SBT Toán Lớp 12 Cánh diều

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[SBT Toán Lớp 12 Cánh diều] Giải bài 65 trang 26 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Hướng dẫn học bài: Giải bài 65 trang 26 sách bài tập toán 12 - Cánh diều - Môn Toán học Lớp 12 Lớp 12. Đây là sách giáo khoa nằm trong bộ sách 'SBT Toán Lớp 12 Cánh diều Lớp 12' được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết các bé sẽ nắm bài học tốt hơn.

Đề bài

Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) \(y = \frac{{3{\rm{x}} + 5}}{{{x^2} - 4}}\);

b) \(y = \frac{{ - {x^2} - 1}}{{4{{\rm{x}}^2} + 9}}\);

c) \(y = \frac{{3{x^2} + x}}{{1 - x}}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Tìm tiệm cận đứng: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right)\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right)\), nếu một trong các giới hạn sau thoả mãn:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty \)

thì đường thẳng \(x = {x_0}\) là đường tiệm cận đứng.

‒ Tìm tiệm cận ngang: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) thì đường thẳng \(y = {y_0}\) là đường tiệm cận ngang.

‒ Tìm tiệm cận xiên \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\):

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}\) và \(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right]\) hoặc

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}\) và \(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right]\)

Lời giải chi tiết

a) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2;2} \right\}\).

Ta có:

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{3{\rm{x}} + 5}}{{{x^2} - 4}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{3{\rm{x}} + 5}}{{{x^2} - 4}} = + \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{3{\rm{x}} + 5}}{{{x^2} - 4}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{3{\rm{x}} + 5}}{{{x^2} - 4}} = + \infty \)

Vậy \(x = - 2\) và \({\rm{x}} = 2\) là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{\rm{x}} + 5}}{{{x^2} - 4}} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3{\rm{x}} + 5}}{{{x^2} - 4}} = 0\)

Vậy \(y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

b) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\). Vậy hàm số không có tiệm cận đứng.

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - {x^2} - 1}}{{4{{\rm{x}}^2} + 9}} = - \frac{1}{4};\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - {x^2} - 1}}{{4{{\rm{x}}^2} + 9}} = - \frac{1}{4}\)

Vậy \(y = - \frac{1}{4}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

c) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Ta có:

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{3{x^2} + x}}{{1 - x}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{3{x^2} + x}}{{1 - x}} = - \infty \)

Vậy \({\rm{x}} = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{x^2} + x}}{{1 - x}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3{x^2} + x}}{{1 - x}} = + \infty \)

Vậy hàm số không có tiệm cận ngang.

• \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{x^2} + x}}{{x\left( {1 - x} \right)}} = - 3\) và

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) + 3x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{3{x^2} + x}}{{1 - x}} + 3x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{4{\rm{x}}}}{{1 - x}} = - 4\)

Vậy đường thẳng \(y = - 3{\rm{x}} - 4\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.