SBT Toán Lớp 12 Cánh diều

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[SBT Toán Lớp 12 Cánh diều] Giải bài 22 trang 14 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Hướng dẫn học bài: Giải bài 22 trang 14 sách bài tập toán 12 - Cánh diều - Môn Toán học Lớp 12 Lớp 12. Đây là sách giáo khoa nằm trong bộ sách 'SBT Toán Lớp 12 Cánh diều Lớp 12' được biên soạn theo chương trình đổi mới của Bộ giáo dục. Hi vọng, với cách hướng dẫn cụ thể và giải chi tiết các bé sẽ nắm bài học tốt hơn.

đề bài

chứng minh rằng:

a) hàm số \(y = \sqrt {{x^2} - 4} \) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).

b) hàm số \(y = \ln \left( {{x^2} + 1} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

c) hàm số \(y = {2^{ - {x^2} + 2x}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

phương pháp giải - xem chi tiết

các bước để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \(f\left( x \right)\):

bước 1. tìm tập xác định của hàm số \(y = f\left( x \right)\).

bước 2. tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\). tìm các điểm \({x_i}\left( {i = 1,2,...,n} \right)\) mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

bước 3. sắp xếp các điểm \({x_i}\) theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

bước 4. căn cứ vào bảng biến thiên, nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

lời giải chi tiết

a) hàm số có tập xác định là \(\left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).

ta có: \({y^\prime } = \frac{{{{\left( {{x^2} - 4} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {{x^2} - 4} }} = \frac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} - 4} }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}\)

với \(x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} < 0 \leftrightarrow y' < 0\). vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\).

với \(x \in \left( {2; + \infty } \right) \leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} > 0 \leftrightarrow y' > 0\). vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).

b) hàm số có tập xác định là \(\mathbb{r}\).

ta có:

\({y^\prime } = \frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{2{\rm{x}}}}{{{x^2} + 1}}\)

\(y' = 0\) khi \(x = 0\).

bảng biến thiên của hàm số:

vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

c) hàm số có tập xác định là \(\mathbb{r}\).

ta có:

\({y^\prime } = {\left( { - {x^2} + 2{\rm{x}}} \right)^\prime }{.2^{ - {x^2} + 2{\rm{x}}}}.\ln 2 = \left( { - 2{\rm{x}} + 2} \right){.2^{ - {x^2} + 2{\rm{x}}}}.\ln 2\)

\(y' = 0\) khi \(x = 1\).

bảng biến thiên của hàm số: