[300 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Toán 2025] Chuyên Đề Đạo Hàm Và Khảo Sát Hàm Số Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT 2025 Giải Chi Tiết

Chuyên Đề Đạo Hàm Và Khảo Sát Hàm Số Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT 2025 Giải Chi Tiết

1. Tổng quan về bài học

Bài học này tập trung vào chuyên đề Đạo hàm và Khảo sát hàm số, một nội dung quan trọng và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp THPT. Mục tiêu chính là giúp học sinh hệ thống lại kiến thức, rèn luyện kỹ năng vận dụng các phương pháp giải bài tập đạo hàm và khảo sát hàm số một cách hiệu quả, chuẩn bị tốt cho kỳ thi tốt nghiệp THPT 2025. Bài học sẽ phân tích chi tiết các dạng bài tập thường gặp, cung cấp các phương pháp giải nhanh, tối ưu, giúp học sinh làm quen và tự tin giải quyết các vấn đề phức tạp.

2. Kiến thức và kỹ năng

Học sinh sẽ được trang bị các kiến thức và kỹ năng sau:

Kiến thức: Lý thuyết về đạo hàm các hàm số cơ bản và các quy tắc tính đạo hàm. Phương pháp khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Các dạng hàm số thường gặp (hàm đa thức, hàm phân thức, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit). Các khái niệm liên quan như cực trị, điểm uốn, tiệm cận, giao điểm với các trục tọa độ.

Kỹ năng:
Vận dụng các công thức đạo hàm để giải các bài toán thực tế.
Xác định các yếu tố ảnh hưởng đến đồ thị hàm số.
Phân tích bài toán, lựa chọn phương pháp giải phù hợp.
Vẽ đồ thị hàm số chính xác và nhanh chóng.
Giải quyết các bài toán khảo sát hàm số phức tạp.
Tìm các giá trị tham số để thỏa mãn điều kiện cho trước.

3. Phương pháp tiếp cận

Bài học sử dụng phương pháp kết hợp lý thuyết với thực hành, giải bài tập. Cụ thể:

Giải thích chi tiết: Các khái niệm và công thức sẽ được giải thích rõ ràng, dễ hiểu, kèm theo ví dụ minh họa. Phân tích các dạng bài tập: Bài học sẽ phân loại các dạng bài tập đạo hàm và khảo sát hàm số thường gặp, phân tích kỹ các bước giải và cách xử lý các trường hợp đặc biệt. Bài tập ví dụ: Kèm theo nhiều bài tập ví dụ có lời giải chi tiết, giúp học sinh hiểu rõ cách vận dụng lý thuyết vào thực hành. Bài tập luyện tập: Bài học cung cấp một số bài tập luyện tập cho học sinh tự giải, giúp củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng. Thảo luận: Bài học có thể bao gồm các phần thảo luận, giúp học sinh trao đổi và học hỏi lẫn nhau. 4. Ứng dụng thực tế

Kiến thức về đạo hàm và khảo sát hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ:

Tối ưu hóa: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm số trong một khoảng xác định.
Mô hình hóa: Mô hình hóa các quá trình thay đổi theo thời gian bằng các hàm số.
Kỹ thuật: Ứng dụng trong thiết kế, tối ưu hóa các hệ thống kỹ thuật.
Kinh tế: Phân tích các mô hình kinh tế bằng các hàm số.

5. Kết nối với chương trình học

Bài học này là phần tiếp nối và mở rộng kiến thức từ các bài học về hàm số, giới hạn, liên tục và các bài học về đạo hàm cơ bản. Nắm vững kiến thức trong chuyên đề này sẽ giúp học sinh tự tin hơn trong việc học các môn học khác liên quan đến toán học, như giải tích, hình học.

6. Hướng dẫn học tập

Để học tập hiệu quả, học sinh nên:

Đọc kỹ lý thuyết: Hiểu rõ các khái niệm, công thức và quy tắc.
Làm thật nhiều bài tập: Thực hành giải các bài tập ví dụ và bài tập luyện tập.
Phân tích bài tập: Hiểu rõ phương pháp giải và cách vận dụng kiến thức.
Tự giải bài tập: Cố gắng tự giải các bài tập khó để rèn luyện kỹ năng.
Xem lại bài giảng: Nếu cần, xem lại bài giảng để nắm vững kiến thức.
Hỏi đáp: Hỏi giáo viên hoặc bạn bè nếu có thắc mắc.
Luyện tập thường xuyên: Kiên trì luyện tập để củng cố và nâng cao kỹ năng.

Từ khóa liên quan (40 keywords):

Đạo hàm, Khảo sát hàm số, Ôn thi tốt nghiệp, THPT 2025, Hàm số, Cực trị, Điểm uốn, Tiệm cận, Đồ thị hàm số, Hàm đa thức, Hàm phân thức, Hàm lượng giác, Hàm mũ, Hàm logarit, Quy tắc tính đạo hàm, Phương pháp giải bài tập, Giải chi tiết, Bài tập ví dụ, Bài tập luyện tập, Toán học, Giải tích, Hình học, Tối ưu hóa, Mô hình hóa, Ứng dụng thực tế, Giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ nhất, Tham số, Giao điểm, Khảo sát sự biến thiên, Hàm số bậc nhất, Hàm số bậc hai, Hàm số bậc ba, Hàm số bậc bốn, Hàm số lượng giác, Phương trình đạo hàm, Phương trình tiếp tuyến.

Chuyên đề Đạo hàm và khảo sát hàm số ôn thi tốt nghiệp THPT 2025 giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 20 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.

CHUYÊN ĐỀ: ĐẠO HÀM VÀ KHẢO SÁT HÀM SỐ

A. KIẾN THỨC CẤN NHỚ

I. ĐẠO HÀM

1. Đạo hàm

a) Định nghĩa

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a;b)$ và điểm ${x_0}$ thuộc khoảng đó. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) – f\left( {{x_0}} \right)}}{{x – {x_0}}}$ thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ tại ${x_0}$ và được kí hiệu là ${f^\prime }\left( {{x_0}} \right)$ hoặc ${y’_0}$.

b) Ýnghĩa vật lí của đạo hàm

Đạo hàm xuất hiện trong nhiều khái niệm vật li. Chẳng hạn: Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s = s(t)$, với $s = s(t)$ là một hàm số có đạo hàm. Vận tốc tức thời của chuyến động tại thời điểm ${t_0}$ là đạo hàm của hàm số $s = s(t)$ tại ${t_0}:v\left( {{t_0}} \right) = {s^\prime }\left( {{t_0}} \right)$

c) Ý nghĩa hình hoc của đạo hàm

– Đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ tại điểm ${x_0}$ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm ${M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)$.

– Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm ${M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)$ là $y = {f^\prime }\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)$.

d) Đạo hàm của hàm hợp

Nếu hàm số $u = g(x)$ có đạo hàm tại $x$ là $u_x^\prime $ và hàm số $y = f(u)$ có đạo hàm tại $u$ là $y_u^\prime $ thì hàm hợp $y = f(g(x))$ có đạo hàm tại $x$ là $y_x^\prime = y_u^\prime \cdot u_x^\prime $.

e) Đạo hàm của một số hàm số

2. Các quy tắt tính đạo hàm

a) Các công thức cần nhớ

Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của các hàm số hợp

 

$({x^\alpha })’ = \alpha {x^{\alpha – 1}}$

${\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } = – \frac{1}{{{x^2}}}$

$\left( {\sqrt x } \right)’ = \frac{1}{{2\sqrt x }}$

$({u^\alpha })’ = \alpha {u^{\alpha – 1}}.u’$

${\left( {\frac{1}{u}} \right)^\prime } = – \frac{{u’}}{{{u^2}}}$

$\left( {\sqrt u } \right)’ = \frac{{u’}}{{2\sqrt u }}$

$(\sin x)’ = \cos x$

$(\cos x)’ = – \sin x$

$(\tan x)’ = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x$

$(\cot x)’ = – \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = – (1 + {\cot ^2}x)$

$(\sin u)’ = u’.\cos u$

$(\cos u)’ = – u’.\sin u$

$(\tan u)’ = \frac{{u’}}{{{{\cos }^2}u}} = u'(1 + {\tan ^2}u)$

$(\cot u)’ = – \frac{{u’}}{{{{\sin }^2}u}} = – u'(1 + {\cot ^2}u)$

$({e^x})’ = {e^x}$

$({a^x})’ = {a^x}.\ln a$

$({e^u})’ = u’.{e^u}$

$({a^u})’ = {a^u}.u’.\ln a$

$(\ln |x|)’ = \frac{1}{x}$

$({\log _a}|x|)’ = \frac{1}{{x\ln a}}$

$(\ln |u|)’ = \frac{{u’}}{u}$

$({\log _a}|u|)’ = \frac{{u’}}{{u\ln a}}$

b. Các quy tắc tính đạo hàm

$(u + v – w)’ = u’ + v’ – w’$

$(k.u)’ = k.u’$

$(uv)’ = u’v + uv’$

${\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u’v – uv’}}{{{v^2}}}$

c. Đạo hàm của hàm số hợp : $y'{_x} = y'{_u}.u'{_x}$

II. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

a) Định lí

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên tập $K \subset \mathbb{R}$, trong đó $K$ là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng. Nếu$f’\left( x \right) \geqslant 0$ hoặc $f’\left( x \right) \leqslant 0$ với mọi $x$ thuộc $K$ và $f’\left( x \right) = 0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm của $K$ thì hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến (hoặc nghịch biến) trên $K$.

b) Các bước để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $f\left( x \right)$

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số $y = f\left( x \right)$.

Bước 2. Tính đạo hàm $y’ = f’\left( x \right)$ các điểm ${x_i}\,(i = 1,\,2\,,\,3\,,……,n)$ mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng $0$ hoặc không tồn tại.

Bước 3. Sắp xếp các điểm ${x_i}$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên, nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Chú ý: Ta cũng có thể nhận biết tính đơn điệu của hàm số bằng cách quan sát hình dáng của đồ thị đi lên (hàm số đồng biến) hoặc đi xuống (hàm số nghịch biến).

III. ĐIỂM CỰC TRỊ, GIÁ TRỊ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

a) Định nghĩa

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên tập $K \subset \mathbb{R}$,trong đó $K$ là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng và ${x_0} \in K,\,{x_1} \in K$

$ \bullet $${x_0}$ được gọi là một điểm cực đại của hàm số đã cho nếu tồn tại một khoảng $\left( {a,\,b} \right)$ chứa điểm ${x_0}$ sao cho $\left( {a,\,b} \right) \subset K$ và $f\left( x \right) < f\left( {{x_0}} \right)$ với mọi $x \in \left( {a,\,b} \right)$và $x \ne {x_0}$

Khi đó, $f\left( {{x_0}} \right)$được gọi là giá trị cực đại của hàm số đã cho, kí hiệu .

$ \bullet $${x_1}$ được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số đã cho nếu tồn tại một khoảng $\left( {c,\,d} \right)$ chứa điểm ${x_1}$ sao cho $\left( {c,\,d} \right) \subset K$ và $f\left( x \right) > f\left( {{x_1}} \right)$ với mọi $x \in \left( {c,\,d} \right)$và $x \ne {x_1}$

Khi đó, $f\left( {{x_1}} \right)$ được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số đã cho, kí hiệu là ${f_{CT}}$.

$ \bullet $Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị).

Chú ý: Nếu ${x_0}$ là một điểm cực trị của hàm số $y = f\left( x \right)$ thì điểm $M\left( {{x_0};\,f\left( {{x_0}} \right)} \right)$ được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$.

b) Dấu hiệu nhận biết cực trị của hàm số bằng đạo hàm

Giả sử hàm số $y = f\left( x \right)$liên tục trên khoảng $\left( {a,\,b} \right)$ chứa điểm ${x_0}$ và có đạo hàm trên các khoảng $\left( {a,\,\,{x_0}} \right)$ và $\left( {{x_0},\,\,b} \right)$. Khi đó

$ \bullet $ Nếu $f’\left( x \right) < 0$ với mọi $x \in \left( {a;\,{x_0}} \right)$ và $f’\left( x \right) > 0\,\forall x \in \left( {{x_0},\,b} \right)$thì hàm số $f\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại điểm ${x_0}$.

$ \bullet $Nếu $f’\left( x \right) > 0$ với mọi $x \in \left( {a;\,{x_0}} \right)$ và $f’\left( x \right) < 0\,\forall x \in \left( {{x_0},\,b} \right)$thì hàm số $f\left( x \right)$ đạt cực đại tại điểm ${x_0}$.

c) Các bước để tìm điểm cực trị của hàm số $f\left( x \right)$.

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số $f\left( x \right)$.

Bước 2. Tính đạo hàm $y’ = f’\left( x \right)$ các điểm ${x_i}\,(i = 1,\,2\,,\,3\,,……,n)$ mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng $0$ hoặc không tồn tại.

Bước 3. Sắp xếp các điểm ${x_i}$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên, nêu kết luận về các điểm cực trị của hàm số.

IV. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

a) Định nghĩa

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên tập $D$.

$ \bullet $Số $M$ được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên $D$, kí hiệu $M = \mathop {\max \,}\limits_D f\left( x \right)$, nếu $f\left( x \right) \leqslant M$ với mọi $x \in D$ và tồn tại ${x_0} \in D$ sao cho $f\left( {{x_0}} \right) = M$.

