CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN
I. Hệ thống kiến thức
1) Định nghĩa cấp số cộng: Nếu $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số cộng với công sai $d$, ta có công thức truy hồi $\boxed{{u_{n + 1}} = {u_n} + d,\;n \in {\mathbb{N}^*}}.$
Số hạng tổng quát $\boxed{{u_n} = {u_1} + (n – 1)d,\;\forall n \geqslant 2.}$
Tính chất của CSC: $\boxed{{u_k} = \frac{{{u_{k – 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}}$ với $k \geqslant 2$.
Tổng của n số hạng đầu của một cấp số cộng
$\boxed{{S_n} = \frac{{n({u_1} + {u_n})}}{2}}$ hoặc $\boxed{{S_n} = n{u_1} + \frac{{n(n – 1)}}{2}d}$
2) Định nghĩa cấp số nhân: Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là cấp số nhân khi và chỉ khi $\boxed{{u_{n + 1}} = {u_n}.q}$ với $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ và $q$ là số cho trước không đổi ($q$ còn gọi là công bội).
Số hạng tổng quát: $\boxed{{u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}}}$ với $n \geqslant 2,n \in {\mathbb{N}^*}$.
Tính chất: $\boxed{u_k^2 = {u_{k – 1}}.{u_{k + 1}}}$ với $k \geqslant 2,k \in {\mathbb{N}^*}$.
Tổng n số hạng đầu:
$\boxed{\left[ \begin{gathered}
{S_n} = n{u_1} & ;\,\,q = 1 \hfill \\
{S_n} = {u_1}\frac{{1 – {q^n}}}{{1 – q}} & ;\,\,q \ne 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.}$
II. Các dạng bài/câu thường gặp
Dạng toán 1: Xác định ${u_1},d,{u_n},{S_n}$ của một cấp số cộng
Phương pháp: Áp dụng công thức ${u_n} = {u_1} + (n – 1)d$ ,$\forall n \geqslant 1,n \in \mathbb{N}$
${S_n} = \frac{{n({u_1} + {u_n})}}{2}$
Bài tập minh họa
Câu 1: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = 3$ và ${u_2} = 9$. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
A. $ – 6$. B. $3$. C. $12$. D. $6$.
Lời giải
Chọn D
Ta có: ${u_2} = {u_1} + d \Leftrightarrow 9 = 3 + d \Rightarrow d = 6$
Câu 2: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_2} = 4$ và ${u_3} = 3$. Giá trị của ${u_1}$ là
A. ${u_1} = 6$. B. ${u_1} = 1$. C. ${u_1} = 5$. D. ${u_1} = – 1$.
Lời giải
Chọn C
Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng
Ta có $\left\{ \begin{gathered}
{u_2} = 4 \hfill \\
{u_3} = 3 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{u_1} + d = 4 \hfill \\
{u_1} + 2d = 3 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
d = – 1 \hfill \\
{u_1} = 5 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
Câu 3: Cho cấp số cộng có số hạng đầu ${u_1} = 10$ và số hạng thứ hai ${u_2} = 13$. Tính số hạng thứ tư ${u_4}$ của cấp số cộng đã cho.
A. ${u_4} = 20.$ B. ${u_4} = 18.$ C. ${u_4} = 19.$ D. ${u_4} = 16.$
Lời giải
Chọn C
Vì cấp số cộng có số hạng đầu ${u_1} = 10$ và số hạng thứ hai ${u_2} = 13$nên công sai $d = {u_2} – {u_1} = 13 – 10 = 3$
Do đó số hạng thứ tư ${u_4} = {u_1} + 3d = 10 + 3.3 = 19.$
Câu 4: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$có ${u_5} = 6,{u_7} = 22$. Tính số hạng ${u_3}$.
A. $4.$ B. $25.$ C. $ – 10.$ D. $1.$
Lời giải
Chọn C
Ta có $\left\{ \begin{gathered}
{u_5} = {u_1} + 4d \hfill \\
{u_7} = {u_1} + 6d \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
6 = {u_1} + 4d \hfill \\
22 = {u_1} + 6d \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{u_1} = – 26 \hfill \\
d = 8 \hfill \\
\end{gathered} \right..$
Số hạng ${u_3} = {u_1} + 2d = – 26 + 2.8 = – 10.$
Câu 5: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng tổng quát ${u_n} = 3n – 1,n \in {\mathbb{N}^*}$. Khi đó số hạng đầu ${u_1}$ và công sai $d$ là
A. ${u_1} = 3,d = 2$. B. ${u_1} = – 1,d = 3$. C. ${u_1} = 2,d = 3$. D. ${u_1} = – 2,d = – 1$.
Lời giải
Chọn C
Ta có.
