CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỎ HỢP XÁC SUẤT
I. Hệ thống kiến thức
1) Quy tắc cộng – Quy tắc nhân.
Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có $m$ cách thực hiện, hành động kia có $n$ cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có $m + n$ cách thực hiện.
Quy tắc nhân: Một công việc được hoành thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có $m$ cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có $n$ cách thực hiện hành động thứ hai thì có $m.n$ cách hoàn thành công việc.
2) Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Định nghĩa hoán vị:
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
Số các hoán vị:
• Định lí: $\boxed{{P_n} = {\text{ }}n\left( {n{\text{ }}–{\text{ }}1} \right){\text{ }} \ldots 2.1{\text{ }} = {\text{ }}n!}$
• Qui ước: $\boxed{0!{\text{ }} = {\text{ }}1}$
Định nghĩa chỉnh hợp:
Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 1). Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
Số các chỉnh hợp: Định lí: $\boxed{A_n^k = \frac{{n!}}{{(n – k)!}} = n\left( {n–1} \right) \ldots \left( {n–k + 1} \right)}$
Định nghĩa tổ hợp:
Giả sử tập A có $n$ phần tử (n ≥ 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
Qui ước: Tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.
Số các tổ hợp:
☞Định lí: $\boxed{C_n^k = \frac{{A_n^k}}{{k!}} = \frac{{n!}}{{k!(n – k)!}}}$
Tính chất 1: Cho số nguyên dương $n$ và số nguyên $k$ với $0 \leqslant k \leqslant n$ .
Khi đó $\boxed{C_n^k = C_n^{n – k}}$
Tính chất 2: Cho các số nguyên $n$ và $k$ với $1 \leqslant k \leqslant n$ .
Khi đó $\boxed{C_{n + 1}^k = C_n^k + C_n^{k – 1}}$
3. Xác suất của biến cố
Giả sử một phép thử có không gian mẫu $\Omega $ gồm hữu hạn các kết quả có cùng khả năng xảy ra và $A$ là một biến cố.
•Xác suất của biến cố $A$ là một số, kí hiệu là $P(A)$, được xác định bởi công thức:
$\boxed{P(A) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega \right|}}}$
• Trong đó: $n\left( A \right)$ và $n(\Omega )$ lần lượt kí hiệu số phần tử của tập $A$ và $\Omega $.
Chú ý:
$0 \leqslant P(A) \leqslant 1$.
$P(\Omega ) = 1,{\text{ }}P(\emptyset ) = 0$.
Cho $A$ là một biến cố. Khi đó biến cố “Không xảy ra $A$”, kí hiệu là $\bar A$, được gọi là biến cố đối của $A$.
$\overline A = \Omega \backslash A$; $P\left( {\bar A} \right) + P\left( A \right) = 1$.
Từ đó suy ra: $\boxed{P\left( {\overline A } \right) = 1 – P\left( A \right)}$
II. Các dạng bài/câu thường gặp
Dạng toán 1: Tìm số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Câu 1: Cho tập hợp $M$ có $10$ phần tử. Số tập con gồm hai phần từ của $M$ là
A. $A_{10}^8$ B. $A_{10}^2$ C. $C_{10}^2$ D. ${10^2}$
Lời giải
Chọn C
Mỗi cách lấy ra $2$ phần tử trong $10$ phần tử của $M$ để tạo thành tập con gồm $2$ phần tử là một tổ hợp chập $2$ của $10$ phần tử $ \Rightarrow $ Số tập con của $M$ gồm $2$ phần tử là $C_{10}^2$.
Câu 2: Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm $34$ học sinh?
A. ${2^{34}}$. B. $A_{34}^2$. C. ${34^2}$. D. $C_{34}^2$.
Lời giải
Chọn D
Mỗi cách chọn hai học sinh từ một nhóm gồm $34$ học sinh là một tổ hợp chập $2$ của $34$ phần tử nên số cách chọn là $C_{34}^2$.
Câu 3: Một tổ có 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh trong đó có đúng 2 học sinh nữ?
A. $16800$. B. $350$. C. $45$. D. $860$.
Lời giải
Chọn B
Chọn ra 6 học sinh trong đó có đúng 2 học sinh nữ nên có 4 học sinh nam.
Vậy số cách chọn là: $C_7^4.C_5^2 = 350$.
Câu 4: Có bao nhiêu cách xếp năm người thành một hàng dọc?
A. $5$. B. $5!$. C. ${5^5}$. D. $C_5^5$.
Lời giải
Chọn B
Số cách xếp năm người thành một hàng dọc là $5!$.
Câu 5: Từ các chữ số 1; 2; 4; 5; 7; 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau?
