SBT Toán Lớp 12 Cánh diều

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[SBT Toán Lớp 12 Cánh diều] Giải bài 107 trang 44 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Hướng dẫn học bài: Giải bài 107 trang 44 sách bài tập toán 12 - Cánh diều - Môn Toán học Lớp 12 Lớp 12. Đây là sách giáo khoa nằm trong bộ sách 'SBT Toán Lớp 12 Cánh diều Lớp 12' được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết các bé sẽ nắm bài học tốt hơn.

Đề bài

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của mỗi hàm số:

a) $y = x^{3} - 2 x^{2} - 7 x + 1$ trên đoạn $[- 3; 2]$ ;

b) $y = \frac{x^{2} + 4 x + 4}{x + 3}$ trên đoạn $[- 1; 3]$ ;

c) $y = (x^{2} - 2 x + 2) e^{x}$ trên đoạn $[- 2; 1]$ ;

d) $y = \ln \sqrt{x^{2} + 1}$ trên đoạn $[- \sqrt{3}; 2 \sqrt{2}]$ ;

e) $y = x + \cos 2 x$ trên đoạn $[\frac{π}{4}; \frac{π}{2}]$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x)$ trên đoạn $[a; b]$ :

Bước 1. Tìm các điểm $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}$ thuộc khoảng $(a; b)$ mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2. Tính $f (x_{1}), f (x_{2}), . . ., f (x_{n}), f (a)$ và $f (b)$ .

Bước 3. So sánh các giá trị tìm được ở Bước 2.

Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm số $f (x)$ trên đoạn $[a; b]$ , số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x)$ trên đoạn $[a; b]$ .

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} - 4 x - 7$

Khi đó, trên đoạn $[- 3; 2]$ , $y^{'} = 0$ khi $x = - 1, x = \frac{7}{3}$ .

$y (- 3) = - 23; y (- 1) = 5; y (\frac{7}{3}) = - \frac{365}{27}; y (2) = - 13$ .

Vậy $max_{[- 3; 2]} y = 5$ tại $x = - 1$ , $min_{[- 3; 2]} y = - 23$ tại $x = - 3$ .

b) Ta có: $y^{'} = \frac{x^{2} + 6 x + 8}{{(x + 3)}^{2}}$

Khi đó, trên đoạn $[- 1; 3]$ , $y^{'} = 0$ vô nghiệm.

$y (- 1) = \frac{1}{2}; y (3) = \frac{25}{6}$ .

Vậy $max_{[- 1; 3]} y = \frac{25}{6}$ tại $x = 3$ , $min_{[- 1; 3]} y = \frac{1}{2}$ tại $x = - 1$ .

c) Ta có: $y^{'} = x^{2} e^{x}$

Khi đó, trên đoạn $[- 2; 1]$ , $y^{'} = 0$ khi $x = 0$ .

$y (- 2) = \frac{10}{e^{2}}; y (0) = 2; y (1) = e$ .

Vậy $max_{[- 2; 1]} y = e$ tại $x = 1$ , $min_{[- 2; 1]} y = \frac{10}{e^{2}}$ tại $x = - 2$ .

d) Ta có: $y^{'} = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Khi đó, trên đoạn $[- \sqrt{3}; 2 \sqrt{2}]$ , $y^{'} = 0$ khi $x = 0$ .

$y (- \sqrt{3}) = \ln 2; y (0) = 0; y (2 \sqrt{2}) = \ln 3$ .

Vậy $max_{[- \sqrt{3}; 2 \sqrt{2}]} y = \ln 3$ tại $x = 2 \sqrt{2}$ , $min_{[- \sqrt{3}; 2 \sqrt{2}]} y = 0$ tại $x = 0$ .

e) Ta có: $y^{'} = 1 - 2 \sin 2 x$

Khi đó, trên đoạn $[\frac{π}{4}; \frac{π}{2}]$ , $y^{'} = 0$ khi $x = \frac{5 π}{12}$ .

$y (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4}; y (\frac{5 π}{12}) = \frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}; y (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} - 1$ .

Vậy $max_{[\frac{π}{4}; \frac{π}{2}]} y = \frac{π}{4}$ tại $x = \frac{π}{4}$ , $min_{[\frac{π}{4}; \frac{π}{2}]} y = \frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ tại $x = \frac{5 π}{12}$ .