20 câu trắc nghiệm phát triển từ câu 39 đề minh họa môn Toán 2024 giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 3 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
Câu 1: Cho $a$ và $b$ là hai số thực dương phân biệt, khác 1 và thỏa mãn $\log _a^2\left( {{a^3}b} \right).{\log _a}\left( {\frac{b}{a}} \right) + {\log _a}\left( {\frac{{{a^9}}}{{{b^3}}}} \right) = 0$. Giá trị của ${\log _b}a$ bằng
A. $ – 5$. B. $5$. C. $\frac{1}{5}$. D. $ – \frac{1}{5}$.
Lời giải
Ta có $\log _a^2\left( {{a^3}b} \right).{\log _a}\left( {\frac{b}{a}} \right) + {\log _a}\left( {\frac{{{a^9}}}{{{b^3}}}} \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {3 + {{\log }_a}b} \right)^2}\left( {{{\log }_a}b – 1} \right) + \left( {9 – 3{{\log }_a}b} \right) = 0$.
Đặt $t = {\log _a}b; t \ne 0$. Ta có phương trình
${\left( {3 + t} \right)^2}\left( {t – 1} \right) + \left( {9 + 3t} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{t^2} + 6t + 9} \right)\left( {t – 1} \right) + \left( {9 – 3t} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow {t^3} – {t^2} + 6{t^2} – 6t + 9t – 9 + \left( {9 – 3t} \right) = 0 \Leftrightarrow {t^3} + 5{t^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
t = 0 (L) \hfill \\
t = – 5 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
Vậy ${\log _a}b = – 5 \Leftrightarrow {\log _b}a = – \frac{1}{5}$.
Chọn D
Câu 2: Cho $a$ và $b$ là hai số thực dương phân biệt, khác 1 và thỏa mãn $log_a^2\left( {{a^3}b} \right) \cdot lo{g_a}\frac{{{b^2}}}{{{a^3}}} + 27 = 0$. Giá trị của $lo{g_b}a$ bằng
A. $\frac{9}{2}$. B. $ – \frac{9}{2}$. C. $ – \frac{2}{9}$. D. $\frac{2}{9}$.
Lời giải
Ta có $log_a^2\left( {{a^3}b} \right) \cdot lo{g_a}\frac{{{b^2}}}{{{a^3}}} + 27 = 0$ $ \Leftrightarrow {\left( {lo{g_a}b + 3} \right)^2}\left( {2lo{g_a}b – 3} \right) + 27 = 0$.
Đặt $t = lo{g_a}b;t \ne 0$. Ta có phương trình
${(t + 3)^2}\left( {2t – 3} \right) + 27 = 0 \Leftrightarrow \left( {{t^2} + 6t + 9} \right)\left( {2t – 3} \right) + 27 = 0$
$ \Leftrightarrow 2{t^3} + 12{t^2} + 18t – 3{t^2} – 18t – 27 + 27 = 0$ $ \Leftrightarrow 2{t^3} + 9{t^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0\left( L \right)} \\
{t = – \frac{9}{2}}
\end{array}} \right.$.
Vậy $lo{g_a}b = – \frac{9}{2} \Leftrightarrow lo{g_b}a = – \frac{2}{9}$.
Chọn C
Câu 3: Cho $a$ và $b$ là hai số thực dượng phân biệt, khác 1 và thỏa mãn $log_a^2\left( {{a^2}{b^3}} \right) \cdot lo{g_a}{b^3} – log_a^2\left( {{a^2}{b^3}} \right) + 4 = 0$ Giá trị của biểu thức $\frac{7}{5}lo{g_b}a + \frac{{2024}}{5}$ bằng
A. $\frac{{2038}}{5}$. B. $\frac{{2024}}{5}$. C. $\frac{{2031}}{5}$. D. $\frac{{2017}}{5}$.
Lời giải
Ta có $log_a^2\left( {{a^2}{b^3}} \right) \cdot lo{g_a}{b^3} – log_a^2\left( {{a^2}{b^3}} \right) + 4 = 0$
$ \Leftrightarrow log_a^2\left( {{a^2}{b^3}} \right) \cdot \left( {lo{g_a}{b^3} – 1} \right) + 4 = 0$ $ \Leftrightarrow {\left( {3lo{g_a}b + 2} \right)^2}\left( {3lo{g_a}b – 1} \right) + 4 = 0$.