$ \bullet $Số $m$ được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên $D$, kí hiệu $m = \mathop {\min }\limits_D \,f\left( x \right)$, nếu $f\left( x \right) \geqslant m$ với mọi $x \in D$ và tồn tại ${x_0} \in D$ sao cho $f\left( {{x_0}} \right) = m$.

b) Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng đạo hàm

Giả sử hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và có đạo hàm trên khoảng $\left( {a;\,b} \right)$, có thể trừ một số hữu hạn điểm. Nếu$f’\left( x \right) = 0$ chỉ tại mốt số hữu hạn điểm thuộc khoảng $\left( {a;\,b} \right)$ thì ta có quy tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ như sau:

Bước 1. Tìm các điểm ${x_1}; {x_2};…; {x_n}$ thuộc $\left( {a;b} \right)$ sao cho tại đó hàm số $f$ có đạo hàm bằng hoặc không xác định.

Bước 2. Tính $f\left( {{x_1}} \right); f\left( {{x_2}} \right);…; f\left( {{x_n}} \right); f\left( a \right); f\left( b \right)$.

Bước 3. So sánh các giá trị tìm được ở Bước 2.

Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm $y = f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$.

Số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm $y = f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$.

V. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ

a) Đường tiệm cận ngang

Đường thẳng $y = {y_o}$ được gọi là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = {y_o}$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = {y_o}$.

b) Đường tiệm cận đứng

Đường thẳng $x = {x_0}$ được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = + \infty ,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ – } f\left( x \right) = – \infty ,$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = – \infty ,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ – } f\left( x \right) = + \infty $.

c) Đường tiệm cận xiên

Đường thẳng $y = ax + b$ được gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ nếu:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) – \left( {ax + b} \right)} \right] = 0$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {f\left( x \right) – \left( {ax + b} \right)} \right] = 0$.

VI. SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số

* Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có).

* Lập bảng biến thiên của hàm số bao gồm: Tính đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và cực trị của hàm số (nếu có). Điền các kết quả vào bảng.

Bước 3. Vé đồ thị hàm số

* Vẽ các đường tiệm cận (nếu có).

* Xác định các điểm đặc biệt của đồ thị, cực trị, giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (trong trường hợp đơn giản),…

* Nhận xét về đặc điểm đồ thị: chỉ ra tâm đối xứng, trục đối xứng của đồ thị (nếu có).

B. MỘT SỐ VÍ DỤ

Dạng 1: Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.

Ví dụ 1: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f’\left( 1 \right) = 2$. Giá trị của biểu thức $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) – f\left( 1 \right)}}{{x – 1}}$bằng

A. $\frac{1}{2}$. B. $2$. C. $ – 2$. D. $\sqrt 2 $.

Lời giải

Chọn B

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) – f\left( 1 \right)}}{{x – 1}} = f’\left( 1 \right) = 2$

Ví dụ 2: Đạo hàm của hàm số $y = cos 2x$ là

A. $sin2x$. B. $ – sin2x$. C. $ – 2sin2x$. D. $2\cos 2x$.

Lời giải

Chọn C

Ta có ${\left( {\cos 2x} \right)^\prime } = – 2sin2x$

Ví dụ 3: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f’\left( x \right) < 0\,,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)$và $f’\left( x \right) > 0,\,\forall x \in \left( {2;3} \right)$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên cả hai khoảng $\left( {1;2} \right)$và $\left( {2;3} \right)$.

B. Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên cả hai khoảng $\left( {1;2} \right)$và $\left( {2;3} \right)$.

C. Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {1;2} \right)$và nghịch biến trên khoảng $\left( {2;3} \right)$.

D. Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( {1;2} \right)$và đồng biến trên khoảng $\left( {2;3} \right)$.

Lời giải

Chọn D

Vì $f’\left( x \right) < 0\,\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)$và $f’\left( x \right) > 0\,\,\,\forall x \in \left( {2;3} \right)$nên hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( {1;2} \right)$và đồng biến trên khoảng $\left( {2;3} \right)$.

Dạng 2: Trắc nghiệm đúng-sai

Trong mỗi ý a) b) c) d) ở mỗi câu thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Ví dụ 4: Cho các hàm số $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ thỏa mãn $f’\left( x \right) = 2x + 1$ và $g’\left( x \right) = x,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$.

a) ${\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]^\prime } = 3x + 1$

b) ${\left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]^\prime } = x + 1$

c) ${\left[ {5f\left( x \right)} \right]^\prime } = 2x + 6$

d) ${\left[ { – 7g\left( x \right)} \right]^\prime } = x – 7.$

Lời giải

– ${\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]^\prime } = f’\left( x \right) + g’\left( x \right) = 2x + 1 + x = 3x + 1$.

– ${\left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]^\prime } = f’\left( x \right) – g’\left( x \right) = 2x + 1 – x = x + 1$.

– ${\left[ {5f\left( x \right)} \right]^\prime } = 5f’\left( x \right) = 5\left( {2x + 1} \right) = 10x + 5$.

– ${\left[ { – 7g\left( x \right)} \right]^\prime } = – 7g’\left( x \right) = – 7x$.

Đáp án: a) Đ, b) Đ, c) S, d) S.

Ví dụ 5. Cho hàm số $y = f\left( x \right) = {x^3} – 3x$.

A graph of function and equations Description automatically generated

a) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

b) $f’\left( x \right) = 3{x^2} + 3$

c) $f’\left( x \right) < 0$ khi $x \in \left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$, $f’\left( x \right) > 0$ khi $x \in \left( { – 1;1} \right)$.

d) Hàm số đã cho có đồ thị như ở Hình 1.

Lời giải

1) Tập xác định: $\mathbb{R}$.

2) Sự biến thiên

– Giới hạn tại vô cực: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty $.

– Bảng biến thiên: $y’ = 3{x^2} – 3$ và $y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = – 1 \hfill \\
x = 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.

A black and white text Description automatically generated with medium confidence

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { – \infty ; – 1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$, nghịch biến trên khoảng $\left( { – 1;1} \right)$.

Hàm số đạt cực đại tại $x = – 1,{y_{CD}} = 2$; hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1,{y_{CT}} = – 2$.

3) Đồ thị

– Giao điểm của đồ thị với trục tung: $\left( {0;0} \right)$.

– Giao điểm của đồ thị với trục hoành tại $x = 0$ hoặc $x = \pm \sqrt 3 $. Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại ba điểm $\left( {0;0} \right),\left( { – \sqrt 3 ;0} \right)$ và $\left( {\sqrt 3 ;0} \right)$.

Vậy đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) = {x^3} – 3x$ được cho ở Hình 1.

Đáp án: a) Đ, b) S, c) S, d) Đ.

Dạng 3: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Ví dụ 6. Biết rằng ${\left( {\sin x + \cos x} \right)^\prime } = a\sin x + b\cos x$ với $a,b$ là các hằng số thực. Giá trị của $a – 2b$ là bao nhiêu?

Lời giải

Ta có: ${\left( {\sin x + \cos x} \right)^\prime } = {\left( {\sin x} \right)^\prime } + {\left( {\cos x} \right)^\prime } = \cos x – \sin x = \left( { – 1} \right) \cdot \sin x + 1 \cdot \cos x$.

