Đề thi, đề kiểm tra Toán Lớp 7 Kết nối tri thức

Bài học cùng chương

Bài học chương khác

[Đề thi, đề kiểm tra Toán Lớp 7 Kết nối tri thức] Đề thi giữa kì 2 Toán 7 Kết nối tri thức - Đề số 9

Bài Giới thiệu Chi Tiết: Đề Thi Giữa Kì 2 Toán 7 Kết Nối Tri Thức - Đề Số 9

1. Tổng quan về bài học

Bài học này tập trung vào việc cung cấp đề thi giữa kì 2 Toán 7 theo chương trình Kết nối tri thức. Đề thi bao gồm các dạng bài tập đa dạng, nhằm đánh giá toàn diện kiến thức và kỹ năng của học sinh trong học kì 2. Mục tiêu chính là giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức đã học và chuẩn bị tốt cho kì thi giữa học kì 2.

2. Kiến thức và kỹ năng

Học sinh sẽ được ôn tập và đánh giá về các nội dung sau:

Số hữu tỉ và số thực: Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ; so sánh số hữu tỉ; biểu diễn số thực trên trục số; quan hệ giữa các tập hợp số. Hàm số bậc nhất: Định nghĩa, đồ thị, tính chất của hàm số bậc nhất; xác định hàm số bậc nhất từ đồ thị; giải bài toán thực tế liên quan đến hàm số bậc nhất. Hình học: Các đường thẳng song song, đường thẳng vuông góc; tính chất của tam giác cân, tam giác đều; quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác. Đại số: Phương trình bậc nhất một ẩn; giải phương trình bậc nhất một ẩn; biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn. Thống kê và xác suất: Các khái niệm cơ bản về thống kê; tính số trung bình cộng, trung vị, mốt của một dãy số liệu; xác suất của một sự kiện. 3. Phương pháp tiếp cận
Bài học được thiết kế dưới dạng một đề thi giữa học kì 2 Toán 7, bao gồm các câu hỏi trắc nghiệm và tự luận. Cấu trúc đề thi được thiết kế đa dạng để đánh giá toàn diện các kỹ năng của học sinh.

Câu hỏi trắc nghiệm: Đánh giá khả năng nhận biết, hiểu và vận dụng kiến thức cơ bản.
Câu hỏi tự luận: Đánh giá khả năng phân tích, giải quyết vấn đề, trình bày bài giải một cách logic và chính xác.
Đề thi gồm: Các câu hỏi về các chủ đề trên, được sắp xếp theo mức độ từ dễ đến khó.

4. Ứng dụng thực tế

Kiến thức được học trong đề thi này có nhiều ứng dụng trong cuộc sống:

Hàm số bậc nhất: Ứng dụng trong việc mô tả sự thay đổi của các đại lượng trong đời sống (chẳng hạn như đồ thị đường đi, đồ thị của một công thức). Hình học: Ứng dụng trong việc đo đạc, thiết kế, vẽ bản đồ. Đại số: Ứng dụng trong việc giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến đại lượng, phương trình. Thống kê và xác suất: Ứng dụng trong việc phân tích dữ liệu, dự đoán kết quả. 5. Kết nối với chương trình học

Đề thi này tổng hợp toàn bộ kiến thức của học kì 2, kết nối các chủ đề đã học lại với nhau. Học sinh cần vận dụng kiến thức từ các bài học trước để giải quyết các bài tập trong đề thi.

6. Hướng dẫn học tập

Để học tập hiệu quả, học sinh nên:

Ôn tập lại lý thuyết: Kiểm tra lại các kiến thức cơ bản, các công thức, định lí đã học. Làm nhiều bài tập: Thực hành giải các bài tập khác nhau, từ dễ đến khó, để nắm vững các kỹ năng giải toán. Phân tích bài làm: Sau khi làm bài, học sinh cần phân tích lỗi sai để rút kinh nghiệm và hoàn thiện kỹ năng. Hỏi đáp: Nếu gặp khó khăn, học sinh nên hỏi giáo viên hoặc bạn bè để được hỗ trợ. * Tập trung làm bài thi thử: Tập trung thực hành làm bài thi thử để làm quen với thời gian làm bài và cách thức làm bài thi. Tiêu đề Meta (tối đa 60 ký tự):