A. ${6^2}$. B. $A_6^2$. C. $C_6^2$. D. ${2^6}$.
Lời giải
Chọn B
Mỗi số thỏa yêu cầu là một chỉnh hợp chập 2 của 6 phần tử
Vậy có $A_6^2$số thỏa yêu cầu.
Dạng toán 2: Tính xác suất của biến cố
Câu 1: Một đoàn đại biểu gồm $5$ người được chọn ra từ một tổ gồm $8$ nam và $7$ nữ để tham dự hội nghị. Xác suất để chọn được đoàn đại biểu có đúng $2$ người nữ là
A. $\frac{{56}}{{143}}$. B. $\frac{{140}}{{429}}$. C. $\frac{1}{{143}}$. D. $\frac{{28}}{{715}}$.
Lời giải
Chọn A
Số phần tử của không gian mẫu: $n\left( \Omega \right) = C_{15}^5$.
Gọi biến cố $A$: “Chọn được đoàn đại biểu có đúng $2$ người nữ”
$ \Rightarrow n\left( A \right) = C_7^2.C_8^3$.
Vậy xác suất cần tìm là: $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{56}}{{143}}$.
Câu 2: Một hộp chứa 11 quả cầu gồm 5 quả màu xanh và 6 quả cầu màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 quả cầu từ hộp đó. Xác suất để 2 quả cầu chọn ra cùng màu bằng
A. $\frac{5}{{11}}$. B. $\frac{5}{{22}}$. C. $\frac{6}{{11}}$. D. $\frac{8}{{11}}$.
Lời giải
Chọn A
Chọn 2 quả cầu từ 11 quả cầu có $C_{11}^2$cách.
Chọn 2 quả cầu từ 5 quả cầu màu xanh có $C_5^2$cách.
Chọn 2 quả cầu từ 6 quả cầu màu đỏ có $C_6^2$cách.
Xác suất để chọn 2 quả cầu cùng màu bằng $\frac{{C_5^2 + C_6^2}}{{C_{11}^2}} = \frac{5}{{11}}$.
Câu 3: Một hộp đựng $5$ viên bi đỏ, $4$ viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên $3$ viên bi từ hộp đó. Tính xác suất lấy được ít nhất $1$ viên đỏ.
A. $\frac{{37}}{{42}}$. B. $\frac{1}{{21}}$. C. $\frac{5}{{42}}$. D. $\frac{{20}}{{21}}$.
Lời giải
Chọn D
Lấy $3$ viên bi từ $5 + 4 = 9$ viên bi có $C_9^3$ cách.
+ Lấy $1$ viên đỏ và $2$ viên xanh có $C_5^1C_4^2$ cách.
+ Lấy $2$ viên đỏ và $1$ viên xanh có $C_5^2C_4^1$ cách.
+ Lấy $3$ viên đỏ có $C_5^3$ cách.
Vậy xác suất cần tìm là $\frac{{C_5^1C_4^2 + C_5^2C_4^1 + C_5^3}}{{C_9^3}} = \frac{{20}}{{21}}$.
Câu 4: Xếp ngẫu nhiên 5 học sinh $A,\,B,\,C,\,D,\,E$ ngồi vào một dãy 5 ghế thẳng hàng. Tính xác suất để hai bạn $A$ và $B$ không ngồi cạnh nhau.
A. $\frac{1}{5}$. B. $\frac{3}{5}$. C. $\frac{2}{5}$. D. $\frac{4}{5}$.
Lời giải
Chọn B
Số phần tử của không gian mẫu: $n\left( \Omega \right) = 5! = 120$.
Gọi $X$ là biến cố “Hai bạn $A$ và $B$ không ngồi cạnh nhau”.
$ \Rightarrow \overline X $ “Hai bạn $A$ và $B$ ngồi cạnh nhau”
Có 4 vị trí để hai bạn $A$ và $B$ngồi cạnh nhau, hai bạn đổi chỗ được một cách xếp mới.
Nên số cách xếp để hai bạn $A$ và $B$ ngồi cạnh nhau là $4.2!.3! = 48$
Xác suất của biến cố $\overline X $ là: $P\left( {\overline X } \right) = \frac{{n\left( {\overline X } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{48}}{{120}} = \frac{2}{5}$
Vây xác suất của biến cố $X$ là: $P\left( X \right) = 1 – P\left( {\overline X } \right) = \frac{3}{5}$
Câu 5: Gọi $S$ là tập hợp các số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau lập thành từ các chữ số $0,1,2,3,4,5,6,7$. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập $S$. Tính xác suất để số được chọn có đúng $2$ chữ số chẵn.
A. $\frac{{24}}{{35}}$. B. $\frac{{144}}{{245}}$. C. $\frac{{72}}{{245}}$. D. $\frac{{18}}{{35}}$.
Lời giải
Chọn D
Có $7.A_7^3$ số có $4$ chữ số khác nhau được lập từ tập $S$.