Suy ra $a = – 1,b = 1$. Vậy $a – 2b = – 3$.

Ví dụ 7. Cho một tấm nhôm có dạng hình vuông cạnh $3dm$. Bác Tùng cắt ở bốn góc bốn hình vuông cùng có độ dài cạnh bằng $x\,\left( {dm} \right)$, rồi gấp tấm nhôm lại như Hình 2 để được một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp.

A diagram of a square and a square Description automatically generated

Gọi $V$ là thể tích của khối hộp đó tính theo $x\,\left( {dm} \right)$. Giá trị lớn nhất của $V$ là bao nhiêu decimét khối?

Lời giải

Ta thấy độ dài $x\left( {dm} \right)$ của cạnh hình vuông bị cắt thoả mãn điều kiện $0 < x < 1,5$.

Thể tích của khối hộp là $V\left( x \right) = x{\left( {3 – 2x} \right)^2}$ với $0 < x < 1,5$.

Ta phải tìm ${x_0} \in \left( {0;1,5} \right)$ sao cho $V\left( {{x_0}} \right)$ có giá trị lơn nhất.

Ta có: $V’\left( x \right) = {\left( {3 – 2x} \right)^2} – 4x\left( {3 – 2x} \right) = \left( {3 – 2x} \right)\left( {3 – 6x} \right) = 3\left( {3 – 2x} \right)\left( {1 – 2x} \right)$.

Trên khoảng $\left( {0;1,5} \right),V’\left( x \right) = 0$ khi $x = 0,5$.

Báng biến thiên của hàm số $V\left( x \right)$ như sau:

A graph of numbers and a line Description automatically generated with medium confidence

Căn cứ bảng biến thiên, ta thấy: Trên khoảng $\left( {0;1,5} \right)$, hàm số $V\left( x \right)$ đạt giá trị lón nhất bằng 2 tại $x = 0,5$. Vây giá trị lớn nhất của $V$ là $2d{m^3}$.

C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Dạng 1: Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Đạo hàm của hàm số $y = \cot 3x$ là:

A. $\frac{{ – 1}}{{{{\sin }^2}3x}}$. B. $\frac{3}{{{{\sin }^2}3x}}$. C. $\frac{{ – 3}}{{{{\sin }^2}3x}}$. D. $\frac{1}{{{{\sin }^2}3x}}$.

Lời giải

Chọn C

Ta có $y’ = \left( {\cot 3x} \right)’ = \frac{{ – \left( {3x} \right)’}}{{{{\sin }^2}3x}} = \frac{{ – 3}}{{{{\sin }^2}3x}}$

Câu 2. Đạo hàm của hàm số $y = {5^x}$ là

A. ${5^x}.\log 5$. B. ${5^x}.\ln 5$. C. ${5^{x – 1}}$. D. $x{.5^{x – 1}}$.

Lời giải

Chọn B

Ta có ${\left( {{5^x}} \right)^\prime } = {5^x}.\ln 5$

Câu 3. Đạo hàm của hàm số $y = {\log _5}x$ là

A. $\frac{1}{{x\log 5}}$. B. ${5^x}.\ln 5$. C. $\frac{1}{x}$. D. $\frac{1}{{x\ln 5}}$.

Lời giải

Chọn D

Ta có ${\left( {{{\log }_5}x} \right)^\prime } = \frac{1}{{x\ln 5}}$

Câu 4. Cho các hằng số a, b, c, d khác 0. Đạo hàm của hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ là:

A. $y’ = \frac{{ad – bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}$. B. $y’ = \frac{{ad + bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}$. C. $y’ = \frac{{ac – bd}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}$. D. $y’ = \frac{{ac + bd}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}$.

Lời giải

Chọn A

Ta có $y’ = \left( {\frac{{ax + b}}{{cx + d}}} \right)’ = > $$y’ = \frac{{ad – bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}$

Câu 5. Đạo hàm của hàm số $y = \sqrt {{x^2} – 2x – 3} $ là:

A. $y’ = \frac{1}{{2\sqrt {{x^2} – 2x – 3} }}$. B. $y’ = \frac{{x – 1}}{{2\sqrt {{x^2} – 2x – 3} }}$. C. $y’ = \frac{{x – 1}}{{\sqrt {{x^2} – 2x – 3} }}$. D. $y’ = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} – 2x – 3} }}$.

Lời giải

Chọn C

Ta có $y’ = \left( {\sqrt {{x^2} – 2x – 3} } \right)’ = \frac{{\left( {{x^2} – 2x} \right)’}}{{2\sqrt {{x^2} – 2x – 3} }} = \frac{{2x – 2}}{{2\sqrt {{x^2} – 2x – 3} }} = \frac{{x – 1}}{{\sqrt {{x^2} – 2x – 3} }}$

Câu 6. Tập xác định của hàm số $y = \frac{{x – 2}}{{x + 2}}$ là:

A. $\left( { – \infty ; – 2} \right) \cap \left( { – 2; + \infty } \right).$ B. $\left( { – \infty ;2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).$

C. $\left( { – \infty ; – 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).$ D. $\left( { – \infty ; – 2} \right) \cup \left( { – 2; + \infty } \right).$.

Lời giải

Chọn D

Ta có $x – 2 \ne 0 = > x \ne 2 = > x \in \left( { – \infty ; – 2} \right) \cup \left( { – 2; + \infty } \right).$

Câu 7. Cho các hằng số a, b, c, d khác 0 thỏa mãn $a.d – b.c \ne 0$ . Đồ thị của hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ có đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là:

A. $x = \frac{d}{c}; y = \frac{a}{c}$ B. $x = \frac{{ – d}}{c}; y = \frac{a}{c}$

C. $x = \frac{{ – d}}{c}; y = \frac{b}{d}$ D. $x = \frac{{ – b}}{a}; y = \frac{b}{d}$.

Lời giải

Chọn B

Ta có $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ có TXĐ là $R\backslash \left\{ { – \frac{d}{c}} \right\}$

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{{ – d}}{c}} \right)}^ \pm }} \frac{{ax + b}}{{cx + d}} = \infty $. Vậy TCĐ là $x = \frac{{ – d}}{c}.$

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{ax + b}}{{cx + d}} = \frac{a}{c}$. Vậy TCN là $ y = \frac{a}{c}$

Câu 8: [MĐ 1] Cho các hằng số $a,b,c,d,m$ khác 0 thỏa mãn $ad – bc \ne 0$. Đồ thị của hàm số $y = ax + b + \frac{m}{{cx + d}}$ có đường tiệm cận xiên là:

A. $y = cx + d$. B. $y = a + bx$. C. $y = c + dx$. D. $y = ax + b$.

Lời giải

Chọn D

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \,\left\{ { – \frac{d}{c}} \right\}$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y – \left( {ax + b} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{m}{{cx + d}} = 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {y – \left( {ax + b} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{m}{{cx + d}} = 0$ nên đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận xiên là $y = ax + b$.