Đề Thi Giữa Kì 2 Toán 7 Kết Nối Tri Thức

Mô tả Meta (khoảng 150-160 ký tự):

Đề thi giữa kì 2 Toán 7 Kết nối tri thức - Đề số 9 bao gồm các câu hỏi trắc nghiệm và tự luận, đánh giá toàn diện kiến thức và kỹ năng của học sinh. Ôn tập các chủ đề: Số hữu tỉ, số thực, hàm số bậc nhất, hình học, đại số, thống kê và xác suất. Tải đề thi và lời giải chi tiết tại đây!

Keywords (40 keywords):

Đề thi, Toán 7, Giữa kì 2, Kết nối tri thức, Đề số 9, Số hữu tỉ, Số thực, Hàm số bậc nhất, Hình học, Đại số, Phương trình, Thống kê, Xác suất, Đường thẳng, Tam giác, Ôn tập, Kiến thức, Kỹ năng, Bài tập, Trắc nghiệm, Tự luận, Giải bài tập, Làm bài thi, Đề thi thử, Đáp án, Lời giải, Kết quả, Chuẩn bị thi, Học kì 2, Chương trình học, Kết nối tri thức, Toán lớp 7, Ôn tập học kỳ, Đề thi giữa học kì, Giải toán, Đề thi cuối kì.

Đề bài

I. Trắc nghiệm

Câu 1 :

Thay tỉ số 1,2 : 1,35 bằng tỉ số giữa các số nguyên ta được:

A.
50 : 81.
B.
8 : 9.
C.
5 : 8.
D.
1 : 10.

Câu 2 :

Biết \(\frac{x}{2} = \frac{y}{3}\) và \(x + y = - 15\). Khi đó giá trị của x, y là

A.
x = 6, y = 9.
B.
x = −7, y = −8.
C.
x = 8, y = 12.
D.
x = −6, y = −9.

Câu 3 :

Biết đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x với các cặp giá trị tương ứng trong bảng sau:

Giá trị cần điền vào “?” là

A.
\(\frac{{ - 1}}{5}\).
B.
\(\frac{1}{5}\).
C.
5.
D.
\( - 5\).

Câu 4 :

Cho biết y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a và khi \(x = - 2\) thì \(y = 4\). Khi đó, hệ số a bằng bao nhiêu?

A.
\( - 2\).
B.
\( - 6\).
C.
\( - 8\).
D.
\( - 4\).

Câu 5 :

Bộ ba độ dài đoạn thẳng nào sau đây tạo thành một tam giác?

A.
5cm; 4cm; 1cm.
B.
3cm; 4cm; 5cm.
C.
5cm; 2cm; 2cm.
D.
1cm; 4cm; 10cm.

Câu 6 :

Biểu thức đại số biểu thị tích của hai số tự nhiên liên tiếp là:

A.
\(xy\) với \(x,y \in {\rm N}\).
B.
\(x.\left( {x + 1} \right)\) với \(x \in {\rm N}\).
C.
\(x.\left( {y + 1} \right)\) với \(x,y \in {\rm N}\).
D.
\(\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)\) với \(x,y \in {\rm N}\).

Câu 7 :

Trong các biểu thức sau, em hãy chỉ ra biểu thức số.

A.
\(\frac{x}{{2 - 3 + 6}} - 4\) .
B.
\(\frac{{{{3.2}^2} + 11,75}}{{x + y}} - 2\).
C.
\(2x.(3 - {2022^2})\).
D.
\(\frac{{3.(4 + 5)}}{2}\).

Câu 8 :

Cho ABCD là hình chữ nhật như hình vẽ, điểm E nằm trên cạnh CD. Khẳng định nào sau đây là sai?

A.
AE < AD.
B.
AC > AD.
C.
AC > AE.
D.
AD < AE.

Câu 9 :

Điền vào chỗ trống sau: “Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại … của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó”.