Xét các số có đúng hai chữ số chẵn, hai chữ số lẻ.
+ TH1: Số đó có chữ số $0$
Có $C_3^1$ cách chọn thêm chữ số chẵn khác và $C_4^2$ cách chọn $2$ chữ số lẻ; có $3.3!$ cách sắp xếp $4$ chữ số được chọn, suy ra có $C_3^1.C_4^2.3.3! = 324$ số thỏa mãn.
+ TH2: Số đó không có chữ số $0$
Có $C_3^2$ cách chọn $2$ chữ số chẵn, $C_4^2$ cách chọn $2$ chữ số lẻ; có $4!$ cách sắp xếp $4$ chữ số đã chọn, suy ra có $C_3^2.C_4^2.4! = 432$ số thỏa mãn.
Vậy có $324 + 432 = 756$ số có đúng hai chữ số chẵn thỏa mãn.
Xác suất cần tìm là $P = \frac{{756}}{{7.A_7^3}} = \frac{{18}}{{35}}$.
III. Hệ thống câu hỏi ôn tập:
1. Tổ hợp-Hoán vị-Chỉnh hợp
Câu 1: Có bao nhiêu cách chọn ba học sinh từ một nhóm gồm 8 học sinh nữ và 7 học sinh nam ?
A. $A_{15}^3$. B. $45$. C. $C_{15}^3$. D. $168$.
Câu 2: Có bao nhiêu cách chọn bốn học sinh từ một nhóm gồm $15$ học sinh?
A. $A_{15}^4$. B. ${4^{15}}$. C. ${15^4}$. D. $C_{15}^4$.
Câu 3: Có bao nhiêu cách xếp nhóm 5 học sinh vào một hàng ngang?
A. $C_5^5$. B. ${5^5}$. C. $5!$. D. $A_5^0$.
Câu 4: Cho $9$ điểm, trong đó không có $3$ điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được chọn từ $9$ điểm trên?
A. $168$. B. $84$. C. $56$. D. $729$.
Câu 5: Có bao nhiêu cách sắp xếp $5$ học sinh thành một hàng dọc?
A. ${5^5}.$ B. $5.$ C. $4!.$ D. $5!.$
Câu 6: Có bao nhiêu cách chọn $2$ học sinh từ một tổ gồm có $9$ học sinh giữ chức danh tổ trưởng và tổ phó?
A. ${2^9}$. B. $C_9^2$. C. ${9^2}$. D. $A_9^2$.
Câu 7: Có bao nhiêu cách sắp xếp 7 bạn học sinh thành một hàng ngang?
A. ${P_7}$. B. $C_7^7$. C. $C_7^1$. D. $A_7^1$.
Câu 8: Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số khác nhau mà các chữ số được lấy từ tập hợp $X = \left\{ {1\,;2\,;3\,;4\,;5} \right\}$?
A. $C_5^2$. B. ${5^2}$. C. ${2^5}$. D. $A_5^2$.
Câu 9: Từ các chữ số $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ lập được bao nhiêu số tự nhiên có $3$chữ số đôi một khác nhau?
A. $C_6^3$. B. $A_6^3$. C. ${3^6}$. D. ${6^3}$.
Câu 10: Một tổ học sinh có 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng dọc thì số các cách xếp khác nhau là:
A. $10!$. B. $5!5!$. C. $5.5!$. D. $40$.
Câu 11: Cho tập hợp $T$ gồm 7 phần tử khác nhau. Số tập hợp con gồm 3 phần tử của tập hợp $T$ là
A. $\frac{{7!}}{{3!}}$. B. $21$. C. $A_7^3$. D. $C_7^3$.
Câu 12: Từ một tổ có $6$ bạn nam và 4 bạn nữ, có bao nhiêu cách chọn $1$ bạn nam và $3$ bạn nữ?
A. $80$. B. $24$. C. $10$. D. $144$.
Câu 13: Một tổ có 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh trong đó có đúng 2 học sinh nữ?
A. $16800$. B. $350$. C. $45$. D. $860$.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1: Có bao nhiêu cách chọn ba học sinh từ một nhóm gồm 8 học sinh nữ và 7 học sinh nam ?
A. $A_{15}^3$. B. $45$. C. $C_{15}^3$. D. $168$.
Lời giải
Chọn C
Số cách chọn ba học sinh từ một nhóm gồm 8 học sinh nữ và 7 học sinh nam là : $C_{15}^3$.
Câu 2: Có bao nhiêu cách chọn bốn học sinh từ một nhóm gồm $15$ học sinh?