Câu 9: [MĐ 1] Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thoả mãn $f’\left( x \right) > 0,\,\forall x \in \left( {0;1} \right)$ và $f’\left( x \right) < 0,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)$. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên các khoảng $\left( {0;1} \right)$ và $\left( {1;2} \right)$.

B. Hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên các khoảng $\left( {0;1} \right)$ và $\left( {1;2} \right)$.

C. Hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {0;1} \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( {1;2} \right)$.

D. Hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( {0;1} \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left( {1;2} \right)$.

Lời giải

Chọn C

Vì $f’\left( x \right) > 0,\,\forall x \in \left( {0;1} \right)$ và $f’\left( x \right) < 0,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)$ nên hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( {1;2} \right)$và đồng biến trên khoảng $\left( {2;3} \right)$.

Câu 10: [MĐ 2] Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thoả mãn $f’\left( x \right) = {x^2} – 5x – 6,\,\forall x \in \mathbb{R}$. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. $\left( {0;3} \right)$. B. $\left( { – 6;1} \right)$. C. $\left( { – \infty ; – 1} \right)$. D. $\left( {6; + \infty } \right)$.

Lời giải

Chọn A

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$

Ta có: $f’\left( x \right) = {x^2} – 5x – 6$; $f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = – 1 \hfill \\
x = 6 \hfill \\
\end{gathered} \right.$.

Bảng xét dấu:

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { – 1;\;6} \right)$ và đồng biến trên các khoảng $\left( { – \infty ;\; – 1} \right)$, $\left( {6;\; + \infty } \right)$.

Ta có $\left( {0;3} \right) \subset \left( { – 1;\;6} \right)$ nên hàm số cũng nghịch biến trên khoảng $\left( {0;3} \right)$.

Câu 11: [MĐ 1] Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình dưới đây.

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $\left( { – 4;2} \right)$. B. $\left( {0;4} \right)$. C. $\left( { – 2;0} \right)$. D. $\left( { – 4;4} \right)$.

Lời giải

Chọn C

Dựa vào đồ thị, ta có trên khoảng $\left( { – 2;2} \right)$ đồ thị hàm số đi lên (theo chiều từ trái sang phải) nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { – 2;2} \right)$.

Ta có $\left( { – 2;0} \right) \subset \,\left( { – 2;2} \right)$ nên hàm số cũng đồng biến trên khoảng $\left( { – 2;0} \right)$.

Câu 12: [MĐ 1] Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $\left( {0;2} \right)$. B. $\left( {0; + \infty } \right)$. C. $\left( { – \infty ;0} \right)$. D. $\left( { – \infty ;2} \right)$.

Lời giải

Chọn A

Dựa vào bảng biến thiên, ta có $y’ < 0,\,\forall x \in \left( {0;2} \right)$ nên hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$.

Câu 13. [MĐ1] Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như Hình 4. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. ${x_{CT}} = – 1,\,{x_{CĐ}} = 1$.

B. ${x_{CT}} = – 3,\,{x_{CĐ}} = 1$.

C. ${x_{CT}} = 1,\,{x_{CĐ}} = – 3$.

D. ${x_{CT}} = 1,\,{x_{CĐ}} = – 1$.

Lời giải

Chọn D

Dựa vào đồ thị hàm số ta có điểm cực đại của hàm số là ${x_{CĐ}} = – 1$ , điểm cực tiểu của hàm số là ${x_{CT}} = 1$.

Câu 14. [MĐ2] Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thoả mãn $f(x) < f(0),\forall x \in ( – 1;1)\backslash \{ 0\} $ và $f(x) > f(2),\forall x \in (1;3)\backslash \{ 2\} $. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. ${x_{CT}} = 0,\,{x_{CĐ}} = 2$. B. ${x_{CT}} = 2,\,{x_{CĐ}} = 0$.

C. ${x_{CT}} = – 1,\,{x_{CĐ}} = 3$. D. ${x_{CT}} = 3,\,{x_{CĐ}} = – 1$.

Lời giải

Chọn B

Vì $f(x) < f(0),\forall x \in ( – 1;1)\backslash \{ 0\} $nên $x = 0$ là điểm của đại của hàm số. Và $f(x) > f(2),\forall x \in (1;3)\backslash \{ 2\} $ nên $x = 2$ là điểm của đại của hàm số.

Câu 15. [MĐ1] Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị nḥư Hình 5. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. ${x_{CT}} = 1,\,{x_{CĐ}} = 2$.

B. ${x_{CT}} = 2,\,{x_{CĐ}} = – 1$.

C. ${x_{CT}} = – 2,\,{x_{CĐ}} = 2$.

D. ${x_{CT}} = 2,\,{x_{CĐ}} = – 2$.

Lời giải

Chọn D

Dựa vào đồ thị hàm số ta có giá trị cực đại của hàm số là , giá trị cực tiểu của hàm số là ${y_{CT}} = 2$.

Câu 16. [MĐ1] Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như Hình 6 . Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng $x = – 1$, đường tiệm cận ngang $y = 0$.

B. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng $x = – 1$, đường tiệm cận ngang $y = – 1$.

C. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng $x = 0$, đường tiệm cận ngang $y = 0$.

D. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng $x = 0$, đường tiệm cận ngang $y = – 1$.

Lời giải

Chọn D

Dựa vào đồ thị hàm số ta có đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = 0$, đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y = – 1$.

Câu 17. [MĐ2] Cho hàm số $y = f(x)$có bảng biến thiên như sau

Đường tiệm cận ngang, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là:

A. $x = 1,y = 1.$ B. $x = 1,y = 2.$ C. $x = 2,y = 1.$ D. $x = 2,y = 2.$

Lời giải

Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f(x) = 1 \Rightarrow y = 1$là một tiệm cận ngang

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 1 \Rightarrow y = 1$là một tiệm cận ngang

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f(x) = – \infty \Rightarrow x = 2$là một tiệm cận đứng

Câu 18. [MĐ2] Cho hàm số $y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{x},\left( {ac \ne 0} \right)$ có đồ thị như Hình 7. Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số hàm số đã cho là đường thẳng:

A. Đường thẳng $y = x$.

B. Đường thẳng $y = – x$.

C. Đường thẳng $x = 0$. .

D. Đường thẳng $y = – 2x$. .

Lời giải

Chọn D

Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y – ax + b} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{c}{x} = 0$nên đường thẳng $(d):y = ax + b$là tiện cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Vì $(d)$ đi qua $O\left( {0;0} \right)$ và $A\left( {2; – 4} \right)$ nên $\left\{ \begin{gathered}
a = – 2 \hfill \\
b = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$. Vậy đường thăng $d$ có dạng $y = – 2x$

Câu 19. [MĐ1] Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$và có đồ thị như Hình 8. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( x \right)$trên đoạn $\left[ { – 2;2} \right]$. Phát biểu nào sau đây đúng?

A. $m = – 2,M = 2$ B. $m = 1,M = 3$

C. $m = 3,M = 1$ D. $m = – 1,M = 3$

Lời giải

Chọn D

Dựa vào đồ thị của hàm số ta có:

$m = – 1$

$M = 3$

Câu 20. [MĐ2] Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị ở Hình 9 . Đường thẳng nào sau đây là tiệm cận ngang của đồ thị đã cho?

A. Đường thẳng $y = x$.

B. Đường thẳng $y = – x$.

C. Đường thẳng $y = 1$.

D. Đường thẳng $x = 0$.

Lời giải

Chọn C

Dựa vào đồ thị của hàm số ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f(x) = 1 \Rightarrow y = 1$ là một tiệm cận ngang

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 1 \Rightarrow y = 1$ là một tiệm cận ngang

Câu 21. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$có đồ thị ở Hình 10. Tâm đối xứng

của đồ thị hàm số có toạ độ là:

A. $\left( {2;2} \right)$. B. $\left( { – 2; – 2} \right)$.

C. $\left( { – 2;2} \right)$. D. $\left( {2; – 2} \right)$.

Lời giải:

Chọn A

Giao điểm của hai đường tiệm cận đứng và tiệm cận xiên

của đồ thị hàm số là$\left( {2;2} \right)$ nên tâm đối xứng của đồ thị hàm

số là $\left( {2;2} \right).$

Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 22. Cho hàm số $f\left( x \right) = x – \sin 2x$

e) $f’\left( x \right) = 1 + 2\cos 2x$.

f) $f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = – \frac{1}{2}$.

g) Trên đoạn $\left[ {0;\pi } \right]$ phương trình $f’\left( x \right) = 0$ có đúng một nghiệm $\frac{{5\pi }}{6}$.

h) Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn $\left[ {0;\pi } \right]$ là $\frac{{5\pi }}{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Đáp án: a) S, b) S, c) S, d) Đ.

Lời giải

Ý a) b) c) d)
Kết quả S S S Đ

Ta có:

$f’\left( x \right) = 1 – 2\cos 2x.$

$f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 – 2\cos 2x = 0$

$ \Leftrightarrow – 2\cos 2x = – 1 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{1}{2}$

$ \Leftrightarrow 2x = \pm \frac{\pi }{3} + 2k\pi \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Với $x \in \left[ {0;\pi } \right]$ thì phương trình$f’\left( x \right) = 0$ có nghiệm$\left[ \begin{gathered}
x = \frac{\pi }{6} \hfill \\
x = \frac{{5\pi }}{6} \hfill \\
\end{gathered} \right.$.

Trên đoạn$\left[ {0;\pi } \right]$:

$x = 0 \Rightarrow y = 0$;

$x = \frac{\pi }{6} \Rightarrow y = \frac{\pi }{6} – \frac{{\sqrt 3 }}{2};$

$x = \frac{{5\pi }}{6} \Rightarrow y = \frac{{5\pi }}{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{2};$

$x = \pi \Rightarrow y = \pi .$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $\left[ {0;\pi } \right]$ là $\frac{{5\pi }}{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Vậy a) S, b) S, c) S, d) Đ.

Câu 23. Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 4x + 2}}{{x + 2}}$.

e) $f\left( x \right) = x + 2 – \frac{2}{{x + 2}},\,\forall x \in \left( { – \infty ; – 2} \right) \cup \left( { – 2; + \infty } \right)$.

f) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường $x = 2$.

g) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là $y = x + 2$.

h) Hàm số đã cho có đồ thị hàm số như Hình 11.

Lời giải

Ý a) b) c) d)
Kết quả Đ S Đ Đ

Tập xác định của hàm số là $D = \left( { – \infty ; – 2} \right) \cup \left( { – 2; + \infty } \right).$

$f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 2x + 4 – 2}}{{x + 2}} = x + 2 – \frac{2}{{x + 2}}$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ + }} y = – \infty \Rightarrow $$x = – 2$là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 4x + 2}}{{x + 2}}$.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {y – \left( {x + 2} \right)} \right] = 0 \Rightarrow $ $y = x + 2$là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 4x + 2}}{{x + 2}}$.

Vậy a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ.

Câu 24. Cho hàm số $y = \frac{{3x + a}}{{x + b}}$ có đồ thị như Hình 12.

a) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng $x = 2.$

b) $b = 2.$

c) Đồ thị hàm số không đi qua gốc tọa độ.

d) $a = 0.$

Lời giải

Ý a) b) c) d)
Kết quả Đ S S Đ

a) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng $x = 2$.

Đúng vì từ đồ thị Hình 12 nhận biết được đồ thị có đường tiệm cận đứng $x = 2$.

b) $b = 2.$

Sai vì đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng $x = 2$nên $ – b = 2 \Leftrightarrow b = – 2.$

c) Đồ thị hàm số không đi qua gốc tọa độ.

Sai vì đồ thị hàm số có đi qua gốc tọa độ.

d) $a = 0.$

Đúng vì đồ thị hàm số có đi qua gốc tọa độ.

Câu 25. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau.

a) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(8;14).$

b) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $8.$

c) Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $38.$

d) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(8;38).$

Lời giải

Ý a) b) c) d)
Kết quả Đ Đ S Đ

a) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(8;14).$

Đúng vì dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f\left( x \right)$thì hàm số nghịch biến trên các khoảng $( – \infty ; – 1)$ và $(1; + \infty )$. Mà $(8;14) \subset (1; + \infty ).$

b) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $8.$

Đúng vì dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f\left( x \right)$thì hàm số $y = f\left( x \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $8$ khi $x = – 1.$

c) Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $38.$

Sai vì dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f\left( x \right)$và $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = 142$ nên hàm số $y = f\left( x \right)$ không có giá trị lớn nhất. ($38$ là giá trị cực đại của hàm số.)

d) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(8;38).$

Sai vì hàm số đã cho chỉ đồng biến trên khoảng $( – 1;1).$

Câu 26. Cho hàm số $y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ ($a,$ $b,$ $c,$ $d$ là các số thực và $a \ne 0$) có đồ thị hàm số ${f’}(x)$ như Hình 13.

a) Điểm cực tiểu của hàm số $y = f\left( x \right)$ là ${x_{CT}} = – 2.$

b) Điểm cực đại của hàm số $y = f\left( x \right)$ là ${x_{CD}} = 1.$

c) Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $(0;1).$

d) Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $(2025;2026).$

Lời giải

Ý a) b) c) d)
Kết quả Đ Đ Đ Đ

a) Điểm cực tiểu của hàm số $y = f\left( x \right)$ là ${x_{CT}} = – 2.$

Đúng vì đồ thị ${f’}(x)$ cắt trục hoành tại $x = – 2$ và hướng đi từ dưới trục hoành lên trên trục hoành.

b) Điểm cực đại của hàm số $y = f\left( x \right)$ là

Đúng vì đồ thị ${f’}(x)$ cắt trục hoành tại $x = 1$ và hướng đi từ trên trục hoành xuống dưới trục hoành.

c) Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $(0;1).$

Đúng vì hàm số đồng biến trên khoảng $( – 2;1).$

d) Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $(2025;2026).$

Đúng vì hàm số nghịch biến trên các khoảng $( – \infty ; – 2)$ và $(1; + \infty )$ mà $(2025;2026) \subset (1; + \infty )$

Câu 27. Trong 9 giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình

$s\left( t \right) = – {t^3} + 9{t^2} + 21t + 1,\;$trong đó $t$ tính bằng giây và $s$ tính bằng mét.

a) $s’\left( t \right) = – 3{t^2} + 18t + 21.$

b) $s”\left( t \right) = – 6t + 18.$

c) Phương trình $s’\left( t \right) = 0$ có đúng một nghiệm dương là $t = 7.$

d) Gia tốc của chất điểm tại thời điểm vật dừng lại là 36 $m/{s^2}$.