Đặt $t = lo{g_a}b;t \ne 0$. Ta có phương trình
${(3t + 2)^2}\left( {3t – 1} \right) + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {9{t^2} + 12t + 4} \right)\left( {3t – 1} \right) + 4 = 0$
$ \Leftrightarrow 27{t^3} + 36{t^2} + 12t – 9{t^2} – 12t – 4 + 4 = 0$
$ \Leftrightarrow 27{t^3} + 27{t^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0\left( L \right)} \\
{t = – 1}
\end{array}} \right.$.
Suy ra $lo{g_a}b = – 1 \Leftrightarrow lo{g_b}a = – 1$
Vậy $\frac{7}{5}lo{g_b}a + \frac{{2024}}{5} = \frac{{2017}}{5}$.
Chọn D
Câu 4: Cho $a$ và $b$ là hai số thực dương phân biệt, khác 1 và thỏa mãn $lo{g_a}\left( {{a^2}b} \right) \cdot log_a^2\frac{b}{a} – 2 = 0$. Giá trị của ${\left( {lo{g_b}a} \right)^2}$ bằng
A. $\frac{1}{3}$. B. 3 . C. $\frac{1}{9}$. D. 3 .
Lời giải
Ta có $lo{g_a}\left( {{a^2}b} \right) \cdot log_a^2\frac{b}{a} – 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {lo{g_a}b + 2} \right){\left( {lo{g_a}b – 1} \right)^2} – 2 = 0$.
Đặt $t = lo{g_a}b;t \ne 0$. Ta có phương trình
$\left( {t + 2} \right){(t – 1)^2} – 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {t + 2} \right)\left( {{t^2} – 2t + 1} \right) – 2 = 0$
$ \Leftrightarrow {t^3} – 3t = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0\left( L \right)} \\
{t = – \sqrt 3 } \\
{t = \sqrt 3 }
\end{array}} \right.$.
Vậy ${\left( {lo{g_a}b} \right)^2} = 3 \Leftrightarrow {\left( {lo{g_b}a} \right)^2} = \frac{1}{3}$.
Chọn A
Câu 5: Cho $a$ và $b$ là hai số thực dương phân biệt, khác 1 và thỏa mãn $log_a^2\left( {\frac{{{a^2}}}{b}} \right) \cdot lo{g_a}ab – 4 = 0$. Giá trị của $lo{g_b}a$ bằng
A. $\frac{1}{3}$. B. 3 . C. $ – \frac{1}{3}$. D. -3 .
Lời giải
Ta có $log_a^2\left( {\frac{{{a^2}}}{b}} \right) \cdot lo{g_a}ab – 4 = 0$ $ \Leftrightarrow {\left( {2 – lo{g_a}b} \right)^2}\left( {lo{g_a}b + 1} \right) – 4 = 0$.
Đặt $t = lo{g_a}b;t \ne 0$. Ta có phương trình
${(2 – t)^2}\left( {t + 1} \right) – 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {{t^2} – 4t + 4} \right)\left( {t + 1} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow {t^3} – 3{t^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0\left( L \right)} \\
{t = 3}
\end{array}} \right.$.
Vậy $lo{g_a}b = 3 \Leftrightarrow lo{g_b}a = \frac{1}{3}$.
Chọn A
Câu 6: Cho $a$ và $b$ là hai số thực dương phân biệt, khác 1 và thỏa mãn $\frac{{lo{g_a}{a^2}b \cdot lo{g_a}ab – 2}}{{lo{g_a}b}} = 5$. Giá trị của $lo{g_b}a$ bằng
A. $\frac{1}{4}$. B. 4 . C. $ – \frac{1}{4}$. D. -4 .
Lời giải
Ta có $\frac{{lo{g_a}{a^2}b \cdot log_a^2ab – 2}}{{lo{g_a}b}} = 5$ $ \Leftrightarrow \left( {2 + lo{g_a}b} \right){\left( {1 + lo{g_a}b} \right)^2} – 2 = 5lo{g_a}b$.