A. $A_{15}^4$. B. ${4^{15}}$. C. ${15^4}$. D. $C_{15}^4$.
Lời giải
Chọn D
Số cách chọn bốn học sinh từ nhóm gồm 15 học sinh là: $C_{15}^4$.
Câu 3: Có bao nhiêu cách xếp nhóm 5 học sinh vào một hàng ngang?
A. $C_5^5$. B. ${5^5}$. C. $5!$. D. $A_5^0$.
Lời giải
Chọn C
Xếp 5 học sinh vào 5 chỗ có $5!$ cách.
Câu 4: Cho $9$ điểm, trong đó không có $3$ điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được chọn từ $9$ điểm trên?
A. $168$. B. $84$. C. $56$. D. $729$.
Lời giải
Chọn B
Mỗi tập con gồm 3 điểm của tập hợp 9 điểm đã cho xác định duy nhất một tam giác. Từ đó ta có số tam giác có thể lập được từ 9 điểm đã cho là: $C_9^3 = 84$.
Câu 5: Có bao nhiêu cách sắp xếp $5$ học sinh thành một hàng dọc?
A. ${5^5}.$ B. $5.$ C. $4!.$ D. $5!.$
Lời giải
Chọn D
Số cách sắp xếp $5$ học sinh thành một hàng dọc là $5!.$
Câu 6: Có bao nhiêu cách chọn $2$ học sinh từ một tổ gồm có $9$ học sinh giữ chức danh tổ trưởng và tổ phó?
A. ${2^9}$. B. $C_9^2$. C. ${9^2}$. D. $A_9^2$.
Lời giải
Chọn D
Số cách chọn $2$học sinh từ một tổ gồm có $9$ học sinh giữ chức danh tổ trưởng và tổ phó là $A_9^2$.
Câu 7: Có bao nhiêu cách sắp xếp 7 bạn học sinh thành một hàng ngang?
A. ${P_7}$. B. $C_7^7$. C. $C_7^1$. D. $A_7^1$.
Lời giải
Chọn A
Mỗi cách sắp xếp là một hoán vị của 7 phần tử nên số cách sắp xếp 7 bạn học sinh thành một hàng ngang là ${P_7}$.
Câu 8: Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số khác nhau mà các chữ số được lấy từ tập hợp $X = \left\{ {1\,;2\,;3\,;4\,;5} \right\}$?
A. $C_5^2$. B. ${5^2}$. C. ${2^5}$. D. $A_5^2$.
Lời giải
Chọn D
Từ $5$ chữ số của tập $X$, ta lấy $2$ chữ số bất kì rồi sắp xếp vị trí được một số có hai chữ số.
Như vậy có $A_5^2$ số được tạo thành.
Câu 9: Từ các chữ số $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ lập được bao nhiêu số tự nhiên có $3$chữ số đôi một khác nhau?
A. $C_6^3$. B. $A_6^3$. C. ${3^6}$. D. ${6^3}$.
Lời giải
Chọn B
Mỗi số tự nhiên được lập như vậy là một chỉnh hợp chập $3$của $6$phần tử.
Vậy, có thể lập được $A_6^3$số tự nhiên.
Câu 10: Một tổ học sinh có 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng dọc thì số các cách xếp khác nhau là:
A. $10!$. B. $5!5!$. C. $5.5!$. D. $40$.
Lời giải
Chọn A
Mỗi cách sắp xếp 10 học sinh thành một hàng dọc là một hoán vị của 10 phần tử.
Vậy số cách xếp 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ là: $10!$.
Câu 11: Cho tập hợp $T$ gồm 7 phần tử khác nhau. Số tập hợp con gồm 3 phần tử của tập hợp $T$ là
A. $\frac{{7!}}{{3!}}$. B. $21$. C. $A_7^3$. D. $C_7^3$.
Lời giải
Chọn D
Mỗi cách chọn 3 phần tử trong 7 phần tử của tập hợp $T$ là một tổ hợp chập 3 của 7 phần tử trong tập hợp $T$.
Số tập hợp con gồm 3 phần tử của tập hợp $T$ là $C_7^3$.
Câu 12: Từ một tổ có $6$ bạn nam và 4 bạn nữ, có bao nhiêu cách chọn $1$ bạn nam và $3$ bạn nữ?
A. $80$. B. $24$. C. $10$. D. $144$.
Lời giải
Chọn B
Có $6.C_4^3 = 24$ cách chọn $1$ bạn nam và $3$ bạn nữ.
Câu 13: Một tổ có 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh trong đó có đúng 2 học sinh nữ?
A. $16800$. B. $350$. C. $45$. D. $860$.
Lời giải
Chọn B
Chọn ra 6 học sinh trong đó có đúng 2 học sinh nữ nên có 4 học sinh nam.
Vậy số cách chọn là: $C_7^4.C_5^2 = 350$.