Lời giải

Ý a) b) c) d)
Kết quả Đ Đ Đ S

a) Ta có $s’\left( t \right) = – 3{t^2} + 18t + 21$ . Suy ra a) đúng.

b) Ta có $s”\left( t \right) = – 6t + 18.$ Suy ra b) đúng.

c) Phương trình $s’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \; – 3{t^2} + 18t + 21 = 0 \Leftrightarrow t = 7,\;t = – 1.$ Vì $t > 0$ nên suy ra $t = 7.$ Suy ra c) đúng.

d) Gia tốc của chất điểm tại thời vật dừng lại là $s”\left( 7 \right) = – 6.7 + 18 = $$ – 24\,m/{s^2}$. Suy ra d) sai.

Câu 28. Trong 200 gam dung dịch muối nồng độ 15%, giả sử thêm vào dung dịch$\;\;x$ (gam ) muối tinh khiết và được dung dịch có nồng độ $f\left( x \right)\% .$

a) Hàm số $f\left( x \right) = \frac{{100\left( {x + 200} \right)}}{{x + 30}}.$

b) Đạo hàm của hàm số luôn nhận giá trị âm trên khoảng (0 ; + ∞).

c) Thêm càng nhiều gam muối tinh khiết thì nồng độ phần trăm càng tăng và không vượt quá 100%.

d) Giới hạn của $f\left( x \right)$ khi $x$ dần đến dương vô cực bằng 100.

Lời giải

Ý a) b) c) d)
Kết quả S S Đ Đ

a) Trong $200$ gam dung dịch muối nồng độ $15\% $ có $200.\frac{{15}}{{100}}$ $ = 30$ (gam) muối tinh khiết. Khi thêm $x$ (gam) muối tinh khiết vào $200$ gam dung dịch muối nồng độ $15\% $ thì có $\left( {x + 30} \right)$ (gam ) muối tinh khiết. Khi đó, ta có hàm số là

$f\left( x \right) = \frac{{100\left( {x + 30} \right)}}{{x + 200}}$ . Suy ra a) sai.

b) Ta có $f’\left( x \right) = \frac{{17000}}{{{{\left( {x + 200} \right)}^2}}} > 0\,,\,\forall \;x \in \left( {0; + \infty } \right).$ Suy ra b) sai.

c) Vì $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng$\;\left( {0; + \infty } \right)$ nên khi $x$tăng thì $f\left( x \right)$ tăng. Nghĩa là khi thêm càng nhiều gam muối tinh khiết thì dung dịch có nồng độ phần trăm càng tăng.

Vì $x + 30 < x + 200\;$với mọi $\;x \in \left( {0; + \infty } \right)$ nên $\frac{{x + 30}}{{x + 200}} < 1$ dẫn đến $f\left( x \right) = \frac{{100\left( {x + 30} \right)}}{{x + 200}} < 100.\;$Nghĩa là nồng độ phần trăm không vượt quá 100% khi cho thêm nhiều gam muối tinh khiết vào. Suy ra c) đúng.

d) Ta có :

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {lim}\limits_{x \to + \infty } \frac{{100\left( {x + 30} \right)}}{{x + 200}} = 100.$ Suy ra d) đúng.

Câu 29. Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s = f\left( t \right) = 0,5\cos \left( {2\pi t} \right),$ trong đó $s$ tính bằng mét, $t$ tính bằng giây.

a) Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t$ là $ – \pi \,sin\left( {2\pi t} \right)\;\;\left( {m/s} \right)\;.$

b) Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t$ là $\;\; – 2\;cos\left( {2\pi t} \right)\;\;\left( {m/{s^2}} \right)\;.$

c) Vận tốc lớn nhất của chất điểm bằng $\;\pi \,\,\left( {m/s} \right)\;.$

d) Gia tốc lớn nhất của chất điểm bằng $2{\pi ^2}\;\left( {m/{s^2}} \right)\;\;.$

Lời giải

Ý a) b) c) d)
Kết quả Đ S Đ Đ

a) $s’ = f’\left( t \right) = – 0,5.2\pi .\sin \left( {2\pi t} \right) = $$ – \pi \,sin\left( {2\pi t} \right)\;\;\left( {m/s} \right)\;.$ Suy ra a) đúng.

b) $\;\;\left( {m/{s^2}} \right)\;.$ Suy ra b) sai.

c) $v\left( t \right) = – \pi \,sin\left( {2\pi t} \right)\;\; \leqslant \,\,\pi \,\left( {m/s} \right)$ , vì $ – 1 \leqslant sin\left( {2\pi t} \right)\;\; \leqslant \,\,1\,,\,\forall t \geqslant 0$. Suy ra c) đúng.

d) Vì $ – 1 \leqslant cos\left( {2\pi t} \right)\;\; \leqslant \,\,1\,,\,\forall t \geqslant 0$nên Suy ra d) đúng.

Câu 30. Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên R thoả mãn $f\left( 1 \right) \leqslant f\left( x \right) \leqslant f\left( { – 1} \right),\;\forall \;x \in R.$

a) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên R là $f\left( 1 \right).$

b) Giá trị lớn nhất của hàm số trên R là $f\left( { – 1} \right).$

c) Điểm cực tiểu của hàm số ${x_{CT}} = – 1.$

d) Điểm cực tiểu của hàm số

Lời giải

Ý a) b) c) d)
Kết quả Đ Đ S S

a) Vì $f\left( 1 \right) \leqslant f\left( x \right) \leqslant f\left( { – 1} \right),\;\forall \;x \in R$nên giá trị nhỏ nhất của hàm số trên R là $f\left( 1 \right)$ .Suy ra a) đúng.

b) Vì $f\left( 1 \right) \leqslant f\left( x \right) \leqslant f\left( { – 1} \right),\;\forall \;x \in R$nên giá trị lớn nhất của hàm số trên R là $f\left( { – 1} \right).$ Suy ra b) đúng.

c) Vì $f\left( 1 \right) \leqslant f\left( x \right) \leqslant f\left( { – 1} \right),\;\forall \;x \in R$nên $x = – 1$ không phải là điểm cực trị. Suy ra c) sai.

d) Vì $f\left( 1 \right) \leqslant f\left( x \right) \leqslant f\left( { – 1} \right),\;\forall \;x \in R$nên $x = 1$ không phải là điểm cực trị. Suy ra d) sai.