Đặt $t = lo{g_a}b;t \ne 0$. Ta có phương trình
$\left( {2 + t} \right){(t + 1)^2} – 2 = 5t \Leftrightarrow \left( {{t^2} + 2t + 1} \right)\left( {t + 2} \right) – 2 = 5t$
$ \Leftrightarrow {t^3} + 4{t^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0\left( L \right)} \\
{t = – 4}
\end{array}} \right.$.
Vậy $lo{g_a}b = – 4 \Leftrightarrow lo{g_b}a = – \frac{1}{4}$.
Chọn C
Câu 7: Cho $a$ và $b$ là hai số thực dương phân biệt, khác 1 và thỏa mãn $lo{g_a}\frac{b}{a} = \frac{{lo{g_a}\frac{1}{b}}}{{lo{g_a}b – 4}}$. Giá trị của $lo{g_b}a$ bằng
A. $ – \frac{1}{2}$. B. 2 . C. $\frac{1}{2}$. D. -2 .
Lời giải
Ta có $lo{g_a}\frac{b}{a} = \frac{{lo{g_a}\frac{1}{b}}}{{lo{g_a}b – 4}} \Leftrightarrow lo{g_a}b – 1 = \frac{{ – lo{g_a}b}}{{lo{g_a}b – 4}}$.
Đặt $t = lo{g_a}b;t \ne 0$. Ta có phương trình $t – 1 = \frac{{ – t}}{{t – 4}} \Leftrightarrow {t^2} – 4t + 4 = 0 \Leftrightarrow t = 2$.
Vậy $lo{g_a}b = 2 \Leftrightarrow lo{g_b}a = \frac{1}{2}$.
Chọn C
Câu 8: Cho $a,b$ là hai số thực dương phân biệt khác 1 và thỏa mãn $lo{g_a}\left( {{a^2}b} \right) \cdot lo{g_a}\left( {\frac{a}{{{b^2}}}} \right) = 2$. Giá trị $lo{g_a}b$ bằng
A. 2 . B. 1 . C. 0 . D. $ – \frac{3}{2}$
Lời giải
Ta có $lo{g_a}\left( {{a^2}b} \right) \cdot lo{g_a}\left( {\frac{a}{{{b^2}}}} \right) = 2$
$ \Leftrightarrow \left( {{{\log }_a}{a^2} + lo{g_a}b} \right)\left( {lo{g_a}a – lo{g_a}{b^2}} \right) = 2$
$ \Leftrightarrow \left( {2 + lo{g_a}b} \right) \cdot \left( {1 – 2lo{g_a}b} \right) = 2 \Leftrightarrow – 3lo{g_a}b – 2lo{g^2}{\;_a}b = 0$
$ \Leftrightarrow lo{g_a}b\left( {3 + 2lo{g_a}b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{lo{g_a}b = 0} \\
{lo{g_a}b = – \frac{3}{2}}
\end{array}} \right.$.
$lo{g_a}b = 0 \Leftrightarrow b = 1$ ( loại do $b \ne 1$ ).
Vậy $lo{g_a}b = – \frac{3}{2}$.
Chọn D
Câu 9: Cho $a,b$ là hai số thực thỏa mãn $0 < a < 1 < b$ và $\left( {log_a^2\left( {\frac{a}{b}} \right) + 2lo{g_a}b – 5} \right)\left( {2lo{g_a}\left( {{a^2}b} \right) – 7} \right) = 0$ . Chọn khẳng định đúng.