2. Xác suất của biến cố
Câu 1: Một hộp bút gồm $6$ bút màu xanh, $4$ bút màu đỏ, $5$ bút màu đen. Chọn ngẫu nhiên $6$ bút bất kỳ. Tính xác suất để $6$ bút được chọn có đúng $2$ màu.
A. $\frac{{58}}{{385}}$. B. $\frac{6}{{323}}$. C. $\frac{{158}}{{1001}}$. D. $\frac{{108}}{{715}}$.
Câu 2: Xếp ngẫu nhiên $3$ học sinh lớp $A$, $2$ học sinh lớp $B$ và 1 học sinh lớp $C$ vào $6$ ghế xếp xung quanh một bàn tròn. Tính xác suất để học sinh lớp $C$ ngồi giữa hai học sinh lớp $B$.
A. $\frac{2}{{13}}$. B. $\frac{1}{{10}}$. C. $\frac{2}{7}$. D. $\frac{3}{{14}}$.
Câu 3: Chọn ngẫu nhiên $5$ học sinh từ một nhóm gồm $8$ học sinh nam và $7$ học sinh nữ. Xác suất để trong $5$ học sinh được chọn có cả học sinh nam và học sinh nữ mà số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ là
A. $\frac{{70}}{{143}}.$ B. $\frac{{60}}{{143}}.$ C. $\frac{{238}}{{429}}.$ D. $\frac{{82}}{{143}}.$
Câu 4: Từ một hộp chứa 4 bi xanh, 5 bi đỏ và 6 bi vàng, lấy ngẫu nhiên đồng thời năm bi. Xác suất để 5 bi lấy được có đủ ba màu bằng
A. $\frac{{185}}{{273}}$. B. $\frac{{310}}{{429}}$. C. $\frac{{106}}{{273}}$. D. $\frac{{136}}{{231}}$.
Câu 5: Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Chọn ra ngẫu nhiên 10 thẻ. Tính xác suất để 10 thẻ được chọn có 5 thẻ lẻ và 5 thẻ chẵn trong đó chỉ có đúng 1 thẻ chia hết cho 10
A. $\frac{{200}}{{3335}}$. B. $\frac{{1001}}{{3335}}$. C. $\frac{{99}}{{667}}$. D. $\frac{{568}}{{667}}$.
Câu 6: Một hộp đựng 11 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 11. Chọn ngẫu nhiên 3 tấm thẻ. Xác suất để tổng số ghi trên 3 tấm thẻ ấy là một số lẻ bằng
A. $\frac{{12}}{{33}}$. B. $\frac{{17}}{{33}}$. C. $\frac{4}{{33}}$. D. $\frac{{16}}{{33}}$.
Câu 7: Từ một hộp chứa 13 quả bóng gồm 4 quả màu đỏ, 6 quả màu xanh và 3 quả màu vàng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả. Xác suất để lấy được 3 quả có màu khác nhau bằng
A. $\frac{{33}}{{143}}$. B. $\frac{1}{{22}}$. C. $\frac{{25}}{{286}}$. D. $\frac{{40}}{{143}}$.
Câu 8: Một hộp đựng $4$ quả cầu xanh, $3$ quả cầu đỏ, $5$ quả cầu vàng. Biết rằng các quả cầu đều giống nhau về kích thước và chất liệu. Chọn đồng thời cùng một lúc $4$ quả cầu. Xác suất chọn được $4$ quả cầu có đủ cả $3$ màu bằng
A. $\frac{1}{2}$. B. $\frac{5}{{11}}$. C. $\frac{6}{{11}}$. D. $\frac{5}{8}$.
Câu 9: Một hộp chứa $4$viên bi trắng, $5$ viên bi đỏ và $6$ viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra $4$viên bi. Xác suất để $4$ viên bi được chọn có đủ ba màu và số bi đỏ nhiều nhất là
A. $P = \frac{{C_4^1C_5^2C_6^1}}{{C_{15}^4}}$. B. $P = \frac{{C_4^1C_5^3C_6^2}}{{C_{15}^2}}$. C. $P = \frac{{C_4^1C_5^2C_6^1}}{{C_{15}^2}}$. D. $P = \frac{{C_4^1C_5^2C_6^1}}{{C_{15}^2}}$.
Câu 10. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên có $6$ chữ số phân biệt được lấy từ các số $1$,$2$,$3$,$4$,$5$,$6$,$7$,$8$,$9$. Chọn ngẫu nhiên một số từ $S$. Xác suất chọn được số chỉ chứa 3 số lẻ là
A. $P = \frac{{16}}{{42}}$. B. $P = \frac{{16}}{{21}}$. C. $P = \frac{{10}}{{21}}$. D. $P = \frac{{23}}{{42}}$.
Câu 11. Một nhóm gồm $8$ nam và $7$ nữ. Chọn ngẫu nhiên $5$ bạn. Xác suất để trong $5$ bạn được chọn có cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ là:
A. $\frac{{60}}{{143}}$. B. $\frac{{238}}{{429}}$. C. $\frac{{210}}{{429}}$. D. $\frac{{82}}{{143}}$.
Hướng dẫn giải
Câu 1: Một hộp bút gồm $6$ bút màu xanh, $4$ bút màu đỏ, $5$ bút màu đen. Chọn ngẫu nhiên $6$ bút bất kỳ. Tính xác suất để $6$ bút được chọn có đúng $2$ màu.
A. $\frac{{58}}{{385}}$. B. $\frac{6}{{323}}$. C. $\frac{{158}}{{1001}}$. D. $\frac{{108}}{{715}}$.
Lời giải
Chọn ngẫu nhiên $6$ bút bất kỳ $15$ bút trong hộp: $n\left( \Omega \right) = C_{15}^6 = 5005$.
Gọi $A$ là biến cố: “$6$ bút được chọn có đúng $2$ màu”
TH1 : Chọn 6 bút màu đỏ và đen ⇒$C_9^6 = 84$.
TH2 : Chọn 6 bút màu đỏ và xanh ⇒$C_{10}^6 – C_6^6 = 209$.
TH3 : Chọn 6 bút màu xanh và đen ⇒$C_{11}^6 – C_6^6 = 461$.
Nên $n\left( A \right) = 84 + 209 + 461 = 754$.
Xác suất của biến cố $A$: $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{754}}{{5005}} = \frac{{58}}{{385}}$.
Câu 2: Xếp ngẫu nhiên $3$ học sinh lớp $A$, $2$ học sinh lớp $B$ và 1 học sinh lớp $C$ vào $6$ ghế xếp xung quanh một bàn tròn. Tính xác suất để học sinh lớp $C$ ngồi giữa hai học sinh lớp $B$.
A. $\frac{2}{{13}}$. B. $\frac{1}{{10}}$. C. $\frac{2}{7}$. D. $\frac{3}{{14}}$.
Lời giải
Số cách xếp ngẫu nhiên $6$ học sinh vào $6$ ghế quanh một bàn tròn là:$5!$.
Cố định vị trị để học sinh lớp $C$.Có $2!$ cách xếp vị trí cho $2$ học sinh lớp $B$.
Còn lại ba vị trí để xếp $3$ học sinh $A$. Nên số cách xếp là: $3!$
Vậy xác suất cần tính là:$P = \frac{{2!3!}}{{5!}} = \frac{1}{{10}}$.
Câu 3: Chọn ngẫu nhiên $5$ học sinh từ một nhóm gồm $8$ học sinh nam và $7$ học sinh nữ. Xác suất để trong $5$ học sinh được chọn có cả học sinh nam và học sinh nữ mà số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ là
A. $\frac{{70}}{{143}}.$ B. $\frac{{60}}{{143}}.$ C. $\frac{{238}}{{429}}.$ D. $\frac{{82}}{{143}}.$
Lời giải
$n\left( \Omega \right) = C_{15}^5 = 3003$ cách chọn
Gọi biến cố $A:”$$5$ học sinh được chọn có cả học sinh nam và học sinh nữ mà số học sinh nam nhiều
hơn số học sinh nữ
+ TH 1 : Chọn $4$ học sinh nam và $1$ học sinh nữ $ \to C_8^4 \times C_7^1 = 490$ cách
+ TH 2 : Chọn $3$ học sinh nam và $2$ học sinh nữ $ \to C_8^3 \times C_7^2 = 1176$ cách
$n\left( A \right) = 490 + 1176 = 1666$ cách.
$P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{238}}{{429}}.$
Câu 4: Từ một hộp chứa 4 bi xanh, 5 bi đỏ và 6 bi vàng, lấy ngẫu nhiên đồng thời năm bi. Xác suất để 5 bi lấy được có đủ ba màu bằng
A. $\frac{{185}}{{273}}$. B. $\frac{{310}}{{429}}$. C. $\frac{{106}}{{273}}$. D. $\frac{{136}}{{231}}$.
Lời giải
Số cách chọn 5 viên bi trong 15 viên bi là $n\left( \Omega \right) = C_{15}^5 = 3003$.
Gọi $A$:’’ 5 viên bi lấy được có đủ 3 màu ”
Gọi $\overline A $:’’ 5 viên bi lấy được có không đủ 3 màu ”
Chọn 5 viên bi không đủ 3 màu xảy ra các trường hợp
+ 5 viên màu đỏ có 1 cách
+ 5 viên màu vàng và 1 viên màu xanh hoặc đỏ có $C_6^5 = 6$ cách.