A.
Trung trực.
B.
Giao điểm.
C.
Trọng tâm.
D.
Trung điểm.

Câu 10 :

Biết y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k = 2. Khi x = –3 thì giá trị của y bằng bao nhiêu?

A.
-6.
B.
0.
C.
-9.
D.
-1.

Câu 11 :

Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau và khi x = –12 thì y = 8. Khi x = 3 thì y bằng

A.
-32.
B.
32.
C.
-2.
D.
2.

Câu 12 :

Giá trị của biểu thức \(A = 2{x^2} - 3x + 1\) tại \(x = - 1\) là

A.
\(6\).
B.
\(0\).
C.
\( - 4\).
D.
\(2\).

II. Tự luận

Câu 1 :

Tìm số hữu tỉ x trong các tỉ lệ thức sau:

a) \(\frac{{ - 6}}{x} = \frac{9}{{ - 15}}\)

b) \(\frac{{ - 4}}{x} = \frac{x}{{ - 49}}\)

Câu 2 :

a) Cho \(\frac{a}{b} = \frac{6}{5}\). Tìm a, b biết: a – b = 3

b) Cho \(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5}\). Tìm x, y, z biết \(x - y + z = 32\)

Câu 3 :

Ba đơn vị cùng vận chuyển 700 tấn hàng. Đơn vị A có 10 xe trọng tải mỗi xe là 5 tấn; đơn vị B có 20 xe trọng tải mỗi xe là 4 tấn; đơn vị C có 14 xe trọng tải mỗi xe là 5 tấn. Hỏi mỗi đơn vị vận chuyển được bao nhiêu tấn hàng, biết mỗi xe đều chở một số chuyến như nhau?

Câu 4 :

Cho góc xOy khác góc bẹt có Ot là tia phân giác. Qua điểm H thuộc tia Ot, kẻ đường vuông góc với Ot và cắt Ox và Oy theo thứ tự A và B.

a) Chứng minh OA = OB.

b) Lấy điểm C nằm giữa O và H. Chứng minh \(\widehat {ACH} = \widehat {HCB}\).

c) AC cắt Oy ở D. Trên tia Ox lấy điểm E sao cho OE = OD. Chứng minh ba điểm B, C, E thẳng hàng.

Câu 5 :

Cho tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\). Chứng minh: \(\frac{{ab}}{{cd}} = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{c^2} - {d^2}}}\).

Lời giải và đáp án

I. Trắc nghiệm

Câu 1 :

Thay tỉ số 1,2 : 1,35 bằng tỉ số giữa các số nguyên ta được:

A.
50 : 81.
B.
8 : 9.
C.
5 : 8.
D.
1 : 10.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào kiến thức về tỉ lệ thức.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(1,2:1,35 = \frac{{1,2}}{{1,35}} = \frac{8}{9} = 8:9\).

Câu 2 :

Biết \(\frac{x}{2} = \frac{y}{3}\) và \(x + y = - 15\). Khi đó giá trị của x, y là

A.
x = 6, y = 9.
B.
x = −7, y = −8.
C.
x = 8, y = 12.
D.
x = −6, y = −9.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{x + y}}{{2 + 3}} = \frac{{ - 15}}{5} = - 3\) (tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

Suy ra \(x = - 3.2 = - 6;y = - 3.3 = - 9\).

Câu 3 :

Biết đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x với các cặp giá trị tương ứng trong bảng sau:

Giá trị cần điền vào “?” là

A.
\(\frac{{ - 1}}{5}\).
B.
\(\frac{1}{5}\).
C.
5.
D.
\( - 5\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Dựa vào kiến thức về hai đại lượng tỉ lệ thuận.

Lời giải chi tiết :

Vì y tỉ lệ thuận với x nên \(k = \frac{y}{x} = \frac{{ - 5}}{1} = - 5 = \frac{1}{?}\) suy ra \(? = 1:\left( { - 5} \right) = \frac{{ - 1}}{5}\).