A. ${b^2}a = 1$. B. ${a^2}b = 1$ C. ${a^3} = \frac{1}{b}$. D. ${b^3} = \frac{1}{a}$.
Lời giải
Ta cós $\left( {log_a^2\left( {\frac{a}{b}} \right) + 2lo{g_a}b – 5} \right)\left( {2lo{g_a}\left( {{a^2}b} \right) – 7} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{log_a^2\left( {\frac{a}{b}} \right) + 2lo{g_a}b – 5 = 0} \\
{2lo{g_a}\left( {{a^2}b} \right) – 7 = 0}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\left( {lo{g_a}a – lo{g_a}b} \right)}^2} + 2lo{g_a}b – 5 = 0} \\
{2\left( {lo{g_a}{a^2} + lo{g_a}b} \right) – 7 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\left( {1 – lo{g_a}b} \right)}^2} + 2lo{g_a}b – 5 = 0} \\
{2\left( {2 + lo{g_a}b} \right) – 7 = 0}
\end{array}} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 – 2lo{g_a}b + log_a^2b + 2lo{g_a}b – 5 = 0} \\
{2\left( {2 + lo{g_a}b} \right) – 7 = 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{log_a^2b – 4 = 0} \\
{lo{g_a}b = \frac{3}{2}}
\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{lo{g_a}b = – 2} \\
{lo{g_a}b = 2} \\
{lo{g_a}b = \frac{3}{2}}
\end{array}} \right.} \right.$.
Do $0 < a < 1 < b$ nên $lo{g_a}b < 0$ suy ra $lo{g_a}b = – 2 \Leftrightarrow b = {a^{ – 2}} \Leftrightarrow {a^2}b = 1$.
Chọn B
Câu 10: Cho $a,b,c$ là các số thực dương và khác 1 thỏa mãn $log_a^2b + log_b^2c + 2lo{g_b}\frac{c}{b} = lo{g_a}\frac{c}{{{a^3}b}}$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P = lo{g_a}\left( {ab} \right) – lo{g_b}\left( {bc} \right)$. Tính giá trị biểu thức $S = 2{m^2} + 9{M^2}$.
A. $S = 28$. B. $S = 25$. C. $S = 26$. D. $S = 27$.
Lời giải
Đặt $ \Rightarrow P = lo{g_a}\left( {ab} \right) – lo{g_b}\left( {bc} \right) = lo{g_a}a + lo{g_a}b – lo{g_b}b – lo{g_b}c$
$ = 1 + x – 1 – y = x – y \Rightarrow x = P + y$
Khi đó ta có
$log_a^2b + log_b^2c + 2lo{g_b}\frac{c}{b} = lo{g_a}\frac{c}{{{a^3}b}}$ $ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2y – 2 = xy – 3 – x$
$ \Leftrightarrow {(P + y)^2} + {y^2} + 2y – 2 = \left( {P + y} \right)y – 3 – \left( {P + y} \right)$
$ \Leftrightarrow {y^2} + \left( {P + 3} \right)y + {P^2} + P + 1 = 0$
Phương trình có nghiệm khi $\Delta \geqslant 0 \Leftrightarrow – 3{P^2} + 2P + 5 \geqslant 0 \Leftrightarrow – 1 \leqslant P \leqslant \frac{5}{3}$
$ \Rightarrow m = – 1;M = \frac{5}{3}$ $ \Rightarrow S = 2{m^2} + 9{M^2} = 2 \cdot {( – 1)^2} + 9 \cdot \left( {\frac{{25}}{9}} \right) = 27$.
Chọn D
Câu 11: Cho $a$ và $b$ là hai số thực dương phân biệt, khác 1 và thỏa mãn $log_a^2\left( {{a^3}b} \right) \cdot lo{g_{\sqrt a }}\frac{{\sqrt {{b^3}} }}{a} – 100 = 0$ . Giá trị của $lo{g_b}a$ bằng
A. 2 . B. $\frac{1}{2}$. C. -2 . D. $ – \frac{1}{2}$.
Lời giải
Ta có $log_a^2\left( {{a^3}b} \right) \cdot lo{g_{\sqrt a }}\frac{{\sqrt {{b^3}} }}{a} – 100 = 0$ $ \Leftrightarrow {\left( {lo{g_a}b + 3} \right)^2}\left( {3lo{g_a}b – 2} \right) – 100 = 0$.
