Đề thi, đề kiểm tra Toán Lớp 8 Cánh diều

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[Đề thi, đề kiểm tra Toán Lớp 8 Cánh diều] Đề thi học kì 1 Toán 8 - Đề số 4 - Cánh diều

Đề thi học kì 1 Toán 8 - Đề số 4 - Cánh diều 1. Tổng quan về bài học

Bài học này tập trung vào việc cung cấp đề thi học kì 1 môn Toán lớp 8 theo chương trình sách giáo khoa Cánh diều. Mục tiêu chính là giúp học sinh ôn tập và củng cố kiến thức đã học trong học kì 1, chuẩn bị cho kỳ thi học kì. Đề thi bao gồm các dạng bài tập đa dạng, phản ánh đầy đủ các nội dung trọng tâm của chương trình.

2. Kiến thức và kỹ năng

Học sinh sẽ được ôn tập và đánh giá các kiến thức và kỹ năng sau:

Số học: Các phép toán với số hữu tỉ, số thực, các dạng phương trình bậc nhất một ẩn. Đại số: Khái niệm về đa thức, phép cộng, trừ, nhân, chia đa thức, nghiệm của đa thức. Phương trình bậc nhất một ẩn, cách giải và biện luận. Hình học: Các định lý về tam giác, hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông. Các bài toán liên quan đến tính chất hình học của các hình. Ứng dụng thực tế: Áp dụng các kiến thức đại số và hình học vào giải quyết các bài toán thực tế. 3. Phương pháp tiếp cận

Bài học sử dụng phương pháp ôn tập tổng hợp, kết hợp giữa lý thuyết và thực hành. Đề thi được thiết kế theo cấu trúc chuẩn gồm các phần:

Phần trắc nghiệm: Đánh giá nhanh kiến thức cơ bản. Phần tự luận: Yêu cầu học sinh trình bày lời giải chi tiết, thể hiện kỹ năng vận dụng kiến thức. 4. Ứng dụng thực tế

Kiến thức được ôn tập trong đề thi có nhiều ứng dụng thực tế trong cuộc sống hàng ngày:

Tính toán chi phí: Áp dụng kiến thức về phương trình để tính toán chi phí trong các tình huống thực tế. Thiết kế hình học: Áp dụng kiến thức về hình học để thiết kế các công trình, sản phẩm. Phân tích dữ liệu: Áp dụng kiến thức số học để phân tích dữ liệu và đưa ra dự đoán. 5. Kết nối với chương trình học
Đề thi này liên kết chặt chẽ với các bài học trong chương trình học kì 1 của sách giáo khoa Toán 8, Cánh diều. Các dạng bài tập phản ánh đầy đủ các kiến thức và kỹ năng đã được học.
6. Hướng dẫn học tập
Để học tập hiệu quả, học sinh cần:

Ôn lại lý thuyết: Đọc kĩ lại các bài học trong sách giáo khoa.
Làm bài tập: Làm thật nhiều bài tập trong sách bài tập và các tài liệu khác.
Phân tích đề bài: Hiểu rõ yêu cầu của từng câu hỏi và lựa chọn phương pháp giải thích hợp.
Kiên trì luyện tập: Luyện tập thường xuyên để nâng cao kỹ năng giải bài tập.
Tìm hiểu các ví dụ: Phân tích kĩ các ví dụ trong sách giáo khoa và các bài tập mẫu.
Tham khảo thêm: Tham khảo các tài liệu khác để hiểu sâu hơn về nội dung kiến thức.
Làm việc nhóm: Làm việc nhóm để thảo luận và giải quyết các bài tập khó.

Tiêu đề Meta (tối đa 60 ký tự):

Đề thi học kì 1 Toán 8 - Cánh diều - Đề 4

Mô tả Meta (khoảng 150-160 ký tự):

Đề thi học kì 1 Toán 8 - Đề số 4 - Cánh diều bao gồm các dạng bài tập trắc nghiệm và tự luận, giúp học sinh ôn tập toàn diện kiến thức số học, đại số và hình học. Đề thi phù hợp với chương trình học kì 1 sách giáo khoa Cánh diều.