Câu 4 :

Cho biết y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a và khi \(x = - 2\) thì \(y = 4\). Khi đó, hệ số a bằng bao nhiêu?

A.
\( - 2\).
B.
\( - 6\).
C.
\( - 8\).
D.
\( - 4\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dựa vào kiến thức về hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Lời giải chi tiết :

Vì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a nên \(a = xy = \left( { - 2} \right).4 = - 8\).

Câu 5 :

Bộ ba độ dài đoạn thẳng nào sau đây tạo thành một tam giác?

A.
5cm; 4cm; 1cm.
B.
3cm; 4cm; 5cm.
C.
5cm; 2cm; 2cm.
D.
1cm; 4cm; 10cm.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác.

Lời giải chi tiết :

Ta có: 5 – 4 = 1 nên 5cm; 4cm; 1cm không thể tạo thành một tam giác.

3cm; 4cm; 5cm có thể tạo thành một tam giác nên ta chọn đáp án B.

2 + 2 = 4 < 5 nên 5cm; 2cm; 2cm không thể tạo thành một tam giác.

1 + 4 = 5 < 10 nên 1cm; 4cm; 10cm không thể tạo thành một tam giác.

Câu 6 :

Biểu thức đại số biểu thị tích của hai số tự nhiên liên tiếp là:

A.
\(xy\) với \(x,y \in {\rm N}\).
B.
\(x.\left( {x + 1} \right)\) với \(x \in {\rm N}\).
C.
\(x.\left( {y + 1} \right)\) với \(x,y \in {\rm N}\).
D.
\(\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)\) với \(x,y \in {\rm N}\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào kiến thức về biểu thức đại số.

Lời giải chi tiết :

Vì x và y là hai số tự nhiên bất kì nên \(xy\) không biểu thị tích của hai số tự nhiên liên tiếp.

Vì x và x + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên \(x.\left( {x + 1} \right)\) với \(x \in {\rm N}\) là biểu thức biểu thị tích của hai số tự nhiên liên tiếp.

Vì x và y là hai số tự nhiên bất kì nên \(x.\left( {y + 1} \right)\) không biểu thị tích của hai số tự nhiên liên tiếp.

Vì x và y là hai số tự nhiên bất kì nên \(\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)\) không biểu thị tích của hai số tự nhiên liên tiếp.

Câu 7 :

Trong các biểu thức sau, em hãy chỉ ra biểu thức số.

A.
\(\frac{x}{{2 - 3 + 6}} - 4\) .
B.
\(\frac{{{{3.2}^2} + 11,75}}{{x + y}} - 2\).
C.
\(2x.(3 - {2022^2})\).
D.
\(\frac{{3.(4 + 5)}}{2}\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào kiến thức về biểu thức số.

Lời giải chi tiết :

Trong các biểu thức trên, chỉ có \(\frac{{3.(4 + 5)}}{2}\) là biểu thức số.

Câu 8 :

Cho ABCD là hình chữ nhật như hình vẽ, điểm E nằm trên cạnh CD. Khẳng định nào sau đây là sai?

A.
AE < AD.
B.
AC > AD.
C.
AC > AE.
D.
AD < AE.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Dựa vào quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu.

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác vuông ACD có AD < AC (trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất)

Vì E nằm trên cạnh CD nên DE < DC suy ra AE < AC (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên.

Suy ra AD < AE < AC nên A sai.

Câu 9 :

Điền vào chỗ trống sau: “Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại … của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó”.

A.
Trung trực.
B.
Giao điểm.
C.
Trọng tâm.
D.
Trung điểm.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào khái niệm về đường trung trực của đoạn thẳng.

Lời giải chi tiết :

“Đường thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng đó”.

Câu 10 :

Biết y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k = 2. Khi x = –3 thì giá trị của y bằng bao nhiêu?

A.
-6.
B.
0.
C.
-9.
D.
-1.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Dựa vào kiến thức về hai đại lượng tỉ lệ thuận.

Lời giải chi tiết :

Vì y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k = 2 nên \(y = 2x\).