+ Chỉ có xanh và đỏ có $C_4^4.C_5^1 + C_4^3.C_5^2 + C_4^2.C_5^3 + C_4^1C_5^4 = 125$.
+ Chỉ có xanh và vàng có $C_4^4.C_6^1 + C_4^3.C_6^2 + C_4^2.C_6^3 + C_4^1C_6^4 = 246$.
+ Chỉ có đỏ và vàng có $C_5^4.C_6^1 + C_5^3.C_6^2 + C_5^2.C_6^3 + C_5^1C_6^4 = 455$.
Vậy $n\left( {\overline A } \right) = 833 \Rightarrow n\left( \Omega \right) – n\left( {\overline A } \right) = 2170 \Rightarrow p\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{310}}{{429}}$.
Câu 5: Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Chọn ra ngẫu nhiên 10 thẻ. Tính xác suất để 10 thẻ được chọn có 5 thẻ lẻ và 5 thẻ chẵn trong đó chỉ có đúng 1 thẻ chia hết cho 10
A. $\frac{{200}}{{3335}}$. B. $\frac{{1001}}{{3335}}$. C. $\frac{{99}}{{667}}$. D. $\frac{{568}}{{667}}$.
Lời giải
Trong 30 thẻ có 15 thẻ lẻ, có 3 thẻ chia hết cho 10, có 12 thẻ chỉ chia hết cho 2 mà không chia hết cho 10
Chọn 5 thẻ trong 15 thẻ lẻ là $C_{15}^5$
Chọn 4 thẻ trong 12 thẻ lẻ là $C_{12}^4$
Chọn 1 thẻ trong 3 thẻ lẻ là $C_3^1$
Không gian mẫu $C_{30}^{10}$
Xác suất để chọn theo yêu cầu bài toán là $P = \frac{{C_{15}^5.C_{12}^4.C_3^1}}{{C_{30}^{10}}} = \frac{{99}}{{667}}$
Câu 6: Một hộp đựng 11 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 11. Chọn ngẫu nhiên 3 tấm thẻ. Xác suất để tổng số ghi trên 3 tấm thẻ ấy là một số lẻ bằng
A. $\frac{{12}}{{33}}$. B. $\frac{{17}}{{33}}$. C. $\frac{4}{{33}}$. D. $\frac{{16}}{{33}}$.
Lời giải
Không gian mẫu $\Omega \Rightarrow $ $n\left( \Omega \right) = C_{11}^3$
Gọi A: “tổng số ghi trên 3 tấm thẻ ấy là một số lẻ”
Từ 1 đến 11 có 6 số lẻ và 5 số chẵn. Để có tổng của 3 số là một số lẻ ta có 2 trường hợp.
Trường hợp 1: Chọn được 1 thẻ mang số lẻ và 2 thẻ mang số chẵn có: $C_6^1 \cdot C_5^2 = 60$ cách.
Trường hợp 2: Chọn được 3 thẻ mang số lẻ có: $C_6^3 = 20$
Do đó
$n(A) = 60 + 20 = 80.$
Vậy $P(A) = \frac{{16}}{{33}}$
Câu 7: Từ một hộp chứa 13 quả bóng gồm 4 quả màu đỏ, 6 quả màu xanh và 3 quả màu vàng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả. Xác suất để lấy được 3 quả có màu khác nhau bằng
A. $\frac{{33}}{{143}}$. B. $\frac{1}{{22}}$. C. $\frac{{25}}{{286}}$. D. $\frac{{40}}{{143}}$.
Lời giải
Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả bóng từ 13 quả bóng đã cho có $C_{13}^3$ cách.
Lấy được 1 quả màu đỏ từ 4 quả màu đỏ đã cho có $C_4^1$ cách.
Lấy được 1 quả màu xanh từ 6 quả màu xanh đã cho có $C_6^1$ cách.
Lấy được 1 quả màu vàng từ 3 quả màu vàng đã cho có $C_3^1$ cách.
Vậy xác suất để lấy được 3 quả màu có màu khác nhau là $P = \frac{{C_4^1.C_6^1C_3^1}}{{C_{13}^3}} = \frac{{33}}{{143}}$.
Câu 8: Một hộp đựng $4$quả cầu xanh, $3$ quả cầu đỏ, $5$ quả cầu vàng. Biết rằng các quả cầu đều giống nhau về kích thước và chất liệu. Chọn đồng thời cùng một lúc $4$ quả cầu. Xác suất chọn được $4$ quả cầu có đủ cả $3$ màu bằng
A. $\frac{1}{2}$. B. $\frac{5}{{11}}$. C. $\frac{6}{{11}}$. D. $\frac{5}{8}$.
Lời giải
Ta có: $n\left( \Omega \right) = C_{12}^4 = 495$
Gọi A: “$4$ quả lấy ra có đủ $3$ màu”
Để chọn ra $4$ quả cầu có đủ cả $3$ màu gồm các trường hợp sau:
TH1: $1$ quả cầu xanh, $1$ quả cầu đỏ, $2$ quả cầu vàng có: $C_4^1.C_3^1.C_5^2$ cách.