Đặt $t = lo{g_a}b\left( {t \ne 0,t \ne 1} \right)$. Ta có phương trình:
${(t + 3)^2}\left( {3t – 2} \right) – 100 = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {{t^2} + 6t + 9} \right)\left( {3t – 2} \right) – 100 = 0$
$ \Leftrightarrow 3{t^3} + 16{t^2} + 15t – 118 = 0 \Leftrightarrow t = 2\left( {TM} \right)$.
Vậy $lo{g_a}b = 2 \Leftrightarrow lo{g_b}a = \frac{1}{2}$.
Chọn B
Câu 12: Có bao nhiêu cặp số dương $a,b$ thỏa mãn $lo{g_2}a$ và $lo{g_2}b$ là các số nguyên, đồng thời $\left( {lo{g_2}ab – 11} \right) \cdot lo{g_2}\frac{{{a^2}}}{b} = 3?$
A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 0 .
Lời giải
Ta có $\left( {lo{g_2}ab – 11} \right) \cdot lo{g_2}\frac{{{a^2}}}{b} = 3$ $ \Leftrightarrow \left( {lo{g_2}a + lo{g_2}b – 11} \right) \cdot \left( {2lo{g_2}a – lo{g_2}b} \right) = 3$
Do $lo{g_2}a$ và $lo{g_2}b$ là các số nguyên nên $lo{g_2}a + lo{g_2}b – 11$ và $2lo{g_2}a – lo{g_2}b$ cũng là các số nguyên.
Suy ra $\left( {lo{g_2}a + lo{g_2}b – 11} \right) \cdot \left( {2lo{g_2}a – lo{g_2}b} \right) = 3$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{lo{g_2}a + lo{g_2}b – 11 = 1} \\
{2lo{g_2}a – lo{g_2}b = 3}
\end{array}} \right.$ hoặc
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{lo{g_2}a + lo{g_2}b – 11 = – 1} \\
{2lo{g_2}a – lo{g_2}b = – 3}
\end{array}} \right.$ hoặc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{lo{g_2}a + lo{g_2}b – 11 = 3} \\
{2lo{g_2}a – lo{g_2}b = 1}
\end{array}} \right.$ hoặc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{lo{g_2}a + lo{g_2}b – 11 = – 3} \\
{2lo{g_2}a – lo{g_2}b = – 1}
\end{array}} \right.$.
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{lo{g_2}a + lo{g_2}b – 11 = 1} \\
{2lo{g_2}a – lo{g_2}b = 3}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{lo{g_2}a = 5} \\
{lo{g_2}b = 7}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 32} \\
{b = 128}
\end{array}} \right.} \right.} \right.$ (thỏa mãn).
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{lo{g_2}a + lo{g_2}b – 11 = – 1} \\
{2lo{g_2}a – lo{g_2}b = – 3}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{lo{g_2}a = \frac{7}{3}} \\
{lo{g_2}b = \frac{{23}}{3}}
\end{array}} \right.} \right.$ (loại).
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{lo{g_2}a + lo{g_2}b – 11 = 3} \\
{2lo{g_2}a – lo{g_2}b = 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{lo{g_2}a = 5} \\
{lo{g_2}b = 9}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 32} \\
{b = 512}
\end{array}} \right.} \right.} \right.$ (thỏa mãn).
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{lo{g_2}a + lo{g_2}b – 11 = – 3} \\
{2lo{g_2}a – lo{g_2}b = – 1}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{lo{g_2}a = \frac{7}{3}} \\
{lo{g_2}b = \frac{{17}}{3}}
\end{array}} \right.} \right.$ (loại).
Vậy có 2 cặp số dương $a,b$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn B
Câu 13: Cho $a,b$ là các số thực thỏa mãn $0 < a < 1 < b$ và $lo{g_a}\frac{b}{{{a^4}}} \cdot lo{g_{a{b^2}}}a + lo{g_{\sqrt a }}b + 2 = 0$. Giá trị của $lo{g_a}b$ bằng
A. -3 . B. 3 . C. $\frac{1}{4}$. D. -2 .
Lời giải
$lo{g_a}\frac{b}{{{a^4}}} \cdot lo{g_{a{b^2}}}a + lo{g_{\sqrt a }}b + 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \frac{{lo{g_a}b – 4}}{{lo{g_a}a{b^2}}} + 2lo{g_a}b + 2 = 0$
$ \Leftrightarrow \frac{{lo{g_a}b – 4}}{{2lo{g_a}b + 1}} + 2lo{g_a}b + 2 = 0$
Đặt $t = lo{g_a}b$. Vì $0 < a < 1 < b$ nên $t < 0$.