Thay \(x = - 3\) vào công thức ta được: \(y = 2.\left( { - 3} \right) = - 6\).

Câu 11 :

Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau và khi x = –12 thì y = 8. Khi x = 3 thì y bằng

A.
-32.
B.
32.
C.
-2.
D.
2.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Dựa vào kiến thức về hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Lời giải chi tiết :

Vì hai đại lượng x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau nên \(a = - 12.8 = - 96\).

Thay \(x = 3\) vào công thức ta được: \( - 96 = 3.y\) suy ra \(y = - 32\).

Câu 12 :

Giá trị của biểu thức \(A = 2{x^2} - 3x + 1\) tại \(x = - 1\) là

A.
\(6\).
B.
\(0\).
C.
\( - 4\).
D.
\(2\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Thay giá trị của x vào biểu thức để tính giá trị của biểu thức.

Lời giải chi tiết :

Thay x = -1 vào A, ta được:

\(A = 2.{\left( { - 1} \right)^2} - 3.\left( { - 1} \right) + 1 = 6\).

II. Tự luận

Câu 1 :

Tìm số hữu tỉ x trong các tỉ lệ thức sau:

a) \(\frac{{ - 6}}{x} = \frac{9}{{ - 15}}\)

b) \(\frac{{ - 4}}{x} = \frac{x}{{ - 49}}\)

Phương pháp giải :

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức.

Lời giải chi tiết :

a) Ta có: \(\frac{{ - 6}}{x} = \frac{9}{{ - 15}}\)

Suy ra \(\left( { - 6} \right).\left( { - 15} \right) = 9.x\)

\(x = \frac{{\left( { - 6} \right).\left( { - 15} \right)}}{9} = 10\)

Vậy x = 10.

b) Ta có: \(\frac{{ - 4}}{x} = \frac{x}{{ - 49}}\)

Suy ra \(\left( { - 4} \right)\left( { - 49} \right) = x.x\)

\(\begin{array}{l}{x^2} = 196\\x = \pm 14\end{array}\)

Vậy \(x = \pm 14\).

Câu 2 :

a) Cho \(\frac{a}{b} = \frac{6}{5}\). Tìm a, b biết: a – b = 3

b) Cho \(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5}\). Tìm x, y, z biết \(x - y + z = 32\)

Phương pháp giải :

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

Lời giải chi tiết :

a) Ta có: \(\frac{a}{b} = \frac{6}{5}\) suy ra \(\frac{a}{6} = \frac{b}{5}\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{a}{6} = \frac{b}{5} = \frac{{a - b}}{{6 - 5}} = \frac{3}{1} = 3\).

Suy ra \(a = 3.6 = 18\); \(b = 3.5 = 15\).

Vậy a = 16; b = 15.

b) Ta có: \(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5} = \frac{{x - y + z}}{{2 - 3 + 5}} = \frac{{32}}{4} = 8\).

Suy ra \(x = 8.2 = 16\)

\(\begin{array}{l}y = 8.3 = 24\\z = 8.5 = 40\end{array}\)

Vậy \(x = 16;y = 24;z = 40\).

Câu 3 :

Phương pháp giải :

Dựa vào tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

Lời giải chi tiết :

Gọi x, y, z (tấn)lần lượt là khối lượng hàng các đơn vị A, B, C vận chuyển (x, y, z > 0).

Theo đề bài ta suy ra: \(\frac{x}{{50}} = \frac{y}{{80}} = \frac{z}{{70}}\) và \(x + y + z = 700\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{x}{{50}} = \frac{y}{{80}} = \frac{z}{{70}} = \frac{{x + y + z}}{{50 + 80 + 70}} = \frac{{700}}{{200}} = 3,5\\x = 175;\quad y = 280;\quad z = 245\end{array}\)

Vậy khối lượng hàng các đơn vị A, B, C vận chuyển lần lượt là 175; 280; 245 tấn.