Keywords (40 từ khóa):

Đề thi, học kì 1, Toán 8, Cánh diều, đề số 4, số học, đại số, hình học, phương trình, đa thức, tam giác, hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, số hữu tỉ, số thực, phép toán, kỹ năng, ứng dụng thực tế, ôn tập, chuẩn bị thi, sách giáo khoa, bài tập, trắc nghiệm, tự luận, lời giải, giải bài tập, chương trình học, kiến thức, kỹ năng, ôn thi, điểm số, điểm thi, bài học, ôn lại lý thuyết, làm bài tập, phân tích đề, luyện tập, ví dụ, tham khảo, làm việc nhóm, tài liệu tham khảo, đề thi mẫu.

Đề bài

I. Trắc nghiệm

Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng trước đáp án đó vào bài làm.

Câu 1 :

Kết quả thương của phép chia \(\left( {3x{y^2} - 2{x^2}y + {x^3}} \right):\left( { - \frac{1}{2}x} \right)\) là:

A.
\( - \frac{3}{2}{y^2} + xy - \frac{1}{2}{x^2}\).
B.
\(3{y^2} + 2xy + {x^2}\).
C.
\( - 6{y^2} + 4xy - 2{x^2}\).
D.
\(6{y^2} - 4xy + {x^2}\).

Câu 2 :

Giá trị của đa thức \({x^3}y - 14{y^3} - 6x{y^2} + y + 2\) tại x = -1 ; y = 0,5 là:

A.
1.
B.
0,75.
C.
2,5.
D.
1,75.

Câu 3 :

Phân thức \(\frac{2}{{x - 3}}\) không có nghĩa khi:

A.
\(x = 3\).
B.
\(x > 3\).
C.
\(x < 3\).
D.
\(x \ne 3\).

Câu 4 :

Phân thức nghịch đảo của phân thức \(\frac{2}{{x - 4}}\left( {x \ne 4} \right)\) là:

A.
\(\frac{{x - 4}}{2}\).
B.
\( - \frac{2}{{x - 4}}\).
C.
x - 4.
D.
\(\frac{{x - 4}}{{ - 2}}\).

Câu 5 :

Rút gọn phân thức \(\frac{{x - 3}}{{{x^2} - 9}}\left( {x \ne \pm 3} \right)\), ta được kết quả:

A.
\(\frac{1}{{x - 3}}\).
B.
\(\frac{1}{{x + 3}}\).
C.
\(\frac{{ - 1}}{{x - 3}}\).
D.
\(\frac{{ - 1}}{{x + 3}}\).

Câu 6 :

Hai đường chéo của hình chữ nhật

A.
song song với nhau.
B.
vuông góc với nhau.
C.
bằng nhau.
D.
là các đường phân giác của các góc.

Câu 7 :

Một tứ giác là hình bình hành nếu nó là:

A.
Tứ giác có hai cạnh song song với nhau.
B.
Tứ giác có hai cạnh đối bằng nhau.
C.
Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau.
D.
Tứ giác có hai góc đối bằng nhau.

Câu 8 :

Những tứ giác nào sau đây có hai đường chéo bằng nhau?

A.
Hình chữ nhật, hình thang, hình vuông.
B.
Hình chữ nhật, hình thang cân, hình vuông.
C.
Hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật.
D.
Hình thoi, hình chữ nhật, hình thang cân.

Câu 9 :

Độ dài một cạnh góc vuông và cạnh huyền của một tam giác vuông lần lượt là 3cm và 5cm. Diện tích của tam giác vuông đó là:

A.
12cm².
B.
14cm².
C.
6cm².
D.
7cm².

Câu 10 :

Cho hình khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.

A.
\(V = \frac{{\sqrt {13} {a^3}}}{{12}}\).
B.
\(V = \frac{{\sqrt {11} {a^3}}}{{12}}\).
C.
\(V = \frac{{\sqrt {11} {a^3}}}{6}\).
D.
\(V = \frac{{\sqrt {11} {a^3}}}{4}\).