Ta có: $\frac{{t – 4}}{{2t + 1}} + 2t + 2 = 0 \Leftrightarrow t – 4 + \left( {2t + 2} \right)\left( {2t + 1} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow 4{t^2} + 7t – 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = – 2} \\
{t = \frac{1}{4}}
\end{array}} \right.$.
Đối chiếu điều kiện $t = – 2$ thỏa mãn.
Vậy $lo{g_a}b = – 2$.
Chọn D
Câu 14: Cho $a$ và $b$ là hai số thực dương phân biệt, $a$ khác 1 và thoả mãn ${a^{log_a^2b}} + {b^{lo{g_a}b}} = 2b$. Giá trị của $lo{g_a}b$ bằng
A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 4 .
Lời giải
+) Ta có: ${a^{log_a^2b}} + {b^{lo{g_a}b}} = 2b \Leftrightarrow {\left( {{a^{lo{g_a}b}}} \right)^{lo{g_a}b}} + {b^{lo{g_a}b}} = 2b$ $ \Leftrightarrow {b^{lo{g_a}b}} + {b^{lo{g_a}b}} = 2b$
$ \Leftrightarrow {b^{lo{g_a}b}} = b \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{b = 1} \\
{lo{g_a}b = 1\left( l \right)\;do\;a \ne b}
\end{array}} \right.$.
+) $b = 1 \Rightarrow lo{g_a}b = 0$.
Chọn A
Câu 15: Cho $a$ và $b$ là hai số thực dương phân biệt khác 1 và thỏa mãn $lo{g_a}\left( {{a^5}b} \right) \cdot log_a^2\left( {\frac{{{b^2}}}{{{a^3}}}} \right) + 13lo{g_a}\left( {\frac{{{b^3}}}{{{a^2}}}} \right) = 19$. Giá trị của $lo{g_{{b^2}}}\left( {{a^3}b} \right)$ bằng
A. -4 . B. 0 . C. $ – \frac{1}{3}$. D. -3 .
Lời giải
Ta có: $lo{g_a}\left( {{a^5}b} \right) \cdot log_a^2\left( {\frac{{{b^2}}}{{{a^3}}}} \right) + 13lo{g_a}\left( {\frac{{{b^3}}}{{{a^2}}}} \right) = 19$
$ \Leftrightarrow \left( {5 + lo{g_a}b} \right) \cdot {\left( {2lo{g_a}b – 3} \right)^2} + 13\left( {3lo{g_a}b – 2} \right) – 19 = 0$.
Đặt $t = lo{g_a}b\left( {t \ne 0,t \ne 1} \right)$. Ta có phương trình
${(2t – 3)^2}\left( {t + 5} \right) + 13\left( {3t – 2} \right) – 19 = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {4{t^2} – 12t + 9} \right)\left( {t + 5} \right) + 39t – 45 = 0$
$ \Leftrightarrow 4{t^3} + 8{t^2} – 12t = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0}&{\left( {\;loai\;} \right)} \\
{t = 1}&{\left( {\;loai\;} \right)} \\
{t = – 3}&{\left( {\;thoa\;man\;} \right)}
\end{array}} \right.$
Suy ra $lo{g_a}b = – 3 \Leftrightarrow lo{g_b}a = – \frac{1}{3}$.
Vậy $lo{g_{{b^2}}}\left( {{a^3}b} \right) = \frac{1}{2}\left( {3lo{g_b}a + 1} \right) = 0$.
