac{{\frac{{\sin a.\cos b}}{{\cos a.\cos b}}}}{{\frac{{\cos a.\cos b - \sin a.\sin b}}{{\cos a.\cos b}}}} + \frac{{\frac{{\cos a.\sin b}}{{\cos a.\cos b}}}}{{\frac{{\cos a.\cos b - \sin a.\sin b}}{{\cos a.\cos b}}}} = \frac{{\tan a}}{{1 - \tan a.\tan b}} + \frac{{\tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}}\\ = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}}\end{array}\)

\( \Rightarrow \tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}}\)

\(\tan \left( {a - b} \right) = \tan \left( {a + \left( { - b} \right)} \right) = \frac{{\tan a + \tan \left( { - b} \right)}}{{1 - \tan a.\tan \left( { - b} \right)}} = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a.\tan b}}\)

LT - VD 3

Tính \(\tan {165^ \circ }\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức cộng đối với tang

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\tan {165^ \circ } = \tan ({105^ \circ } + {60^ \circ }) = \frac{{\tan {{105}^ \circ } + \tan {{60}^ \circ }}}{{1 - \tan {{105}^ \circ }.\tan {{60}^ \circ }}}\\ = \frac{{ - 2 - \sqrt 3 + \sqrt 3 }}{{1 - ( - 2 - \sqrt 3 ).\sqrt 3 }} = - 2 + \sqrt 3 \end{array}\)