Câu 11 :

Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài trung đoạn là 12cm và đáy là hình vuông có chu vi là 40cm. Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều đó là:

A.
100 cm².
B.
120 cm².
C.
150 cm².
D.
240 cm².

Câu 12 :

Nhà bác học Galileo Galilei (1564 – 1642) là người đầu tiên phát hiện ra quan hệ giữa quãng đường chuyển động y (m) và thời gian chuyển động x (giây) của một vật được biểu diễn gần đúng bởi hàm số \(y = 5{x^2}\). Quãng đường mà vật đó chuyển động được sau 3 giây là :

A.
20m.
B.
45m.
C.
50m.
D.
60.

Câu 13 :

Cho hình vẽ bên . Đường thẳng OK là đồ thị của hàm số:

A.
y = - 2 x .
B.
y = - 0,5x.
C.
y = \(\frac{1}{2}\)x .
D.
y = 2 x.

Câu 14 :

Xác định đường thẳng \(y = ax + b;(a \ne 0)\) có hệ số góc bằng 2 và đi qua điểm A (2;1)

A.
\(y = - 2x + 3\).
B.
\(y = 2x - 3\).
C.
\(y = - 2x - 3\).
D.
\(y = 2x + 5\).

Câu 15 :

“Trên mặt phẳng, ta vẽ hai trục số Ox, Oy …… với nhau và ……. tại gốc tọa độ O của mỗi trục. Khi đó ta có hệ trục tọa độ Oxy”. Các từ lần lượt cần điền đó là :

A.
song song; vuông góc .
B.
vuông góc; trùng nhau.
C.
vuông góc; cắt nhau.
D.
trùng; cắt nhau.

II. Tự luận

Câu 1 :

Chứng tỏ rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến.

a) \(A = 2xy + \frac{1}{2}x.\left( {2x - 4y + 4} \right) - x\left( {x + 2} \right)\)

b) \(B = {\left( {x + 2} \right)^2} - {\left( {x - 3} \right)^2} - 10x\)

Câu 2 :

Cho biểu thức \(M = \frac{{2\left( {1 - 9{x^2}} \right)}}{{3{x^2} + 6x}}:\frac{{2 - 6x}}{{3x}}\).

a) Rút gọn M.

b) Tìm các giá trị nguyên của x để M có giá trị nguyên.

Câu 3 :

Nhiệt độ sôi của nước không phải lúc nào cũng là \({100^0}C\) mà phụ thuộc vào độ cao của nơi đó so với mực nước biển. Chẳng hạn Thành phố Hồ Chí Minh có độ cao xem như ngang mực nước biển (x = 0m) thì nước có nhiệt độ số là y = \({100^0}C\)nhưng ở thủ đô La Paz của Bolivia, Nam Mỹ có độ cao x = 3600 m so với mực nước biển thì nhiệt độ sôi của nước là y = \({87^0}C\). Ở độ cao khoảng vài km, người ta thấy mối liên hệ giữa hai đại lượng này là một hàm số bậc nhất y = ax + b có đồ thị như hình bên :

a) Xác định a và b.

b) Thành phố Đà Lạt có độ cao 1500 m so với mực nước biển. Hỏi nhiệt độ sôi của nước ở thành phố này là bao nhiêu ?

Câu 4 :

1. Một giá đèn cầy có dạng hình chóp tứ giác đều như hình bên có độ dài cạnh đáy là 14cm; các cạnh bên có độ dài bằng \(17\sqrt 2 \)cm

Tính thể tích của giá đèn cầy có dạng hình chóp tứ giác đều với kích thước như trên. (Làm tròn đến hàng đơn vị).

2. Cho hình thang cân \(ABCD\) \((AB\parallel CD,AB < CD)\), các đường cao \(AH\), \(BK\).

a) Tứ giác \(ABKH\) là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh \(DH = CK\).

c) Tứ giác \(ABCE\) là hình gì?

Câu 5 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:\(A = 4{x^2} - 12x + 15\).

Lời giải và đáp án

I. Trắc nghiệm

Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng trước đáp án đó vào bài làm.

Câu 1 :

Kết quả thương của phép chia \(\left( {3x{y^2} - 2{x^2}y + {x^3}} \right):\left( { - \frac{1}{2}x} \right)\) là:

A.
\( - \frac{3}{2}{y^2} + xy - \frac{1}{2}{x^2}\).
B.
\(3{y^2} + 2xy + {x^2}\).
C.
\( - 6{y^2} + 4xy - 2{x^2}\).
D.
\(6{y^2} - 4xy + {x^2}\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc chia đa thức cho đơn thức.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {3x{y^2} - 2{x^2}y + {x^3}} \right):\left( { - \frac{1}{2}x} \right)\\ = 3x{y^2}:\left( { - \frac{1}{2}x} \right) - 2{x^2}y:\left( { - \frac{1}{2}x} \right) + {x^3}:\left( { - \frac{1}{2}x} \right)\\ = - 6{y^2} + 4xy - 2{x^2}\end{array}\)

Câu 2 :

Giá trị của đa thức \({x^3}y - 14{y^3} - 6x{y^2} + y + 2\) tại x = -1 ; y = 0,5 là:

A.
1.
B.
0,75.
C.
2,5.
D.
1,75.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Thay x = -1 ; y = 0,5 vào biểu thức để tính giá trị.

Lời giải chi tiết :

Thay x = -1 ; y = 0,5 vào biểu thức, ta được:

\(\begin{array}{l}{( - 1)^3}.0,5 - 14{(0,5)^3} - 6( - 1){(0,5)^2} + 0,5 + 2\\ = - 0,5 - 14.0,125 + 6.0,25 + 0,5 + 2\\ = - 0,5 - 1,75 + 1,5 + 0,5 + 2\\ = 1,75\end{array}\)

Câu 3 :

Phân thức \(\frac{2}{{x - 3}}\) không có nghĩa khi:

A.
\(x = 3\).
B.
\(x > 3\).
C.
\(x < 3\).
D.
\(x \ne 3\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Phân thức không có nghĩa khi mẫu thức bằng 0.

Lời giải chi tiết :

Phân thức \(\frac{2}{{x - 3}}\) không có nghĩa khi x – 3 = 0 hay x = 3.

Câu 4 :

Phân thức nghịch đảo của phân thức \(\frac{2}{{x - 4}}\left( {x \ne 4} \right)\) là:

A.
\(\frac{{x - 4}}{2}\).
B.
\( - \frac{2}{{x - 4}}\).
C.
x - 4.
D.
\(\frac{{x - 4}}{{ - 2}}\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Hai phân thức được gọi là nghịch đảo nếu tích của chúng bằng 1.

Lời giải chi tiết :

Phân thức nghịch đảo của phân thức \(\frac{2}{{x - 4}}\) là: \(1:\frac{2}{{x - 4}} = \frac{{x - 4}}{2}\).

Câu 5 :

Rút gọn phân thức \(\frac{{x - 3}}{{{x^2} - 9}}\left( {x \ne \pm 3} \right)\), ta được kết quả:

A.
\(\frac{1}{{x - 3}}\).
B.
\(\frac{1}{{x + 3}}\).
C.
\(\frac{{ - 1}}{{x - 3}}\).
D.
\(\frac{{ - 1}}{{x + 3}}\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng các quy tắc tính với phân thức để rút gọn.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\frac{{x - 3}}{{{x^2} - 9}} = \frac{{x - 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{1}{{x + 3}}\).

Câu 6 :

Hai đường chéo của hình chữ nhật

A.
song song với nhau.
B.
vuông góc với nhau.
C.
bằng nhau.
D.
là các đường phân giác của các góc.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất của hình chữ nhật.

Lời giải chi tiết :

Hai đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau nên chọn đáp án C.

Câu 7 :

Một tứ giác là hình bình hành nếu nó là:

A.
Tứ giác có hai cạnh song song với nhau.
B.
Tứ giác có hai cạnh đối bằng nhau.
C.
Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau.
D.
Tứ giác có hai góc đối bằng nhau.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dựa vào kiến thức về hình bình hành.

Lời giải chi tiết :

Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành nên chọn đáp án C.

Câu 8 :

Những tứ giác nào sau đây có hai đường chéo bằng nhau?

A.
Hình chữ nhật, hình thang, hình vuông.
B.
Hình chữ nhật, hình thang cân, hình vuông.
C.
Hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật.
D.
Hình thoi, hình chữ nhật, hình thang cân.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào kiến thức về các hình đã học.

Lời giải chi tiết :

Những tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là: hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông nên chọn đáp án B.

Câu 9 :

Độ dài một cạnh góc vuông và cạnh huyền của một tam giác vuông lần lượt là 3cm và 5cm. Diện tích của tam giác vuông đó là:

A.
12cm².
B.
14cm².
C.
6cm².
D.
7cm².

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng định lí Pythagore để tính.

Lời giải chi tiết :

Tam giác ABC vuông tại A có AC = 3cm, BC = 5cm. Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC, ta có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {5^2} - {3^2} = 16\\ \Rightarrow AB = \sqrt {16} = 4(cm)\end{array}\)

Diện tích của tam giác vuông đó là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}4.3 = 6\left( {c{m^2}} \right)\).

Câu 10 :

Cho hình khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.

A.
\(V = \frac{{\sqrt {13} {a^3}}}{{12}}\).
B.
\(V = \frac{{\sqrt {11} {a^3}}}{{12}}\).
C.
\(V = \frac{{\sqrt {11} {a^3}}}{6}\).
D.
\(V = \frac{{\sqrt {11} {a^3}}}{4}\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất đường trung bình.

Lời giải chi tiết :

Gọi I là trung điểm của cạnh BC, vì tam giác ABC là tam giác đều nên AI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác ABC.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABI, ta có:

\(\begin{array}{l}A{I^2} = A{B^2} - B{I^2} = {a^2} - {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{3{a^2}}}{4}\\ \Rightarrow AI = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\end{array}\)\(\)

\(AO = \frac{2}{3}AI = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) (O là trọng tâm)

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác SOA, ta có:

\(\begin{array}{l}S{O^2} = S{A^2} - A{O^2} = {\left( {2a} \right)^2} - {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \frac{{11{a^2}}}{3}\\ \Rightarrow SO = \sqrt {\frac{{11{a^2}}}{3}} = \frac{{a\sqrt {33} }}{3}\end{array}\)

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:

\(\begin{array}{l}V = \frac{1}{3}.SO.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt {33} }}{3}\left( {\frac{1}{2}\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a} \right)\\ = \frac{{{a^3}\sqrt {11} }}{{12}}\end{array}\)

Câu 11 :

Một hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài trung đoạn là 12cm và đáy là hình vuông có chu vi là 40cm. Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều đó là:

A.
100 cm².
B.
120 cm².
C.
150 cm².
D.
240 cm².

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều.

Lời giải chi tiết :

Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều đó là:

\({S_{xq}} = \frac{{40}}{2}.12 = 240\left( {c{m^2}} \right)\)

Câu 12 :

A.
20m.
B.
45m.
C.
50m.
D.
60.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Thay x = 3 vào hàm số.

Lời giải chi tiết :

Với x = 3 thì \(y = {5.3^2} = 45\)(m).

Vậy quãng đường mà vật đó chuyển động được sau 3 giây là 45m.

Câu 13 :

Cho hình vẽ bên . Đường thẳng OK là đồ thị của hàm số:

A.
y = - 2 x .
B.
y = - 0,5x.
C.
y = \(\frac{1}{2}\)x .
D.
y = 2 x.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Quan sát đồ thị để xác định điểm O; K.

Lời giải chi tiết :

Ta có tọa độ điểm O là O(0; 0); tọa độ điểm K là K(2; -1).

Gọi hàm số cần tìm là \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\).

Vì đồ thị của hàm số đi qua điểm O(0; 0) và điểm K nên ta có:

\(0 = a.0 + b\)\( \Leftrightarrow \)\(b = 0 \Rightarrow y = ax\)

\( - 1 = a.2\)\( \Leftrightarrow \)\(a = \frac{{ - 1}}{2}\)\( \Rightarrow y = - \frac{1}{2}x = y = - 0,5x\).

* Học sinh cũng có thể thay tọa độ điểm O và K vào các hàm số trong đáp án để tìm hàm số.

Câu 14 :

Xác định đường thẳng \(y = ax + b;(a \ne 0)\) có hệ số góc bằng 2 và đi qua điểm A (2;1)

A.
\(y = - 2x + 3\).
B.
\(y = 2x - 3\).
C.
\(y = - 2x - 3\).
D.
\(y = 2x + 5\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào kiến thức về hệ số góc và hàm số bậc nhất để xác định.

Lời giải chi tiết :

Vì đường thẳng có hệ số góc bằng 2 nên a = 2 => y = 2x + b.

Vì đường thẳng đi qua điểm A(2; 1) nên 1 = 2.2 + b hay b = -3 => y = 2x - 3.

Câu 15 :

A.
song song; vuông góc .
B.
vuông góc; trùng nhau.
C.
vuông góc; cắt nhau.
D.
trùng; cắt nhau.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dựa vào kiến thức về mặt phẳng tọa độ.

Lời giải chi tiết :

“Trên mặt phẳng, ta vẽ hai trục số Ox, Oy vuông góc với nhau và cắt nhau tại gốc tọa độ O của mỗi trục. Khi đó ta có hệ trục tọa độ Oxy”

II. Tự luận

Câu 1 :

Chứng tỏ rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến.

a) \(A = 2xy + \frac{1}{2}x.\left( {2x - 4y + 4} \right) - x\left( {x + 2} \right)\)

b) \(B = {\left( {x + 2} \right)^2} - {\left( {x - 3} \right)^2} - 10x\)

Phương pháp giải :

Sử dụng các phép tính với đa thức để rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết :

a) \(A = 2xy + \frac{1}{2}x.\left( {2x - 4y + 4} \right) - x\left( {x + 2} \right)\)

\(\begin{array}{l} = 2xy + {x^2} - 2xy + 2x - {x^2} - 2x\\ = 0\end{array}\)

Vì A = 0 nên biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của biến.

b) \(B = {\left( {x + 2} \right)^2} - {\left( {x - 3} \right)^2} - 10x\)

\(\begin{array}{l} = {\left( {x + 2} \right)^2} - {\left( {x - 3} \right)^2} - 10x\\ = \left( {x + 2 - x + 3} \right)\left( {x + 2 + x - 3} \right) - 10x\\ = 5\left( {2x - 1} \right) - 10x\\ = 10x - 5 - 10x\\ = - 5\end{array}\)

Vì B = -5 nên biểu thức B không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Câu 2 :

Cho biểu thức \(M = \frac{{2\left( {1 - 9{x^2}} \right)}}{{3{x^2} + 6x}}:\frac{{2 - 6x}}{{3x}}\).

a) Rút gọn M.

b) Tìm các giá trị nguyên của x để M có giá trị nguyên.

Phương pháp giải :

a) Xác định điều kiện xác định của M. Sử dụng các quy tắc tính của phân thức để rút gọn M.

b) Để phân thức M nguyên thì tử thức chia hết cho mẫu thức.

Lời giải chi tiết :

a) Ta có: \(M = \frac{{2\left( {1 - 9{x^2}} \right)}}{{3{x^2} + 6x}}:\frac{{2 - 6x}}{{3x}}\left( {x \ne 0;x \ne - 2} \right)\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{2\left( {1 - 3x} \right)\left( {1 + 3x} \right)}}{{3x\left( {x + 2} \right)}}:\frac{{2(1 - 3x)}}{{3x}}\\ = \frac{{2\left( {1 - 3x} \right)\left( {1 + 3x} \right)}}{{3x\left( {x + 2} \right)}}.\frac{{3x}}{{2\left( {1 - 3x} \right)}}\\ = \frac{{1 + 3x}}{{x + 2}}\end{array}\)

Vậy \(M = \frac{{1 + 3x}}{{x + 2}}\).

b) Ta có: \(M = \frac{{1 + 3x}}{{x + 2}} = \frac{{3x + 6 - 5}}{{x + 2}} = 3 - \frac{5}{{x + 2}}\)

Để M nguyên thì \(\frac{5}{{x + 2}}\) nguyên, hay \(\left( {x + 2} \right) \in U\left( 5 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 5} \right\}\).

Ta có bảng giá trị sau:

x + 2	-1	1	-5	5
x	-3 (TM)	-1 (TM)	-7 (TM)	3 (TM)
\(M = \frac{{1 + 3x}}{{x + 2}}\)	8	-2	4	2

Vậy \(x \in \left\{ { - 3; - 2; - 7;3} \right\}\) thì M có giá trị nguyên.

Câu 3 :

a) Xác định a và b.

b) Thành phố Đà Lạt có độ cao 1500 m so với mực nước biển. Hỏi nhiệt độ sôi của nước ở thành phố này là bao nhiêu ?

Phương pháp giải :

a) Thay x = 0 và y = 100; x = 3600 và y = 87 vào hàm số y = ax + b để xác định a và b.

b) Thay x = 1500 m để tính nhiệt độ sôi của nước ở thành phố này.

Lời giải chi tiết :

a) Thành phố Hồ Chí Minh có độ cao xem như ngang mực nước biển (x = 0m) thì nước có nhiệt độ số là y = \({100^0}C\) nên (0; 100) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b => 100 = a.0 + b hay b = 100 => y = ax + 100.