Câu 4 :

Cho góc xOy khác góc bẹt có Ot là tia phân giác. Qua điểm H thuộc tia Ot, kẻ đường vuông góc với Ot và cắt Ox và Oy theo thứ tự A và B.

a) Chứng minh OA = OB.

b) Lấy điểm C nằm giữa O và H. Chứng minh \(\widehat {ACH} = \widehat {HCB}\).

c) AC cắt Oy ở D. Trên tia Ox lấy điểm E sao cho OE = OD. Chứng minh ba điểm B, C, E thẳng hàng.

Phương pháp giải :

a) Chứng minh được: ∆AHO = ∆BHO (góc – cạnh – góc)

Suy ra OA = OB (hai cạnh tương ứng)

b) Chứng minh được: ∆AHC = ∆BHC (hai cạnh góc vuông)

Suy ra \(\widehat {ACH} = \widehat {HCB}\) (hai góc tương ứng)

c) Chứng minh được: ∆OEC = ∆ODC (c.g.c)

Chứng minh được: \(\widehat {ECO} + \widehat {OCD} + \widehat {BCD} = {180^0}\)

Suy ra ba điểm E, C, B thẳng hàng.

Lời giải chi tiết :

a) Xét tam giác AHO và tam giác BHO có:

\(\widehat {AOH} = \widehat {BOH}\) (Ot là tia phân giác của \(\widehat {AOB}\))

OH chung

\(\widehat {AHO} = \widehat {BHO}\left( { = {{90}^0}} \right)\)

Suy ra \(\Delta AHO = \Delta BHO\left( {g.c.g} \right)\)

Suy ra OA = OB (hai cạnh tương ứng) (đpcm)

b) \(\Delta AHO = \Delta BHO\) suy ra AH = HB (hai cạnh tương ứng)

Xét tam giác AHC và tam giác BHC có:

HC chung

\(\widehat {AHC} = \widehat {BHC}\left( { = {{90}^0}} \right)\)

AH = HB

Suy ra \(\Delta AHC = \Delta BHC\) (hai cạnh góc vuông)

Suy ra \(\widehat {ACH} = \widehat {HCB}\) (hai góc tương ứng)

c) Xét tam giác OCE và OCD có:

OE = OD

\(\widehat {EOC} = \widehat {DOC}\)

OC chung

Suy ra ∆OEC = ∆ODC (c.g.c)

Suy ra EC = DC (hai cạnh tương ứng)

Ta có OA = OB và OE = OD nên AE = BD.

Xét \(\Delta ECA\) và \(\Delta DCB\) có:

EC = ED (cmt)

EA = DB (cmt)

CA = CB (\(\Delta AHC = \Delta BHC\))

Suy ra \(\Delta ECA = \Delta DCB\) (c.c.c)

Suy ra \(\widehat {ECA} = \widehat {DCB}\) (hai góc tương ứng)

Mặt khác \(\widehat {ECA} + \widehat {ECD} = {180^0}\) (vì AC cắt Oy tại D)

Suy ra \(\widehat {DCB} + \widehat {ECD} = {180^0}\) hay B, C, E thẳng hàng (đpcm).

Câu 5 :

Cho tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\). Chứng minh: \(\frac{{ab}}{{cd}} = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{c^2} - {d^2}}}\).

Phương pháp giải :

Đặt \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k\).

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh.

Lời giải chi tiết :

Đặt \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = bk}\\{c = dk}\end{array}} \right.\)

Do đó ta có:

\(\frac{{ac}}{{bd}} = \frac{{bkdk}}{{bd}} = {k^2}(1)\)

Ta cũng có:

\(\frac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {d^2}}} = \frac{{{{(bk)}^2} + {{(dk)}^2}}}{{{b^2} + {d^2}}} = \frac{{{b^2}{k^2} + {d^2}{k^2}}}{{{b^2} + {d^2}}} = \frac{{{k^2}\left( {{b^2} + {d^2}} \right)}}{{{b^2} + {d^2}}} = {k^2}(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(\frac{{ac}}{{bd}} = \frac{{{a^2} + {c^2}}}{{{b^2} + {d^2}}} = \left( {{k^2}} \right)\) (đpcm)