TH2: $1$ quả cầu xanh, $2$ quả cầu đỏ, $1$ quả cầu vàng có: $C_4^1.C_3^2.C_5^1$ cách.
TH3: $2$ quả cầu xanh, $1$ quả cầu đỏ, $1$ quả cầu vàng có: $C_4^2.C_3^1.C_5^1$ cách.
$ \Rightarrow n\left( A \right) = C_4^1.C_3^1.C_5^2 + C_4^1.C_3^2.C_5^1 + C_4^2.C_3^1.C_5^1 = 270$
$ \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{270}}{{495}} = \frac{6}{{11}}$.
Câu 9: Một hộp chứa $4$ viên bi trắng, $5$ viên bi đỏ và $6$ viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra $4$ viên bi. Xác suất để $4$ viên bi được chọn có đủ ba màu và số bi đỏ nhiều nhất là
A. $P = \frac{{C_4^1C_5^2C_6^1}}{{C_{15}^4}}$. B. $P = \frac{{C_4^1C_5^3C_6^2}}{{C_{15}^2}}$. C. $P = \frac{{C_4^1C_5^2C_6^1}}{{C_{15}^2}}$. D. $P = \frac{{C_4^1C_5^2C_6^1}}{{C_{15}^2}}$.
Lời giải
Chọn A
Số phần tử không gian mẫu: $n\left( \Omega \right) = C_{15}^4$.
Gọi $A$ là biến cố cần tìm. Khi đó: $n\left( A \right) = C_4^1.C_5^2.C_6^1$ (vì số bi đỏ nhiều nhất là $2$)
Xác suất của biến cố $A$ là $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_4^1.C_5^2.C_6^1}}{{C_{15}^4}}$.
Câu 10. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên có $6$ chữ số phân biệt được lấy từ các số $1$,$2$,$3$,$4$,$5$,$6$,$7$,$8$,$9$. Chọn ngẫu nhiên một số từ $S$. Xác suất chọn được số chỉ chứa 3 số lẻ là
A. $P = \frac{{16}}{{42}}$. B. $P = \frac{{16}}{{21}}$. C. $P = \frac{{10}}{{21}}$. D. $P = \frac{{23}}{{42}}$.
Lời giải
Chọn C
Số phần tử không gian mẫu: $n\left( \Omega \right) = A_9^6 = 60480$.
(mỗi số tự nhiên $\overline {abcdef} $ thuộc $S$l à một chỉnh hợp chập 6 của 9- số phần tử của $S$ là số chỉnh hợp chập 6 của 9).
Gọi $A$: “số được chọn chỉ chứa $3$ số lẻ”. Ta có: $n\left( A \right) = C_5^3.A_6^3.A_4^3 = 28800$.
(bốc ra 3 số lẻ từ 5 số lẻ đã cho- chọn ra 3 vị trí từ 6 vị trí của số $\overline {abcdef} $ xếp thứ tự 3 số vừa chọn – bốc ra 3 số chẵn từ 4 số chẵn đã cho xếp thứ tự vào 3 vị trí còn lại của số $\overline {abcdef} $)
Khi đó: $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{28800}}{{60480}} = \frac{{10}}{{21}}$.
Câu 11. Một nhóm gồm $8$ nam và $7$ nữ. Chọn ngẫu nhiên $5$ bạn. Xác suất để trong $5$ bạn được chọn có cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ là:
A. $\frac{{60}}{{143}}$. B. $\frac{{238}}{{429}}$. C. $\frac{{210}}{{429}}$. D. $\frac{{82}}{{143}}$.
Lời giải
Chọn B
Gọi A là biến cố: “$5$ bạn được chọn có cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ “
-Không gian mẫu: $\left| \Omega \right| = C_{15}^5$.
-Số cách chọn $5$ bạn trong đó có $4$ nam, $1$ nữ là: $C_8^4.C_7^1.$
– Số cách chọn $5$ bạn trong đó có $3$ nam, $2$ nữ là: $C_8^3.C_7^2.$
$ \Rightarrow n\left( A \right) = C_8^4.C_7^1 + C_8^3.C_7^2 = 1666$
$ \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{\left| \Omega \right|}} = \frac{{1666}}{{C_{15}^5}} = \frac{{238}}{{429}}$.