$\begin{gathered}
{u_1} = 3.1 – 1 = 2 \hfill \\
{u_2} = 3.2 – 1 = 5 \hfill \\
d = {u_2} – {u_1} = 5 – 2 = 3 \hfill \\
\end{gathered} $
Dạng toán 2: Xác định ${u_1},d,{u_n},{S_n}$ của một cấp số nhân
Phương pháp: Áp dụng công thức ${u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}}$ ,$\forall n \geqslant 1,n \in \mathbb{N}$
${S_n} = \frac{{{u_1}(1 – {q^n})}}{{1 – q}}$
Bài tập minh họa
Câu 1: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = 2$, công bội $q = 3$. Số hạng ${u_4}$ của cấp số nhân bằng
A. $54$. B. $11$. C. $12$. D. $24$.
Lời giải
Chọn A
Số hạng ${u_4}$ của cấp số nhân được tính theo công thức:${u_4} = {u_1}.{q^3} = {2.3^3} = 54$.
Câu 2: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 3$ và ${u_2} = 1$. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
A. $\frac{1}{3}$. B. $3$. C. $ – \frac{1}{2}$. D. $ – 2$.
Lời giải
Chọn A
Ta có: $q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{1}{3}$. Vậy công bội của cấp số nhân đã cho là $\frac{1}{3}$.
Câu 3: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, với ${u_1} = – 9,{u_4} = \frac{1}{3}$. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
A. $3$. B. $\frac{1}{3}$. C. $ – \frac{1}{3}$. D. $ – 3$.
Lời giải
Chọn C
${u_4} = {u_1}.{q^3} \Leftrightarrow \frac{1}{3} = – 9.{q^3} \Rightarrow q = – \frac{1}{3}$
Câu 4: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$với ${u_2} = 2$và ${u_4} = 18$. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
A. $16$. B. $ \pm 3$. C. $\frac{1}{9}$. D. $9$.
Lời giải
Chọn B
Ta có: ${u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}}$nên $\left\{ \begin{gathered}
{u_2} = {u_1}.q = 2 \hfill \\
{u_4} = {u_1}.{q^3} = 18 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow {q^2} = 9 \Leftrightarrow q = \pm 3$
Câu 5: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = 3$ và ${u_4} = – 24$. Số hạng ${u_2}$ bằng
A. $12$. B. $ – 9$. C. $6$. D. $ – 6$.
Lời giải
Chọn D
${u_4} = {u_1}.{q^3} \Rightarrow – 24 = 3.{q^3} \Rightarrow q = – 2$.
Khi đó: ${u_2} = {u_1}.q = 3.( – 2) = – 6$.
III. Hệ thống câu hỏi ôn tập:
Câu 1: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_3} = 2$ và ${u_4} = 6$. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
A. $ – 4$. B. $4$. C. $ – 2$. D. $2$.
Câu 2: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = 2$ và công sai $d = 1$. Khi đó ${u_3}$ bằng
A. $3$. B. $1$. C. $4$. D. $2$.
Câu 3: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_{10}} = 25$ và công sai $d{\text{ }} = {\text{ }}3.$ Khi đó ${u_1}$ bằng
A. ${u_1} = 2$. B. ${u_1} = 3$. C. ${u_1} = – 3$. D. ${u_1} = – 2$.
Câu 4: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với số hạng đầu ${u_1} = 1$ và công sai $d{\text{ }} = {\text{ }}3.$ Hỏi số $34$ là số hạng thứ mấy?
A. $12$ B. $9$ C. $11$ D. $10$
Câu 5: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = – 21$ và công sai $d{\text{ }} = {\text{ }}3.$ Tổng $16$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng
A. ${S_{16}} = 24$. B. ${S_{16}} = – 24$. C. ${S_{16}} = 26$. D. ${S_{16}} = – 25$.
Câu 6: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right):2\,,\,a\,,\,6\,,\,b.$ Khi đó tích $a.b$ bằng
A. $22$. B. $40$. C. $12$. D. $32$.
Câu 7: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = – 2$ và công bội $q = 3$. Khi đó ${u_2}$ bằng
A. ${u_2} = 1$. B. ${u_2} = – 6$. C. ${u_2} = 6$. D. ${u_2} = – 18$.
Câu 8: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với số hạng đầu ${u_1} = – 3$ và công bội $q = \frac{2}{3}$. Số hạng thứ năm của cấp số nhân bằng
A. $\frac{{27}}{{16}}$. B. $ – \frac{{16}}{{27}}$. C. $ – \frac{{27}}{{16}}$. D. $\frac{{16}}{{27}}$.
Câu 9: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_4} = 1$; $q = 3$. Tìm ${u_1}$?
A. ${u_1} = \frac{1}{9}$. B. ${u_1} = 9$. C. ${u_1} = 27$. D. ${u_1} = \frac{1}{{27}}$.
Câu 10: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = – \frac{1}{2};{\text{ }}{u_7} = – 32$. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
A. $q = \pm 2$ B. $q = \pm \frac{1}{2}$ C. $q = \pm 4$ D. $q = \pm 1$
Câu 11: Một cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1} = 3$, công bội $q = 2$. Tổng $8$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng
A. ${S_8} = 381.$ B. ${S_8} = 189$. C. ${S_8} = 765$. D. ${S_8} = 1533$.
Câu 12: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với số hạng đầu ${u_1} = 1$ và công bội $q = 2$. Hỏi số $1024$ là số hạng thứ mấy?
A. $11$ B. $9$ C. $8$ D. $10$
Câu 13: Cho một cấp số cộng có ${u_4} = 2$, ${u_2} = 4$. Hỏi ${u_1}$và công sai $d$ bằng bao nhiêu?
A. ${u_1} = 6$và $d = 1.$ B. ${u_1} = 1$và $d = 1.$ C. ${u_1} = 5$và $d = – 1.$ D. ${u_1} = – 1$và $d = – 1.$
LỜI GIẢI
Câu 1: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_3} = 2$ và ${u_4} = 6$. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng
A. $ – 4$. B. $4$. C. $ – 2$. D. $2$.
Lời giải
Chọn B
Ta có ${u_4} = {u_3} + d \Rightarrow d = {u_4} – {u_3} = 6 – 2 = 4$.
Câu 2: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = 2$ và công sai $d = 1$. Khi đó ${u_3}$ bằng
A. $3$. B. $1$. C. $4$. D. $2$.
Lời giải
Chọn C
Ta có ${u_3} = {u_1} + 2d = 2 + 2.1 = 4$.
Câu 3: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_{10}} = 25$ và công sai $d{\text{ }} = {\text{ }}3.$ Khi đó ${u_1}$ bằng
A. ${u_1} = 2$. B. ${u_1} = 3$. C. ${u_1} = – 3$. D. ${u_1} = – 2$.
Lời giải
Chọn D
Ta có ${u_{10}} = {u_1} + 9d \Rightarrow {u_1} = {u_{10}} – 9{\text{d}} = 25 – 9.3 = – 2$.
Câu 4: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với số hạng đầu ${u_1} = 1$ và công sai $d{\text{ }} = {\text{ }}3.$ Hỏi số $34$ là số hạng thứ mấy?
A. $12$ B. $9$ C. $11$ D. $10$
Lời giải
Chọn A
Ta có ${u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d \Leftrightarrow 34 = 1 + \left( {n – 1} \right).3 \Leftrightarrow \left( {n – 1} \right).3 = 33 \Leftrightarrow n – 1 = 11 \Leftrightarrow n = 12$.
Câu 5: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = – 21$ và công sai $d{\text{ }} = {\text{ }}3.$ Tổng $16$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng
A. ${S_{16}} = 24$. B. ${S_{16}} = – 24$. C. ${S_{16}} = 26$. D. ${S_{16}} = – 25$.
Lời giải
Chọn A
Áp dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu tiên ta có:
${S_{16}} = \frac{{n\left( {2{u_1} + \left( {n – 1} \right)d} \right)}}{2} = \frac{{16\left[ {2.\left( { – 21} \right) + \left( {16 – 1} \right).3} \right]}}{2} = 24.$
Câu 6: Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right):2\,,\,a\,,\,6\,,\,b.$ Khi đó tích $a.b$ bằng
A. $22$. B. $40$. C. $12$. D. $32$.
Lời giải
Chọn D
Theo tính chất của cấp số cộng: $\left\{ \begin{gathered}
2 + 6 = 2a \hfill \\
a + b = 12 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
a = 4 \hfill \\
b = 8 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow a.b = 32$.