Chọn B
Câu 16: Cho hai số thực $a$ và $b$ biết $a > b > 1$ và thỏa mãn $log_{\frac{a}{b}}^2\left( {{a^2}} \right) + 3lo{g_b}\left( {\frac{a}{b}} \right) = 15$. Giá trị của $lo{g_a}b$ bằng
A. $\frac{2}{3}$. B. $\frac{1}{2}$. C. $\frac{3}{2}$. D. $\frac{1}{3}$.
Lời giải
Ta có: $log_{\frac{a}{b}}^2\left( {{a^2}} \right) + 3lo{g_b}\left( {\frac{a}{b}} \right) = 15$ $ \Leftrightarrow 4log_{\frac{a}{b}}^2a + 3\left( {lo{g_b}a – 1} \right) = 15$
$ \Leftrightarrow \frac{4}{{log_a^2\left( {\frac{a}{b}} \right)}} + 3\left( {\frac{1}{{lo{g_a}b}} – 1} \right) = 15$ $ \Leftrightarrow \frac{4}{{{{\left( {1 – lo{g_a}b} \right)}^2}}} + 3\left( {\frac{1}{{lo{g_a}b}} – 1} \right) = 15\left( * \right)$
Đặt $t = lo{g_a}b$. Do $a > b > 1 \Rightarrow lo{g_a}a > lo{g_a}b > lo{g_a}1 \Leftrightarrow 0 < t < 1$.
Khi đó $\left( * \right) \Leftrightarrow \frac{4}{{{{(1 – t)}^2}}} + 3\left( {\frac{1}{t} – 1} \right) = 15$
$ \Leftrightarrow 18{t^3} – 39{t^2} + 20t – 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {2t – 3} \right){(3t – 1)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = \frac{3}{2}\left( L \right)} \\
{t = \frac{1}{3}\left( {TM} \right)}
\end{array}} \right.$.
Vậy $lo{g_a}b = \frac{1}{3}$.
Chọn D
Câu 17: Cho $a > 0,b > 0,{a^2}b \ne 1,a{b^2} \ne 1$ và $lo{g_{{a^2}b}}\left( {\frac{{a{b^3}}}{{\sqrt {ab} }}} \right) = \frac{8}{5}$. Tính $lo{g_{a{b^2}}}b$.
A. $\frac{7}{3}$. B. 21 . C. $\frac{7}{3}$. D. $\frac{3}{7}$.
Lời giải
Nếu $a = 1$ thì $lo{g_{{a^2}b}}\frac{{a{b^3}}}{{\sqrt {ab} }} = lo{g_{{b^2}}}\frac{{{b^3}}}{{\sqrt b }} = \frac{5}{4}$ không thoả mãn. Do đó, $a \ne 1$.
Ta có $lo{g_{{a^2}b}}\left( {\frac{{a{b^3}}}{{\sqrt {ab} }}} \right) = \frac{8}{5} \Leftrightarrow \frac{{lo{g_a}\left( {\frac{{a{b^3}}}{{\sqrt {ab} }}} \right)}}{{lo{g_a}{a^2}b}} = \frac{8}{5}$
$ \Leftrightarrow \frac{{lo{g_a}a{b^3} – lo{g_a}\sqrt {ab} }}{{lo{g_a}{a^2} + lo{g_a}b}} = \frac{8}{5}$
$ \Leftrightarrow \frac{{1 + 3lo{g_a}b – \frac{1}{2}\left( {1 + lo{g_a}b} \right)}}{{2 + lo{g_a}b}} = \frac{8}{5}$ $ \Leftrightarrow lo{g_a}b = 3 \Leftrightarrow b = {a^3}$.
Khi đó, $lo{g_{a{b^2}}}b = lo{g_{{a^7}}}{a^3} = \frac{3}{7}$.