Câu 31. Một công ty sản xuất một sản phẩm. Bộ phận tài chính của công ty đưa ra hàm giá bán là $p\left( x \right) = 1000 – 25x$, trong đó $p\left( x \right)$ (triệu đồng) là giá bán của mỗi sản phẩm mà tại giá bán này có $x$ sản phẩm được bán ra.

a) Hàm doanh thu của công ty là $f\left( x \right) = x.p\left( x \right)$.

b) Hàm số $f\left( x \right) = – 25{x^2} + 1\,000x$ có đạo hàm $f’\left( x \right) = – 50x + 1\,000$.

c) Nếu $f\left( x \right) = x.p\left( x \right)$ là hàm doanh thu thì phương trình $f’\left( x \right) = 0$ có nghiệm là $x = 2$.

d) Hàm doanh thu đạt giá trị lớn nhất bằng $10\,000$.

Lời giải

Ý a) b) c) d)
Kết quả Đ Đ S Đ

a) Ta có doanh thu của công ty bằng giá bán của mỗi sản phẩm nhân với số sản phẩm được bán ra. Suy ra hàm doanh thu của công ty là $f\left( x \right) = x.p\left( x \right)$. Suy ra a) đúng.

b) Ta có $f\left( x \right) = x.p\left( x \right) = x\left( {1000 – 25x} \right) = – 25{x^2} + 1\,000x$.

Suy ra đạo hàm $f’\left( x \right) = – 50x + 1\,000$. Suy ra b) đúng.

c) $f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow – 50x + 1\,000 = 0 \Leftrightarrow x = 20$

Vậy $f’\left( x \right) = 0$ có nghiệm là $x = 20$. Suy ra c) sai.

d) Lập BBT của hàm số$f\left( x \right) = – 25{x^2} + 1\,000x$ ta có $f\left( x \right) = – 25{x^2} + 1\,000x$ đạt giá trị lớn nhất là $10\,000$ tại $x = 20$.

Vậy doanh thu đạt giá trị lớn nhất bằng $10\,000$ triệu đồng, khi đó có $20$ sản phẩm được bán ra. Suy ra d) đúng.

Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 32. Giả sử hàm số $f\left( x \right) = {x^3} – 6{x^2} + 9x – 1$ đạt cực đại tại $x = a$ và đạt cực tiểu tại $x = b$. Giá trị của biểu thức $A = 2a + b$ là bao nhiêu?

Lời giải

Trả lời: $A = 5$

Ta có: $f’\left( x \right) = 3{x^2} – 12x + 9$, $f’\left( x \right) = 0$$ \Leftrightarrow $$x = 1,\,\,x = 3$

Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ và đạt cực tiểu tại $x = 3$ nên suy ra $a = 1$, $b = 3$.

Vậy $A = 2a + b = 5$

Câu 33. Cho đồ thị hàm số $f\left( x \right) = \frac{{3x + 5}}{{ – x + 7}}$ có tâm đối xứng là $I\left( {a;\,b} \right)$. Giá trị của biểu thức $B = – 4a – b$ là bao nhiêu?

Lời giải

Trả lời: $B = – 4a – b = – 25$

Tâm đối xứng là $I$ là giao điểm của tiệm cận đứng $x = 7$ và tiệm cận ngang $y = – 3$.

Nên ta có: $a = 7,\,\,b = – 3$. Vậy $B = – 4a – b = – 25$.

Câu 34. Cho đồ thị hàm số $f\left( x \right) = 5x – 1 + \frac{8}{{x – 1}}$ có tâm đối xứng là $I\left( {a;\,b} \right)$. Giá trị của biểu thức $C = a + 3b$ là bao nhiêu?

Lời giải

Trả lời: $C = a + 3b = 13$

Ta có $a = 1$, $b = 4$. Vậy $C = a + 3b = 13$

Câu 35. Cho $a \ne 0$, ${b^2} – 3ac > 0$. Hàm số $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải

Trả lời: $2$

Ta có $y’ = 3a{x^2} + 2bx + c$, vì $a \ne 0$, ${b^2} – 3ac > 0$ nên $y’ = 0$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},\,\,{x_2}$ (giả sử ${x_1} < \,{x_2}$). Khi đó, với cả hai trường hợp $a > 0$ và $a < 0$ hàm số đã cho đều có hai điểm cực trị.

Câu 36. Cho các hằng số $a,\,\,b,\,\,c,\,\,d$ khác $0$ thỏa mãn $ad – bc \ne 0$. Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ là bao nhiêu?

Lời giải

Trả lời:$2$

Ta có đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $y = – \frac{d}{c}$ và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y = \frac{a}{c}$.

Suy ra: Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ là $2$.

Câu 37. Số dân của một thị trấn sau $t$ năm kể từ năm $1970$ được ước tính bởi công thức $f\left( t \right) = \frac{{26t + 10}}{{t + 5}}$ ($f\left( t \right)$ được tính bằng nghìn người) (Nguồn: Giải tích 12 nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020). Xem $y = f\left( t \right)$ là một hàm số xác định trên nửa khoảng $\left[ {0;\, + \infty } \right)$. Đồ thị hàm số $y = f\left( t \right)$ có đường tiệm cận ngang là $y = a$. Giá trị của $a$ là bao nhiêu?

Lời giải

Trả lời: $26$

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } f\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } \frac{{26t + 10}}{{t + 5}} = 26$. Nên đồ thị hàm số $f\left( t \right)$ có đường tiệm cận ngang là $y = 26$. Vậy $a = 26$.

Câu 38. Trong $18$ giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình $s\left( t \right) = – {t^3} + 18{t^2} + t + 3$, trong đó $t$ tính bằng giây và $s$ tính bằng mét. Chất điểm có vận tốc tức thời lớn nhất bằng bao nhiêu mét trên giây trong $18$ giây đầu tiên đó?

Lời giải

Trả lời: $109$

Ta có vận tốc tức thời là $s’\left( t \right) = – 3{t^2} + 36t + 1$. Lập bảng biến thiên của hàm số $s’\left( t \right)$ ta có vận tốc tức thời đạt giá trị lớn nhất bằng $109$ m/s.

Tài liệu đính kèm

  • Chuyen-de-Dao-ham-va-khao-sat-ham-so-on-thi-TN-THPT.docx

    6,955.54 KB • DOCX

    Tải xuống

Giải bài tập những môn khác

Tài liệu môn toán

Tài liệu tin học

Tài liệu Lớp 1

Tài liệu Lớp 2

Tài liệu Lớp 3

Tài liệu Lớp 4

Tài liệu Lớp 5

Trò chơi Powerpoint

Sáng kiến kinh nghiệm