Câu 7: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = – 2$ và công bội $q = 3$. Khi đó ${u_2}$ bằng
A. ${u_2} = 1$. B. ${u_2} = – 6$. C. ${u_2} = 6$. D. ${u_2} = – 18$.
Lời giải
Chọn B
Số hạng ${u_2}$ là ${u_2} = {u_1}.q$$ = – 6$.
Câu 8: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với số hạng đầu ${u_1} = – 3$ và công bội $q = \frac{2}{3}$. Số hạng thứ năm của cấp số nhân bằng
A. $\frac{{27}}{{16}}$. B. $ – \frac{{16}}{{27}}$. C. $ – \frac{{27}}{{16}}$. D. $\frac{{16}}{{27}}$.
Lờigiải
Chọn D
Ta có ${u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}}$$ \Rightarrow {u_5} = – 3.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^4}$$ = – \frac{{16}}{{27}}$.
Câu 9: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_4} = 1$; $q = 3$. Tìm ${u_1}$?
A. ${u_1} = \frac{1}{9}$. B. ${u_1} = 9$. C. ${u_1} = 27$. D. ${u_1} = \frac{1}{{27}}$.
Lời giải
Chọn D
Ta có:${u_4} = {u_1}.{q^3} \Rightarrow {u_1} = \frac{{{u_4}}}{{{q^3}}} = \frac{1}{{{3^3}}} = \frac{1}{{27}}$.
Câu 10: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = – \frac{1}{2};{\text{ }}{u_7} = – 32$. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng
A. $q = \pm 2$ B. $q = \pm \frac{1}{2}$ C. $q = \pm 4$ D. $q = \pm 1$
Lời giải
Chọn A
Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có ${u_n} = {u_1}{q^{n – 1}} \Rightarrow {u_7} = {u_1}.{q^6} \Rightarrow {q^6} = 64 \Rightarrow \left[ \begin{gathered}
q = 2 \hfill \\
q = – 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$$.
Câu 11: Một cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1} = 3$, công bội $q = 2$. Tổng $8$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân bằng
A. ${S_8} = 381.$ B. ${S_8} = 189$. C. ${S_8} = 765$. D. ${S_8} = 1533$.
Lời giải
Chọn C
Áp dụng công thức tổng của cấp số nhân ta có: ${S_8} = \frac{{{u_1}\left( {1 – {q^8}} \right)}}{{1 – q}} = \frac{{3.\left( {1 – {2^8}} \right)}}{{1 – 2}} = 765$.
Câu 12: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với số hạng đầu ${u_1} = 1$ và công bội $q = 2$. Hỏi số $1024$ là số hạng thứ mấy?
A. $11$ B. $9$ C. $8$ D. $10$
Lời giải
Chọn A
Ta có ${u_n} = {u_1}.{q^{n – 1}} \Leftrightarrow {1.2^{n – 1}} = 1024 \Leftrightarrow {2^{n – 1}} = {2^{10}} \Leftrightarrow n – 1 = 10 \Leftrightarrow n = 11$.
Câu 13: Cho một cấp số cộng có ${u_4} = 2$, ${u_2} = 4$. Hỏi ${u_1}$và công sai $d$ bằng bao nhiêu?
A. ${u_1} = 6$và $d = 1.$ B. ${u_1} = 1$và $d = 1.$ C. ${u_1} = 5$và $d = – 1.$ D. ${u_1} = – 1$và $d = – 1.$
Lời giải
Chọn C
Ta có: ${u_n} = {u_1} + \left( {n – 1} \right)d$. Theo giả thiết ta có hệ phương trình
$\left\{ \begin{gathered}
{u_4} = 2 \hfill \\
{u_2} = 4 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{u_1} + 3d = 2 \hfill \\
{u_1} + d = 4 \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
{u_1} = 5 \hfill \\
d = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.
Vậy ${u_1} = 5$ và $d = – 1.$