Thủ đô La Paz của Bolivia, Nam Mỹ có độ cao x = 3600 m so với mực nước biển thì nhiệt độ sôi của nước là y = \({87^0}C\) nên (3600; 87) thuộc đồ thị hàm số y = ax + 100 => 87 = a.3600 + 100 => a = \( - \frac{{13}}{{3600}}\).

Do đó \(y = - \frac{{13}}{{3600}}x + 100\).

b) Thành phố Đà Lạt có độ cao 1500 m so với mực nước biển nên x = 1500. Thay x = 1500, ta được:

\(y = - \frac{{13}}{{3600}}.1500 + 100 \approx 95\left( {^0C} \right)\).

Câu 4 :

1. Một giá đèn cầy có dạng hình chóp tứ giác đều như hình bên có độ dài cạnh đáy là 14cm; các cạnh bên có độ dài bằng \(17\sqrt 2 \)cm

Tính thể tích của giá đèn cầy có dạng hình chóp tứ giác đều với kích thước như trên. (Làm tròn đến hàng đơn vị).

2. Cho hình thang cân \(ABCD\) \((AB\parallel CD,AB < CD)\), các đường cao \(AH\), \(BK\).

a) Tứ giác \(ABKH\) là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh \(DH = CK\).

c) Tứ giác \(ABCE\) là hình gì?

Phương pháp giải :

1. Dựa vào định lí Pythagore và công thức tính thể tích giá đèn cầy để tính.

a) Tứ giác \(ABKH\) là hình chữ nhật.

b) \(\Delta ADH = \Delta BKC\) (ch - gn).

Nên suy ra \(DH = KC\).

c) Dễ thấy \(HE + EK = EK + KC\) \( \Rightarrow \) \(AB = EC\). Do đó, \(ABCE\) là hình bình hành.

Lời giải chi tiết :

Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông, SO là đường cao của hình chóp S.ABCD.

Xét tam giác ABC vuông tại B, áp dụng định lí Pythagore, ta có:

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {14^2} + {14^2} = 128\) suy ra \(AC = \sqrt {128} = 14\sqrt 2 (cm)\)

Do đó \(AO = \frac{{14\sqrt 2 }}{2} = 7\sqrt 2 (cm)\)

Xét tam giác SAO vuông tại O, áp dụng định lí Pythagore, ta có:

\(S{O^2} = S{A^2} - A{O^2} = {\left( {17\sqrt 2 } \right)^2} - {\left( {7\sqrt 2 } \right)^2} = 480\)

suy ra \(SO = 4\sqrt {30}(cm)\)

Thể tích giá đèn cầy S.ABCD là:

\(V = \frac{1}{3}{.4\sqrt {30}.14^2} \approx 1431\left( {c{m^3}} \right)\)

Vậy thể tích giá đèn cầy là 1431cm³.

a) Ta có: AB // CD (ABCD là hình thang cân), AH \( \bot \) CD => AH \( \bot \) AB => \(\widehat {BAH} = {90^0}\).

Xét tứ giác ABKH có: \(\widehat {BAH} = {90^0};\widehat H = {90^0};\widehat K = {90^0}\) suy ra ABKH là hình chữ nhật.

b) ABKH là hình chữ nhật => AH = BK.

ABCD là hình thang cân nên AD = BC.

Xét tam giác AHD và BKC có:

\(\left\{ \begin{array}{l}AD = BC\\AH = BK(cmt)\\\widehat H = \widehat K = {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta AHD = \Delta BKC(ch - cgv)\)

=> DH = CK. (đpcm)

c) Ta có: AB = HK (ABKH là hình chữ nhật)

Ta có E đối xứng với D qua H => DH = HE => HK = HE + EK = DH + EK = KC + EK = EC.

=> AB = EC.

Mà AB // CE, do đó ABCE là hình bình hành.

Câu 5 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:\(A = 4{x^2} - 12x + 15\).

Phương pháp giải :

Biến đổi biểu thức bằng cách sử dụng hằng đẳng thức.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(4{x^2} - 12x + 15 = \left( {4{x^2} - 2.2x.3 + 9} \right) + 6 = {\left( {2x - 3} \right)^2} + 6\).

Vì \({\left( {2x - 3} \right)^2} \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên \({\left( {2x - 3} \right)^2} + 6 \ge 6,\forall x \in \mathbb{R}\). Dấu “=” xảy ra là giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.

\(\min A = 6 \Leftrightarrow 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 6 khi \(x = \frac{3}{2}\).