Chọn D
Câu 18: Biết $x$ và $y$ là hai số thực thoả mãn ${\log _4}x = {\log _9}y = {\log _6}\left( {x – 2y} \right)$. Giá trị của $\frac{x}{y}$ bằng
A. $\log _{\frac{2}{3}}^22$. B. $1$. C. $4$. D. $2$.
Lời giải
Đặt ${\log _4}x = {\log _9}y = {\log _6}\left( {x – 2y} \right) = t \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
x = {4^t} \hfill \\
y = {9^t} \hfill \\
x – 2y = {6^t} \hfill \\
\end{gathered} \right.$
$ \Rightarrow {4^t} – {2.9^t} = {6^t} \Rightarrow {\left( {\frac{4}{9}} \right)^t} – {\left( {\frac{2}{3}} \right)^t} – 2 = 0$
Đặt $u = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^t}$, điều kiện $u > 0$. Ta có phương trình: .
Ta có: $\frac{x}{y} = {\left( {\frac{4}{9}} \right)^t} = {\left[ {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^t}} \right]^2} = 4$.
Chọn C
Câu 19: Cho $a$ và $b$ là hai số thực dương phân biệt, khác 1 và thỏa mãn $\log _a^2\left( {\frac{{{a^3}}}{b}} \right).{\log _a}\left( {ab} \right) – {\log _a}\left( {{a^9}{b^3}} \right) = 0$. Giá trị của ${\log _b}a$ bằng
A. $ – 5$. B. $5$. C. $\frac{1}{5}$. D. $ – \frac{1}{5}$.
Lời giải
Ta có $\log _a^2\left( {\frac{{{a^3}}}{b}} \right).{\log _a}\left( {ab} \right) – {\log _a}\left( {{a^9}{b^3}} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow {\left( {3 – {{\log }_a}b} \right)^2}\left( {{{\log }_a}b + 1} \right) – \left( {9 + 3{{\log }_a}b} \right) = 0$.
Đặt $t = {\log _a}b; t \ne 0$. Ta có phương trình
${\left( {3 – t} \right)^2}\left( {t + 1} \right) – \left( {9 + 3t} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{t^2} – 6t + 9} \right)\left( {t + 1} \right) – \left( {9 + 3t} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow {t^3} + {t^2} – 6{t^2} – 6t + 9t + 9 – \left( {9 + 3t} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow {t^3} – 5{t^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
t = 0 (L) \hfill \\
t = 5 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
Vậy ${\log _a}b = 5 \Leftrightarrow {\log _b}a = \frac{1}{5}$.
Chọn D
Câu 20: Cho các số thực $a,b,c$ thuộc khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$ và $\log _{\sqrt a }^2b + {\log _b}c.{\log _b}\frac{{{c^2}}}{b} + 9{\log _a}c = 4{\log _a}b$. Giá trị của biểu thức ${\log _a}b + {\log _b}{c^2}$ bằng
A. $\frac{1}{2}$. B. $1$. C. $2$. D. $3$.
Lời giải
$\log _{\sqrt a }^2b + {\log _b}c.{\log _b}\frac{{{c^2}}}{b} + 9{\log _a}c = 4{\log _a}b$
$ \Leftrightarrow 4\log _a^2b + \frac{1}{2}{\log _b}{c^2}\left( {{{\log }_b}{c^2} – 1} \right) + \frac{9}{2}{\log _a}{c^2} – 4{\log _a}b = 0$
$ \Leftrightarrow 8\log _a^2b + \log _b^2{c^2} – {\log _b}{c^2} + 9{\log _a}b.{\log _b}{c^2} – 8{\log _a}b = 0$
$ \Leftrightarrow 8\log _a^2b – 8{\log _a}b + 8{\log _a}b.{\log _b}{c^2} + \log _b^2{c^2} – {\log _b}{c^2} + {\log _a}b.{\log _b}{c^2} = 0$
$ \Leftrightarrow 8{\log _a}b\left( {{{\log }_a}b – 1 + {{\log }_b}{c^2}} \right) + {\log _b}{c^2}\left( {{{\log }_b}{c^2} – 1 + {{\log }_a}b} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {{{\log }_a}b + {{\log }_b}{c^2} – 1} \right)\left( {8{{\log }_a}b + {{\log }_b}{c^2}} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
{\log _a}b + {\log _b}{c^2} = 1 \hfill \\
8{\log _a}b + {\log _b}{c^2} = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
Vậy ${\log _a}b + {\log _b}{c^2} = 1$.
Chọn B
